精品解析：安徽省阜阳市红旗中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试题

2023—2024学年高一年级第二学期第二次月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. B. 4 C. D. 5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到的近似值为（取近似值3.14）（ ） A. 0.039 B. 0.157 C. 0.314 D. 0.079 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C. 若，则 D. 若，则 10. 中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形. B. 若，，则点的轨迹一定通过的内心. C. 若为重心，则 D. 若点满足，，，则 11. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得 B. 异面直线与所成的角为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的体积为____________. 13. 文峰塔位于安徽省阜阳市中心干道颍州路文峰公园内，文峰公园因此得名，康熙三十五年（1696）于此建文峰塔，以振兴阜阳文风．文峰塔是安徽省级文物保护单位．小张为了测量文峰塔的高度AB，采取了以下方法：在公园内D点处测得塔顶A点处的仰角为，后退22.1米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为，已知小张的眼睛距离地面高度为米，则文峰塔高度AB约为______米.（结果保留小数点后一位，参考数据：）. 14. 如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若，求复数； （2）若z是关于x的方程的一个虚根，求的值． 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且. （1）求角； （2）若，，求的面积. 17. 如图所示，在四棱锥中，BC//平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：CE//平面PAB； （2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使MN//平面PAB？说明理由． 18. 在中，已知，，，点M是边AB的中点，且，直线CM与BN相交于点P. （1）求； （2）求的值. 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，，，，. （1）求证：PD⊥平面PBC； （2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年高一年级第二学期第二次月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再判断其虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：B 2. 在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是边上的中点， 所以，即. 故选：A 3. 已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于空间位置关系的研究，可以借助正方体来分析平行与垂直关系. 【详解】 对于A，把底面看成平面，把看成，把看成，此时不平行，故A是错误的； 对于B，把底面看成平面，把看成，把看成，此时，故B是错误的； 对于D，由于题目中没有告知，所以不能判断，故D是错误的； 对于C，由，，可得， 由，可知在内一定有一条直线满足， 而，则必有，所以，故C是正确的； 故选：C． 4. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得的原图，根据长度关系即可求解. 【详解】根据题意可得的原图如图所示，其中D为AB的中点， 由于为的中点，, 且OA=2，，，故． 故选：C 5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D. 【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误； 对于B，根据正弦定理得，， 又，，B有两解，故B符合题意； 对于C，由正弦定理：得：， C只有一解，故C不符合题意. 对于D，根据正弦定理得，， 又，，D只有一解，故D不符合题意. 故选：B 6. 已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得向量在向量上的投影为：；向量在向量上的投影为：，所以，整理化简即可求解. 【详解】根据题意得，向量在向量上的投影为：， 向量在向量上的投影为：， 又因为不共线平面向量在非零向量上的投影向量互为相反向量， 所以，即，即，所以. 故选：A. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一条棱垂直底面的三棱锥和与其同底等高的三棱柱的外接球是同一个，再结合正弦定理求出底面三角形外接圆半径，最后即可求出外接球半径（其中为三棱柱垂直底面的棱长），再结合球的表面积公式,即可求解． 【详解】解：如图所示， 三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球， ∵三棱锥的体积为， ∴ 由正弦定理得：外接圆的直径 ∴三棱锥的外接球的半径 ∴球O的表面积为，故选B. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积，确定三棱锥的外接球的半径是关键． 8. 在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到的近似值为（取近似值3.14）（ ） A. 0.039 B. 0.157 C. 0.314 D. 0.079 【答案】B 【解析】 【分析】圆内接正二十边形等分成20个等腰三角形，得到每个等腰三角形的顶角为18°，对过等腰三角形顶点O向底边AB作垂线OC，垂足为C，延长OC交圆O于点D，设半径为1，则，从而求出的近似值. 【详解】假设圆的半径为，此圆内接正二十边形等分成20个等腰三角形， 则每个等腰三角形的顶角为18°，选取其中一个小等腰三角形， 过等腰三角形顶点O向底边AB作垂线OC，垂足为C，延长OC交圆O于点D， 则由三线合一可知：， 则，其中，， 所以 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，设，由可得是纯虚数；对于B，由，互为共轭虚数可得，在复平面内对应的点关于实轴对称；对于C、D选项，举出反例即可判断. 【详解】对于A，设，则，则，解得且，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，设，因为，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点，在复平面内对应的点，则，在复平面内对应的点关于实轴对称； 对于C，假设，，则，，，即，故C选项错误； 对于D， 假设，，则，，，即，但不都是实数，不能比较大小，不能得到，故D选项错误； 故选：AB 10. 中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形. B. 若，，则点的轨迹一定通过的内心. C. 若为重心，则 D. 若点满足，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可确定角为锐角，可判断A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D． 【详解】选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为钝角三角形，故A错误； 选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致． 若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确； 选项C：若为的重心，设边的中点为， 则，故C错误； 选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心， 于是有．又， 则 ，故D正确． 故选：BD． 11. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得 B. 异面直线与所成的角为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据直线异面可判断；对B，连接，可得即为异面直线与所成的角；对C，求出三棱锥的体积即可判断；对D，利用等体积法可求. 【详解】对A，若，则四点共面，与直线异面矛盾，所以不平行，故A错误； 对B，连接，易得，即，则即为异面直线与所成的角，显然为等边三角形，，故B正确； 对C，易得，点A到平面的距离，即点A到平面的距离为，则三棱锥的体积为，故C正确； 对D，，则，又点A到直线EF的距离为，则，设到平面AEF的距离为h，则，，解得，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查点面距离的求解，解题的关键是利用等体积法求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出方程求得上，下底面半径以及高，再由圆台的体积公式，即可得到结果. 【详解】 设上底面半径为，则下底面半径为，高为， 因为母线长为10，所以，解得， 所以下底面半径为，高， 则体积. 故答案为： 13. 文峰塔位于安徽省阜阳市中心干道颍州路文峰公园内，文峰公园因此得名，康熙三十五年（1696）于此建文峰塔，以振兴阜阳文风．文峰塔是安徽省级文物保护单位．小张为了测量文峰塔的高度AB，采取了以下方法：在公园内D点处测得塔顶A点处的仰角为，后退22.1米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为，已知小张的眼睛距离地面高度为米，则文峰塔高度AB约为______米.（结果保留小数点后一位，参考数据：）. 【答案】31.9 【解析】 【分析】根据题意，由可得，从而得到. 【详解】由已知可得， 因为，所以， 即，解得， 所以文峰塔高度AB约为米. 故答案为：. 14. 如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则______，______. 【答案】 ①. ##0.5 ②. ##0.4 【解析】 【分析】设,,则,利用截面六边形的对边分别平行，然后利用,求出,由，,分别求出和,得到和的关系，求出的值，即可得到 【详解】设, ,则, 由题意可知，由面面平行的性质定理可得该截面六边形的对边分别平行，即, , 则, 又因为, , 所以, 则, 由 , 可 得 , 所以, 由~,可得, 所以, 则, 解得, 所以 故答案为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若，求复数； （2）若z是关于x的方程的一个虚根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将化为，可得，根据复数的除法运算求得答案; （2）将代入中，根据复数相等可得关于m,n的方程组，求得答案. 【小问1详解】 因为，所以，所以, 因为，所以． 【小问2详解】 由题意可得，即， 则 ，解得 ， 故． 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且. （1）求角； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直得数量积为0，由数量积坐标表示及正弦定理可得角； （2）根据余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ∵，∴， 由正弦定理得，是三角形内角，， ∴，，是三角形内角，∴； 【小问2详解】 由余弦定理得：， 又，，， 所以，解得， 则的面积. 17. 如图所示，在四棱锥中，BC//平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：CE//平面PAB； （2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使MN//平面PAB？说明理由． 【答案】（1） 如下图，若为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且， 又BC//平面PAD，面，且面面， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，故， 而面，面，则面. （2）存在，理由如下： 取中点N，连接，， ∵E，N分别为，的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（1）知：平面，又， ∴平面平面，又M是上的动点，平面， ∴平面PAB， ∴线段存在点N，使得MN∥平面． 【解析】 【分析】（1）为中点，连接，由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证结论； （2）取中点N，连接，，根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，已知，，，点M是边AB的中点，且，直线CM与BN相交于点P. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可解题； （2）根据三点共线和，设出，再由三点共线，结合点是边的中点，求出值，再由，根据向量数量积的求法即可解题. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 解得. 【小问2详解】 因为三点共线，且，点是边的中点， 所以存在实数x满足， 又因为三点共线，所以，解得， 所以， 又，且， 所以 . 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，，，，. （1）求证：PD⊥平面PBC； （2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面． （2）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，得到为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 证明：（1）因为平面，直线平面， 所以． 又因为，所以， 又，而 平面PBC, 所以平面． 【小问2详解】 过点作的平行线交于点，连结， 则与平面所成的角等于与平面所成的角． 因为平面，故为在平面上的射影， 所以为直线和平面所成的角． 由于，，故四边形ADFB是平行四边形，故， 故得, 又AD⊥平面PDC ，故，故， 故 , 在中，,可得, 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $