作业06 统计、概率（8大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练）-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（苏教版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业06统计、概率（8大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练） 一、抽样方法的选取及应用 1．抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数表法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层抽样． 2.随机数表法的步骤 ①对总体中的个体编号(每个号码位数一致)． ②在随机数表中任选一个数． ③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止． ④根据选定的号码抽取样本． 3.分层抽样的特点是“按比例分配”，即＝. 二、用样本的取值规律估计总体的取值规律 1．根据样本容量的大小，我们可以选择利用样本的频率分布表、频率直方图对总体情况作出估计． 2.绘制频率直方图时需注意的两点 ①制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确． ②频率直方图的纵坐标是，而不是频率． 3.与频率直方图计算有关的两个关系式 ①×组距＝频率． ②＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数． 三、样本的百分位数 1．一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk，且至少有(100－k)%的数据大于或等于pk.可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数． 2.计算一组n个数据的k百分位数的一般步骤 (1)将所有数值按从小到大的顺序排列． (2)计算n·. (3)如果结果为整数，那么k百分位数位于第n·位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；如果n·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数． 四、用样本的集中趋势、离散程度估计总体 1．为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度． 2.通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计． (1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计．因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况． (2)若两组数据的平均数差别很大，也可以只比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断． 五、随机事件的概率 1．通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．了解概率的意义及频率与概率的区别． 2.(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验无关，可以用频率估计概率． 六、古典概型 1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m. 2.在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树形图，把样本点一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目． 七、互斥事件、对立事件与相互独立事件 1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况． 2．若事件A，B满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A与，与B，与也相互独立． 3.事件间的关系的判断方法 (1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系． (2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断． (3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立． 八、相互独立事件概率的计算 1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解． 2.解此类题的步骤 (1)标记事件． (2)判断事件的独立性． (3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立)． (4)套用公式． 一．互斥事件与对立事件（共10小题） 1．（2023春•新吴区校级期末）若，，（B），则事件与的关系是　　 A．事件与互斥但不对立 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 2．（2023春•扬州期末）如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件，“第二次记录的数字为偶数”为事件，“两次记录的数字之和为奇数”为事件，则下列结论正确的是　　 A．与是互斥事件 B．与不是相互独立事件 C．（A）（B）（C） D．与是相互独立事件 3．（2023春•淮安期末）已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则下列说法正确的是　　 A．事件与事件互斥 B． C． D．事件与事件相互独立 4．（2023春•扬州期末）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则下述正确的是　　 A．与对立 B．与互斥 C．（A）（B） D．与相互独立 5．（2023春•宿迁期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是　　 A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 6．（2023春•武进区期末）连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为，第二次向上的点数为，设，其中表示不超过的最大整数，则　　 A． B．事件与互斥 C． D．事件与对立 7．（2023春•鼓楼区校级期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“是奇数”为事件，“”为事件，则　　 A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 8．（2023春•天宁区校级期末）一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，若他连续射击两次，则下列正确的是　　 A．事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件 B．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件 C．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立 D．该运动员击中目标的概率为 9．（2023春•姑苏区校级月考）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则　　 A．与为互斥事件 B．与为对立事件 C．与为互斥事件 D．与为对立事件 10．（2023春•常州期末）设，为两个随机事件，以下命题正确的为　　 A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 二．互斥事件的概率加法公式（共4小题） 11．（2023春•锡山区校级期末）已知事件，发生的概率分别为，，则　　 A． B． C．若与互斥，则 D．一定有 12．（2023春•栖霞区校级期中）已知、是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是　　 A．（A）（B） B．（A）（B） C． D． 13．（2023春•淮安期末）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发普遍．已知某群体的成员，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.1，则不用现金支付的概率为　　 A．0.9 B．0.85 C．0.95 D．0.8 14．（2023春•新吴区校级期末）已知（A），（B），且与互相独立，则　　． 三．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共13小题） 15．（2023春•无锡期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中至多有一次反面朝上”，事件 “次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法不正确的是　　 A．当时， B．当时，与不独立 C．当时， D．当时，与不独立 16．（2023春•泰州期末）已知事件，发生的概率分别为，则　　 A．若，互斥，则，至多有一个发生的概率为 B．若，互斥，则，至少有一个发生的概率为 C．若，相互独立，则，至多有一个发生的概率为 D．若，相互独立，则，至少有一个发生的概率为 17．（2023春•栖霞区校级期中）甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是　　 A．2个球颜色相同的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 18．（2023春•苏州期末）已知事件与相互独立，（A），，则　　． 19．（2023春•无锡期末）甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为．则的值为 　　，两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为 　　． 20．（2023春•连云港期末）如图，用，，三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，，正常工作的概率分别为0.6，0.5，0.5，则系统正常工作的概率为 　　． 21．（2023春•雨花台区校级月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为 　　． 22．（2023春•常州期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响．有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）． （1）若选择方案一，求甲获胜的概率； （2）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二．判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由． 23．（2023春•新吴区校级期末）某学校组织“红楼论数”数学知识应用竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 24．（2023春•武进区期末）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为，乙队胜丙队的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲队轮空． （1）求“前三场比赛结束后，乙队被淘汰”的概率； （2）求“一共只需四场比赛甲队就获得冠军”的概率； （3）求“需要进行第五场比赛”的概率． 25．（2023春•南京期末）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件，，． （1）求（A）、（B）、（C）； （2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率． 26．（2023春•连云港期末）甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，丙译出密码的概率为，求： （1）其中恰有一人破译出密码的概率； （2）密码被破译的概率． 27．（2023春•苏州期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5． （1）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不命中的概率； （2）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求至少有一人命中的概率． 四．分层抽样方法（共4小题） 28．（2023春•常州期末）某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则　　 A．50 B．60 C．64 D．75 29．（2023春•新吴区校级期末）下列说法正确的是　　 A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21 D．甲乙丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 30．（2024春•邗江区校级月考）在某学校的期中考试中，高一、高二、高三年级的参考人数分别为600，800，600．现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一、高二、高三年级数学成绩的样本平均数分别为93，81，99，则全校学生数学成绩的总样本平均数为　　 A．92 B．91 C．90 D．89 31．（2023春•南京期末）甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量的值是　　 A．200 B．240 C．260 D．280 五．频率分布直方图（共5小题） 32．（2024春•溧阳市期末）某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为　　 ①的值为0.005 ②估计这组数据的众数为75 ③估计这组数据的下四分位数为60 ④估计成绩高于80分的有300人 A．1 B．2 C．3 D．4 33．（2024春•邗江区校级月考）某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，，，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩大于13.25秒的频率是 　　． 34．（2024春•溧阳市期末）某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 35．（2024•建湖县校级开学）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示． （1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题； （ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数． 36．（2024春•锡山区校级月考）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：，将数据按照，，，，，，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元收费，第三阶梯为超过的部分按8元收费． （1）求直方图中的值； （2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由； （3）该市政府希望使至少有的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？． 六．众数、中位数、平均数（共4小题） 37．（2024•建湖县校级开学）四名同学各投掷质地均匀的骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是　　 A．众数为3，极差为3 B．平均数为2，中位数为2 C．平均数为2，标准差为2 D．中位数为3，众数为3 38．（2023春•锡山区校级期末）一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是　　 A．6，，5 B．5，5，5 C．5，，6 D．4，5，6 39．（2023春•天宁区校级期末）甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如表： 甲的环数 7 7 10 6 10 8 7 9 7 9 乙的环数 7 8 8 9 8 7 7 9 8 9 下列说法正确的是　　 A．甲的平均数大于乙的平均数 B．甲的中位数等于乙的中位数 C．甲、乙的众数都是7 D．乙的成绩更稳定 40．（2023春•徐州期末）有一组样本数据，，，，，其平均数为，中位数为，方差为，极差为．由这组数据得到新样本数据，，，，，其中，2，，，则新样本数据的　　 A．样本平均数为 B．样本中位数为 C．样本方差为 D．样本极差为 七．极差、方差与标准差（共4小题） 41．（2023春•建邺区校级期末）从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为　　 A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82 42．（2023春•句容市校级期末）已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，则对于以下数据：，，，，，1，2，3，4，5下列选项正确的是　　 A．平均数是3，方差是7 B．平均数是4，方差是7 C．平均数是3，方差是8 D．平均数是4，方差是8 43．（2023春•栖霞区校级期中）甲、乙两支田径队队员的体重（单位：信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则关于甲、乙两队全部队员的体重的平均数和方差分别为 　　． 参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总样本的平均数，样本方差为， 44．（2023春•南京期末）已知某3个数据的平均数为2，方差为2，现加入数字2构成一组新的数据，这组新的数据的方差为 　　． 八．百分位数（共4小题） 45．（2024•建湖县校级开学）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为　　 A．290 B．295 C．300 D．330 46．（2023春•苏州期末）一组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，，7，8（其中，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的分位数是　　 A．4 B．4.5 C．5 D．6 47．（2023春•南通期末）某学生8次素养测试的成绩统计如下：72，76，78，82，86，88，92，98，则该组数据的第80百分位数为 　　． 48．（2023春•徐州期末）已知一组数据：24，30，40，44，48，52．则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为 　　． 一．选择题（共1小题） 1．（2023春•南通月考）下列说法正确的是　　 A．互斥事件与对立事件含义相同 B．互斥事件一定是对立事件 C．对立事件一定是互斥事件 D．对立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件 二．多选题（共1小题） 2．（2023春•武进区期末）现有一组数据：，，，．记其平均数为，中位数为，方差为，则　　 A． B． C．新数据：，，，，的平均数为 D．新数据：，，，，的方差为 三．填空题（共2小题） 3．（2023春•新吴区校级期末）为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的值．男女员工的值的中位数、平均数、标准差、方差和极差如表所示． 中位数 平均数 标准差 方差 极差 男员工 21.6 22.1 3.7 14.3 19.3 女员工 19.6 20.7 4 16.4 17.7 从以上数据可以估算出该公司全体人员的值的平均值为 　　，方差为 　　．（以上结果精确到 4．（2023春•锡山区校级期末）为获得天一中学高一学生的身高（单位：信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20．则总样本的均值为 　　，方差为 　　． 四．解答题（共7小题） 5．（2023春•苏州期末）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值和第25百分位数； （2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年在，和，内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在，内的概率． 6．（2023春•建邺区校级期末）本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，，，，，，，，，，得到如图所示频率分布直方图． （1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在，的概率． 7．（2023春•天宁区校级期末）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，，，，分成9组，制成了如图的频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）估计居民月均用水量的中位数； （3）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由． 8．（2023春•雨花台区校级月考）某校有高中生3600人，其中男女生比例约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案： 方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图． 方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20． 身高（单位： ， ， ， ， ， 频数 4 20 6 4 （1）根据图表信息，求，的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表） （2）计算方案二总样本的均值及方差； （3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由） 9．（2023春•徐州期末）每年的3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，．甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响． （1）若，求甲恰好胜出一轮的概率； （2）若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为会． 求，，的值； 求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率． 10．（2023春•靖江市校级期末）一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和，2个白球（标号为3和，甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球．设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件． （1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性．小明的判断是否正确，请说明理由； （2）判断事件与是否相互独立，并证明． 11．（2023春•宿迁期末）一只不透明的口袋内装有大小、质地相同，编号分别为1、2的两个球，从口袋内随机取1个球，记下号码后放回，这样重复取3次球，用有序实数组来表示样本点，如“，2，”表示第一次取到的是1号球，第二、第三次取到的都是2号球． （1）请你写出该随机试验的样本空间； （2）记“前两次取到的号码相同”为事件，“后两次取到的号码相同”为事件． ①试判断事件与事件是否为相互独立事件； ②求事件的概率． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•上海）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则　　 A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 2．（2024•新高考Ⅱ）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：并部分整理下表： 亩产量 ， ， ， ， ， 生产数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是　　 A．100块稻田亩产量中位数小于 B．100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过 C．100块稻田亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于至之间 二．多选题（共1小题） 3．（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则　　 A．，，，的平均数等于，，，的平均数 B．，，，的中位数等于，，，的中位数 C．，，，的标准差不小于，，，的标准差 D．，，，的极差不大于，，，的极差 三．填空题（共2小题） 4．（2024•上海）某校举办科学竞技比赛，有、、种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 　　． 5．（2024•甲卷）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记表示前两个球号码的平均数，记表示前三个球号码的平均数，则与差的绝对值不超过的概率是 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业06统计、概率（8大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练） 一、抽样方法的选取及应用 1．抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数表法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层抽样． 2.随机数表法的步骤 ①对总体中的个体编号(每个号码位数一致)． ②在随机数表中任选一个数． ③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止． ④根据选定的号码抽取样本． 3.分层抽样的特点是“按比例分配”，即＝. 二、用样本的取值规律估计总体的取值规律 1．根据样本容量的大小，我们可以选择利用样本的频率分布表、频率直方图对总体情况作出估计． 2.绘制频率直方图时需注意的两点 ①制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确． ②频率直方图的纵坐标是，而不是频率． 3.与频率直方图计算有关的两个关系式 ①×组距＝频率． ②＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数． 三、样本的百分位数 1．一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk，且至少有(100－k)%的数据大于或等于pk.可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数． 2.计算一组n个数据的k百分位数的一般步骤 (1)将所有数值按从小到大的顺序排列． (2)计算n·. (3)如果结果为整数，那么k百分位数位于第n·位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；如果n·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数． 四、用样本的集中趋势、离散程度估计总体 1．为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度． 2.通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计． (1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计．因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况． (2)若两组数据的平均数差别很大，也可以只比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断． 五、随机事件的概率 1．通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．了解概率的意义及频率与概率的区别． 2.(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验无关，可以用频率估计概率． 六、古典概型 1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m. 2.在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树形图，把样本点一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目． 七、互斥事件、对立事件与相互独立事件 1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况． 2．若事件A，B满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A与，与B，与也相互独立． 3.事件间的关系的判断方法 (1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系． (2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断． (3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立． 八、相互独立事件概率的计算 1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解． 2.解此类题的步骤 (1)标记事件． (2)判断事件的独立性． (3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立)． (4)套用公式． 一．互斥事件与对立事件（共10小题） 1．（2023春•新吴区校级期末）若，，（B），则事件与的关系是　　 A．事件与互斥但不对立 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 【分析】求出（A），得到（A）（B），从而得到事件与是相互独立事件． 【解答】解：，，（B）， （A）， （A）（B）， 事件与是相互独立事件． 故选：． 【点评】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（2023春•扬州期末）如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件，“第二次记录的数字为偶数”为事件，“两次记录的数字之和为奇数”为事件，则下列结论正确的是　　 A．与是互斥事件 B．与不是相互独立事件 C．（A）（B）（C） D．与是相互独立事件 【分析】根据互斥事件，独立事件的概念以及古典概型概率计算公式逐项分析即可得出答案． 【解答】解：对于选项，事件，两次记录的数字之和为奇数，说明是一奇一偶， 即事件与事件可以同时发生，不是互斥事件，故选项错误； 对于选项，对于事件与事件，，，， 满足（A）（B），故与是相互独立事件，选项错误； 对于选项，由题意可得，，，， ，故（A）（B）（C），选项错误； 对于选项，，，， 满足（A）（C），故与是相互独立事件，选项正确； 故选：． 【点评】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（2023春•淮安期末）已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则下列说法正确的是　　 A．事件与事件互斥 B． C． D．事件与事件相互独立 【分析】根据题意，画出图求解． 【解答】解：由题意得图如下： 由图知：， ，， 所以事件与事件不互斥，，， （A）（B）， 故选：． 【点评】本题考查互斥事件、对立事件、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．（2023春•扬州期末）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则下述正确的是　　 A．与对立 B．与互斥 C．（A）（B） D．与相互独立 【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果． 【解答】解：由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反）， 显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生， 所以，事件，事件既不互斥也不对立，故错误． 又因为，而，， 所以（A）（B），（A）（B），故错误，正确． 故选：． 【点评】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件相关知识，属于基础题． 5．（2023春•宿迁期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是　　 A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件的基本概念检验各选项即可判断． 【解答】解：对于，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一 定是互斥事件，故错误； 对于，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一 定是互斥事件，故正确； 对于，当时，、同时发生的概率等于与中恰有一个发生的概率，故错误； 对于，事件，中至少有一个发生的概率，包括事件发生不发生，不发生发生和、 都发生； ，中恰有一个发生，包括事件发生不发生，不发生发生； 当事件，为对立事件时，事件，中至少有一个发生的概率与，中恰有一个发生的概率相等，故错误． 故选：． 【点评】本题题主要考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事 件、相互独立事件乘法公式、互斥事件概率加法公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．（2023春•武进区期末）连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为，第二次向上的点数为，设，其中表示不超过的最大整数，则　　 A． B．事件与互斥 C． D．事件与对立 【分析】分别理解，的实际意义，理解对立事件的意义，明确，其中表示不超过的最大整数即可得． 【解答】解：若，，错误； 若，则恒成立，即事件与不可能同时发生， 事件与互斥，正确； ，正确； 所有取值为0，1，2，3，4，5，6， 当，所有取值为1，2，3，4，5，6， 所以事件与对立，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了互斥事件和对立事件的定义，属于基础题． 7．（2023春•鼓楼区校级期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“是奇数”为事件，“”为事件，则　　 A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义直接求解． 【解答】解：对于，事件： “”包含的基本事件有： ，，，，，， 事件 “为奇数”，包含的基本事件有： ，，，，，， 与不能同时发生，是互斥事件，故正确； 对于，与不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故错误； （A），（B），（C），， （A）（C），（A）（C），（B）（C）， 与不相互独立，与独立，故正确，错误． 故选：． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义等基础知识，考查推理论证能力，是基础题． 8．（2023春•天宁区校级期末）一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，若他连续射击两次，则下列正确的是　　 A．事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件 B．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件 C．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立 D．该运动员击中目标的概率为 【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的概念判断选项；先求出该运动员未击中目标的概率，进而可得该运动员击中目标的概率，即可判断选项． 【解答】解：事件“两次均击中”与“恰击中一次”不能同时发生，属于互斥事件，故正确； 事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”，故正确； 事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故错误； 该运动员未击中目标的概率为， 则该运动员击中目标的概率为，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了互斥事件、对立事件和相互独立事件的概念，属于基础题． 9．（2023春•姑苏区校级月考）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则　　 A．与为互斥事件 B．与为对立事件 C．与为互斥事件 D．与为对立事件 【分析】由已知可得事件，为相互独立事件，事件的对立事件为甲乙都不中奖，根据对立事件与互斥事件的定义对应各个选项即可判断求解． 【解答】解：因为事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”， 则事件，为相互独立事件，故错误， 事件的对立事件为甲乙都不中奖，故错误，正确， 表示的是甲乙都中奖，故正确， 故选：． 【点评】本题考查了对立事件与互斥事件的简单应用，考查了学生的理解能力，属于基础题． 10．（2023春•常州期末）设，为两个随机事件，以下命题正确的为　　 A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可． 【解答】解：对于：若，是对立事件，则，故错误； 对于，若，是互斥事件，，，则，故错误； 对于：若，则， 则，是独立事件，故，也是独立事件，故正确； 对于：若，是独立事件，，，则，也是独立事件， ，， 则，故错误． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用，属于中档题． 二．互斥事件的概率加法公式（共4小题） 11．（2023春•锡山区校级期末）已知事件，发生的概率分别为，，则　　 A． B． C．若与互斥，则 D．一定有 【分析】根据互斥事件，对立事件以及概率加法公式分别判断即可． 【解答】解：（A），，故正确； 当，互斥时，，当时，， 故（A）（B），故正确； 当，互斥时，（A）（B），故错误； 不一定，故错误． 故选：． 【点评】本题考查了互斥事件，对立事件，考查概率加法公式，是基础题． 12．（2023春•栖霞区校级期中）已知、是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是　　 A．（A）（B） B．（A）（B） C． D． 【分析】根据事件的基本关系逐项判断即可． 【解答】解：．，（B），错误； ．，（A），错误； ．，，正确； ．，（A），错误． 故选：． 【点评】本题考查事件的基本关系，是基础题． 13．（2023春•淮安期末）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发普遍．已知某群体的成员，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.1，则不用现金支付的概率为　　 A．0.9 B．0.85 C．0.95 D．0.8 【分析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率． 【解答】解：由对立事件的概率公式可知，不用现金支付的概率为． 故选：． 【点评】本题考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．（2023春•新吴区校级期末）已知（A），（B），且与互相独立，则　0.79　． 【分析】由（A）（B），结合相互独立事件概率乘法公式能求出结果． 【解答】解：（A），（B），且与互相独立， 则（A）（B） ． 故答案为：0.79． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 三．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共13小题） 15．（2023春•无锡期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中至多有一次反面朝上”，事件 “次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法不正确的是　　 A．当时， B．当时，与不独立 C．当时， D．当时，与不独立 【分析】首先，列出和事件，再求概率，然后根据与（A）（B）的关系，判断两个事件是否独立． 【解答】解：当时，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种， 中基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），共3种， 中基本事件有：（正，正），（反，反），共2种， 中基本事件有：（正，正），共1种， ，，，故正确； （A）（B），事件与事件不独立，故正确； 当时，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8种， 中基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共4种， 中基本事件有：（正，正，正），（反，反，反），共2种， 中基本事件有：（正，正，正），共1种， 中基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，反），共5种， ，，，，故正确； （A）（B），事件与事件独立，故错误． 故选：． 【点评】本题考查古典概型、列举法、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．（2023春•泰州期末）已知事件，发生的概率分别为，则　　 A．若，互斥，则，至多有一个发生的概率为 B．若，互斥，则，至少有一个发生的概率为 C．若，相互独立，则，至多有一个发生的概率为 D．若，相互独立，则，至少有一个发生的概率为 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，结合事件的运算逐项分析计算作答． 【解答】解：依题意，， 对于，，则，至多有一个发生的概率为，错误； 对于，，则，至少有一个发生的概率，正确； 对于，，，至多有一个发生的概率为，错误； 对于，，则，至少有一个发生的概率 ，正确． 故选：． 【点评】本题考查相互独立事件的概率，属于基础题． 17．（2023春•栖霞区校级期中）甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是　　 A．2个球颜色相同的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解． 【解答】解：甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球， 这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球， 对于，2个球颜色相同的概率为，故正确； 对于，2个球不都是红球的概率为，故错误； 对于，至少有1个红球的概率为，故正确； 对于，2个球中恰有1个红球的概率为，故正确． 故选：． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18．（2023春•苏州期末）已知事件与相互独立，（A），，则　0.88　． 【分析】根据独立事件乘法公式求出（B），从而利用（A）（B）求出答案． 【解答】解：因为事件与相互独立， 所以（A）（B）（B）（B）， 所以（A）（B）． 故答案为：0.88． 【点评】本题考查相互独立事件的概率计算相关问题，属于基础题． 19．（2023春•无锡期末）甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为．则的值为 　　，两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为 　　． 【分析】由题意写出关于的方程，解方程求出的值；记两人各射击三次得分之和为，的可能取值是0，2，4，6，8，10，12，求出，，结合对立事件的概率关系能求出结果． 【解答】解：设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件， 则（A），（B）， 甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为， （A）（B）（B）， ，解得， 记两人各射击三次得分之和为，的可能取值是0，2，4，6，8，10，12， ， ， 两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为． 故答案为：；． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20．（2023春•连云港期末）如图，用，，三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，，正常工作的概率分别为0.6，0.5，0.5，则系统正常工作的概率为 　0.45　． 【分析】根据独立事件以及对立事件的概率公式求出元件，中至少有一个正常工作 的概率为0.75，然后即可根据独立事件概率的乘法公式，得出答案． 【解答】解：由已知可得，，都不能正常工作的概率为， 所以，元件，中至少有一个正常工作的概率为． 所以，元件正常工作且，中至少有一个正常工作的概率为， 即系统正常工作的概率为0.45． 故答案为：0.45． 【点评】本题考查概率的应用，属于基础题． 21．（2023春•雨花台区校级月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为 　　． 【分析】恰好进行了4局甲获胜的事件为：甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，根据相互独立事件公式计算即可． 【解答】解：恰好进行了4局甲获胜的事件为：甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢， 此时． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用． 22．（2023春•常州期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响．有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）． （1）若选择方案一，求甲获胜的概率； （2）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二．判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由． 【分析】（1）由互斥事件及相互独立事件的概率乘法公式即可得解； （2）根据题意，求出采用方案一的概率，由此可得采用方案二的概率，比较可得答案． 【解答】（1）由题意可得，选择方案一，三局两胜制，记甲获胜的事件为 甲获胜事件包含甲连胜两局记为；甲第一局负，第二、三局胜记为； 甲第一局胜，第二局负、第三局胜记为且，，，互斥，且每局比赛相互独立， 则，， ， 甲获胜的概率为． （2）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，有36个样本点， 为，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， 两点数之和不大于6的样本点有15个：，，，， ，，，，，，， ，，，． 记事件为“两点数之和不大于6”， ． 记事件为“点数之和大于6”， ． （C）（D），方案二被选择的可能性更大． 【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题． 23．（2023春•新吴区校级期末）某学校组织“红楼论数”数学知识应用竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 【分析】（1）利用概率的乘法公式计算出甲赢得比赛概率，乙赢得比赛的概率，再比较即可； （2）首先利用对立事件概率求得甲和乙都未赢比赛的概率，求出至少一人赢得比赛的概率． 【解答】解：（1）甲赢得比赛的概率为，乙赢得比赛的概率为， 因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大． （2）由（1）得，甲和乙都未赢比赛的概率， 则两人中至少有一人赢得比赛的概率． 【点评】本题考查相互独立事件的乘法公式，是基础题． 24．（2023春•武进区期末）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为，乙队胜丙队的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲队轮空． （1）求“前三场比赛结束后，乙队被淘汰”的概率； （2）求“一共只需四场比赛甲队就获得冠军”的概率； （3）求“需要进行第五场比赛”的概率． 【分析】（1）根据题意，打了三场比赛，乙必须输两场，且在第一轮和第三轮输掉比赛，由独立事件的乘法公式计算； （2）四场比赛甲决出冠军，乙丙均会要负两场，据此计算即可； （3）根据对立事件的概率公式计算． 【解答】解：（1）记事件为甲队胜丙队，则，， 事件为甲队胜乙队，则，， 事件为丙队胜乙队，则，， 前三场比赛结束后，乙队被淘汰的概率为： ； （2）只需四场比赛甲队就获得冠军的概率为： 由于甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为， 且乙队胜丙队和丙队胜乙队的概率也相等，均为， 第一场比赛甲队轮空，以后的比赛相对于甲队，可视乙队丙队为同一人， 设甲队胜为事件，甲队轮空为事件， 所以甲队最终获胜的概率； （3）只需四场比赛就决出冠军的概率为： ， 故需要进行第五场比赛的概率为：． 【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题． 25．（2023春•南京期末）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件，，． （1）求（A）、（B）、（C）； （2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率． 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式计算即可求解； （2）根据相互独立事件的乘法公式计算即可求解． 【解答】解：（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件，，，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件，，， 记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件，，． ， ， ． （2）记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件， ． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用． 26．（2023春•连云港期末）甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，丙译出密码的概率为，求： （1）其中恰有一人破译出密码的概率； （2）密码被破译的概率． 【分析】（1）设出事件，根据互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式，以及独立事件概率的乘法公式即可得出答案； （2）根据已知结合独立事件概率的乘法公式，求出密码不能破译的概率，进而根据对立事件概率公式，即可得出答案． 【解答】解：（1）记密码被甲、乙、丙3人独立地破译分别为事件、、， 则，，， ，，， 记“恰有一人破译出密码”为事件，由已知可得， ； （2）记“密码被破译出”为事件，因为， 所以． 【点评】本题考查概率的应用，属于基础题． 27．（2023春•苏州期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5． （1）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不命中的概率； （2）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求至少有一人命中的概率． 【分析】（1）甲，乙，丙各投篮一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲和乙命中，丙不命中的概率； （2）甲，乙，丙各投篮一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出恰有一人命中的概率； （3）甲，乙，丙各投篮一次，利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出至少有一人命中的概率． 【解答】解：甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5， （1）甲，乙，丙各投篮一次，甲和乙命中，丙不命中的概率： ； （2）甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率为： ； （3）甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率为： ． 【点评】本题考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属基础题． 四．分层抽样方法（共4小题） 28．（2023春•常州期末）某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则　　 A．50 B．60 C．64 D．75 【分析】根据分层随机抽样中抽取比例相同，列方程求解即可． 【解答】解：根据分层随机抽样中抽取比例相同， 得，解得． 故选：． 【点评】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题． 29．（2023春•新吴区校级期末）下列说法正确的是　　 A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21 D．甲乙丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 【分析】根据古典概型的计算公式，众数和百分位数以及分层抽样原理求解即可． 【解答】解：对于，个体被抽到的概率为，所以选项正确； 对于，数据1，2，3，3，4，5的众数是3，中位数是3，众数等于中位数，选项错误； 对于，数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为：12，14，14，17，19，23，27，30， 由于，其中第6个数为23，所以选项错误； 对于，根据分层抽样原理知，抽取的甲个体数为9时，样本容量为，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了古典概型的概率计算以及数据分析与应用问题，是基础题． 30．（2024春•邗江区校级月考）在某学校的期中考试中，高一、高二、高三年级的参考人数分别为600，800，600．现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一、高二、高三年级数学成绩的样本平均数分别为93，81，99，则全校学生数学成绩的总样本平均数为　　 A．92 B．91 C．90 D．89 【分析】利用分层抽样的特点及平均数公式即可求解． 【解答】解：由题意，总样本平均数为． 故选：． 【点评】本题考查了分层抽样，是基础题． 31．（2023春•南京期末）甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量的值是　　 A．200 B．240 C．260 D．280 【分析】根据已知条件，分层抽样的定义，即可求解． 【解答】解：采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为的样本， 则，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题． 五．频率分布直方图（共5小题） 32．（2024春•溧阳市期末）某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为　　 ①的值为0.005 ②估计这组数据的众数为75 ③估计这组数据的下四分位数为60 ④估计成绩高于80分的有300人 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用频率分布直方图的性质判断①；利用众数、百分位数的求法判断②③；根据频率分布直方图计算可估计总体判断④． 【解答】解：由频率分布直方图可知， 解得，故①正确； 根据频率分布直方图可知众数落在区间，，用区间中点表示众数，即众数为75，故②正确； 前两组频率之和为， 这组数据的下四分位数为60，故③正确； 成绩高于80分的频率为， 估计总体成绩高于80分的有人，故④正确． 故选：． 【点评】本题考查频率分布直方图、众数、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 33．（2024春•邗江区校级月考）某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，，，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩大于13.25秒的频率是 　0.63　． 【分析】根据频率分布直方图中各矩形面积之和为1，可求得的值，再结合频率分布直方图即可求得答案． 【解答】解：由频率分布直方图中各矩形面积之和为1， 可得， 解得， 故体能测试成绩大于13.25秒的频率是： ． 故答案为：0.63． 【点评】本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 34．（2024春•溧阳市期末）某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，；根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解． （2）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【解答】解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以， 解得， 所以前两组的频率之和为， 即，所以； 平均数为， （2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有10种情况，分别为： ，，，，，．，，，， 其中选出的两人来自同一组的有： ，，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为． 【点评】本题考查频率分布直方图以及古典概型相关知识，属于基础题． 35．（2024•建湖县校级开学）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示． （1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题； （ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数． 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）根据中位数和平均数的定义计算即可； 根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可． 【解答】解：（1），， 所以应抽取小吃类16家，玩具类4家． （2）根据题意，可得，解得， 设中位数为，因为，， 所以，解得， 平均数为， 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5． ， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128． 【点评】本题考查分层抽样的定义，中位数和平均数的定义等相关知识，属于基础题． 36．（2024春•锡山区校级月考）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：，将数据按照，，，，，，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元收费，第三阶梯为超过的部分按8元收费． （1）求直方图中的值； （2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由； （3）该市政府希望使至少有的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？． 【分析】（1）频率分布直方图中的所有矩形的面积之和为1建立关于的方程，求出的值； （2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过”，算出频率，得出全市7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数； （3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为，所以现行收费标准不符合要求．抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为1，现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到． 【解答】解：（1）由频率分布直方图可得， 解得． （2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过”， 则100户居民中有， 由此可以估计全市7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数为． （3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ，所以现行收费标准不符合要求． 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ， 现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到． 【点评】本题考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 六．众数、中位数、平均数（共4小题） 37．（2024•建湖县校级开学）四名同学各投掷质地均匀的骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是　　 A．众数为3，极差为3 B．平均数为2，中位数为2 C．平均数为2，标准差为2 D．中位数为3，众数为3 【分析】根据各项的数据特征分析投掷5次对应数据是否可能出现点数6即可． 【解答】解：：若众数为数据中的最小值，结合极差为3，则数据中最大值为6，故可能出现点数6； ：由平均数为2，则所有数据之和为， 又中位数为2，将数据从小到大排列， 则前3个数据之和最小的情况为1，1，2， 故后2个数据之和最大为， 所以不可能出现数据6； ：若出现点数6，平均数为2，满足条件的情况有，1，1，1，6， 则方差为，即标准差为2，故可能出现点数6； ：如1，3，3，3.6满足中位数为3，众数为3，故可能出现点数6． 故选：． 【点评】本题考查数据的数字特征，属于基础题． 38．（2023春•锡山区校级期末）一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是　　 A．6，，5 B．5，5，5 C．5，，6 D．4，5，6 【分析】由题意可知，求出的值，再结合平均值、方差和百分位数的计算公式求解即可． 【解答】解：由题意可知， 解得， 所以该组数据的平均值为， 方差为， 因为， 所以该组数据的第60百分位数是6． 故选：． 【点评】本题主要考查了中位数、平均数和方差的计算，属于基础题． 39．（2023春•天宁区校级期末）甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如表： 甲的环数 7 7 10 6 10 8 7 9 7 9 乙的环数 7 8 8 9 8 7 7 9 8 9 下列说法正确的是　　 A．甲的平均数大于乙的平均数 B．甲的中位数等于乙的中位数 C．甲、乙的众数都是7 D．乙的成绩更稳定 【分析】求出甲乙的平均数、中位数和众数，即可判断选项，求出方差判断选项． 【解答】解：计算得甲、乙的平均数都是8，故错误； 甲从小到大进行排序：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10， 乙从小到大进行排序，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9， 所以甲的中位数是7.5，而乙的中位数是8，故错误； 乙的众数是8，故错误； 甲的方差为， 乙的方差为， 所以乙的方差小，所以乙的成绩更稳定，故正确． 故选：． 【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差的定义，属于基础题． 40．（2023春•徐州期末）有一组样本数据，，，，，其平均数为，中位数为，方差为，极差为．由这组数据得到新样本数据，，，，，其中，2，，，则新样本数据的　　 A．样本平均数为 B．样本中位数为 C．样本方差为 D．样本极差为 【分析】选项，由平均数的定义得到；选项，，，的大小排列顺序与变化后的，，的大小顺序一致，由此可得；选项，由方差的定义计算出，，的方差；选项，由，得到，错误． 【解答】解：选项，由题意得， 则，故错误； 选项，由于，2，，， 故，，的大小排列顺序与变化后的，，的大小排列顺序一致， 由于，，的中位数为，故，，的中位数为，错误； 选项，由题意得， 所以 ，正确； 选项，由于，2，，， 故，，中最大值和最小值， 经过变化后仍然为，，中的最大值和最小值， 即，则，错误． 故选：． 【点评】本题考查方差，中位数，平均数，极差，数字特征，属于中档题． 七．极差、方差与标准差（共4小题） 41．（2023春•建邺区校级期末）从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为　　 A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82 【分析】根据分层抽样、均值与方差公式计算即可． 【解答】解：从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题， 按照分层抽样的方法从甲队中抽取人， 从乙队中抽取人， 这10人答对题目的平均数为， 所以这10人答对题目的方差为． 故选：． 【点评】本题考查分层抽样、均值与方差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 42．（2023春•句容市校级期末）已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，则对于以下数据：，，，，，1，2，3，4，5下列选项正确的是　　 A．平均数是3，方差是7 B．平均数是4，方差是7 C．平均数是3，方差是8 D．平均数是4，方差是8 【分析】利用平均数和方差的定义计算即可． 【解答】解：由题可知，， ， 其平均数为， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题． 43．（2023春•栖霞区校级期中）甲、乙两支田径队队员的体重（单位：信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则关于甲、乙两队全部队员的体重的平均数和方差分别为 　66；287　． 参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总样本的平均数，样本方差为， 【分析】根据参考公式计算可得结果． 【解答】解：根据题意，甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300， 甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为， 则甲、乙两队全部队员的体重的平均数， 方差． 故答案为：66，287． 【点评】本题考查平均数、方差的定义，属于基础题． 44．（2023春•南京期末）已知某3个数据的平均数为2，方差为2，现加入数字2构成一组新的数据，这组新的数据的方差为 　　． 【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解． 【解答】解：不妨设三个数据为，，， 则， ，即， 加入数字2构成一组新的数据， 则新的数据平均数也为2， 故这组新的数据的方差为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题． 八．百分位数（共4小题） 45．（2024•建湖县校级开学）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为　　 A．290 B．295 C．300 D．330 【分析】根据百分位数的知识求得正确答案． 【解答】解：将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288，290，300，360， ，所以分位数为． 故选：． 【点评】本题考查百分位数的知识，属于基础题． 46．（2023春•苏州期末）一组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，，7，8（其中，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的分位数是　　 A．4 B．4.5 C．5 D．6 【分析】先求出中位数，进而求得极差，由条件列方程求，再由百分位数的求法求解即可． 【解答】解：由题意知，中位数是，极差为6， 由已知，解得， 又，则第60百分位数是6． 故选：． 【点评】本题考查离百分位数，中位数，极差的应用，属于基础题． 47．（2023春•南通期末）某学生8次素养测试的成绩统计如下：72，76，78，82，86，88，92，98，则该组数据的第80百分位数为 　92　． 【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解． 【解答】解：， 故该组数据的第80百分位数为92． 故答案为：92． 【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题． 48．（2023春•徐州期末）已知一组数据：24，30，40，44，48，52．则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为 　36　． 【分析】根据百分位数的定义得到第30百分位数和第50百分位数，结合平均数的定义求解即可． 【解答】解：因为，故这组数据的第30百分位数为30， 因为，所以第50百分位数为， 所以这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为． 故答案为：36． 【点评】本题考查百分位数的应用，属于基础题． 一．选择题（共1小题） 1．（2023春•南通月考）下列说法正确的是　　 A．互斥事件与对立事件含义相同 B．互斥事件一定是对立事件 C．对立事件一定是互斥事件 D．对立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件 【分析】直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可． 【解答】解：如果，为互斥事件，则； 如果，为对立事件，则且． 为样本空间）， 所以对立事件必是互斥事件，但反之不成立． 故选：． 【点评】本题考查互斥事件、对立事件的定义，属于基础题． 二．多选题（共1小题） 2．（2023春•武进区期末）现有一组数据：，，，．记其平均数为，中位数为，方差为，则　　 A． B． C．新数据：，，，，的平均数为 D．新数据：，，，，的方差为 【分析】利用中位数的定义可判断选项；举反例可判断选项；利用均值和方差公式可判断选项． 【解答】解：对于选项，因， 样本数据最中间的项为，由中位数的定义可知，，正确； 对于，不妨令，2，，，， 则，错误； 对于，数据，，，，的均值为： ，正确； 对于，数据，，，，的均值为： ， 其方差为，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题． 三．填空题（共2小题） 3．（2023春•新吴区校级期末）为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的值．男女员工的值的中位数、平均数、标准差、方差和极差如表所示． 中位数 平均数 标准差 方差 极差 男员工 21.6 22.1 3.7 14.3 19.3 女员工 19.6 20.7 4 16.4 17.7 从以上数据可以估算出该公司全体人员的值的平均值为 　21.6　，方差为 　　．（以上结果精确到 【分析】根据题意，由总体的平均数、方差计算公式直接计算可得答案． 【解答】解：根据题意，样本中，有90名男员工、50名女员工， 该公司全体人员的值的平均值； 方差． 故答案为：21.6；15.5． 【点评】本题考查总体的平均数和方差的计算，注意总体平均数、方差的计算公式，属于基础题． 4．（2023春•锡山区校级期末）为获得天一中学高一学生的身高（单位：信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20．则总样本的均值为 　171　，方差为 　　． 【分析】由题意，根据平均值和方差公式进行求解即可． 【解答】解：不妨设男生样本为，，，，平均数为，方差为， 女生样本记为，，，，平均数为，方差为， 总样本数据的平均数为，方差为， 可得总样本均值为， 总样本方差为 ， 则总样本的均值为，方差为． 故答案为：171；275． 【点评】本题考查平均值和方差，考查了运算能力． 四．解答题（共7小题） 5．（2023春•苏州期末）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值和第25百分位数； （2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年在，和，内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在，内的概率． 【分析】（1）根据频率和为1可求的值，判断第25百分位数在第二组，设为，列方程可求解； （2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在，的人数为4人，年龄在，的人数为2人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可． 【解答】解：（1）， 因为第一组的频率为，， 第二组的频率为，， 所以第25百分位数在第二组，设为，则， 所以第25百分位数为30． （2）年龄在，的市民人数为，年龄在，的市民人数为， 用分层随机抽样的方法抽取年龄在，的人数为人，年龄在，的人数为人， 设年龄在，的4人为，，，，年龄在，的2人为，， 从这6为市民中抽取两名的样本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中2名年龄都在，内的样本事件有，，，，，种， 所以两名幸运市民年龄都在，内的概率为． 【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查转化能力，属于中档题． 6．（2023春•建邺区校级期末）本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，，，，，，，，，，得到如图所示频率分布直方图． （1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在，的概率． 【分析】（1）根据平均数、百分位数的求法求得正确答案． （2）根据分层抽样、古典概型的知识求得正确答案． 【解答】解：（1）由频率直方图得，则， 所以高二数学成绩的平均数为， 前3组的频率和为，所以分位数为． 故高二数学平均成绩为75.5，分位数为88． （2）分层抽样6人中，，的有人，记为1，2．，的有人，记为3，4，5，6， 从6人中任取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种， 其中2人分数都在，的有34，35，36，45，46，56共6种， 所以从6人中任取2人，分数都在，的概率为． 【点评】本题主要考查频率分布直方图，属于中档题． 7．（2023春•天宁区校级期末）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，，，，分成9组，制成了如图的频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）估计居民月均用水量的中位数； （3）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由． 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求解； （2）利用中位数的定义求解； （3）利用样本估计总体． 【解答】解：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在，中的频率为， 同理，在，，，，，，，，，，，，，，，中的频率分别为0.08，，0.20，0.26，，0.06，0.04，0.02， 由， 解得； （2）由频率分布直方图得： ，， 所以中位数应落在，， 设中位数为，则， 解得， 估计居民月均用水量的中位数约为2.06； （3）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于2.5吨的频率为， 由以上样本的频率分布，可以估计全市60万居民中月均用水量不低于2.5吨的人数为： ． 【点评】本题考查频率分布直方图的有关性质，属于基础题． 8．（2023春•雨花台区校级月考）某校有高中生3600人，其中男女生比例约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案： 方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图． 方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20． 身高（单位： ， ， ， ， ， 频数 4 20 6 4 （1）根据图表信息，求，的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表） （2）计算方案二总样本的均值及方差； （3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由） 【分析】（1）由频数分布表及频率分布直方图先求，再求即可； 根据频数分布表求区间，、，的频率，从而补充完整频率分布直方图即可； 结合频率分布直方图求样本的身高均值，从而估计该校高中生的身高均值； （2）男生样本记为，，，，其均值记为，方差记为；女生样本记为，，，，其均值记为，方差记为，从而求总样本均值及方差； （3）由分层抽样的定义判断即可． 【解答】解：（1）因为身高在区间，的频率为，频数20， 所以，， 所以身高在区间，的频率为， 在区间，的频率为， 由此可补充完整频率分布直方图： 由频率分布直方图可知，样本的身高均值为： ； 估计该校高中生的身高均值为； （2）男生样本记为，，，，其均值记为，方差记为； 女生样本记为，，，，其均值记为，方差记为， 则总样本均值， 又因为， 所以， 同理可得， 所以总样本方差 ； （3）用方案一比较合适， 因为方案一是按比例抽取样本， 所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况． 【点评】本题考查了频率分布直方图及样本数字特征的应用，属于中档题． 9．（2023春•徐州期末）每年的3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，．甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响． （1）若，求甲恰好胜出一轮的概率； （2）若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为会． 求，，的值； 求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率． 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可． （2）利用对立事件和独立事件的概率公式表示出（D）和（E），即可求解；利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解． 【解答】解：（1）设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件， “甲在第二轮竞赛中胜出”为事件， “乙在第一轮竞赛中胜出”为事件， “乙在第二轮竞赛中胜出”为事件， 则，，，相互独立， 且，，，， 设“甲恰好胜出一轮”为事件， 则，，互斥， 当时，（C） ， 所以当，甲恰好胜出一轮的概率为； （2）由（1）知，记事件为“甲、乙各胜出一轮”， 事件为“甲、乙都获得优秀”， 所以，， 因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响， 所以（D） ， ， 则，解得 或（舍去）， 综上，，； 设事件为“甲获得优秀”，事件为“乙获得优秀”， 于是 “两人中至少有一人获得优秀”， ，， 所以，， 所以， 故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为． 【点评】本题考查概率的应用，属于中档题． 10．（2023春•靖江市校级期末）一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和，2个白球（标号为3和，甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球．设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件． （1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性．小明的判断是否正确，请说明理由； （2）判断事件与是否相互独立，并证明． 【分析】（1）先求出摸球的所有情况，利用古典概率求解，，比较即可判断； （2）利用独立事件的判定方法进行判断． 【解答】解：（1）两人摸出球的所有情况：，，，，，，，，，，，，，共12种； 事件包含的情况有：，，，，，，共6种； 事件包含的情况有：，，，，，，，共6种； 所以，故小明的判断不正确． （2）事件包含的情况有：，，故； 因为，； 所以事件与不相互独立． 【点评】本题考查古典概型以及独立事件的概念，属于中档题． 11．（2023春•宿迁期末）一只不透明的口袋内装有大小、质地相同，编号分别为1、2的两个球，从口袋内随机取1个球，记下号码后放回，这样重复取3次球，用有序实数组来表示样本点，如“，2，”表示第一次取到的是1号球，第二、第三次取到的都是2号球． （1）请你写出该随机试验的样本空间； （2）记“前两次取到的号码相同”为事件，“后两次取到的号码相同”为事件． ①试判断事件与事件是否为相互独立事件； ②求事件的概率． 【分析】（1）列举即可；（2）根据定义进行判断和计算． 【解答】解：（1）由题意，，1，，，1，，，2，，，2，，，1，，，1，，，2，，，2，； （2）①结合（1），，（A），（B），（A）（B）， 所以事件与事件是否为相互独立事件； ②（A）（B）． 【点评】本题主要考查概率与统计相关性质，属基础题． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•上海）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则　　 A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可． 【解答】解：选项，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，错误； 选项，（A），（B），，（A）（B），正确； 选项，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，错误； 选项，（A），，，（A），与不独立，故错误． 故选：． 【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，考查互斥事件的定义，属于基础题． 2．（2024•新高考Ⅱ）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：并部分整理下表： 亩产量 ， ， ， ， ， 生产数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是　　 A．100块稻田亩产量中位数小于 B．100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过 C．100块稻田亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于至之间 【分析】根据频率分布表，判断选项中的命题是否正确即可． 【解答】解：对于，根据频率分布表知，，所以100块稻田亩产量中位数不小于，选项错误； 对于，亩产量不低于的稻田频数为，所以亩产量低于的稻田所占比例为，选项错误； 对于，亩产量的极差最大值为，最小值为，所以极差介于至之间，选项正确； 对于，由频率分布表知，亩产量在，的频数为， 所以估计平均数为，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查频率分布直方图、百分位数、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二．多选题（共1小题） 3．（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则　　 A．，，，的平均数等于，，，的平均数 B．，，，的中位数等于，，，的中位数 C．，，，的标准差不小于，，，的标准差 D．，，，的极差不大于，，，的极差 【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可． 【解答】解：选项，，，，的平均数不一定等于，，，的平均数，错误； 选项，，，，的中位数等于，，，，的中位数等于，正确； 选项，设样本数据，，，为0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均数是5，，，，的平均数是5， ，，，的方差， ，，，的方差， ，，错误． 选项，，，，正确． 故选：． 【点评】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题． 三．填空题（共2小题） 4．（2024•上海）某校举办科学竞技比赛，有、、种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 　　． 【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解． 【解答】解：由题可知，题库占比为，题库占比为，题库占比为， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查全概率公式的应用，属于基础题． 5．（2024•甲卷）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记表示前两个球号码的平均数，记表示前三个球号码的平均数，则与差的绝对值不超过的概率是 　　． 【分析】先求出从6个小球中取出3个所有可能的结果数，然后求出与差的绝对值不超过0.5的结果数，结合古典概率公式即可求解． 【解答】解：记前三个球的号码分别为、、，则共有 种可能， 令 可得：， 根据对称性：或6时，均有2种可能； 或5时，均有10种可能； 或4时，均有16种可能； 故满足条件的共有56种可能， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一组数据的平均数，还考查了古典概率公式的应用，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$