专题09 分式方程及应用（专题测试）-2023-2024学年浙教版数学七年级下期末专题突破

专题09 分式方程及应用 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•襄都区月考）下列方程中，是分式方程的是（　　） A． B．x﹣4y＝7 C．2x＝3（x﹣5） D． 2．（2023秋•甘井子区期末）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　） A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3） 3．（2023秋•赣县区期末）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x 4．（2023秋•金平区期末）分式方程的解是（　　） A．x＝﹣9 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣2 5．（2023秋•西山区期末）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 6．（2023秋•德宏州期末）绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程正确的是（　　） A．＝25 B．＝25 C．＝25 D．＝25 7．（2023秋•唐山期末）嘉淇准备完成题目：解方程+＝0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（　　） 8．（2023秋•保定期末）a取下列何值时，方程的解是正数（　　） A．3 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣2或﹣4 9．（2023秋•罗山县期末）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为（　　） A． B． C．10 D．或10 10．（2023秋•关岭县期末）若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3 B．0或﹣1 C．0或1 D．﹣3或1 二．填空题 11．（2023秋•环江县期末）步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现：小琼步行11500步与小刚步行9000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步，设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步，则根据题意可列方程为 　　． 12．（2023秋•陵城区期末）小明同学在解分式方程+＝1去分母时，方程右边的1没有乘以任何整式，若此时求得方程的解为x＝3，则m的值为　　． 13．（2023秋•华容县期末）若关于x的方程＝有增根，则m＝　　． 14．（2023春•宁德期末）定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若（x+1）⊗x＝2，则x的值为 　　． 15．（2023秋•河东区期末）如果关于x的分式方程无解，那么a的值是 　　． 三．解答题 16．（2023秋•沧州期末）下面是小清与小北两位同学解分式方程的过程： 小清： 去分母，得：3x﹣2＝﹣6， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 小北： 去分母，得：3x﹣2（x﹣2）＝6， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴分式方程无解． 请判断小清与小北的解法是否正确？如果不正确，写出你的解答过程． 17．（2024春•高邮市校级月考）解方程： （1）＝； （2）＝+2． 18．（2023秋•海淀区期末）列方程解应用题： 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 19．（2023秋•滨海新区校级期末）小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有25分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． （1）小刚步行的速度是每分钟多少米？ （2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 20．（2024春•镇平县月考）已知关于x的分式方程． （1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解； （2）小明认为当m＝3时，原分式方程无解，你认为小明的说法正确吗？请判断并说明理由． 21．（2023秋•宜春期末）万载花炮制作技艺流传于中国江西省宜春市万载县的传统技艺，是国家级非物质文化遗产之一．为了给万载古城的烟花秀做准备，某烟花公司将再生产354个烟花，起初利用手工制作生产了18个，后改用机器生产，共生产了11小时．已知每小时机器生产的是每小时手工制作的个数的7倍，求每小时机器生产的个数和每小时手工制作的个数． 下面是小易、小王两名同学列出的方程： 小易：； 小王：． （1）根据以上信息，解答下列问题． 小易同学所列方程中的x表示 　 　； 小王同学所列方程中的y表示 　 　． （2）请你从两个方程中任选一个，解决以上实际问题． 22．（2023秋•高阳县期末）【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少10%． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． （1）【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． （2）【解后反思】 以上解题的过程，很好地诠释了方程在解决实际问题中的作用，这充分体现了什么数学思想？ 23．（2024春•方城县月考）综合与探究 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝1，x2＝3． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则x1＝　　，x2＝　　； （2）若十字分式方程，的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2（k＞0，且x1＞x2），求的值． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 分式方程及应用 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•襄都区月考）下列方程中，是分式方程的是（　　） A． B．x﹣4y＝7 C．2x＝3（x﹣5） D． 【思路点拨】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，分别判断即可． 【解析】解：是整式方程， 故A不符合题意； x﹣4y＝7是整式方程， 故B不符合题意； 2x＝3（x﹣5）是整式方程， 故C不符合题意， 是分式方程， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 2．（2023秋•甘井子区期末）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　） A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3） 【思路点拨】方程两边都乘x（x﹣3），可得一个一元一次方程． 【解析】解：方程两边都乘x（x﹣3），可得2x＝3（x﹣3），为一个一元一次方程， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，关键是使分式方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程． 3．（2023秋•赣县区期末）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x 【思路点拨】根据分式方程的解法，两侧同乘（x﹣1）化简分式方程即可． 【解析】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x， 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键． 4．（2023秋•金平区期末）分式方程的解是（　　） A．x＝﹣9 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣2 【思路点拨】利用解分式方程的步骤解方程即可． 【解析】解：原方程去分母得：7（x+3）＝2（2x﹣3）， 去括号得：7x+21＝4x﹣6， 移项，合并同类项得：3x＝﹣27， 系数化为1得：x＝﹣9， 经检验，x＝﹣9是分式方程的解， 故选：A． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 5．（2023秋•西山区期末）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【思路点拨】将x＝1代入方程，即可求a的值． 【解析】解：∵关于x的方程的解是x＝1， ∴＝， 解得a＝﹣1， 经检验a＝﹣1是方程的解． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键． 6．（2023秋•德宏州期末）绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程正确的是（　　） A．＝25 B．＝25 C．＝25 D．＝25 【思路点拨】设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程． 【解析】解：设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米， 根据题意可得：， 故选：C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 7．（2023秋•唐山期末）嘉淇准备完成题目：解方程+＝0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（　　） A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1 【思路点拨】设印刷不清的位置的式子为a，把x＝﹣1代入分式方程计算确定出a即可． 【解析】解：设印刷不清的位置的式子为a，即+＝0， 把x＝﹣1代入得：+1＝0， 解得：a＝﹣2， 检验：把a＝﹣2代入得：a≠0， ∴分式方程的解为a＝﹣2，即x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2， 则推断印刷不清的位置可能是x﹣1． 故选：A． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 8．（2023秋•保定期末）a取下列何值时，方程的解是正数（　　） A．3 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣2或﹣4 【思路点拨】通过去分母将原方程化为整式方程，解方程后根据题意确定a的值即可． 【解析】解：原方程去分母得：2x+a﹣（2﹣x）＝0， 整理得：3x＝2﹣a， 解得：x＝， 当a＝3时，x＝﹣＜0； 当a＝﹣2时，x＝＞0； 当a＝﹣4时，x＝2，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 9．（2023秋•罗山县期末）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为（　　） A． B． C．10 D．或10 【思路点拨】根据定义运算的意义，当5＞x、5＜x时分别代入求出x． 【解析】解：当5＞x时， ∵5※x＝2， ∴＝2， 解得x＝． 经检验，x＝符合题意，是分式方程的解． 当5＜x时， ∵5※x＝2， ∴＝2． 解得x＝10． 经检验，x＝10符合题意，是分式方程的解． 故选：D． 【点睛】本题考查了解分式方程，理解定义运算的意义是解决本题的关键．本题易错，注意分类讨论． 10．（2023秋•关岭县期末）若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3 B．0或﹣1 C．0或1 D．﹣3或1 【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【解析】解：方程去分母得：mx＝﹣3， 解得：x＝， ∴当x＝﹣3时分母为0，方程无解， 即＝﹣3， ∴m＝1时方程无解， ∵， ∴当m＝0时，0≠﹣， ∴方程也无解． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，解题的关键是得出当m＝0时，方程无解． 二．填空题 11．（2023秋•环江县期末）步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现：小琼步行11500步与小刚步行9000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步，设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步，则根据题意可列方程为 　　． 【思路点拨】设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走（x+15）步，根据消耗能量千卡数＝行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数，结合小琼步行11500步与小刚步行9000步消耗的能量相同，即可得出关于x的分式方程． 【解析】解：设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走（x+15）步， ∵小琼步行11500步与小刚步行9000步消耗的能量相同， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键． 12．（2023秋•陵城区期末）小明同学在解分式方程+＝1去分母时，方程右边的1没有乘以任何整式，若此时求得方程的解为x＝3，则m的值为　﹣2或﹣4　． 【思路点拨】先按小明同学的方法去分母，再将x＝3代入方程，即可求得m的值．注意因为x﹣2＝﹣（2﹣x），所以本题要分两种情况进行讨论． 【解析】解：按小明同学的方法，分两种情况： ①方程两边同乘（x﹣2），得2x﹣3+m＝1， 把x＝3代入得6﹣3+m＝1，解得m＝﹣2； ②方程两边同乘（2﹣x），得﹣2x+3﹣m＝1， 把x＝3代入得﹣6+3﹣m＝1，解得m＝﹣4． 故答案为：﹣2或﹣4． 【点睛】本题考查了解分式方程的思想与解一元一次方程的能力，既是基础知识又是重点．由于方程中两个分母互为相反数，所以去分母时，需分情况讨论，这是本题的关键． 13．（2023秋•华容县期末）若关于x的方程＝有增根，则m＝　﹣1　． 【思路点拨】根据分式方程增根的定义进行计算即可． 【解析】解：两边都乘以x﹣5，得 x﹣4＝﹣m， 由于分式方程有增根x＝5， 当x＝5时，即5﹣4＝﹣m， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的意义是正确解答的关键． 14．（2023春•宁德期末）定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若（x+1）⊗x＝2，则x的值为 　　． 【思路点拨】根据新定义可得，由此建立方程，解方程即可得到x的值． 【解析】解：∵， ∴， ∵（x+1）⊗x＝2， ∴， ∴2x2﹣1＝0， 解得：， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题关键． 15．（2023秋•河东区期末）如果关于x的分式方程无解，那么a的值是 　﹣1或﹣2　． 【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得的整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原分式方程的分母为0，由此计算即可． 【解析】解：去分母得，ax+1＝2（1﹣x）， ax+1＝2﹣2x， ax+2x＝2﹣1， （a+2）x＝1， 当a+2＝0即a＝﹣2时方程无解， 当a+2≠0时，x＝， 当x＝1时分式方程无解， 所以， 解得a＝﹣1， 综上，a的值为﹣1或﹣2， 故答案为：﹣1或﹣2． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是理解分式方程无解的意义． 三．解答题 16．（2023秋•沧州期末）下面是小清与小北两位同学解分式方程的过程： 小清： 去分母，得：3x﹣2＝﹣6， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 小北： 去分母，得：3x﹣2（x﹣2）＝6， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴分式方程无解． 请判断小清与小北的解法是否正确？如果不正确，写出你的解答过程． 【思路点拨】去分母化为整式方程，解方程后检验即可得答案． 【解析】解：小清与小北的解法都不正确；正确的解法如下： ， 去分母，得：3x﹣2（x﹣2）＝﹣6， 解得：x＝﹣10， 检验：当x＝﹣10时，x﹣2＝﹣12≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣10． 【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 17．（2024春•高邮市校级月考）解方程： （1）＝； （2）＝+2． 【思路点拨】（1）根据解分式方程的步骤解方程即可； （2）根据解分式方程的步骤解方程即可． 【解析】解：（1）去分母得：2x＝3（x﹣2）， 去括号得：2x＝3x﹣6， 解得：x＝6， 经检验x＝6是分式方程的解； （2）去分母得：2x+9＝3（4x﹣7）+2（3x﹣9）， 去括号得：2x+9＝12x﹣21+6x﹣18， 移项合并得：16x＝48， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入得：3（x﹣3）＝0， ∴x＝3是增根，分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程去分母转化为整式方程是关键． 18．（2023秋•海淀区期末）列方程解应用题： 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 【思路点拨】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解析】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件， 根据题意得：﹣＝2， 解得：x＝150， 经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意． 答：1名快递员平均每天可配送包裹150件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 19．（2023秋•滨海新区校级期末）小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有25分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． （1）小刚步行的速度是每分钟多少米？ （2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 【思路点拨】（1）设小刚步行的速度是x米/分钟，由题意：小刚骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟．列出分式方程，解方程即可； （2）求出小刚步行回家和骑自行车到电影院所用的时间，即可得出结论． 【解析】解：（1）设小刚步行的速度是x米/分钟， 由题意得：， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意， 答：小刚步行的速度是每分钟80米． （2）∵， ∴小刚能在电影放映开始前赶到电影院． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 20．（2024春•镇平县月考）已知关于x的分式方程． （1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解； （2）小明认为当m＝3时，原分式方程无解，你认为小明的说法正确吗？请判断并说明理由． 【思路点拨】（1）将m＝﹣1代入分式方程，解方程即可； （2）将m＝3代入分式方程，进行验证即可． 【解析】解：（1）当m＝﹣1时，原方程可化为， 方程两边同乘以x﹣1，得﹣2＝2﹣2（x﹣1） 解这个整式方程，得x＝3． 检验：把x＝3代入最简公分母x﹣1得3﹣1≠0， ∴x＝3是原方程的解． （2）小明的说法正确．理由如下： 当m＝3时，原方程可化为， 方程两边同乘以x﹣1，得﹣2＝﹣2﹣2（x﹣1） 解这个整式方程，得x＝1． 检验：当x＝1时，1﹣1＝0， ∴x＝1是原方程的增根，原分式方程无解． ∴小明的说法正确． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 21．（2023秋•宜春期末）万载花炮制作技艺流传于中国江西省宜春市万载县的传统技艺，是国家级非物质文化遗产之一．为了给万载古城的烟花秀做准备，某烟花公司将再生产354个烟花，起初利用手工制作生产了18个，后改用机器生产，共生产了11小时．已知每小时机器生产的是每小时手工制作的个数的7倍，求每小时机器生产的个数和每小时手工制作的个数． 下面是小易、小王两名同学列出的方程： 小易：； 小王：． （1）根据以上信息，解答下列问题． 小易同学所列方程中的x表示 　每小时手工制作的个数　； 小王同学所列方程中的y表示 　手工制作18个的时间　． （2）请你从两个方程中任选一个，解决以上实际问题． 【思路点拨】（1）根据小易、小王两名同学列出的方程即可得出结论； （2）分别选择小易、小王两名同学列出的方程，解方程，即可解决问题． 【解析】解：（1）小易同学所列方程中的x表示每小时手工制作的个数； 小王同学所列方程中的y表示手工制作18个烟花的时间； 故答案为：每小时手工制作的个数；手工制作18个烟花的时间． （2）选择甲同学所列的方程：， 解得：x＝6， 经检验，x＝6 是原方程的解，且符合题意， ∴7x＝7×6＝42， 答：每小时机器生产42个，每小时手工制作6个； 选择乙同学所列的方程： 解得：y＝3， 经检验，y＝3 是原方程的解，且符合题意， ∴＝＝6，7×＝7×6＝42， 答：每小时机器生产42个，每小时手工制作6个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22．（2023秋•高阳县期末）【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少10%． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． （1）【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． （2）【解后反思】 以上解题的过程，很好地诠释了方程在解决实际问题中的作用，这充分体现了什么数学思想？ 【思路点拨】（1）问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可；问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x人．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少10%”可列方程，即可； （2）这充分体现了方程思想． 【解析】解：（1）问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为x人．根据题意可列方程： ， 解得：x＝1000， 经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意， （1﹣10%）x＝900人， 答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为x人．根据题意可列方程： ， 解得：x＝18， 经检验，x＝18是原方程得解，且符合题意， x+2＝20， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． （2）解后反思：方程思想． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 23．（2024春•方城县月考）综合与探究 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝1，x2＝3． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则x1＝　﹣3　，x2＝　﹣4　； （2）若十字分式方程，的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2（k＞0，且x1＞x2），求的值． 【思路点拨】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字方程”得到mn＝﹣6，m+n＝﹣3，将变形为，整体代入即可求解； （3）将原方程变形为，结合运用“十字方程”得到x1＝3k﹣3，x2＝﹣k﹣8，代入即可求解． 【解析】解：（1）（1）可化为， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣4． 故答案为：﹣3，﹣4； （2）由已知得mn＝﹣6，m+n＝﹣3， ∴＝＝＝＝； （3）解：原方程变为， ∴， ∵k＞0，且x1＞x2， ∴x1+3＝3k，x2+3＝﹣k﹣5， ∴x1＝3k﹣3，x2＝﹣k﹣8， ∴． 【点睛】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$