第19章 矩形、菱形与正方形限时闯关-【步步为赢】2023-2024学年河南真题期末抓分卷八年级数学下册 （华东师大版）

真题期末抓分卷·八年级数学(HS) 第 19 章　 限时闯关 (时间:70 分钟　 满分:80 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是 (　 　 ) A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 2.下列说法中,正确的是 (　 　 ) A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.菱形的对角线互相垂直且平分 C.菱形的对角线相等且互相平分 D.对角线互相平分的四边形是矩形 3.已知平行四边形 ABCD 的两条对角线相交 于点 O,OA,OB,AB 的长分别为 3,4,5,则 AD 的长为 (　 　 ) A.5　 　 　 B. 34 　 　 　 C.4　 　 　 D. 41 4.如图,在一块长为 4,宽为 2 的长方形铁皮 中,剪去两个半圆,则剩下铁皮的面积(π 取 3)为 (　 　 ) A.5 B.7 C.8 D.12 第 4 题图 　 第 5 题图 5.如图,AC 与 BD 是矩形 ABCD 的对角线,延 长 BC 至点 E,使得 BE = AC,连接 DE,若 ∠E= 70°,则∠ADB 的度数为 (　 　 ) A.30° B.40° C.50° D.70° 6.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交 于点 O,添加下列条件,能使菱形 ABCD 成 为正方形的是 (　 　 ) A.AB=DB B.BD=OC C.AC=BD D.∠ADC= 120° 第 6 题图 　 第 7 题图 7.如图,直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B,点 A,C 到直线 l 的距离分别是 3 和 4,则正方 形的边长是 (　 　 ) A.5 B.3 C. 5 D. 3 8.如图,在正方形 ABCD 中,∠DAF = 20°,AF 交对角线 BD 于点 E,交 CD 于点 F,则 ∠BEC= (　 　 ) A.80° B.70° C.65° D.60° 第 8 题图 　 第 9 题图 9.如图,在边长为 6 的正方形 ABCD 内作 ∠EAF= 45°,AE 交 BC 于点 E,AF 交 CD 于 点 F,连接 EF,将△ADF 绕点 A 顺时针旋 转 90°得到△ABG.若 DF= 3,则 BE 的长为 (　 　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.(2023·商丘月考)如图,把一张矩形纸片 ABCD 按如图所示的方法进行两次折叠, 得到等腰直角三角形 BEF.若 BC = 1,则 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 真题期末抓分卷·八年级数学(HS) AB 的长度为 (　 　 ) A. 2 B. 2 +1 2 C. 5 +1 2 D. 4 3 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(2023·平顶山期中)若菱形的一条对角 线是另一条对角线的 2 倍,且菱形的面积 为 16 cm2,则菱形的周长为　 　 　 　 cm. 12.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,对角线 AC, BD 相交于点 O,AE 垂直平分 OB 于点 E, 则 AD 的长为　 　 　 　 . 第 12 题图 　 第 13 题图 13.(2023·郑州期中)如图,正方形 ABCD 的 对角线相交于点 O,以 O 为顶点的正方形 OEGF 的两边 OE,OF 分别交正方形的边 AB,BC 于点 M,N.记△AOM 的面积为 S1, △CON 的面积为 S2,若正方形的边长 AB = 10,S1 = 16 则 S2 的大小为　 　 　 　 . 14.如图,矩形 AOBC 的两边 OA,OB 分别在平 面直角坐标系的坐标轴上,点 C 的坐标为 (-6,4),D 为 AC 中点,反比例函数 y = k x (k≠0)的图象经过点 D,交 BC 于点 E,连 接 DE,OD,OE,则△ODE 的面积为　 　 　 　 . 15.在矩形 ABCD 中,AB = 3,BC = 5,将矩形 ABCD 沿着过点 C 的直线折叠,使点 B 落 到直线 AD 上的点 B′处.设折痕所在直线 与直线 AD 相交于点 E,则线段 DE 的长为 　 　 　 　 . 三、解答题(共 35 分) 16.(11 分)如图 1,正方形 ABCD 的边长为 5, E 为正方形 CD 边上一动点,过点 B 作 BP ⊥AE 于点 P,将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90°得 AP′,连接 P′D. 图 1 　 图 2 (1)证明:PB=P′D; (2)如图 2,延长 BP 交 P′D 于点 F.判断四 边形 AP′FP 的形状,并说明理由. 17.(12 分)已知,如图,在矩形 ABCD 中,AD = 6,DC = 7,菱形 EFGH 的三个顶点 E,G, H 分别在矩形 ABCD 的边 AB,CD,DA 上, AH= 2,连接 CF. (1)若 DG = 2,求证:四边形 EFGH 为正方 形; (2)当点 G 在边 CD 上运动时,点 F 到边 CD 的距离是否为定值? 若是,请求出这 个定值;若不是,请说明理由; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 真题期末抓分卷·八年级数学(HS) (3)在点 G 运动时,请直接写出△FCG 面 积的最小值. 18.(12 分)阅读材料:“三等分角”是数学史 上一个著名问题.今天人们已经知道,仅用 圆规和直尺是不可能作出的.在研究这个 问题的过程中,数学家帕普斯借助函数给 出了一种“三等分锐角”的方法,如图 1, 步骤如下: ①建立平面直角坐标系,将已知锐角 ∠AOB 的顶点与原点 O 重合,角的一边 OB 与 x 轴正方向重合; ②在平面直角坐标系中,绘制函数 y = 1 x 的图象,图象与已知角的另一边 OA 交于 点 P; ③以点 P 为圆心,以 2OP 为半径作弧,交 函数 y= 1 x 的图象于点 R; ④分别过点 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行 线,分别交于点 M 和点 Q; ⑤ 连 接 OM, 得 到 ∠MOB. 则 ∠MOB = 1 3 ∠AOB. 图 1 图 2 备用图 思考问题: (1)设 P(a, 1 a ),R( b, 1 b ),求直线 OM 的 函数解析式(用含 a,b 的代数式表示),并 说明点 Q 在直线 OM 上; (2)证明:∠MOB= 1 3 ∠AOB. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 2.25 8 　 3.60° 4.证明:在矩形 ABCD 中,AB=DC,AB∥DC,OA=OB, ∴ ∠ABO=∠CDO,∠ABO=∠BAO. ∴ ∠CDO=∠BAO. ∵ AB=DC,∠BAO=∠CDO,AE=DF, ∴ △BAE≌△CDF. ∴ BE=CF. 5.B　 6.4 5 5 　 7.6 8.(1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AC= 2OA,BD= 2OB. ∵ △AOB 是等边三角形, ∴ OA=OB. ∴ AC=BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠ABC= 90°. ∵ △AOB 是等边三角形, ∴ AO=AB= 5,则 AC= 10. ∴ BC= AC2-AB2 = 5 3 . 9.(1)略　 (2)8 10.C　 11.C　 12.D 13.120 13 　 14. 34 15.B　 16.C　 17.B 18.(1)证明:∵ ABCD 为矩形, ∴ AE∥FC. ∴ ∠EAP=∠FCA. ∵ EF 垂直平分 AC, ∴ AP=CP,EF⊥AC. ∵ ∠APE=∠CPF, ∴ △APE≌△CPF. ∴ AE=FC. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. ∵ EF⊥AC,∴ 四边形 AFCE 是菱形. (2) 3 4 19.证明:∵ DE∥AC,DF∥AB, ∴ 四边形 AEDF 为平行四边形,∠ADE=∠DAF. ∵ AD 是△ABC 的角平分线, ∴ ∠EAD=∠DAF. ∴ ∠ADE=∠EAD. ∴ EA=ED. ∴ 四边形 AEDF 为菱形. 20.67.5°　 21.4 13 　 22.4 2 　 23.43 7 24.B　 25.B　 26.A 27.(1)证明:如图,连接 EC,交 BD 于点 O. ∵ BE=BC,BD 平分∠ABC, ∴ EO=CO,BD⊥CE. ∴ EF=FC,DE=CD. ∵ CF∥DE, ∴ ∠DFC=∠FDE,且 CO=EO,∠FOC=∠DOE. ∴ △FOC≌△DOE(AAS) . ∴ CF=DE. ∴ EF=FC=CD=DE. ∴ 四边形 EFCD 是菱形. (2)120 28.(1)证明:如图,作 EP⊥CD 于点 P,EQ⊥BC 于 点 Q. ∵ ∠DCA=∠BCA= 45°, ∴ EQ=EP. ∵ ∠QEF+∠FEC= 45°,∠PED+∠FEC= 45°, ∴ ∠QEF=∠PED. 在△EQF 和△EPD 中, ∠QEF=∠PED, EQ=EP, ∠EQF=∠EPD, ì î í ïï ï ∴ △EQF≌△EPD. ∴ EF=ED, ∴ 矩形 DEFG 是正方形. (2)解:如图,在等腰 Rt△ABC 中, ∵ AB= 2, ∴ AC= 2AB= 2 2 . ∵ CE= 2 , ∴ AE=CE. ∴ 点 C 与点 F 重合,此时△DCG 是等腰直角三角 形,CG= 2 . (3)120°或 30°. 第 19 章　 限时闯关 1.C　 2.B　 3.A　 4.A　 5.B　 6.C　 7.A　 8.C 9.B　 10.A 11.8 5 　 12.3 3 　 13.9　 14.9　 15.1 或 9 16.(1)证明:由题意和旋转的性质可得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 40 AP=AP′,∠PAP′= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=AD,∠BAD= 90°. ∴ ∠BAD=∠PAP′= 90°. ∴ ∠BAD-∠DAP=∠PAP′-∠DAP, 即∠BAP=∠DAP′. ∵ AP=AP′,∠BAP=∠DAP′,AB=AD, ∴ △ABP≌△ADP′. ∴ PB=P′D. (2)解:四边形 AP′FP 是正方形.理由如下: 由(1)得△ABP≌△ADP′,且 BP⊥AE, ∴ ∠APF=∠APB=∠AP′D= 90°, ∠PAP′=∠BAD= 90°. ∴ 四边形 AP′FP 是矩形. ∵ AP=AP′, ∴ 四边形 AP′FP 是正方形. 17.(1)证明:在矩形 ABCD 和菱形 EFGH 中, ∠D=∠A= 90°,HG=HE, 又 AH=DG= 2, ∴ Rt△AHE≌Rt△DGH. ∴ ∠AHE=∠DGH. ∵ ∠DHG+∠DGH= 90°, ∴ ∠DHG+∠AHE= 90°. ∴ ∠EHG= 90°. ∴ 四边形 EFGH 为正方形. (2)解:距离是定值 2.理由如下: 如图,过点 F 作 FM⊥DC,交 DC 延长线于点 M, 连接 GE. 在矩形 ABCD 和菱形 EFGH 中, AB ∥ CD, HE ∥GF, ∴ ∠AEG=∠MGE,∠HEG=∠FGE. ∴ ∠AEH=∠MGF. 在△AHE 和△MFG 中, ∠AEH=∠MGF, ∠A=∠M, HE=FG, ì î í ïï ï ∴ △AHE≌△MFG. ∴ FM=AH= 2,即无论菱形 EFGH 如何变化,点 F 到直线 CD 的距离始终为定值 2. (3)7- 37 . 18.(1)解:设直线 OM 的函数表达式为 y= kx. 由题意,∠PQR=∠QRM=∠QPM= 90°, ∴ 四边形 PQRM 为矩形. ∵ P(a, 1 a ),R(b, 1 b ), ∴ M(b, 1 a ),Q(a, 1 b ) . 把点 M(b, 1 a )代入 y= kx,得 k= 1 ab . ∴ 直线 OM 的函数表达式为 y= 1 ab x. ∵ 点 Q 的坐标(a, 1 b )满足 y= 1 ab x, ∴ 点 Q 在直线 OM 上. (2)证明:如图,连接 PR 交 OM 于点 S. 由题意,四边形 PQRM 是矩形, ∴ PR=QM,SP= 1 2 PR,SM= 1 2 QM. ∴ SP=SM. ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠3=∠1+∠2= 2∠2. ∵ PR= 2PO, ∴ PS=PO. ∴ ∠4=∠3= 2∠2. ∵ PM∥x 轴, ∴ ∠2=∠5. ∴ ∠AOB=∠4+∠5= 3∠5,即∠MOB= 1 3 ∠AOB. 第 20 章　 必考考点梳理 1.2 025　 2.1.6　 3.71.88　 4.85 5.B　 6.A　 7.A　 8.A　 9.A　 10.C　 11.A 12.C　 13.D　 14.D　 15.D　 16.C　 17.B　 18.A 19.解:(1)∵ 表中 A,B 的平均数相同,而 B 完全符 合要求的件数多, ∴ B 的成绩更好些. (2) s2B = 1 10 ×[3×(19.9-20) 2+5×(20-20) 2+(20.1 -20) 2+(20.2-20) 2] = 0.008. ∴ s2A>s2B . ∴ 在平均数相同的情况下,B 的波动小,B 的成绩 更好一些. (3)由图中折线走势可知,尽管 A 的成绩前面起 伏大,但后来逐渐稳定,误差小,预测 A 的潜力 大,而 B 比较稳定,潜力小, ∴ 派 A 去参赛较合适. 20.(1)40　 92　 93 (2)解:会选派(2)班参加比赛.理由如下: ∵ (2)班的方差小于(1)班的方差, ∴ (2)班的成绩更稳定,应选(2)班参加比赛. (3)78 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 50