专题10 反比例函数的图象与性质（讲义）-2023-2024学年浙教版数学八年级下册期末专题突破

专题10 反比例函数的图象与性质 知识网络 知识点一 反比例函数的相关概念精讲精练破 函数叫做反比例函数，这里的x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数。 【典例1】（2023秋•安阳期末）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B．y＝x2 C．y＝ D．y＝ 【变式训练】 1．（2023秋•桑植县期末）下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝﹣ C．xy＝5 D．y＝ 2．（2023秋•阜平县期末）建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方104m3，则土石方日运送量V（m3/天）与完成运送任务所需时间t（天）满足（　　） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 3．（2023秋•永年区期末）如果函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，那么m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．0 4．（2023秋•民权县期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3是反比例函数，则m＝　　． 5．（2023秋•榆阳区校级期末）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点（﹣6，﹣3）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当y＝9时，求x的值． 知识点二 反比例函数的图象 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线。当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限。 【典例2】（2023秋•龙泉驿区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【变式训练】 1．（2023秋•杭锦后旗期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D． 2．（2023秋•岳阳楼区期末）如图所示，该函数表达式可能是（　　） A．y＝3x2 B． C． D．y＝3x 3．（2023秋•中阳县期末）反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•井研县期末）函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 5．（2023秋•虹口区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的大致图象可以是（　　） A．B． C． D． 知识点三 反比例函数的性质 反比例函数的性质 ①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小． ②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称． 【典例3】（2023秋•邯郸期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【变式训练】 1．（2023秋•峨山县期末）已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是（　　） A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点（4，） C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 2．（2023秋•利辛县期末）反比例函数y＝图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＞0 C．k＜1 D．k＜0 3．（2023秋•门头沟区期末）若点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2 4．（2023秋•甘州区校级期末）正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 5．（2023秋•怀宁县期末）已知点M（﹣2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＜0，则点M一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2023秋•肥西县期末）已知反比例函数，当y≥﹣2时，x的取值范围是 　　． 7．（2023秋•南平期末）反比例函数图象经过点A（1，6），B（a，3）． （1）求a的值； （2）若点C（m，n）在反比例函数图象上，其中n＜3，求m的取值范围． 8．（2023秋•龙岩期末）如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）该函数图象的另一支在第 　　象限，k的取值范围是 　　； （2）点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点的对称点为点C，若△ABC的面积为4，求k的值． 知识点四 k的几何意义 反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 【典例4】（2023秋•铜仁市期末）已知如图，反比例函数，的图象分别经过正方形DEOF、正方形ACOB的顶点D、A，连接EF、AE、AF，则△AEF的面积等于（　　） A．2 B．3 C．1 D．5 【变式训练】 1．（2023秋•阿瓦提县期末）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于（　　） A．2.5 B．10 C．﹣10 D．﹣5 2．（2023秋•贵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形ABOD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形ABOD的面积是5，则k的值是（　　） A．3 B．4 C．2 D．1 3．（2023秋•双辽市期末）如图，点A在反比例函数y＝第一象限内的图象上，点B在x轴的正半轴上，OA＝AB，△AOB的面积为2，则a的值为（　　） A． B． C．2 D．1 4．（2023秋•定州市期末）如图，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，点C在点A下方，且点C坐标为（3，4），连接OA，OC，过点A作AB∥y轴交OC于点B，点B的纵坐标为． （1）求k的值以及点A和点B的坐标； （2）连接AC，求△AOC的面积． 5．（2023秋•本溪期末）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象交于点P、点Q，连接OP、OQ （1）求点P的坐标； （2）若△POQ的面积为8，求k的值． 10 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 反比例函数的图象与性质 知识网络 知识点一 反比例函数的相关概念精讲精练破 函数叫做反比例函数，这里的x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数。 【典例1】（2023秋•安阳期末）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B．y＝x2 C．y＝ D．y＝ 【思路点拨】根据反比例函数的定义判断即可． 【解析】解：A．y＝，是正比例函数，故A不符合题意； B．y＝x2是二次函数，故B不符合题意； C．y＝﹣，y是x的反比例函数，故C符合题意； D．y＝，y不是x的反比例函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋•桑植县期末）下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝﹣ C．xy＝5 D．y＝ 【思路点拨】根据反比例函数与一次函数的定义进行解答即可． 【解析】解：A、y＝3x﹣1＝是反比例函数，故本选项错误； B、y＝﹣是正比例函数，故本选项正确； C、xy＝5是反比例函数，故本选项错误； D、y＝是反比例函数，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，熟知判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断是解答此题的关键． 2．（2023秋•阜平县期末）建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方104m3，则土石方日运送量V（m3/天）与完成运送任务所需时间t（天）满足（　　） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【思路点拨】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案． 【解析】解：根据题意得：Vt＝104， ∴V＝， ∴V与t满足反比例函数关系； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义． 3．（2023秋•永年区期末）如果函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，那么m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．0 【思路点拨】根据反比例函数的定义，让x的指数为﹣1，系数不为0列式求值即可． 【解析】解：根据题意得： |m|﹣2＝﹣1且m﹣1≠0， 解得：m＝±1且m≠1， ∴m＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的定义；反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式；注意不要忽略k≠0． 4．（2023秋•民权县期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3是反比例函数，则m＝　﹣2　． 【思路点拨】由反比例函数的定义得到|m|﹣3＝﹣1且m﹣2≠0，由此求得m的值． 【解析】解：依题意得：|m|﹣3＝﹣1且m﹣2≠0， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是（k≠0）或y＝kx﹣1． 5．（2023秋•榆阳区校级期末）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点（﹣6，﹣3）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当y＝9时，求x的值． 【思路点拨】（1）设y与x的函数关系式为，将（﹣6，﹣3）代入即可； （2）将y＝9代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【解析】解：（1）设y与x的函数关系式为， 将（﹣6，﹣3）代入，得：， 解得k＝（﹣3）×（﹣6）＝18， ∴y与x的函数关系式为； （2）由（1）得， 将y＝9代入，得：， 解得x＝2． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质： 知识点二 反比例函数的图象 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线。当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限。 【典例2】（2023秋•龙泉驿区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【思路点拨】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案． 【解析】解：当k＞0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限； 当k＜0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握k＞0，图象经过第一、三象限，k＜0，图象经过第二、四象限是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋•杭锦后旗期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D． 【思路点拨】根据图象在二，四象限，得到k＜0，即可得出结论． 【解析】解：由图象可知，反比例函数在二，四象限， ∴k＜0， ∴k的值可能是﹣1； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 2．（2023秋•岳阳楼区期末）如图所示，该函数表达式可能是（　　） A．y＝3x2 B． C． D．y＝3x 【思路点拨】根据函数图象和反比例函数的性质，可以判断哪个选项符合题意． 【解析】解：由图象可得， 该函数图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且是双曲线， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2023秋•中阳县期末）反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由反比例函数的图象可知：kb＞0，然后分情况讨论k、b与0的大小关系即可． 【解析】解：由反比例函数的图象可知：kb＞0， 当k＞0，b＞0时， ∴直线经过一、三、四象限， 当k＜0，b＜0时， ∴直线经过一、二、四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是通过反比例函数得出kb＜0，本题属于基础题型． 4．（2023春•井研县期末）函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【思路点拨】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【解析】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项符合题意； B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 5．（2023秋•虹口区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的大致图象可以是（　　） A．B． C． D． 【思路点拨】先根据一次函数y＝kx+b经过的象限判断﹣kb的符号，再根据反比例函数的图象经过的象限，判断出﹣kb的符号，看是否一致． 【解析】解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过一、三、四象限，则k＞0，b＜0，﹣kb＞0， ∵反比例函数y＝图象经过二、四象限，则﹣kb＜0，矛盾； B、一次函数y＝kx+b的图象经过二、三、四象限，则k＜0，b＜0，﹣kb＜0， ∵反比例函数y＝图象经过二、四象限，则﹣kb＞0，矛盾； C、一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、三象限，则k＞0，b＞0，﹣kb＜0， ∵反比例函数y＝图象经过二、四象限，则﹣kb＜0，一致； D、一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则k＜0，b＞0，﹣kb＞0， ∵反比例函数y＝图象经过二、四象限，则﹣kb＜0，矛盾； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 知识点三 反比例函数的性质 反比例函数的性质 ①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小． ②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称． 【典例3】（2023秋•邯郸期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【思路点拨】（1）根据反比例函数的图象即可得出k﹣2＜0，即可求出答案； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【解析】解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2； （2）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵﹣4＜﹣1＜0， ∴y1＜y2． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋•峨山县期末）已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是（　　） A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点（4，） C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 【思路点拨】直接利用反比例函数的性质，y＝，当k＞0时，每个象限内，y随x增大而减小，结合图象分布以及反比例函数图象上点的坐标特点，分别分析求出答案． 【解析】解：反比例函数y＝，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意； 当x＝4时，y＝，即图象必经过点（4，），故此选项B正确，不合题意； 图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意； 每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的相关性质是解题关键． 2．（2023秋•利辛县期末）反比例函数y＝图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＞0 C．k＜1 D．k＜0 【思路点拨】对于函数y＝来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小． 【解析】解：∵反比例函数y＝的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴1﹣k＜0， ∴k＞1． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式y＝中k的意义不理解，直接认为k＜0，造成错误． 3．（2023秋•门头沟区期末）若点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2 【思路点拨】根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决． 【解析】解：∵k＝﹣6＜0， ∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数的图象上， ∴点A（x1，﹣1）在第四象限，B（x2，2），C（x3，3）在第二象限， ∴x1＞0，x2＜x3＜0， ∴x2＜x3＜x1， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 4．（2023秋•甘州区校级期末）正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 【思路点拨】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y＝2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称． 【解析】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2）， ∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称， ∴另一个交点是（﹣1，﹣2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 5．（2023秋•怀宁县期末）已知点M（﹣2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＜0，则点M一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】先用代入法，把a和k的运算关系用式子表示出来；再根据有理数乘法的运算法则，确定a的大小，最后根据点的坐标来求出答案． 【解析】解：将点M（﹣2，a）代入反比例函数中， 则：a＝， ∴k＝﹣2a， ∵k＜0， ∴a＞0， ∴点M的纵坐标大于0， 又∵点M的横坐标是﹣2， ∴点M一定在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是确定a的大小来判断点的坐标位于第几象限． 6．（2023秋•肥西县期末）已知反比例函数，当y≥﹣2时，x的取值范围是 　x≤﹣或x＞0　． 【思路点拨】先根据函数解析式判断出函数的增减性，再求出y＝﹣2时y的值，进而可得出结论． 【解析】解：∵反比例函数中，k＝5＞0， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∵当y＝﹣2时，＝﹣2， ∴x＝﹣， ∴当0＞y≥﹣2时，x≤﹣； 当y＞0时，x＞0． 故答案为：x≤﹣或x＞0． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 7．（2023秋•南平期末）反比例函数图象经过点A（1，6），B（a，3）． （1）求a的值； （2）若点C（m，n）在反比例函数图象上，其中n＜3，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）根据反比例函数图象上点的特征得出k＝1×6＝3a，解得k＝6，a＝2； （2）求得y＝3时x的值，然后根据反比例函数图象和性质判断即可． 【解析】解：（1）∵反比例函数图象经过点A（1，6），B（a，3）， ∴k＝1×6＝3a， ∴k＝6，a＝2； （2）由反比例函数解析式为可知，在每一个象限内y随x的增大而减小， 当y＝3时，x＝2， ∵点C（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＜3， ∴当n＜3时，m＞2或m＜0． 【点睛】本题考查了 反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 8．（2023秋•龙岩期末）如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）该函数图象的另一支在第 　三　象限，k的取值范围是 　k＞3　； （2）点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点的对称点为点C，若△ABC的面积为4，求k的值． 【思路点拨】（1）依据题意，根据反比例函数的图象和性质即可得解； （2）依据题意，设点A的坐标为（a，b），求出B、C的坐标，求出AB和BC的长，根据三角形的面积求出ab＝2，进而可以得解． 【解析】解：（1）由题意，∵反比例函数的图象的一支位于第一象限． ∴该函数图象的另一支所在的象限是第三象限，k﹣3＞0． ∴k＞3． 故答案为：三；k＞3． （2）由题意，设点A的坐标为（a，b）， ∵点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称， ∴a＞0，b＞0，点B的坐标是（a，﹣b），点C的坐标是（﹣a，﹣b）， ∴BC＝a﹣（﹣a）＝2a，AB＝b+b＝2b， ∵△ABC的面积为4， ∴×AB×BC＝4． ∴×2a×2b＝4． ∴ab＝2． ∵A点在反比例函数的位于第一象限的图象上， ∴k﹣3＝ab＝2． 解得：k＝5． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 知识点四 k的几何意义 反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 【典例4】（2023秋•铜仁市期末）已知如图，反比例函数，的图象分别经过正方形DEOF、正方形ACOB的顶点D、A，连接EF、AE、AF，则△AEF的面积等于（　　） A．2 B．3 C．1 D．5 【思路点拨】连接AO，DEOF和ACOB都是正方形，∠FEO＝∠AOB＝45°，EF∥AO，S△AEF＝S△OEF＝＝2． 【解析】解：连接AO， ∵DEOF和ACOB都是正方形， ∴∠FEO＝∠AOB＝45°， ∴EF∥AO， ∴S△AEF＝S△OEF＝＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图象上的点与坐标轴围成的矩形面积等于k的绝对值是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋•阿瓦提县期末）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于（　　） A．2.5 B．10 C．﹣10 D．﹣5 【思路点拨】利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝5，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值． 【解析】解：∵PM⊥x轴，△POM的面积等于5， ∴|k|＝5， 而图象在第二象限，k＜0， ∴k＝﹣10， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质． 2．（2023秋•贵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形ABOD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形ABOD的面积是5，则k的值是（　　） A．3 B．4 C．2 D．1 【思路点拨】设A（a，﹣），根据四边形OBAD是平行四边形，推出AB∥DO，表示出B点的坐标，求出AB＝a+，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可． 【解析】解：设A（a，﹣）， ∵四边形OBAD是平行四边形， ∴AB∥DO， ∴A（﹣，﹣）， ∴AB＝a+， ∵平行四边形OBAD的面积是5， ∴﹣（a+）＝5， 解得k＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，掌握反比例函数比例系数k的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标、根据平行四边形面积公式列方程是解题的关键． 3．（2023秋•双辽市期末）如图，点A在反比例函数y＝第一象限内的图象上，点B在x轴的正半轴上，OA＝AB，△AOB的面积为2，则a的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【思路点拨】过A作AC⊥OB，由OA＝OB可得出，OC＝OB，进而S△AOC＝S△AOB＝1，再由反比例函数k的几何意义，即可得出a的值． 【解析】解：如图，过A作AC⊥OB与C，设点A的坐标为（m，n）， ∵AC⊥OB、OA＝OB， ∴OB＝2OC， ∵△AOB的面积为2， ∴OB•AC＝2， ∴OB•AC＝4， ∴2OC•AC＝4， ∴OC•AC＝2， ∴S△AOC＝mn＝OC•AC＝1， ∴mn＝2， ∵点A在反比例函数y＝第一象限内的图象上， ∴n＝， ∴mn＝a＝2． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，及反比例函数k的几何意义，由OA＝OB可得出，OC＝OB，进而S△AOC＝S△AOB＝1，是解答本题的关键． 4．（2023秋•定州市期末）如图，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，点C在点A下方，且点C坐标为（3，4），连接OA，OC，过点A作AB∥y轴交OC于点B，点B的纵坐标为． （1）求k的值以及点A和点B的坐标； （2）连接AC，求△AOC的面积． 【思路点拨】（1）把C（3，4）代入 中，得 k＝3×4＝12，求出直线OC解析式把 代入 ．解得 x＝2，可得，把 x＝2代入 ，得 y＝6，可得A（2，6）． （2）利用点AB的坐标求出线段AB长，根据S△AOC＝S△AOB+S△ABC求出三角形AOC的面积即可． 【解析】解：（1）把C（3，4）代入 中，得 k＝3×4＝12， 设直线OC的解析式为：y＝mx（m≠0），则 4＝3m， 解得 ， ∴直线OC的解析式为：， 把 代入 ， 解得 x＝2， ∴， ∵AB∥y轴． ∴A点的横坐标为2， ∵k＝12， ∴反比例函数的解析式为：． 把 x＝2代入 ，得 y＝6， ∴A（2，6）； （2）， ∴S△AOC＝S△AOB+S△ABC＝＝5． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用点的坐标求出面积是关键． 5．（2023秋•本溪期末）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象交于点P、点Q，连接OP、OQ （1）求点P的坐标； （2）若△POQ的面积为8，求k的值． 【思路点拨】（1）求出P点的纵坐标，再代入函数解析式，即可求出答案； （2）根据三角形的面积公式求出PQ，求出MQ，求出点Q的坐标，即可求出答案． 【解析】解：（1）∵M（0，2），PQ∥x轴， ∴P点的纵坐标是2， 把y＝2代入y＝得：x＝3， ∴点P的坐标是（3，2）， （2）∵M（0，2）， ∴OM＝2， ∵△POQ的面积为8， ∴×2＝8， 解得：PQ＝8， ∵点P的坐标是（3，2）， ∴PM＝3， ∴QM＝8﹣3＝5， ∴Q点的坐标是（﹣5，2）， 把Q点的坐标代入y＝得：k＝﹣10． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． 10 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$