八年级开学摸底测试卷（二）-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（苏科版）

八年级开学摸底测试卷（二） 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列图案可以看作由“基本图形”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏泰州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·二模）某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（　　） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2024七年级下·江苏·专题练习）下列命题中，假命题的个数是（　　） （1）平行于同一条直线的两条直线平行； （2）三角形的一个外角大于任何一个内角； （3）不相交的两条线段必平行； （4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （5）若，则． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”，如：因为，所以称40为“和谐数”，下面4个数中为“和谐数”的是（    ）． A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 7．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．若，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 10．（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏南京·二模）我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造0.00068毫米的加工公差，引领我国国产航空器零部件加工的极限精度．用科学记数法表示0.00068是 ． 12．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）分解因式： ． 13．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若是完全平方式，则 ． 14．（2024·江苏宿迁·三模）已知不等式组的解集是，则的值为 ． 15．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 16．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前n个格子中所填整数之和是2021，则 ． 1 a b c 8 … 17．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 18．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24七年级下·江苏南京·期中）计算： (1) (2) 20．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解： (1) (2) (3) 21．（2023·江苏无锡·模拟预测）（1）解方程：；     （2）解不等式组： 22．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在每个小正方形边长均为1的方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点． (1)画出中边上的中线； (2)画出向右平移3个单位长度后得到的； (3)图中与的关系是__________； (4)试在图中找出一个格点，使得．（画出一种即可） 23．（20-21七年级下·江苏无锡·期末）如图，三角形中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且.    (1)求证：平分； (2)若，，求的度数. 24．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）七年级（4）班学习小组对关于的方程组进行讨论，下列是小组两个同学分别得出的结论： 小红：当时，方程组的解也是方程的解； 小兵：不论取什么实数，的值始终不变： 请问这两名同学谁的结论是正确的，谁的结论是错误的？并说明理由． 25．（2024·江苏无锡·一模）为迎接即将到来的“五一劳动节”，某日用品超市推出了两种优惠促销方式供顾客选择，并规定顾客只能选择其中一种促销方式进行结算付款. 促销方式一：按所购商品原价打85折； 促销方式二：按所购商品原价每满300减60.（如：所购商品原价为340元，则减60元，需付款280元；所购商品原价为630元，则减120元，需付款510元） (1)若某商品原价为500元，该选择哪种促销方式更优惠？请说明理由； (2)当商品原价为多少时，两种促销方式一样优惠； (3)若某商品原价为元，请问当满足什么条件时，促销方式二比促销方式一更优惠，请说明理由. 26．（23-24七年级下·广西桂林·期中）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ． ∵，， ∴． 【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题． （1）已知，，求； （2）若，求； （3）若，求的值． 【拓展提升】 （4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，直接写出阴影部分的面积． 27．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 28．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级开学摸底测试卷（二） 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列图案可以看作由“基本图形”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A、可由圆环沿水平直线方向移动得到，故此选项符合题意； B、不能沿某一直线方向移动得到，故此选项不符合题意； C、不能沿某一直线方向移动得到，故此选项不符合题意； D、不能沿某一直线方向移动得到，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2024·江苏泰州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，正确，故符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法．熟练掌握合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法是解题的关键． 3．（2024·江苏南京·二模）某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键．小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据得分不低于70分，列出不等式即可． 【详解】解：小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据题意得： ， 故选：C． 4．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了利用二元一次方程组解的情况求参数，由①②得，从而得到，即可求解，观察所给方程的特征，考虑用整体代入法求解是解题的关键． 【详解】解：， ①②得，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024七年级下·江苏·专题练习）下列命题中，假命题的个数是（　　） （1）平行于同一条直线的两条直线平行； （2）三角形的一个外角大于任何一个内角； （3）不相交的两条线段必平行； （4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （5）若，则． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据平行公理、三角形的外角性质、平行线的性质、平方数判断即可． 【详解】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； （2）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本小题说法是假命题； （3）不相交的两条线段不一定平行，故本小题说法是假命题； （4）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题说法是假命题； （5）若，则，故本小题说法是假命题； 因此假命题的有（2）（3）（4）（5）， 故选：C． 6．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”，如：因为，所以称40为“和谐数”，下面4个数中为“和谐数”的是（    ）． A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式进行求解是解决本题的关键．设这两个连续奇数为n，，应用平方差公式进行计算可得，代入计算n的值，即可得出答案． 【详解】解：设这两个连续奇数为n，， 则， A．，解得，n不是奇数，故不符合题意； B．，解得，n不是奇数，故不符合题意； C．，解得，n不是奇数，故不符合题意； D．，解得，n是奇数，故符合题意． 故选：D． 7．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，将原方程化为，得到，，再根据a，b，c为正整数，求出a，c的值，进而求出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴，， ∵a，b，c为正整数， ∴当时，；则有：； 当时，；则有：； 当时，，则有：； ∴不可能为8． 故选：D． 8．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．若，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形，先利用完全平方公式的变形求出，再用含a，b的式子表示出，，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， 由图可得，， ， 故选：B． 9．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可判断①；利用角平分线的定义可得，，然后利用三角形内角和定理以及等量代换可得，从而可得，进而可得，即可判断④；再利用等量代换可得，从而可得，即可判断②；再利用平行线的性质可得，从而可得，即可判断③，即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ，， ， 故①正确； ，分别平分，， ，， ， ， ， 故④正确； ， ， ， 故②正确； ， ， ， 故③不正确； 所以，上列结论，其中所以正确结论的序号是①②④， 故选：C 10．（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线的定义可以得到，，设，假设，，通过角的等量代换可得到，代入的值即可． 【详解】∵平分，平分 ∴， 设 ∵ ∴可以假设， ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案选：C 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的等量代换，三角形的内角和定理，外角的性质，二元一次方程组的应用，灵活设立未知数代换角是解题的关键． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏南京·二模）我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造0.00068毫米的加工公差，引领我国国产航空器零部件加工的极限精度．用科学记数法表示0.00068是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．完全平方公式是指两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的两倍．即，． 原式提取，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若是完全平方式，则 ． 【答案】8或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 解得：或， 故答案为：8或． 14．（2024·江苏宿迁·三模）已知不等式组的解集是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得、的值，再代入计算即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 解集为， ，， 解得，， 则原式， 故答案为：1 15．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数． 【详解】，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前n个格子中所填整数之和是2021，则 ． 1 a b c 8 … 【答案】1516 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意推出，进而得出表格中数据按照1，8，的顺序循环，是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 由表可知，表格中数据有1，8，， ∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， ∴表格中数据按照1，8，的顺序循环， ∵，， ∴前n个格子一共有个数，则， 故答案为：1516． 17．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，可得：，结合，可得，从而可得答案． 【详解】解：， ①+②得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的应用，掌握整体求未知数的方法是解本题的关键． 18．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    【答案】7 【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解． 【详解】解：由， 可得：， 由图①得：， 由图②得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24七年级下·江苏南京·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握整式的相关运算法则； （1）先算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再加减即可； （2）先算积的乘方，同底数幂的乘法和除法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 20．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 21．（2023·江苏无锡·模拟预测）（1）解方程：；     （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组： （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）解不等式， ， ， 解得：， 解不等式， ， ， ， 解得：， 因此该不等式组的解集为． 22．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在每个小正方形边长均为1的方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点． (1)画出中边上的中线； (2)画出向右平移3个单位长度后得到的； (3)图中与的关系是__________； (4)试在图中找出一个格点，使得．（画出一种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 (4)见解析 【分析】（1）先确定的中点，再连接即可； （2）先把顶点A、B、C向左向右平移个单位，得到对应点的位置，再连接即可； （3）由平移的性质可得，对应线段平行且相等； （4）根据等底等高的三角形的面积相等，结合图形的特征求解即可． 【详解】（1）如图，就是所求作的线段； （2）如图，就是平移后得到的三角形； （3）图中与的关系是：，，即平行且相等； （4）点就是符合要求的点，如图所示， 【点睛】本题考查网格作图，平移作图，平移的性质，三角形的中线等知识，掌握网格的特征和平移的性质是解题的关键． 23．（20-21七年级下·江苏无锡·期末）如图，三角形中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且.    (1)求证：平分； (2)若，，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理；解题的关键是能融会贯通综合运用这些性质和定理． （1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）∵， ，， ， ， 平分． （2），， ， ， ， ， ． 24．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）七年级（4）班学习小组对关于的方程组进行讨论，下列是小组两个同学分别得出的结论： 小红：当时，方程组的解也是方程的解； 小兵：不论取什么实数，的值始终不变： 请问这两名同学谁的结论是正确的，谁的结论是错误的？并说明理由． 【答案】小红的结论是错误的；小兵的说法是正确的，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组两方程成立的未知数的值．当时求出，不满足方程；求出方程组的解，再相加即可求解． 【详解】解：当时，方程组变形为： 解得，， 当，时， 所以，当时，方程组的解不是方程的解， 故小红的结论是错误的； 解方程组得， 所以， 所以，不论取什么实数，的值始终不变： 故小兵的说法是正确的 25．（2024·江苏无锡·一模）为迎接即将到来的“五一劳动节”，某日用品超市推出了两种优惠促销方式供顾客选择，并规定顾客只能选择其中一种促销方式进行结算付款. 促销方式一：按所购商品原价打85折； 促销方式二：按所购商品原价每满300减60.（如：所购商品原价为340元，则减60元，需付款280元；所购商品原价为630元，则减120元，需付款510元） (1)若某商品原价为500元，该选择哪种促销方式更优惠？请说明理由； (2)当商品原价为多少时，两种促销方式一样优惠； (3)若某商品原价为元，请问当满足什么条件时，促销方式二比促销方式一更优惠，请说明理由. 【答案】(1)促销方式一更优惠，理由见解析 (2)当商品原价为400的整数倍时，两种促销方式一样优惠 (3)当或时，促销方式二更优惠 【分析】（1）分别求出当商品原价为500元时，选择两种促销方式需付款的金额，比较后即可得出结论； （2）设商品原价为元，依题意，列出关于的两种方式一样优惠的一元一次方程，解出即可得出结论； （3）分，及三种情况考虑，当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，显然此时促销方式一比促销方式二更优惠；当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，根据促销方式二比促销方式一更优惠，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，可得出的取值范围；当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，根据促销方式二比促销方式一更优惠，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，可得出的取值范围． 本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据两种促销方式，求出选择两种促销方式需付款的金额；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：选择促销方式一更优惠，理由如下： 选择促销方式一需付款（元； 选择促销方式二需付款（元． ， 选择促销方式一更优惠； （2）设商品原价为元，按促销方式二，可优惠元，且为正整数； ， 解得：； 答：当商品原价为400元的整数倍时，两种促销方式一样优惠； （3）当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元， 此时促销方式一比促销方式二更优惠； 当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元， 根据题意得：， 解得：， 当时，促销方式二比促销方式一更优惠； 当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元， 根据题意得：， 解得：， 当时，促销方式二比促销方式一更优惠． 答：当或时，促销方式二比促销方式一更优惠． 26．（23-24七年级下·广西桂林·期中）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ． ∵，， ∴． 【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题． （1）已知，，求； （2）若，求； （3）若，求的值． 【拓展提升】 （4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1）4；（2）2；（3）14；（4）36 【分析】本题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式得几何背景，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． （1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出； （2）把已知等式同时平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值； （3）把和各看做一个整体，利用完全平方公式化简，代入已知式子计算即可； （4）阴影部分面积相等，都为大小两个正方形边长乘积的一半，求出即可． 【详解】解：（1）把两边平方，得， 即， 将，代入得 解得． （2）把两边平方，得， 即， 即可得到． （3）， 又， 将代入，得， （4）四边形和四边形都是正方形，且两正方形面积和为，， 设，，则有，， 把两边平方，得， 即， 将代入得， 解得，则， 阴影部分的面积为36． 27．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． 28．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可； （2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解； （3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，与m为整数不符，不合题意； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 【点睛】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$