第四章 因式分解-单元复习 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第四章 因式分解 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.多项式的各项公因式是(    ) A. B. C. D. 2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 3.若，，则的值为  (    ) A. B. C. D. 4.如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为            (    ) A. B. C. D. 5.为了运用平方差公式计算，必须先适当变形，下列各变形正确的是．(    ) A. B. C. D. 6.已知，，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.多项式可以因式分解成，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 8.若实数满足，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.已知正方形的面积是，则正方形的周长是(    ) A. B. C. D. 10.已知，，，则的值(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.分解因式的结果是___________． 12.因式分解： ______． 13.已知，，则的值为          ． 14.已知，则____． 15.已知，，，则          ． 16.任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个因数的差的绝对值最小的一种分解可称为正整数的最佳分解，并记作如：，则则在以下结论：；；  若是一个完全平方数，则；若是一个完全立方数，即是正整数，则则正确的结论有______填序号 17.若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是        ；若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是，且十位数字与个位数的和能被整除则满足条件的“交替数”的最大值为        ． 18.化简：          ． 19.若一个四位自然数千位上的数字的倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称为“和数”，那么最小的“和数”为______，已知一个四位自然数其中，，，均为整数，，且，是“和数”，且能被整除，将的千位数字的倍与百位数字的倍的差记为，个位数字的倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最小值为______． 20.如图所示，长为、宽为均为定值，且的 小长方形纸片，现将张这样的小长方形纸片按如图所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分两个长方形用阴影表示．设左上角的阴影部分的面积为，右下角的阴影部分的面积为，记，当的长度变化时，按照同样的放置方式，此时的值始终保持不变，则，应满足的关系式是______用含的代数式表示 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 分解因式： ； ． 22.本小题分 已知，． 求的值； 求的值． 23.本小题分 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是和，如图． 如，第一次按键后，，两区分别显示： 从初始状态按次后，分别求，两区显示的结果； 从初始状态按次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 24.本小题分 先因式分解，再求值： ，其中，； ，其中，． 25.本小题分 先阅读下面的村料，再分解因式． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得 ． 这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有 ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： 请你完成分解因式下面的过程 ______ ； ． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查公因式的定义，找公因式的要点是： 公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 字母取各项都含有的相同字母； 相同字母的指数取次数最低的． 根据公因式定义，对多项式各项整理即可选出公因式． 【解答】 解：， 是公因式， 故选D． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】 解：、是整式的乘法，不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误； B、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误； C、是整式的乘法，不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误； D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确； 故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要运用提公因式法对所给代数式进行因式分解，然后利用所给条件代入即可求出结果．首先把代数式分解因式，然后尽可能变为和、相关的形式，然后代入已知数值即可求出结果． 【解答】 解：，， ． 故选C． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．先把所给式子提取公因式，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可． 【解答】 解：根据题意得：，， 则． 故选D． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了整式乘法的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单．由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项． 【解答】解：， 故选D． 6.【答案】  【解析】解： ， 将，代入得． 故的值为． 故选：． 先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解． 本题考查了代数式求值，用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 7.【答案】  【解析】【分析】 直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案． 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 【解答】 解：可以因式分解成， ， 故，或，， 则或． 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查求代数式的值，解题的关键是利用整体代入思想先把原式因式分解，代入的值求出值． 【解答】 解：， ， ． 故选A． 9.【答案】  【解析】解：，， 正方形的边长为， 正方形的周长为：， 故选：． 首先利用完全平方公式进行因式分解，即可得到正方形的边长，进而可计算出正方形的周长． 此题主要考查了因式分解法的应用，关键是利用完全平方公式进行因式分解，从而得到正方形的边长． 10.【答案】  【解析】解：，，， ，，， ， 故选：． 根据题目中的式子，可以求得、、的值，然后对所求式子变形，利用完全平方公式进行解答． 本题考查了因式分解的运用，关键是将多项式配成完全平方形式．． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了综合运用提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．先提取公因式，进而用平方差公式分解因式即可． 【解答】 解：． 故答案为． 12.【答案】  【解析】解： ． 故答案为：． 直接提取公因式，再利用公式法分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了因式分解的应用可整体代入求代数式的值，解答此题可将分解因式，然后整体代入计算即可． 【解答】 解：，， ． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 考查了求代数式的值，解题关键是将化成的形式，再将化成，取前两项公因式，再将代入计算即可。 【解答】 解： 故答案为。 15.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．已知等式整理变形后，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】 解：，，， ，，， 则原式． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：，， 正确； ，， 错误； ，， 正确； 当时，， ，， 错误． 故答案为：． 根据最佳分解的定义逐条分析四条结论，找出数的因数找出最佳分解，由此即可得出结论． 本题考查了因式分解的应用． 17.【答案】    【解析】解：取最小的正整数，取最小的整数， 则，，． 最小的“交替数”是； 根据题意知：，是正整数，． ，且，， 或， 解得或， ． ， 或， 是正整数， 或或， 或或或或或， 解得或或舍去或舍去或或， ，，，，即； 或，，，，即； 或，，，，即； 或，，，，即． 故所有的“交替数”是或或或， 最大的“交替数”为， 故答案为：，． 根据最小的正整数是，最大的一位数是解答；根据题意得到：，是正整数，，联立方程组，解答即可． 本题主要考查了因式分解的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． 18.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键解答此题将式子前的组合在一起，再用提取公因式法分解因式即可得到答案． 【解答】 解： 原式 故答案为 19.【答案】   【解析】解：根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为的正整数倍， 百位、十位、个位上的数字之和为， 该自然数千位上的数字为， 最小的“和数”为， 根据题意可得自然数的千位数字为，百位数字是，十位数字是，个位数字是， 为，为， ， 根据“利数”定义得， 该“利数”能被整除， 该“和数”为偶数且各位上的数字之和为的倍数， ，为偶数， 或， 当时，， ， 令，则，原式， 当时，原式取到最小值为， 当时，， ， 令，则，原式， 当时，原式取到最小值为， 综上所述，的最小值为， 故答案为：；． 根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为的正整数倍，故可得百位、十位、个位上的数字之和为，则该自然数千位上的数字为，即可解答； 根据题意可得自然数的千位数字为，百位数字是，十位数字是，个位数字是，则为，，再利用能被整除的数的特征，即可解答． 本题考查因式分解的应用以及数的整除性，关键是理解题意灵活应用所学知识． 20.【答案】  【解析】【分析】分别表示出左上角阴影部分的面积和右下角的阴影部分的面积，两者求差，根据当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，即可求得，的数量关系． 【详解】解：设左上角的阴影部分的面积为，右下角的阴影部分的面积为，记，， 当的长度变化时，的值始终保持不变， 即， 故答案为：． 本题考查了整式的乘法与图形面积，整式的乘法无关类型，数形结合是解题的关键． 21.【答案】解：原式； 原式．  【解析】直接利用平方差进行分解即可； 首先提公因式，再利用完全平方公式分解即可． 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 22.【答案】解， 解得 、，   【解析】本题考查了完全平方公式、分解因式，完全平方公式的运用是解题的难点，是关键点． 先化简：得到：，已知，可以的值； 根据求出的和的值，先化简：，然后代数求值； 23.【答案】解：区显示的结果为：，区显示的结果为：； 这个和不能为负数， 理由：根据题意得，； ， 这个和不能为负数．  【解析】本题考查了因式分解，非负数的性质，整式的加减，正确的理解题意是解题的关键． 根据题意列出代数式即可； 根据题意得到，根据整式加减的法则计算，然后进行因式分解，根据非负数的性质即可得到结论． 24.【答案】解：原式． 当，时， ． 原式 ． 当，时， ．  【解析】此题考查了整式的混合运算，化简求值，也考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 原式提取变形后，将与的值代入计算即可求出值； 原式利用平方差公式分解因式变形后，将与的值代入计算即可求出值． 25.【答案】解： ； ．  【解析】【分析】 本题考查了因式分解提公因式法，因式分解分组分解法，本题采用两两分组的方式．如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．依此即可求解． 提取公因式即可； 对多项式两两分组为，然后再利用提取公因式法因式分解即可； 对多项式两两分组为，然后再利用提取公因式法因式分解即可； 【解答】 解： ； 故答案为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$