作业03 解三角形（4大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练）-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（苏教版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业03 解三角形（4大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练） 一、应用正弦、余弦定理解三角形 1．这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理解决．常见题型有①一边和两角(如a，B，C)，②两边和夹角(如a，b，C)，③三边(a，b，c)，④两边和其中一边的对角(如a，b，A)． 2.应用正弦、余弦定理需注意的三个方面 (1)正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一． (2)统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形． (3)求值时注意方程思想的运用． 二、判断三角形的形状 1．根据所给条件确定三角形的形状，主要的方法是边角互化，常见具体方法有①通过正弦定理进行边角转换，②通过余弦定理进行边角转换，③通过三角变换找出角之间的关系，④b2＋c2－a2>0⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a2<0⇔A为钝角． 2.利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 (1)通过边之间的关系判断形状． (2)通过角之间的关系判断形状． 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的关系或角的关系． 三、正弦、余弦定理在实际中的应用 1．余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验． 2.解题时需注意的几个问题 (1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或作出)这些角． (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来． (3)发现题目中的隐含条件，才能顺利解题． 四、与三角形有关的综合问题 1．该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等． 2.解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法进行求解． (2)解三角形常与平面向量、三角函数及三角恒等变换等知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解． 一．正弦定理（共4小题） 1．（2024春•玄武区校级月考）已知正五边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，，则　　 A． B． C． D． 2．（2024春•徐州期中）中，角，，对边分别为，，，点是所在平面内的动点，满足．射线与边交于点．若，，则角的值为 　　，面积的最小值为 　　． 3．（2024春•阜宁县期中）记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 4．（2024春•启东市校级月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，利用（1）所求的角值求的取值范围． 二．余弦定理（共4小题） 5．（2023春•兴化市期中）如图，在平面四边形中，，，． （1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积； （2）当四边形的面积最大时，求对角线的长． 6．（2023春•句容市月考）在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角，，所对的边分别为，，，且______． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 7．（2024春•铜山区月考）在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，，点在边上，______，求的长． 请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）． 8．（2024春•新吴区校级月考）为直角三角形，斜边上一点，满足． （1）若，求； （2）若，，求． 三．三角形中的几何计算（共5小题） 9．（2024春•鼓楼区校级期中）中，，，，为线段的中点，点，分别在线段，上．若为正三角形，则的面积为　　 A． B． C． D． 10．（2024春•新吴区校级月考）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于，则　　． 11．（2024春•宿迁期中）法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，． （1）求； （2）若△的面积为，求的面积的最大值． 12．（2024春•盐城期中）如图，在凸四边形中，已知，． （1）若，，求的值； （2）若，四边形的面积为4，求的值． 13．（2024春•泗阳县校级月考）已知，在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，求的最小值； （3）若，求，的大小． 四．解三角形（共18小题） 14．（2024春•邗江区校级月考）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•广陵区校级期中）若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为　　 A． B． C． D． 16．（2024春•常熟市期中）已知锐角中，，则边上的高的取值范围为　　 A． B． C． D． 17．（2024春•海门区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 18．（2024春•赣榆区期中）记的内角，，的对边分别为，，．若，，则　　 A．或 B． C．或 D．或 19．（2024春•邗江区校级期中）在中，，，分别是角，，所对的边，的平分线交于点，，，则的最小值为　　 A．16 B．32 C．64 D．128 20．（2024春•海陵区校级期中）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台处，到楼地面底部点的距离为，假设电视塔底部为点，塔顶为点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点，且，，三点共处同一水平线，在处测得阳台处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台处测得电视塔顶处的仰角，假设，和点在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为　　 A． B． C． D． 21．（2024春•铜山区期中）在中，已知且，则面积的最大值是 　　． 22．（2024春•建邺区校级期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得的长为12千米，在点处测得，，在点处测得，．则，两点间的距离为 　　千米．（设，，，四点在同一平面内） 23．（2024春•徐州期中）在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 　　． 24．（2024春•徐州期中）圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为 　　． 25．（2024春•广陵区校级期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，点是的重心，若，且，则　　． 26．（2024春•溧阳市期末）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 27．（2024春•宿迁期中）在直角三角形中，，点，在边上，且，设，． （1）若，求，的值； （2）若，求的最大值． 28．（2024春•扬州月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且， 求角的取值范围； 求面积的取值范围． 29．（2024春•泗阳县校级月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）证明：为等腰三角形． （2）若是边的中点，，求的面积． 30．（2024春•相城区校级月考）记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）若是边的三等分点（靠近点，，设， ①用表示，，及； ②求实数的取值范围． 31．（2024春•玄武区校级月考）在中，、为边上两点，且满足，，，， （1）求证：； （2）求证：为定值； （3）求面积的最大值． 一．多选题（共1小题） 1．（2024春•建邺区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，，点，，分别是的重心，垂心，外心．若，则以下说法正确的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共3小题） 2．（2024春•邗江区校级期中）已知是锐角三角形，内角，，所对应的边分别为，，．若，则的取值范围是 　　． 3．（2024春•高邮市校级期中）在中，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是 　　． 4．（2024春•南京期中）已知的内角，，所对的边为，，，且，，若点是外一点，，，则当四边形面积最大时，　　． 三．解答题（共7小题） 5．（2024春•邗江区校级月考）已知中，角，，的对边分别为，，，，． （1）若，求的值； （2）过点作的垂线，为上一点． ①若，，求线段的长； ②若且点在外部，求线段长的取值范围． 6．（2024春•海门区校级期中）在凸四边形中，． （1）若，，，四点共圆，，求四边形的面积； （2）若，求的值． 7．（2024春•东海县期中）已知中，角，，的对边为，，，是边上的中点． （1）若． 求； 若，，求的面积； （2）若，，，试探究存在时，，满足的条件． 8．（2024春•常州期中）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角． 如图，在中，角，，所对边长分别为，，，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． （1）若．求证： ①为的面积）； ②为等边三角形． （2）若，求证：． 9．（2024春•江阴市校级月考）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知在中，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求△的面积最大值． 10．（2024春•建邺区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，，，的面积为． （1）求； （2）若点在内部，满足，求的值； （3）若所在平面内的点满足，求的值． 11．（2024春•徐州期中）某居民小区内建有一块矩形草坪，米，米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路、和，考虑到小区整体规划，要求是的中点，点在边上，点在边上，且，如图所示． （1）设，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． 一．选择题（共1小题） 1．（2024•甲卷）在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． 二．填空题（共1小题） 2．（2024•上海）三角形中，，则　　． 三．解答题（共4小题） 3．（2023•新高考Ⅰ）已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 4．（2024•山东）记的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若的面积为，求． 5．（2024•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求周长． 6．（2024•北京）在中，，为钝角，． （1）求； （2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的面积． ①； ②； ③． 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业03 解三角形（4大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练） 一、应用正弦、余弦定理解三角形 1．这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理解决．常见题型有①一边和两角(如a，B，C)，②两边和夹角(如a，b，C)，③三边(a，b，c)，④两边和其中一边的对角(如a，b，A)． 2.应用正弦、余弦定理需注意的三个方面 (1)正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一． (2)统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形． (3)求值时注意方程思想的运用． 二、判断三角形的形状 1．根据所给条件确定三角形的形状，主要的方法是边角互化，常见具体方法有①通过正弦定理进行边角转换，②通过余弦定理进行边角转换，③通过三角变换找出角之间的关系，④b2＋c2－a2>0⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a2<0⇔A为钝角． 2.利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 (1)通过边之间的关系判断形状． (2)通过角之间的关系判断形状． 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的关系或角的关系． 三、正弦、余弦定理在实际中的应用 1．余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验． 2.解题时需注意的几个问题 (1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或作出)这些角． (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来． (3)发现题目中的隐含条件，才能顺利解题． 四、与三角形有关的综合问题 1．该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等． 2.解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法进行求解． (2)解三角形常与平面向量、三角函数及三角恒等变换等知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解． 一．正弦定理（共4小题） 1．（2024春•玄武区校级月考）已知正五边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合锐角三角函数定义分别表示，，进而可表示，再利用二倍角公式及同角基本关系化简，即可求解． 【解答】解：如图所示，则，，，， 中，，即， ，即， 所以， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，二倍角公式及同角基本关系，属于中档题． 2．（2024春•徐州期中）中，角，，对边分别为，，，点是所在平面内的动点，满足．射线与边交于点．若，，则角的值为 　　，面积的最小值为 　　． 【分析】判断出是三角形的角平分线，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式以及基本不等式求得三角形面积的最小值． 【解答】解：表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 根据向量加法的几何意义可知在三角形的角平分线上， 即是三角形的角平分线， 由可得，， 得， 则为锐角，所以． 依题意， 根据三角形的面积公式有， 整理得， 所以，当且仅当时等号成立． 所以三角形面积的最小值为． 故答案为：；． 【点评】本题主要考查了利用余弦定理解三角形，主要的方法是边角互化，将已知条件中的边和角进行转化，结合余弦定理即可求得问题的结果．求三角形面积的最值，可考虑基本不等式或者三角函数值域的方法． 3．（2024春•阜宁县期中）记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 【分析】（1）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，结合正弦函数的特殊值可得所求角； （2）运用余弦定理和基本不等式可得的最大值，再由三角形的面积公式可得所求值． 【解答】解：（1）因为， 所以由正弦定理可得， 即，（2分） 所以， 又，所以， 即，又，所以．（6分） （2）在中，由余弦定理可得， 即，（8分） 所以，当且仅当时取等号，（9分） 所以， 故的面积的最大值为．（12分） 【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查基本不等式的运用和化简整理的运算能力，属于中档题． 4．（2024春•启东市校级月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，利用（1）所求的角值求的取值范围． 【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出的值； （2）直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换及正切函数的值求出结果． 【解答】解：（1）由于，整理得，故， 由于； 所以； （2）为锐角三角形， 故； 利用正弦定理； 所以； 即． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 二．余弦定理（共4小题） 5．（2023春•兴化市期中）如图，在平面四边形中，，，． （1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积； （2）当四边形的面积最大时，求对角线的长． 【分析】（1）连接，由余弦定理可得，又，化简可得：，结合范围，可求，，利用三角形的面积公式即可得解． （2）设四边形的面积为，则，由余弦定理，解得，可求当时，有最大值，即有最大值．此时，，代入，可得：，结合，可得，在中，利用余弦定理可求的值． 【解答】（本题满分为14分） 解：（1）连接，由余弦定理可得： ， ， 可得：，分 又四边形内接于圆，则又， 所以：，化简可得：， 又， 所以，，分 所以，分 （2）设四边形的面积为，则， 可得：，分 可得：，可得：，平方后相加，可得：， 即：，分 又，当时，有最大值，即有最大值． 此时，，代入，可得：， 又，可得：，分 在中，可得：，可得．分 【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题． 6．（2023春•句容市月考）在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角，，所对的边分别为，，，且______． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【分析】（1）选①，由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可得，结合，可求的值． 选②，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合，可得的值． 选③，利用平方和公式，正弦定理，余弦定理化简已知可得的值，结合，可得的值． （2）由余弦定理可得，进而根据三角形的面积公式可求的值，从而可求，即可得解的周长的值． 【解答】解：（1）选①，由正弦定理得， 即． 因为， 所以， 所以． 又，从而得． 选②，因为 ， 所以，． 又因为，可得． 选③，因为， 所以， 即， 所以，． 因为，可得， （2）由余弦定理，得， 由，得， 所以， 故． 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，完全平方公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 7．（2024春•铜山区月考）在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，，点在边上，______，求的长． 请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）． 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可求，结合范围，可求的值． （2）若选①．法一：由题意可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求解的值；法二：由余弦定理可求的值，在，中，分别应用余弦定理，结合，可求，即可解得的值．若选②．由于，利用三角形的面积公式即可求解的值；若选③．由余弦定理可求的值，利用三角形的面积公式可得，进而解得的值． 【解答】解：（1）在中，由正弦定理，及得，．（2分） 因为为锐角三角形， 所以， 所以． 所以．（4分） 又因为，所以．（6分） （2）若选①． 法一：在中，因为，所以．（8分） 所以（10分）， 所以．（12分） 法二：在中，由余弦定理，得， 所以， 所以．（8分） 在中，由余弦定理，得 即， 在中，由余弦定理，得 即．（10分） 又，所以． 所以， 所以．（12分） 若选②． 在中，，（8分） 即，（10分） 即， 解得．（12分） 若选③． 在中，由余弦定理，得， 所以．（8分） 因为， 又，（10分） 所以， 解得．（12分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的运算，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 8．（2024春•新吴区校级月考）为直角三角形，斜边上一点，满足． （1）若，求； （2）若，，求． 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得，可得，可求，即可解得的值； （2）设，可得，，，可求，由已知利用余弦定理可求，即可求解的值． 【解答】解：（1）为直角三角形，，， 由正弦定理：，即， ，可得， ，为直角，可得， ． （2）设， ，，， ， ， 由余弦定理得：，得， ． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题． 三．三角形中的几何计算（共5小题） 9．（2024春•鼓楼区校级期中）中，，，，为线段的中点，点，分别在线段，上．若为正三角形，则的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合正弦定理先表示，结合同角基本关系及正弦定理求出，再由三角形面积公式即可求解． 【解答】解：设，则，在中，，，， 在中，，， 在中，，，则， 所以， 由题，为正三角形，所以，即， 所以，所以，所以， 从而的面积为． 故选：． 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角基本关系及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题． 10．（2024春•新吴区校级月考）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于，则　　． 【分析】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，就是，的夹角，利用向量的夹角公式求解 【解答】解：如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系， 则，，，， ，， 由于就是，的夹角， ．， 的余弦值为． 故答案为：． 【点评】本题考查向量数量积的应用，属于中档题． 11．（2024春•宿迁期中）法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，． （1）求； （2）若△的面积为，求的面积的最大值． 【分析】（1）由正弦定理及三角形内角和定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）连接，，由正三角形的面积公式可得的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，进而求出的面积的最大值． 【解答】解：（1）在中，因为，所以， 根据正弦定理可得， 即， 因为，，可得， 由，可得； （2）如图，连接，，则， 正△的面积， 因为， 而，则， 在△中，由余弦定理得：， 即，则， 由基本不等式知，， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以． 所以的面积的最大值为． 【点评】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题． 12．（2024春•盐城期中）如图，在凸四边形中，已知，． （1）若，，求的值； （2）若，四边形的面积为4，求的值． 【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出，根据同角三角函数基本关系式即可求； （2）在、中，分别由余弦定理求出，两式相减可得与的关系式；又由的与的关系式，两个关系式平方后相加即可求出． 【解答】解：（1）在中，因为，， 所以， 在中，由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）在，中，由余弦定理得， ， ， 从而，①， 由，得：，②， ①②得，， 所以． 【点评】本题考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 13．（2024春•泗阳县校级月考）已知，在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，求的最小值； （3）若，求，的大小． 【分析】（1）利用诱导公式可得，结合角的范围利用余弦函数的性质即可求解； （2）由正弦定理，，利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换可求，进而利用基本不等式即可求解； （3）由题意利用三角函数恒等变换可求，解得的值，进而可求的值，可求的值． 【解答】解：（1）因为， 所以， 所以或，， 因为，，，， 所以或， 由为斜三角形知，（舍， 所以； （2）由正弦定理：， 所以， 同理，， 所以 （当且仅当时，等号成立）， 所以的最小值为； （3）因为， 所以， 所以， 所以， 即， 整理得， 所以， 所以或， 因为是钝角， 所以， 所以， 所以． 【点评】本题考查了余弦函数的性质，正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换以及基本不等式等知识的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 四．解三角形（共18小题） 14．（2024春•邗江区校级月考）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为　　 A． B． C． D． 【分析】先在中求出的长度，然后再求出中的，，利用正弦定理求出，最后在中利用三角函数的定义求出的长度即可． 【解答】解：由题意，在中，， 在中，，， ，由正弦定理， 得， 又在中，． 故选：． 【点评】本题考查解三角形的应用题的解题思路，侧重考查了正弦定理和三角函数的定义，属中档题． 15．（2024春•广陵区校级期中）若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，推得，再结合正切函数的两角和公式，以及基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：， ， 则，即，即，即， 故， 所以， ，均为三角形内角， 则，， 故，不能同时为0， 所以， 不妨设， ， 当且仅当，，即，时，等号成立， 故的最大值为． 故选：． 【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题． 16．（2024春•常熟市期中）已知锐角中，，则边上的高的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可． 【解答】解：因为锐角中，， 设边上的高为， 所以，解得， 由正弦定理可得， 所以，， 因为， 所以 ， 因为，，，， 所以，， 所以，． 所以边上的高的取值范围为，． 故选：． 【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，函数思想，属中档题． 17．（2024春•海门区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换，结合正弦函数的性质得到，从而利用三角形的性质得到的范围，再利用正弦定理转化所求即可得解． 【解答】解：因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 所以，即，则， 所以，解得，则， 所以 ， 则的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了两角和的正弦公式和正弦定理的应用，属于中档题． 18．（2024春•赣榆区期中）记的内角，，的对边分别为，，．若，，则　　 A．或 B． C．或 D．或 【分析】根据正弦定理和余弦定理求解即可． 【解答】解：的内角，，的对边分别为，，， ，， ，可得，可得， 可得，故，或，即或； 又，可得， ， ， 或． 故选：． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题． 19．（2024春•邗江区校级期中）在中，，，分别是角，，所对的边，的平分线交于点，，，则的最小值为　　 A．16 B．32 C．64 D．128 【分析】由题中等式以及正弦定理进行角化边运算可得边的关系，由余弦定理可求出，结合角平分线由三角形面积公式建立等量关系，结合均值不等式可得出最小值． 【解答】解：由及正弦定理知， ， 在中，由余弦定理知， ， ， ，． ， ， 即，得， ， 当且仅当且，即时，等号成立， ． 故选：． 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及均值不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 20．（2024春•海陵区校级期中）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台处，到楼地面底部点的距离为，假设电视塔底部为点，塔顶为点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点，且，，三点共处同一水平线，在处测得阳台处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台处测得电视塔顶处的仰角，假设，和点在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可得，在中利用正弦定理可求，进而在中求得结果． 【解答】解：在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理， 可得， 在中，． 故选：． 【点评】本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 21．（2024春•铜山区期中）在中，已知且，则面积的最大值是 　　． 【分析】设，可得的面积的表达式，再由余弦定理可得的表达式，进而可得三角形面积的最大值． 【解答】解：因为且， 设，则， 又因为， 所以． 当，即时取等号． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形面积公式的应用及余弦定理的应用，二次函数的最值的求法，属于中档题． 22．（2024春•建邺区校级期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得的长为12千米，在点处测得，，在点处测得，．则，两点间的距离为 　　千米．（设，，，四点在同一平面内） 【分析】由题意可得，在中，由正弦定理可得的值，在中，由余弦定理可得的大小． 【解答】解：在中，，，所以， 所以， 因为，，在点处测得，， 所以，， 所以， 在中，由正弦定理可得：， 所以， 而， 在中，由余弦定理可得： ． 故答案为：． 【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题． 23．（2024春•徐州期中）在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 　　． 【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：因为为圆内接四边形， 所以，则， 利用余弦定理得， ， 解得， 所以， 由，， 得， 因为，所以， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 24．（2024春•徐州期中）圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为 　　． 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出． 【解答】解：由题可得在直角中，，， 所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得， 所以， 则在直角中，，即圣索菲亚教堂的高度约为． 故答案为：． 【点评】本题考查了解三角形的实际应用，考查了正弦定理的应用，属于中档题． 25．（2024春•广陵区校级期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，点是的重心，若，且，则　4　． 【分析】先求出，再利用点为的重心，得到，结合向量求解． 【解答】解：由，得， 整理得， 解得或（舍， 又为锐角三角形，， 点为的重心， ， ，即， 整理得，解得或（舍． 故答案为：4． 【点评】本题考查向量在解三角形中的应用，属于中档题． 26．（2024春•溧阳市期末）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【分析】（1）边化角，将变形为的形式，进而求得，可得； （2）应用正弦定理将转化为，结合为锐角三角形，求得，即可得解． 【解答】解：（1）已知， 由正弦定理得：， ， 得， 又，即， 即， 又因为，所以，且， 所以，即； （2）由正弦定理得：，即，且， ，即， 而由为锐角三角形，，，得， 所以，即． 所以，且， 所以的周长的取值范围为． 【点评】本题考查三角变换以及正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 27．（2024春•宿迁期中）在直角三角形中，，点，在边上，且，设，． （1）若，求，的值； （2）若，求的最大值． 【分析】（1）由题意可求， ，，进而利用两角差的正切公式即可求解； （2）由题意可求，，进而利用两角差的正切公式以及基本不等式即可求解． 【解答】解：（1）若， 则三角形为等腰直角三角形， 所以， ，， 所以， ； （2）若， 则，， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 【点评】本题主要考查了两角差的正切公式以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 28．（2024春•扬州月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且， 求角的取值范围； 求面积的取值范围． 【分析】（1）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合，，可求，进而可求的值． （2）由题设及正弦定理，可求，结合，可求，可求范围，进而根据三角形的面积公式即可求解面积的取值范围． 【解答】解：（1）由题设及正弦定理得：， 因为，所以． 由，可得， 所以． 因为，所以， 因为，所以； （2）因为为锐角三角形， 所以，， 由（1）知，， 所以，即角的取值范围为； 由题设及（1）知，的面积． 由正弦定理得． 因为，所以， 所以，从而． 因此面积的取值范围是． 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 29．（2024春•泗阳县校级月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）证明：为等腰三角形． （2）若是边的中点，，求的面积． 【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理推出，从而知是等腰三角形； （2）在和中，分别利用余弦定理，可建立关于的方程，解之，再由三角形面积公式，求解即可． 【解答】（1）证明：由正弦定理及，得， ， 由余弦定理得，， ，整理得， ， 为等腰三角形． （2）解：由（1）知， 是边的中点，， 在中，由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得，， ， 代入，，得， 由得，， 的面积． 【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角形面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 30．（2024春•相城区校级月考）记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）若是边的三等分点（靠近点，，设， ①用表示，，及； ②求实数的取值范围． 【分析】（1）由题意及正弦定理，余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）中，中，由正弦定理得，的表达式，整理可得的表达式，由的范围，可得的范围． 【解答】解：（1）由题意及正弦定理可得：， 整理可得：，， 又因为， 所以； （2）设，，，则，， 在中，由正弦定理得：，即，① 在中，由正弦定理得：， 又， 由，整理可得， 得，② 由①②可得：， 所以， 因为，所以， 所以， ，即， 所以，解得． 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题． 31．（2024春•玄武区校级月考）在中，、为边上两点，且满足，，，， （1）求证：； （2）求证：为定值； （3）求面积的最大值． 【分析】（1）在和中，分别利用正弦定理，再由等量代换，即可得证； （2）结合已知条件与三角形的面积公式，可得，两式相乘得； （3）设，根据余弦定理及三角形面积公式，用含的式子表示三角形的面积，再利用二次函数的性质，求解即可． 【解答】（1）证明：在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为， 所以，即． （2）证明：因为，，，， 所以， ， 两式相乘得，， 所以，为定值． （3）解：由（2）知， 设，则， 所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 所以， 由，得， 故当时，取得最大值， 所以面积的最大值为27． 【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式以及二次函数的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 一．多选题（共1小题） 1．（2024春•建邺区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，，点，，分别是的重心，垂心，外心．若，则以下说法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】设，，，由，可求，进而可求得，，，进而由正弦定理可判断；不妨取，由三角形外心的性质可得，可判断；设外心到边的距离为，由欧拉线定理可得，进而可得，进而可求，判断；由题意设边上的中线长为，由平行四边形的性质可得，可求得，可判断． 【解答】解：设，，， 由，解得， 即， 可求得， 所以，故正确； 不妨取， 由外心性质可知，中面积比等价于，故正确； 设外心到边的距离为， 由三角形中的欧拉线定理知三角形的外心、垂心和重心在一条直线上， 而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半（根据重心为中线的三等分点可证）， 又在边的垂直平分线上，进而可得， 所以，所以，所以， 结合选项，可得，故正确； 设边上的中线长为，设边上的中线长为，设边上的中线长为， 由重心的性质可得， 设三角形中，为边上的中点，，，所对边为，，， 延长边上的中线至，使，连接，，可得四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质可得，所以可得边上的中线长为， 结合中线长公式可得， 所以，故错误． 故选：． 【点评】本题考查了正弦定理和三角形的面积公式，属于难题． 二．填空题（共3小题） 2．（2024春•邗江区校级期中）已知是锐角三角形，内角，，所对应的边分别为，，．若，则的取值范围是 　　． 【分析】根据用余弦定理化简得到，再结合正弦定理化简得出，从而可得，从而可得，令，，再利用二次函数性质即可求解． 【解答】解：因为，得， 由余弦定理得， 所以，即， 由正弦定理得， 因为， 则， 所以， 即， 因为是锐角三角形， 所以，， 所以， 又在上单调递增， 所以，则， 因为是锐角三角形， 所以，，， 所以， 由正弦定理得 ， 令，因为，所以， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查解三角形中最值或范围问题，属于难题． 3．（2024春•高邮市校级期中）在中，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是 　　． 【分析】根据可分析出是直角三角形，画出图形，可设，借助于余弦定理在三角形中表示出，然后再利用三角形借助于余弦定理找到与角的关系，代入表达式，利用导数研究函数最值的方法求解． 【解答】解：在三角形中，设，则，且． 由正弦定理得，解得， 显然为锐角，故． ． 设，． 在中， ①． 又在中，． ．代入①式得： ． 令，则上式可化为，②． ，令得，可见． 即，或（舍 将代入②式得，故．（因为开区间内唯一的极值点即为该函数的最值点） 故答案为：． 【点评】本题考查了利用正余弦定理解三角形的问题，同时也考查了导数在实际优化问题中的应用．还考查了学生的逻辑推理能力和数学运算能力．难度较大， 4．（2024春•南京期中）已知的内角，，所对的边为，，，且，，若点是外一点，，，则当四边形面积最大时，　　． 【分析】由已知以及正弦定理可知，化简可得，结合的范围可求，设，，可求，，，在中，由余弦定理可得，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求，其中，，由，，，，可求，进而根据同角三角函数基本关系式可求的值． 【解答】解：由以及正弦定理可知，， 即． 由于：，， 可得：，． 中，由于，设，， 则，，则， 在中，由余弦定理可得：， 由于，，则：，可得：， 则， 而， 则，其中，， 则当时，四边形的面积有最大值， 由于，， 则此时，故， 则， 由于，， 则． 故四边形面积最大时，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于难题． 三．解答题（共7小题） 5．（2024春•邗江区校级月考）已知中，角，，的对边分别为，，，，． （1）若，求的值； （2）过点作的垂线，为上一点． ①若，，求线段的长； ②若且点在外部，求线段长的取值范围． 【分析】（1）利用正弦定理可得，，再结合已知条件，求解即可； （2）①在中，利用正弦定理求得，从而知的值，再在中，由，代入运算，求解即可； ②设，，在中，利用正弦定理表示出，再在中，利用正弦定理表示出，然后结合三角恒等变换公式，求解即可． 【解答】解：（1）由正弦定理知，， 所以，， 若，则，即， 两边同时除以得，． （2）①在中，由正弦定理得，， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 若，则，，三点共线， 在中，， 所以． ②设，，则，， 在中，由正弦定理知，， 所以， 在中，由正弦定理知，， 所以， 因为，所以，，所以，， 所以，， 故线段长的取值范围为． 【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 6．（2024春•海门区校级期中）在凸四边形中，． （1）若，，，四点共圆，，求四边形的面积； （2）若，求的值． 【分析】（1）由圆内接四边形的性质，得到，从而在中利用余弦定理列式，解出，，同理，在中利用余弦定理算出，，进而根据三角形的面积公式，算出； （2）设，则，，结合，算出，在中利用正弦定理，推导出，根据三角恒等变换公式化得到关于的一元二次方程，解出的值，进而算出，可得的值． 【解答】解：（1）因为，，，四点共圆且，所以，可得， 在中，由余弦定理得， 结合，，所以，解得（舍负），所以， 则， 在中，由余弦定理，得， 结合，可得， 解得或（舍去），所以， 所以， 可得； （2）在中，设，，则， ，由，可得， 因为，所以， 在中，由正弦定理可得，即， 所以，即， 所以 ， 整理得，结合，解得， 根据正弦定理，可得， 故，所以． 【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、利用正弦定理与余弦定理解三角形等知识，考查了运算求解能力、图形的理解能力，属于难题． 7．（2024春•东海县期中）已知中，角，，的对边为，，，是边上的中点． （1）若． 求； 若，，求的面积； （2）若，，，试探究存在时，，满足的条件． 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，进而可求的值； 在中，由余弦定理得，利用平面向量数量积的运算可得，联立方程可求得，进而利用三角形的面积公式即可求解； （2）在中，由余弦定理得 ①，利用平面向量数量积的运算可得 ②，联立解得，与同号，分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）在中，因为， 由正弦定理可得， 所以， 因为，得， 所以， 故； 在中，由余弦定理得，即，① 因为是边上的中点， 所以，即，② ①②得， 所以 的面积为； （2）如图所示，在中，由余弦定理得，即 ①； 因为是边上的中线， 所以，两边平方有 ②， 将①式代入②，得，与同号， 当时，，存在， 当时，， 由②可得， 因为， 所以，即， 当为锐角时，，，，③式为， 令，，知在上单调递减，所以， 当为钝角时，，，，③式为， 令，，知 在 上单调递增，所以， 所以，当时，，存在； 当为锐角时，，存在； 当为钝角时，，存在． 【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，平面向量数量积的运算以及函数的单调性的应用，考查了分类讨论思想和函数思想，属于难题． 8．（2024春•常州期中）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角． 如图，在中，角，，所对边长分别为，，，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． （1）若．求证： ①为的面积）； ②为等边三角形． （2）若，求证：． 【分析】（1）①先根据表示出三角形得面积，再在，，中由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；②先利用作差法证明，并求出取等号的条件，再结合即可得证； （2）根据（1）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证． 【解答】解：（1）①证明：若， 则 ， 所以， 在，，中，分别由余弦定理得： ， ， ， 三式相加整理得， 即，所以； ②证明：由余弦定理可得， 则 ， 当且仅当且时取等号， 因为，所以，所以，所以， 即当且仅当且时取等号，即当且仅当为等边三角形时取等号， 所以，当且仅当为等边三角形时取等号， 又由①知，所以为等边三角形； （2）由（1）得， 所以， 因为， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 由正弦定理可得． 【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了转化思想，属于难题． 9．（2024春•江阴市校级月考）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知在中，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求△的面积最大值． 【分析】（1）由正弦定理边化角及三角形内角和定理化简即可得到，再由辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求得； （2）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值，再次利用基本不等式及三角形的面积公式可求得△的面积最大值． 【解答】解：（1）由正弦定理得， 因为， ， ， 因为， 所以即， 则或， 因为为三角形的内角，， ； （2）由余弦定理得，当时取等号，取的中点， ， ， 同理， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于难题． 10．（2024春•建邺区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，，，的面积为． （1）求； （2）若点在内部，满足，求的值； （3）若所在平面内的点满足，求的值． 【分析】（1）切化弦得出，即可求解； （2）根据在内部，得出，结合余弦定理得出，根据面积公式得出，即可得解； （3）根据角的取值分与在直线异侧和异侧，结合余弦定理求解即可． 【解答】解：（1）， ，因为， 所以，又因为， 所以或， （2）因为点在内部，所以，所以， 设，，，由余弦定理知，；；， ， 又因为， 所以，，且， 所以， 综上所述，． （3）①当时， 与在直线异侧，设，，， 因为， 所以， 由余弦定理；；， ， 式知， ． ②当时， 与在直线异侧，同①，， 此时， ， ③，与在直线同侧， ，， 由余弦定理；， ， ， 综上所述，满足条件的点有3个，的值分别为，8和4． 【点评】本题考查解三角形的应用，属于难题． 11．（2024春•徐州期中）某居民小区内建有一块矩形草坪，米，米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路、和，考虑到小区整体规划，要求是的中点，点在边上，点在边上，且，如图所示． （1）设，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． 【分析】（1）要将的周长表示成的函数关系式，需把的三边分别用含有的关系式来表示，而， ，分别可以在，中求解，利用勾股定理可求，从而可求． （2）要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可．由（1）得，， 利用换元，设，则，从而转化为求函数在闭区间上的最小值． 【解答】解：（1）在中，，，， 在中，，，， ． 又， ， 即． 当点在点时，这时角最小，求得此时； 当点在点时，这时角最大，求得此时． 故此函数的定义域为 （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可． 由（1）得，， 设，则， 由，又，得， ， 从而，当，即时，， 所以当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元． 【点评】本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力． 一．选择题（共1小题） 1．（2024•甲卷）在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解． 【解答】解：因为，， 所以由正弦定理可得，， 由余弦定理可得：，即， ， 所以，． 故选：． 【点评】本题主要考查正弦定理，以及余弦定理，属于基础题． 二．填空题（共1小题） 2．（2024•上海）三角形中，，则　　． 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【解答】解：三角形中，， ， 由正弦定理，，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题． 三．解答题（共4小题） 3．（2023•新高考Ⅰ）已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【分析】（1）由三角形内角和可得，由，可得，再利用两角和与差的三角函数公式化简可得，再结合平方关系即可求出； （2）由求出，再利用正弦定理求出，，由等面积法即可求出边上的高． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 又，， 解得， 又，， ； （2）由（1）可知，， ， ， ，， 设边上的高为， 则， ， 解得， 即边上的高为6． 【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题． 4．（2024•山东）记的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若的面积为，求． 【分析】（1）利用余弦定理化简，得到，由此算出，结合，可得角的大小； （2）设的外接圆半径为，由的面积为建立关于的方程，解出的值，进而利用正弦定理算出边的值． 【解答】解：（1）因为，所以，结合为三角形的内角，可得． 因为，所以，结合，得； （2）由（1）可知，设的外接圆半径为，由正弦定理得，， 由，得， 即，解得，所以（舍负），可得． 【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 5．（2024•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求周长． 【分析】（1）由辅助角公式及角的范围，可得角的大小； （2）由正弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小，进而可得角的大小，再由正弦定理可得，的值，进而求出的周长． 【解答】解：（1）因为， 所以，即， 由为三角形内角得， 即； （2）因为， ，由正弦定理可得：， 可得， 又因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 所以，， 所以的周长为． 综上，的周长为． 【点评】本题考查正弦定理的应用，辅助角公式的应用，属于中档题． 6．（2024•北京）在中，，为钝角，． （1）求； （2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的面积． ①； ②； ③． 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得，即可得到； （2）分析选条件①不合题意； 选条件②，由已知结合正弦定理求得，由可求得，再由三角形面积公式求解即可； 选条件③，由（1）及已知可求得，结合余弦定理求得，再由三角形面积公式求解即可；． 【解答】解：（1）因为，， 所以， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 因为为钝角， 所以． （2）若选条件①，因为，， 所以，与矛盾，故不合题意，舍去； 若选条件②，因为，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又， 所以的面积为； 若选条件③，由（1）知， 因为，所以， 由余弦定理得， 即，解得， 所以的面积为． 【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$