1.1认识勾股定理（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

八年级北师大版数学上册 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 第一课时 认识勾股定理 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．（重点） 2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点） 情景导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。 对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关系？ 4 小明准备从电线杆离地面8米处向地面拉一根钢索，如果这条钢索离地面的固定点距离电线杆底部6米，小明要准备多长的钢索呢？为了解决这个问题，我们今天要研究直角三角形边与边之间的关系. 8米 6米 ?米 情景导入 在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流. a b c a2,b2,c2之间关系 1.勾股定理的探索 做一做 新知探究 6 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系? A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 做一做 A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图1 图2 (1)观察图1 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是 个单位面积. 正方形C的面积是 个单位面积. 9 9 9 18 思考1 用什么办法能求出图1中A, B的面积? 8 A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图1 图2 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 =18(单位面积) S正方形c 思考2 怎样求出图1中C的面积? 9 通过对图1的学习，求出图2正方形A,B,C中面积各是多少? A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图 1 图 2 解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C的面积是8个单位面积. 练一练 （1）观察图3、图4： （2）填表（每个小正方形的面积为单位1）： A的面积 B的面积 C的面积 图3 图4 4 9 16 9 ？ ？ 图3 图4 做一做 11 （3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流. 图3 图4 12 分割为四个直角三角形和一个小正方形 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形 “补” “割” “拼” 概念归纳 13 （4）分析填表数据 图4 图3 A的面积 B的面积 C的面积 图3 图4 4 9 16 9 13 25 14 结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 问题2 通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ SA + SB = SC 概念归纳 15 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.　 2.4 1.6 ? 问题4 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ a2 + b2 = c2 做一做 16 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 勾股定理 总结归纳 在西方又称毕达哥拉斯定理 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来。 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）： A B C 穿越毕达哥拉斯做客现场 正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C的面积 + = 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 2.利用勾股定理进行计算 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D B C 3 4 引例 新知探究 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用． 概念归纳 如图，已知AD是△ABC的中线． 求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)． 证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E. 在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中， AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2， ∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2) ＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)． 又∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)． E 例 1 典例剖析 构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题． 概念归纳 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16； 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 例 2 典例剖析 归纳总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形． 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 解析：因为AE＝BE， 所以S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又因为AE2＋BE2＝AB2， 所以2AE2＝AB2， 所以S△ABE＝ AB2＝ ； 同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又因为AC2＋BC2＝AB2， 所以阴影部分的面积为 AB2＝ . 如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________． 例 3 典例剖析 求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系． 概念归纳 求下列图形中未知正方形的面积及未知边的长度 （口答）： 已知直角三角形两边，求第三边. 练一练 求下列直角三角形中未知边的长: 8 x 17 12 5 x 解：由勾股定理可得： 82+ x2=172 即:x2=172-82 x=15 解:由勾股定理可得： 52+ 122= x2 即：x2=52+122 x=13 练一练 1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5，b=12，则c= 。 2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5，c=10，则b= 。 3.在直角三角形ABC中，它的两直角边长的比是 3:4，斜边长是20，则两直角边长分别是 、 。 13 12 16 练一练 随堂练习 1.求下图中字母所代表的正方形的面积。 （1） （2） 解:A 所代表的正方形的面积是； B 所代表的正方形的面积是.． 2.小明妈妈买了一部29 in（注：英寸的简写，1 in=25.4mm）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 随堂练习 解：不同意. 因为我们通常说的 29 in 是指荧屏对角线的长度，不是长或宽. 25.4×29=736.6（mm）， 736.6mm≈74（cm）， 58²+46²≈74²， 29 in正好是电视机屏幕的对角线长，故小明的说法错误. 解：x=10，y=12. 1.求出下列直角三角形中未知边的长度. 知识技能 习题1.1 解：因为172-152=64=82， 所以直角三角形另一直角边长为8 cm. 直角三角形的面积为 ×8×15=60（cm²）. 2.求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积． 知识技能 解：③④的面积之和，⑦⑧⑨⑩的面积之和，③⑧⑩的面积之和，④⑦⑨的面积之和均恰好等于①的面积. 3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给两种以上的方案． 数学理解 D 解：如图，作△ABC的高CD. 则AD=BD= AB=3（cm）. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD²=AC²－AD²=16=4²， 所以CD=4cm. 所以S△ABC= AB·CD=12（cm²）. 4.如图，求等腰三角形ABC的面积． 问题解决 C B 分层练习-基础 4 5 2 8 分层练习-基础 C B 分层练习-基础 分层练习-基础 B B 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 C 10 分层练习-巩固 十 9 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 课堂反馈 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2 利用勾股定理进行计算 课堂小结 知识点一：勾股定理 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么　a2＋b2＝c2　. 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，则BC为(　　) A．4cm　　　　 B．6cm　　　 C．8cm　　　 D．16cm 2．已知△ABC的三边分别是a、b、c，若∠B＝90°，则有关系式(　　) A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2 C．a2－b2＝c2 D．b2＋c2＝a2 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝　　. 知识点二：勾股定理的应用 4．已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距　　km. 5．如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2＝　 　. 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则b＝　　. 知识点三：利用勾股定理求边长与面积 7．(眉山中考)如图，四边形均为正方形，正方形中的数字代表其面积，字母B所代表的正方形的面积是(　　) A．12 B．13 C．144 D．194 8．如图所示，阴影部分是长方形，则它的面积是(　　) A．15cm2 B．45cm2 C．65cm2 D．100cm2 9．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b为直角边，c为斜边． (1)若a＝12，b＝35，求c； (2)若a＝20，c＝29，求b； (3)若c＝25，b＝24，求a； 解：(1)c＝37；　(2)b＝21；　(3)a＝7. 10．一根高9m的旗杆在离地4m高处折断仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明(　　) A．没有危险　　　　 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 11．如图，已知AB＝BC＝CD＝DE＝1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则AE的长为(　　) A．1.5　　 B．2　　 12．(襄阳中考)赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 13．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(　　) A.eq \f(5,3) B．eq \f(5,2) C．4 D．5 14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　　米． 15．如图，居民小区内有一块边长AC＝60米的正方形草坪，在草坪B处有健身器材，有的居民从A处去B处锻炼身体时，为了贪近，在草坪内踏出一条路AB，居委会王大妈想在A处立一个写有“少走eq \x(　)米，踏之何忍”的警示牌，她在eq \x(　)处填上适当的数字应是　　. 16．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为　　. 17．如图所示，在锐角△ABC中，AB＝30，AC＝25，BD边上的高AD＝24.求BC的长． 解：∵AD⊥BC，∴在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝302－242＝182，在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝252－242＝72.∴BD＝18，CD＝7.∴BC＝BD＋CD＝18＋7＝25. 18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝17，BC＝9，AC＝10，求△ABC的面积． 解：设CD＝x，则BD＝9＋x.∵AB＝17，AC＝10，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB2－BD2＝AD2，AC2－CD2＝AD2，则172－(9＋x)2＝102－x2，解得x＝6，在Rt△ACD中，AC2＝CD2＋AD2，∴102＝62＋AD2，∴AD＝8，∴△ABC的面积＝eq \f(1,2)×BC×AD＝eq \f(1,2)×9×8＝36. 19．在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走到离树20m远的池塘，而另一只爬到树顶后直接跃到池塘，距离以直线计算，如果这两只猴子所经过的距离相等，问这棵树有多高？ 解：如图， 会用勾股定理计算线段长． 如图所示，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求边BC上的高AD的长． 【思路分析】观察图形可知，AD是Rt△ABD和RtACD的公共边，在这两个直角三角形中，分别运用勾股定理表示AD2，建立方程求解． 【规范解答】设BD＝x(x＞0)，则CD＝14－x.在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2＝132－x2.同理，在Rt△ACD中，AD2＝152－(14－x)2.所以132－x2＝152－(14－x)2.解得x＝5.所以AD2＝132－52＝144，即AD＝12. $$