作业04 复数（7大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练）-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（苏教版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业04 复数（7大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练） 一、复数的概念 1．复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答． 2.处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部． (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 二、复数的四则运算 1．复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主． 2.进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用实数运算法则进行计算． ①复数的加、减运算类似于实数中的多项式的加、减运算(合并同类项)． ②复数的乘、除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式． (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化． 三、复数的几何意义 1．复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题． 2.在复平面内确定复数对应的点的步骤 (1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)． (2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)． 一．虚数单位i、复数（共2小题） 1．（2023春•淮安期中）下列选项中哪些是正确的　　 A． B．，的最大值为1 C． D．复数，可能为纯虚数 2．（2023春•秦淮区校级期中）在复平面内，下列说法正确的是　　 A．若复数为虚数单位），则 B．若复数满足，则 C．若复数，则为纯虚数的充要条件是 D．若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆 二．复数的代数表示法及其几何意义（共4小题） 3．（2024春•东海县期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•高邮市校级期中）若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024春•海安市校级期中）已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 　　． 6．（2024春•泗阳县校级月考）设复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围． 三．纯虚数（共7小题） 7．（2024春•江都区期中）若复数是纯虚数，则　　． 8．（2023春•广陵区校级期中）若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数　　． 9．（2024春•广陵区校级期中）复数，其中． （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值． 10．（2023春•无锡期中）根据要求完成下列问题： （1）已知复数名在复平面内对应的点在第四象限，，求； （2）复数为纯虚数，求实数的值． 11．（2023春•灌云县期中）已知复数，其中． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围． 12．（2023春•锡山区校级期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位． （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值． 13．（2023春•新吴区校级期末）已知复数，，其中是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的虚部． 四．复数的运算（共9小题） 14．（2024春•阜宁县期中）下列复数中，满足方程的是　　 A． B． C． D． 15．（2024春•常州期中）在复平面内，复数，对应的两个点关于虚轴对称，已知，则　　 A． B．2 C． D． 16．（2024春•启东市校级月考）已知，则集合，中元素的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2024春•鼓楼区校级期中）设为复数为虚数单位），下列命题正确的有　　 A．若，则 B．若的共轭复数，则 C． D．在复平面内，集合所构成区域的面积为 18．（2024春•阜宁县期中）已知为虚数单位，则　　． 19．（2024春•宿迁期中）设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是实数，求． 20．（2024春•连云港期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，，且为纯虚数是的共轭复数）． （1）求的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 21．（2024春•阜宁县期中）已知复数和它的共轭复数满足． （1）求； （2）若是关于的方程的一个根，求复数的模． 22．（2024春•徐州期中）已知复数，其中是实数，是虚数单位． （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，，求的值． 五．共轭复数（共4小题） 23．（2024春•鼓楼区校级期中）设为虚数单位），则的共轭复数　　 A． B． C． D． 24．（2023春•锡山区校级期中）已知复数满足且，则的值为　　 A． B． C． D． 25．（2023春•新吴区校级月考）已知复数是方程的根是虚数单位，． （1）求； （2）设复数，是的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 26．（2023春•如东县期中）已知复数，，其中为虚数单位． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若，求的值． 六．复数的模（共5小题） 27．（2024春•广陵区校级月考）复数满足，则　　 A． B． C． D． 28．（2024春•海门区校级期中）下列说法正确的是　　 A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则 29．（2023春•天宁区校级期末）已知复数满足，则的最大值是　　． 30．（2023春•常熟市期中）若是虚数单位，，则　　． 31．（2023春•苏州期中）下面给出的几个关于复数的命题， ①若是纯虚数，则实数； ②复数是纯虚数； ③复数在复平面内对应的点位于第三象限； ④如果复数满足，则的最小值是2． 以上命题中，正确命题的序号是 　　． 七．复数的三角表示（共3小题） 32．（2023春•秦淮区校级期中）任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成（其中，的形式，通常称之为复数的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数为纯虚数，则正整数的最小值为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 33．（2023春•盐城期中）在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出． 如：将向量绕坐标原点逆时针方向旋转得到向量，由，以为终边的角为，则点，进而求得点，．借助复数、三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题： （1）在直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针方向旋转至．求点的坐标； （2）设向量，把向量按顺时针方向旋转角得到向量，求向量对应的复数． 34．（2024春•赣榆区期中）设为虚数，为实数． （1）求； （2）设在复平面内对应的点为，以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角记为，求证：； （3）若，，求的最小值． 一．多选题（共7小题） 1．（2024春•江苏月考）设，为复数，则下列结论中正确的是　　 A．若为虚数，则也为虚数 B．若，则的最大值为 C． D． 2．（2024春•扬州月考）已知复数，，，下列说法正确的有　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 3．（2024春•如皋市月考）在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•海陵区校级期中）已知复数，，以下四个说法中错误的是　　 A．复数，不能比较大小 B．若，则 C． D． 5．（2024春•徐州期中）已知复数，均不为0，则下列结论正确的是　　 A． B． C．若，，则在复平面内对应的点在第二象限 D． 6．（2024春•邗江区校级期中）已知复数，，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若复数，不相等且，则在复平面内对应的点在一条直线上 7．（2024春•启东市校级月考）复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 二．填空题（共1小题） 8．（2024春•玄武区校级月考）在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为 　　． 三．解答题（共3小题） 9．（2024春•海安市校级期中）求值： （1）； （2）； （3）． 10．（2024春•海安市校级月考）已知是复数，和均为实数，其中是虚数单位． （1）求复数的共轭复数； （2）记，若复数对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 11．（2024春•邗江区校级期中）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程为正整数）有个不同的复数根． （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； （3）复数，求． 一．选择题（共7小题） 1．（2023•新高考Ⅰ）已知，则　　 A． B． C．0 D．1 2．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024•山东）若，则　　 A． B． C． D． 4．（2024•北京）已知，则　　 A． B． C． D．1 5．（2024•新高考Ⅱ）已知，则　　 A．0 B．1 C． D．2 6．（2024•甲卷）设，则　　 A． B．1 C． D．2 7．（2024•甲卷）设，则　　 A． B． C．10 D． 二．填空题（共2小题） 8．（2024•天津）已知是虚数单位，复数　　． 9．（2024•上海）已知，则　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业04 复数（7大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练） 一、复数的概念 1．复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答． 2.处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部． (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 二、复数的四则运算 1．复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主． 2.进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用实数运算法则进行计算． ①复数的加、减运算类似于实数中的多项式的加、减运算(合并同类项)． ②复数的乘、除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式． (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化． 三、复数的几何意义 1．复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题． 2.在复平面内确定复数对应的点的步骤 (1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)． (2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)． 一．虚数单位i、复数（共2小题） 1．（2023春•淮安期中）下列选项中哪些是正确的　　 A． B．，的最大值为1 C． D．复数，可能为纯虚数 【分析】利用平面向量的加法运算判断；求出三角函数的最大值判断；利用二倍角公式求解判断；由纯虚数的定义判断． 【解答】解：对于，，故正确； 对于，，其最大值为，故错误； 对于，，故正确； 对于，满足的实数不存在，则复数，不可能为纯虚数，故错误． 故选：． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查运算求解能力，是基础题． 2．（2023春•秦淮区校级期中）在复平面内，下列说法正确的是　　 A．若复数为虚数单位），则 B．若复数满足，则 C．若复数，则为纯虚数的充要条件是 D．若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆 【分析】利用复数的运算法则、复数为实数或纯虚数的充要条件、几何意义即可判断出正误． 【解答】解：．，因此正确； ．令，由，，或，不正确； ．复数，则为纯虚数的充要条件是，，因此不正确； ．复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆，正确． 故选：． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数或纯虚数的充要条件、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 二．复数的代数表示法及其几何意义（共4小题） 3．（2024春•东海县期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为　　 A． B． C． D． 【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应向量的坐标可得答案． 【解答】解：复数与分别表示向量与， ，， ， 表示向量的复数为， 故选：． 【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 4．（2024春•高邮市校级期中）若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先利用复数除法运算化简，然后根据复数的几何意义求解即可． 【解答】解：由题意得，， 则在复平面内复数对应的点是，位于第三象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数几何意义的应用，属于基础题． 5．（2024春•海安市校级期中）已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 　，　． 【分析】设，则，由复数的几何意义可知，点在以点为圆心，2为半径的圆周上或圆内，再结合平面向量数量积的几何意义求解． 【解答】解：设，则， 设复平面内一点， 则有， 即点在以点为圆心，2为半径的圆周上或圆内， 设直线与圆交于，两点， 则，，而，表示在上的投影， 由图可知，，，， 则，，， 又因为，，， 所以， 即， 所以的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了复数的几何意义，考查了平面向量的数量积运算，属于中档题． 6．（2024春•泗阳县校级月考）设复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据实部为0，虚部不等于0列式求解可得； （2）根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解可得． 【解答】解：（1）若是纯虚数，则， 解得． （2）由题意知，解得， 所以实数的取值范围为． 【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题． 三．纯虚数（共7小题） 7．（2024春•江都区期中）若复数是纯虚数，则　　． 【分析】根据纯虚数的定义求解． 【解答】解：复数是纯虚数， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 8．（2023春•广陵区校级期中）若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数　　． 【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义，即可得到结论． 【解答】解：由题意，， 要使复数是纯虚数，则有且，解得． 故答案为： 【点评】本题考查复数的化简，考查纯虚数的定义，属于基础题． 9．（2024春•广陵区校级期中）复数，其中． （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值． 【分析】（1）复数为实数，则，求解即可； （2）复数为纯虚数，则，求解即可． 【解答】解：（1）复数为实数，则，即或； （2）若复数为纯虚数，则，解得． 【点评】本题考查了复数的概念，属基础题． 10．（2023春•无锡期中）根据要求完成下列问题： （1）已知复数名在复平面内对应的点在第四象限，，求； （2）复数为纯虚数，求实数的值． 【分析】（1）根据题意，得到且，求得，即可求解； （2）因为复数为纯虚数，列出方程组，即可求得实数的值． 【解答】解：（1）由复数在复平面内对应的点在第四象限，可得， 又由，可得，解得，所以， 所以复数． （2）因为复数为纯虚数， 则，解得，即求实数的值为． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及纯虚数的定义，属于基础题． 11．（2023春•灌云县期中）已知复数，其中． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围． 【分析】（1）由题知，解方程组即可得答案； （2）由题知，解不等式组即可得答案． 【解答】解：（1）因为复数，为纯虚数， 所以，解得或， 所以，当为纯虚数时，或． （2）复数， 在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得或． 故的取值范围是，，． 【点评】本题考查了纯虚数的定义以及复数的几何意义，是基础题． 12．（2023春•锡山区校级期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位． （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值． 【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解； （2）根据已知条件，先求出，再结合韦达定理，即可求解． 【解答】解：（1）， 则为纯虚数， 故，解得； （2）， 则， 故也是关于的方程的一个复根， 故，解得，， 故． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 13．（2023春•新吴区校级期末）已知复数，，其中是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的虚部． 【分析】（1）由复数，，求出，且为纯虚数，得到实部为0，虚部不为0，即可求出的值． （2）由，将代入，求出，，然后化简即可求出复数的虚部． 【解答】解：（1）由复数，， 则． 为纯虚数， 且．则； （2）由， 得，， 解得，即， 此时，， 复数， 复数的虚部为1． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数模的求法，是基础题． 四．复数的运算（共9小题） 14．（2024春•阜宁县期中）下列复数中，满足方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接解方程即可得到答案． 【解答】解：， 即， 即， 解得． 故选：． 【点评】本题考查复数的运算，是基础题． 15．（2024春•常州期中）在复平面内，复数，对应的两个点关于虚轴对称，已知，则　　 A． B．2 C． D． 【分析】根据复数的乘法运算求解． 【解答】解：由题意，，则． 故选：． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 16．（2024春•启东市校级月考）已知，则集合，中元素的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据复数的乘方运算，化简，即可得到答案． 【解答】解：， ，，， 集合，中元素的个数为2个． 故选：． 【点评】本题考查复数的乘方运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17．（2024春•鼓楼区校级期中）设为复数为虚数单位），下列命题正确的有　　 A．若，则 B．若的共轭复数，则 C． D．在复平面内，集合所构成区域的面积为 【分析】求解复数的模判断；利用复数代数形式的乘除运算判断；由虚数单位的运算性质判断；由复数模的几何意义判断． 【解答】解：由，得，则，故错误； 由，得，故正确； ，故正确； 集合表示以为圆心，半径为2的圆，故，故错误． 故选：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题． 18．（2024春•阜宁县期中）已知为虚数单位，则　　． 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 19．（2024春•宿迁期中）设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是实数，求． 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得． （2）利用复数除法及复数的分类求出即得． 【解答】解：（1）由，，得，而是实数， 于是，解得， 所以． （2）依题意，是实数， 则，解得， 故，． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 20．（2024春•连云港期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，，且为纯虚数是的共轭复数）． （1）求的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数的值； （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解． 【解答】解：（1）由题意，复数， ， 则， 为纯虚数，，解得； 的值为3； （2）复数， 复数在复平面对应的点在第一象限， ，解得． 实数的取值范围为． 【点评】本题考查了复数的运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 21．（2024春•阜宁县期中）已知复数和它的共轭复数满足． （1）求； （2）若是关于的方程的一个根，求复数的模． 【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解． （2）根据已知条件，结合韦达定理，求出，，再结合复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：（1）设， 则，， 所以，解得，， 故． （2）是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， ，解得，， 复数的模为． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题． 22．（2024春•徐州期中）已知复数，其中是实数，是虚数单位． （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，，求的值． 【分析】（1）利用复数运算法则和纯虚数的定义求解； （2）利用复数运算法则求解． 【解答】解：（1）复数，其中是实数，是虚数单位． ， 为纯虚数， ， 解得实数； （2），， ，，， ， ， ， ． 【点评】本题考查复数运算法则、纯虚数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 五．共轭复数（共4小题） 23．（2024春•鼓楼区校级期中）设为虚数单位），则的共轭复数　　 A． B． C． D． 【分析】先利用复数的四则运算求出，再结合共轭复数的概念求解． 【解答】解：， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的定义，属于基础题． 24．（2023春•锡山区校级期中）已知复数满足且，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，由题意得，则，分别计算其立方值，代入后即可求解． 【解答】解：设，则， 根据，得， 根据， 得， 由，解得，故， ， 由于， 同理得， 因此得． 故选：． 【点评】本题考查了复数的运算，属于中档题． 25．（2023春•新吴区校级月考）已知复数是方程的根是虚数单位，． （1）求； （2）设复数，是的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）将复数根代入方程中，根据复数相等即可求解， 根据已知条件，结合复数的四则运算，对化简，再结合复数的结合意义即可列不等式求解． 【解答】解：（1）复数是方程的根， 则，即， 故，解得， ， 则； （2）， 则数， 复数所对应的点在第三象限， ，解得， 故的取值范围为，． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于中档题． 26．（2023春•如东县期中）已知复数，，其中为虚数单位． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若，求的值． 【分析】（1）根据纯虚数的定义，列出方程组即可求解． （2）根据共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解． 【解答】解：（1）复数为纯虚数， ，解得或． （2）设，则， 将其代入， 可得， 化简得，， 则，解得，或， 或， 或， 解得． 【点评】本题主要考查复数的运算法则，纯虚数，共轭复数的定义，复数的性质，属于中档题． 六．复数的模（共5小题） 27．（2024春•广陵区校级月考）复数满足，则　　 A． B． C． D． 【分析】化简复数，可求的模长． 【解答】解：由题意，，则． 故选：． 【点评】本题考查复数的模长，属于基础题． 28．（2024春•海门区校级期中）下列说法正确的是　　 A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则 【分析】结合复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，即可求解． 【解答】解：设， 则，，故正确； ， 则，故错误； ，，表示以为圆心，1为半径的圆， 表示该圆上的点到点的距离， 故的最小值为1，故正确； 是关于的方程的根， 则也是关于的方程的根， 故，解得，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，属于基础题． 29．（2023春•天宁区校级期末）已知复数满足，则的最大值是　5　． 【分析】由复数模的几何意义可知复数在以为圆心，以1为半径的圆周上，所以的最大值是到的距离加上半径1． 【解答】解：由，可知 复数在以为圆心，以1为半径的圆周上， 所以的最大值是到的距离加上半径1， 等于． 故答案为5． 【点评】本题考查了复数模的几何意义，考查了复数模的求法，体现了数形结合的解题思想，是基础题． 30．（2023春•常熟市期中）若是虚数单位，，则　　． 【分析】根据复数的运算性质与复数的模长公式计算即可． 【解答】解：化简原式，可得， 所以，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的模长公式，属于基础题． 31．（2023春•苏州期中）下面给出的几个关于复数的命题， ①若是纯虚数，则实数； ②复数是纯虚数； ③复数在复平面内对应的点位于第三象限； ④如果复数满足，则的最小值是2． 以上命题中，正确命题的序号是 　②③　． 【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得． 【解答】解：因为为纯虚数， 所以且， 解得，故①错误； 因为，所以， 所以是纯虚数，故②正确； 因为，， 所以在复平面内对应的点在第三象限，故③正确； 由复数的几何意义知，表示复数对应的点到点和到点的距离之和， 又因为， 所以复数对应的点在线段上， 而表示点到点的距离， 所以其最小值为，故④错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查复数的概念及其运算，考查运算求解能力，属于基础题． 七．复数的三角表示（共3小题） 32．（2023春•秦淮区校级期中）任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成（其中，的形式，通常称之为复数的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数为纯虚数，则正整数的最小值为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】由题意，根据棣莫弗定理，纯虚数的定义，求得的最小值． 【解答】解：复数为纯虚数， ，，，， 根据，可得正整数的最小值为4，此时，， 故选：． 【点评】本题主要考查棣莫弗定理，纯虚数的定义，属于基础题． 33．（2023春•盐城期中）在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出． 如：将向量绕坐标原点逆时针方向旋转得到向量，由，以为终边的角为，则点，进而求得点，．借助复数、三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题： （1）在直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针方向旋转至．求点的坐标； （2）设向量，把向量按顺时针方向旋转角得到向量，求向量对应的复数． 【分析】（1）由已知点的坐标为，，，利用定义可得的坐标为，，化简得答案； （2）设向量对应的复数为，可得，再由复数代数形式的除法运算求解． 【解答】解：（1）点的坐标为，，，， 将绕坐标原点逆时针方向旋转至，则的坐标为，， ， ， 点的坐标为； （2）设向量对应的复数为， 则， ． 【点评】本题考查复数的三角形式，考查运算求解能力，是基础题． 34．（2024春•赣榆区期中）设为虚数，为实数． （1）求； （2）设在复平面内对应的点为，以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角记为，求证：； （3）若，，求的最小值． 【分析】设，化简复数，（1）通过为实数，推出或，然后求解复数的模． （2）依题意，结合（1）知，．证明． （3）由（1）知，，化简复数，求解复数的模，利用基本不等式转化求解即可． 【解答】解：设，则． （1）因为为实数，所以，所以或， 又为虚数，故，从而，所以． （2）证明：依题意，结合（1）知，． 则． （3）由（1）知，，， 则， 因为，所以，所以， 所以 （当且仅当，即时，等号成立）， 所以的最小值为1． 【点评】本题考查复数的计算，复数的模以及三角形式的应用，是中档题． 一．多选题（共7小题） 1．（2024春•江苏月考）设，为复数，则下列结论中正确的是　　 A．若为虚数，则也为虚数 B．若，则的最大值为 C． D． 【分析】对于，由为虚数，得为虚数，从而可判断，对于，由进行判断，对于，设，，，，，然后分别求解进行判断，对于，根据复数的向量表示及向量的不等式分析判断． 【解答】解：对于，因为为虚数，为实数，所以为虚数，所以也为虚数，所以正确， 对于，当时，满足，此时，所以错误， 对于，设，，，，，则 ， ， 所以， ， 所以，所以正确， 对于，设，确定的向量分别为，则由向量不等式得， 所以恒成立，所以正确， 故选：． 【点评】本题考查复数的运算，属于中档题． 2．（2024春•扬州月考）已知复数，，，下列说法正确的有　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【分析】直接根据复数的四则运算及模的性质即可判断各项的正误． 【解答】解：对于选项，设，， 则，， 所以由可得：，所以，故正确； 对于选项，令，，则，故不正确； 对于选项，因为，所以，所以或，故正确； 对于选项，令，，则，故不正确． 故选：． 【点评】本题考查复数的模的性质及四则运算，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题． 3．（2024春•如皋市月考）在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据复数的几何意义得出，结合同角三角函数的基本关系即可得出所求的答案． 【解答】解：因为，，且， 所以，即，即， 又因为，所以且或且， 所以或． 故选：． 【点评】本题考查复数的概念及几何意义，考查学生的数学运算能力，属中档题． 4．（2024春•海陵区校级期中）已知复数，，以下四个说法中错误的是　　 A．复数，不能比较大小 B．若，则 C． D． 【分析】利用复数的定义，复数的四则运算，复数模的公式，验证各选项是否正确． 【解答】解：设，， 对于，当时，复数，都是实数时，可以比较大小，选项错误； 对于，， 只需且， 如，，不能得到，选项错误； 对于，，， 当时，不成立，选项错误； 对于， 而，选项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的运算，复数的模，考查运算求解能力，属于中档题． 5．（2024春•徐州期中）已知复数，均不为0，则下列结论正确的是　　 A． B． C．若，，则在复平面内对应的点在第二象限 D． 【分析】分别赋值和根据复数的几何意义求出结果． 【解答】解：与不一定相等，当时，，，故错误； 共轭复数只有虚数部分正负号变化，所以相等，故正确； ，在第二象限，故正确； ，，则，故正确． 故选：． 【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．（2024春•邗江区校级期中）已知复数，，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若复数，不相等且，则在复平面内对应的点在一条直线上 【分析】直接利用复数的运算，复数的共轭，复数的几何意义判断、、、的结论． 【解答】解：设复数，，，，， 对于：若，故，故，，故，故正确； 对于：若，所以，整理得，故，整理得，与不等价，故错误； 对于：当，故，，即，；故， 故成立， 当，故，不一定，，所以当，不成立，故错误； 对于：复数，不相等且，根据复数的几何意义，在复数，的垂直平分线上，故正确． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：复数的运算，复数的共轭，复数的几何意义，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 7．（2024春•启东市校级月考）复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【分析】根据复数的运算法则结合选项进行分析计算即可． 【解答】解：对于，若，，满足， 但，，两者不能用大、小于号连接，错误； 对于，设，，则 ，正确； 对于，由得，所以，，所以，正确； 对于，点的集合所构成的图形为半径为1和的同心圆所形成的圆环，面积为，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的相关性质，属中档题． 二．填空题（共1小题） 8．（2024春•玄武区校级月考）在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为 　　． 【分析】由题意设，，，，由，得，求得，再由数量积的坐标运算结合三角函数求最值． 【解答】解：由题意设，，，， 由，得， 整理得，，， ，可得， ，， 则 ， 的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的恒等变换应用，考查运算求解能力，是中档题． 三．解答题（共3小题） 9．（2024春•海安市校级期中）求值： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）由虚数单位的性质计算可得答案； （2）由复数的乘法公式计算可得答案； （3）由复数的除法公式计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，； （2）； （3）． 【点评】本题考查复数的计算，注意复数的四则运算法则，属于基础题． 10．（2024春•海安市校级月考）已知是复数，和均为实数，其中是虚数单位． （1）求复数的共轭复数； （2）记，若复数对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数、实数的定义，即可求解； （2）根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：（1）设，则， 为实数，，解得， 为实数， ，解得， ， ； （2）由（1）可知， ， 复数对应的点在第三象限， 则，解得， 故实数的取值范围为，． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化思想，属于中档题． 11．（2024春•邗江区校级期中）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程为正整数）有个不同的复数根． （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； （3）复数，求． 【分析】（1）利用欧拉公式及可求得； （2）设，依题意，可求得，，对赋值可求得复数的值所组成的集合； （3）依题意，可得的根为1，， ，，分析可得，再令可求得答案． 【解答】解：（1）由， 则， 则； （2）设，则， 故，，， 则当，1，2，3，4，5时，分别对应的，， 故相应的，， 故由所有的复数所组成的集合为，1，，，，； （3）若，则， 因为， 则， 易知，关于的方程的根为1，， ，， 故， 又， 故， 令，可得，且2023为奇数， 所以． 【点评】本题考查复数的三角形式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于难题． 一．选择题（共7小题） 1．（2023•新高考Ⅰ）已知，则　　 A． B． C．0 D．1 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 【解答】解：， 则， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题． 2．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：， 则在复平面内，对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．（2024•山东）若，则　　 A． B． C． D． 【分析】观察等式，化简可得，由此容易得解． 【解答】解：由于， 则，即， 可得． 故选：． 【点评】本题考查复数的运算，考查运算求解能力，属于基础题． 4．（2024•北京）已知，则　　 A． B． C． D．1 【分析】结合复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 5．（2024•新高考Ⅱ）已知，则　　 A．0 B．1 C． D．2 【分析】利用复数的模的运算法则求解即可． 【解答】解：，则． 故选：． 【点评】本题考查复数的模的求法，是基础题． 6．（2024•甲卷）设，则　　 A． B．1 C． D．2 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，是基础题． 7．（2024•甲卷）设，则　　 A． B． C．10 D． 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：因为， 则， 故， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数的四则运算，是基础题． 二．填空题（共2小题） 8．（2024•天津）已知是虚数单位，复数　　． 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，是基础题． 9．（2024•上海）已知，则　　． 【分析】利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解． 【解答】解：由题意可得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$