第03讲 正方形的性质与判定 （一）（2个知识点+2种经典题型+习题试卷）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第03讲 正方形的性质与判定（一）（2个知识点+2种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【例1】（2024•金凤区校级一模）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形；若，则的长度为 　　． 【变式1】（2024•新城区校级模拟）如图，已知边长为6的正方形的对角线，交于点，，分别是，边上的点，且，连接，．若，则线段的长为 　　． 【变式2】（2024春•江津区校级月考）如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，连接，过点作于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•赣榆区二模）已知：如图1，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接、． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 知识点2．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 【例2】（2023秋•秦都区期末）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 　　 可使菱形成为正方形． 【变式1】（2024•无锡一模）下列说法正确的是　　 A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．平行四边形一定是轴对称图形 【变式2】（2023秋•子洲县期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为 ．连接，，，，已知是边长为的等边三角形，当　　时，四边形为正方形． 【变式3】（2024•恩施州模拟）已知矩形，平分交的延长线于点，过点作，垂足在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 经典题型汇编 题型一．正方形的性质 1．（2024•文水县四模）如图所示，在正方形中，、分别为对角线上的两点，且，若，，则的长为 　　． 2．（2024•滨州二模）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．下列结论：①在点运动过程中，点始终在射线上；②在点运动过程中，可能为；③若是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 3．（2024春•宿城区期中）如图，正方形中，点，分别在边，上，且，连接、相交于点． （1）当时，　　； （2）判断与的关系，并证明． 题型二．正方形的判定 4．（2024•岳阳一模）如图，在菱形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•涟源市模拟）如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形．你添加的条件是 　　． 6．（2023秋•简阳市期末）如图，中，过点作，，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，． （1）求的长； （2）求证：四边形为正方形． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）对角线相等且互相垂直平分的四边形是（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．平行四边形 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在正方形中，，点、分别是边、的中点，连接、，点，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 4．（21-22九年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，，下列四个判断不正确的是（　　） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 5．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 6．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，正方形中，为对角线，，分别为，上的点，将与分别沿，折叠，使，分别落在对角线上的，处．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）如图，直线，四边形是正方形，点C在直线n上，点D在直线m上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22九年级上·山东滨州·期末）如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为．则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，如图①，当时，测得两点间的距离为；推动四边形如图②，当时，，两点间的距离为 ． 12．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，矩形的边长是，顺次连接各边中点，得到，顺次连接各边中点，得到，……，以此类推，则 ．    13．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，交于点O，且，，将绕点C顺时针旋转至，连接，且、分别为、的中点，则四边形的面积是 ． 14．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形ABCD中，DC＝14 cm，AD＝6 cm，点P从点A出发沿AB以4 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．设运动时间为t s，则t＝ 时，P，Q两点之间的距离是10 cm． 15．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，是射线上一点，以为斜边作等腰直角三角形（点和点在的同侧），连接．当时，则 ． 17．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ． 18．（23-24九年级上·天津·阶段练习）（1）如图①，锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，在边长为的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得线段，连接，则长度的最小值为 ； （3）如图③，正方形边长为，点在边上，．以点为圆心，长为半径画，点在上移动，将绕点逆时针旋转90°至，连接，在点移动过程长度的最大值为 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，绕正方形的顶点逆时针旋转得到，若，求正方形的面积． 20．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，在边长为3的正方形中，E为边上的一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到． (1)旋转角为_____度； (2)连接，若，求的长． 21．（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过作，交直线于，垂足为，连接，    (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？ (3)若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？（直接写出答案） 22．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，分别描出点，，，．    (1)试判断四边形的形状； (2)若两点不动，你能通过变动点的位置使四边形成为正方形吗？若能，请写出变动后的点的坐标． 23．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知O为正方形对角线的交点，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求正方形的面积． 24．（23-24九年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动． 【操作】： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结． 【琛究】： （1）如图①，当点在上时，______． （2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【应用】： 若正方形纸片的边长为，当时，的长为______． 25．（2023九年级上·山东·专题练习）有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，Q，在同一条直线l上，当，Q两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当Q在线段上时，___________；当Q在线段延长线上时，___________（用含t的代数式表示）． (2)当秒时，求S的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围． (4)当点P到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出t的值． 26．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与直线交于，，． (1)求直线的解析式． (2)点P是射线上的动点，过点P作且与交于点Q，轴垂足为点F，轴垂足为点H，当四边形为正方形时，求出正方形的边长． (3)如图2，连接，将沿直线翻折得到．若点M为直线上一动点，在平面内是否存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出N的坐标，并把求其中一个点N的过程写出来，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 正方形的性质与判定（一）（2个知识点+2种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【例1】（2024•金凤区校级一模）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形；若，则的长度为 　　． 【分析】首先利用正方形的性质可以求出，然后利用等边三角形的性质与勾股定理求出． 【解答】解：四边形为正方形，， ，， ， 为正方形对角线的中点，为等边三角形， ，，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式1】（2024•新城区校级模拟）如图，已知边长为6的正方形的对角线，交于点，，分别是，边上的点，且，连接，．若，则线段的长为 　4　． 【分析】连接，过作于，由，根据正方形的对称性可知，，，设，则，，根据，得，即可解得，从而． 【解答】解：连接，过作于，如图： 由，根据正方形的对称性可知，，， ， ， 设，则， ， ，，， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ； 故答案为：4． 【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式2】（2024春•江津区校级月考）如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，连接，过点作于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据正方形的性质，得，，则，证明，再结合勾股定理，根据对应边成比例进行列式计算，即可作答． 【解答】解：如图： 四边形是正方形，， ，， ， ， 则， ， ， ， 则， 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式3】（2024•赣榆区二模）已知：如图1，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接、． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 【分析】（1）根据正方形的性质和证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据平行四边形的判定解答即可． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 知识点2．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 【例2】（2023秋•秦都区期末）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件　或　可使菱形成为正方形． 【分析】知道四边形是菱形和菱形的对角线，要在菱形的对角线的性质的基础上加上合适的条件使菱形成为正方形，再结合正方形的对角线的性质就可以得出需要添加的条件． 【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 【点评】本题是一道条件开放性试题，考查了菱形的性质的运用，正方形的性质的运用，解答时熟悉正方形的判定方法是关键． 【变式1】（2024•无锡一模）下列说法正确的是　　 A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．平行四边形一定是轴对称图形 【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可判断不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，可判断不符合题意；对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，则对角线相等的菱形是正方形，可判断符合题意；平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 故不符合题意； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形， 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， 故不符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形， 对角线相等的菱形既是菱形又是矩形， 对角线相等的菱形是正方形， 故符合题意； 平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形， 故不符合题意， 故选：． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、轴对称图形等知识，正确理解和掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的定义和判定定理是解题的关键． 【变式2】（2023秋•子洲县期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为 ．连接，，，，已知是边长为的等边三角形，当　3　时，四边形为正方形． 【分析】由题意得 ，则 ，由菱形的性质得，，所以当时，四边形是正方形，而是边长为的等边三角形，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：由题意得 ， ， 菱形的对角线，相交于点， ，， 四边形是菱形， 当时，四边形是正方形， 是边长为的等边三角形， ， 由得， 解得， 当时，四边形是正方形， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查菱形的判定与性质、正方形的判定、等边三角形的性质、动点问题的求解等知识与方法，证明当时，四边形是正方形是解题的关键． 【变式3】（2024•恩施州模拟）已知矩形，平分交的延长线于点，过点作，垂足在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 【分析】根据矩形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出四边形是矩形，求得，于是得到结论． 【解答】解：四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 矩形是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解决问题的关键． 经典题型汇编 题型一．正方形的性质 1．（2024•文水县四模）如图所示，在正方形中，、分别为对角线上的两点，且，若，，则的长为 　　． 【分析】将绕点逆时针旋转，即，连接，由于旋转得，，，，，，在正方形中，，，，可得， 证，可得，在中，，因为，，，可得的长． 【解答】解：将绕点逆时针旋转，即，连接， ， 由于旋转得，，，，，， 四边形是正方形， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定条件． 2．（2024•滨州二模）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．下列结论：①在点运动过程中，点始终在射线上；②在点运动过程中，可能为；③若是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 【分析】由“”可证，可得，可证点，点，点三点共线，故①正确；由三角形的外角可得不可能为，故②错误；由，可得，当时，有最小值为，即有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得的值为或或0，故④不正确，即可求解． 【解答】解：如图，连接，过点作交于， 四边形和四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， 点，点，点三点共线，故①正确； ，，， ， 则点与点重合， 此时不存在，故②错误； 如图，取的中点，连接， 点是的中点，点是中点， ， ， ， 又， ， ， 点是线段上一点， 当时，有最小值为， 有最小值为，故③正确； ， ， 当点是中点时，，则是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， ， 当点是起点的时候，，是等腰三角形， 故④不正确， 故选：． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2024春•宿城区期中）如图，正方形中，点，分别在边，上，且，连接、相交于点． （1）当时，　40　； （2）判断与的关系，并证明． 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质，可以求得的度数； （2）根据（1）中的结论和正方形的性质，可以得到，的位置关系． 【解答】解：（1）四边形是正方形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：35； （2），的位置关系互相垂直， 证明：由（1）知， ， ， ， ， 即，的位置关系互相垂直． 【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型二．正方形的判定 4．（2024•岳阳一模）如图，在菱形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． 即或． 故选：． 【点评】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答． 5．（2024•涟源市模拟）如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形．你添加的条件是 　（答案不唯一）　． 【分析】依据正方形的判定定理进行判断即可． 【解答】解：四边形是菱形， 当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形为正方形， 当或时，菱形为正方形， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 6．（2023秋•简阳市期末）如图，中，过点作，，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，． （1）求的长； （2）求证：四边形为正方形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，推出四边形中是平行四边形，求得，得到，，于是得到结论； （2）由（1）得，根据相似三角形的性质得到，求得，，推出四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到四边形是菱形，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）解：在中，， ， ， 四边形中是平行四边形， ， ， ，， ， 即的长为2； （2）证明：由（1）得， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）对角线相等且互相垂直平分的四边形是（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】B 【分析】 此题考查了正方形的判定； 由对角线互相平分，可得此四边形是平行四边形；又由对角线相等，可得是矩形；又根据对角线互相垂直，可得是正方形． 【详解】 解：四边形的对角线互相平分， 此四边形是平行四边形； 又对角线相等， 此四边形是矩形； 又对角线互相垂直， 此四边形是正方形． 故选：B． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定逐个判定即可得到答案； 【详解】解：当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意， 当时，四边形是正方形，故B符合题意， 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意， 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 3．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在正方形中，，点、分别是边、的中点，连接、，点，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】 此题考查正方形的性质，连接，根据正方形的性质和勾股定理得出，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】 解：连接，如图： 四边形是正方形． ，， ，分别是边，中点， ． 在中，由勾股定理得：． 点、分别是、的中点， 是三角形的中位线， ． 故选：D． 4．（21-22九年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，，下列四个判断不正确的是（　　） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理和正方形的判定定理等知识点．两组对边分别平行的平行四边形是平行四边形；有一个角是的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四个角是直角且四个边都相等的四边形是正方形，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形， 故A选项正确，不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 故B选项正确，不符合题意； C、∵分， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； D、如果且， 则四边形是菱形， 故D选项错误，符合题意； 故选：D 5．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 根据正方形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；推导出不是等边三角形，进而得到，故③错误；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴不是等边三角形， ∴，故③错误； ∵， ∴， 延长交的延长线于，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是斜边的中线， ∴．故④正确； 故选：C． 6．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，正方形中，为对角线，，分别为，上的点，将与分别沿，折叠，使，分别落在对角线上的，处．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质和数形结合是解题的关键．设，根据折叠的性质、等腰三角形的判定和性质得到，利用勾股定理列方程即可求得答案． 【详解】解：∵正方形中，为对角线，， ∴，， 设， ∵将与分别沿，折叠，使，分别落在对角线上的，处． ∴，，， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 解得， 即的长是， 故选：A 7．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）如图，直线，四边形是正方形，点C在直线n上，点D在直线m上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，平行线的性质． 由正方形可得，利用三角形的内角和定理可求得，进而得到，根据即可得到． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 【详解】详解片段 8．（21-22九年级上·山东滨州·期末）如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 9．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定及性质，特殊四边形的判定及性质；由三角形中位线定理及平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，再根据特殊四边形的判定及性质逐一判断即可求解；掌握特殊四边形的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ①若，则四边形为菱形；结论错误，不符合题意； ②若，则四边形为矩形；结论错误，不符合题意； ③若四边形是平行四边形，则与不一定互相平分；结论错误，不符合题意； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等；结论正确，符合题意． 故选：A． 10．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为．则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、勾股定理、根据面积等式列方程求线段的长度、运用转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所所需要的辅助线是解题的关键，设交于点I，交于点D，作于点G，于点H，求出，再根据勾股定理求得，由求得，再根据勾股定理列方程求得，即可求得，则，再证明，则，然后证明，则，，所以，最后求得； 【详解】解：如图，设交于点I，交于点D，作于点G，于点H， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴B、C、P三点在同一条直线上，A、C、M三点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设射线交于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点E在上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，如图①，当时，测得两点间的距离为；推动四边形如图②，当时，，两点间的距离为 ． 【答案】1 【分析】由当时，，两点间的距离为求出，推动四边形时，是等边三角形，即可得． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 在中，,， ∴； 当推动四边形，时，如图： ∵，， ∴此时是等边三角形， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形性质，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出正方形的边长． 12．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，矩形的边长是，顺次连接各边中点，得到，顺次连接各边中点，得到，……，以此类推，则 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    矩形中，， ， 是的中点， ， 通过图形特点可得，，…… 以此类推，可得， ， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，交于点O，且，，将绕点C顺时针旋转至，连接，且、分别为、的中点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质，三角形中位线定理可得，，再根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据旋转的性质可得，，得，从而知四边形为正方形由此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， 四边形为平行四边形， 将绕点顺时针旋转至， ，， ， 四边形为正方形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的判定与性质，正方形面积公式等知识，需要较强的推理能力，正确判断出四边形为正方形是解题的关键． 14．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形ABCD中，DC＝14 cm，AD＝6 cm，点P从点A出发沿AB以4 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．设运动时间为t s，则t＝ 时，P，Q两点之间的距离是10 cm． 【答案】/1.2/ 【分析】如图，过P点作，垂足为M点，得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解答即可． 【详解】解： 依题意得：点P从点A移动到点B 需要秒， 点Q从点C移动到点D需要14秒， 又∵两点同时出发，一点到达终点时另一点即停， ∴． 如图，过P点作，垂足为M点， ， ， 四边形ABCD为矩形， ∴∠A=∠D=∠PMD=∠APM=90°， ∴四边形ADMP也是矩形，(三个内角是直角) ， 在直角三角形PQM中， ，即 或（舍去） ∴时，P、Q两点之间的距离是10cm． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和用平方根的定义解方程，有一定难度，根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键． 15．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据正方形的性质可得，，可得四边形是平行四边形，从而判断①；根据矩形的性质可得，再由在中，，可得，从而判断②；根据三角形中位线定理可得，从而得到不平行，从而判断③；证明，可得，从而判断④，即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴点M是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故②错误； 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴点M是的中点， ∵N为的中点， ∴， ∵G为上一动点（不与端点B，C重合）， ∴点D，F，G不可能共线， ∴不平行， 即四边形不可能是正方形，故③正确； 如图，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵G为中点，点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题主要查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定是解题的关键． 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，是射线上一点，以为斜边作等腰直角三角形（点和点在的同侧），连接．当时，则 ． 【答案】或 【分析】由题意，分两种情况：①当在右边时；②当在左边时；当在右边时，过点作于，连接，如图所示，由等腰直角三角形性质、勾股定理及含的直角三角形性质求解即可得到；当在左边时，过点作于，过点作于，连接，如图所示，由全等三角形性质、正方形性质列方程求解即可得到． 【详解】解：由题意，以为斜边作等腰直角三角形，有两种情况，如图所示： 当在右边时，过点作于，连接，如图所示： 在和中，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在等腰中，，则， 在等腰中，，则， 在中，，，则， ，即在等腰中，， ， ，则， ，即， ，， ， 在中，，则，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理可得； 当在左边时，过点作于，过点作于，连接，如图所示： 四边形是矩形， 在和中， ， ，， 四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ， ， 在等腰中，，则， 在中，， 设正方形的边长为，则，解得， ； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求线段长，涉及等腰直角三角形性质、勾股定理、含的直角三角形性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质，分类讨论是解决问题的关键． 17．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ． 【答案】 2 【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明（）得，，从而点垂直平分，点垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵将绕点旋转到， ∴，， ∵， ∴（） ∴，， ∴点垂直平分，点垂直平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键． 18．（23-24九年级上·天津·阶段练习）（1）如图①，锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，在边长为的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得线段，连接，则长度的最小值为 ； （3）如图③，正方形边长为，点在边上，．以点为圆心，长为半径画，点在上移动，将绕点逆时针旋转90°至，连接，在点移动过程长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据是的平分线，可得，再根据锐角三角函数的定义即可求解； （2）作于点，根据题意，在的运动过程中，在以为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知，此时、、三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数的关系求出的长即可； （3）由“”可证≌，得到，点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，则当在对角线的延长线上时，最大，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． 是的平分线， ， 是点直线得到最短距离（垂线段最短）， ，， ， 的最小值是， 故答案为：； （2）如图，作于点， 是边的中点， ， 线段绕点旋转得线段， ， 菱形中，， ， 在中， ， ， 则， 在中，， 当在上时，最小， 则长度的最小值是：， 故答案为：； （3）当点在对角线的延长线上时，最大，连接， 由旋转得：，， 即， 四边形是正方形， ，， 即， ， 在和中， ， ≌， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 长度的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并结合分析问题． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，绕正方形的顶点逆时针旋转得到，若，求正方形的面积． 【答案】49 【分析】本题考查作图旋转变换、正方形的性质，由旋转可得，进而可得；再求出正方形的边长，再结合面积公式计算即可． 【详解】解： 四边形为正方形， ∴， 由旋转得，，， ，、、在一条直线上． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴正方形的边长为7， ∴正方形的面积． 20．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，在边长为3的正方形中，E为边上的一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到． (1)旋转角为_____度； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理． （1）由正方形的性质得，再由旋转的性质得，即可得出． （2）先由勾股定理求得，再证明是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ∵将绕点D逆时针方向旋转得到． ∴， ∴， 即旋转角为90度； （2）解：四边形是正方形， ， 在中，， 旋转得到， ， 在中，． 21．（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过作，交直线于，垂足为，连接，    (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？ (3)若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？（直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形是菱形，理由见解析； (3)当时，四边形是正方形． 【分析】（）证明四边形是平行四边形即可求证； （）四边形是菱形．证明即可求证； （）当时，四边形是正方形．证明即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定，等腰三角形的性质，正方形的判定，掌握以上定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵为中点， ∴， 由()得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形． 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵ 四边形是菱形， ∴四边形是正方形， 即当时，四边形是正方形． 22．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，分别描出点，，，．    (1)试判断四边形的形状； (2)若两点不动，你能通过变动点的位置使四边形成为正方形吗？若能，请写出变动后的点的坐标． 【答案】(1)四边形是菱形 (2)能，点坐标为，点坐标为或点坐标为，点坐标为 【分析】（1）作出四个点的坐标，结合图形以及菱形的判定分析即可得到答案； （2）由正方形也是菱形，只要对角线相等即可得出菱形是正方形，从而得到答案． 【详解】（1）解：作出四个点的坐标如图所示：    由图可得：，，， 四边形是菱形； （2）解：能， 正方形也是菱形，当时，菱形是正方形， ， 变动后的点坐标为，点坐标为或点坐标为，点坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形、菱形的判定、正方形的判定，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 23．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知O为正方形对角线的交点，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意利用方程思想求解是解此题的关键． （1）根据正方形的性质可得，可利用证得：； （2）由，可得，可证得，从而得到可得，，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可证得结论； （3）设边长为x，由（2）可表示出的长，然后在中，由勾股定理可得关于x方程即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵，， ∴， （2）证明：∵， ∴， ， ∴， ， ∵平分，即是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴正方形的面积为． 24．（23-24九年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动． 【操作】： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结． 【琛究】： （1）如图①，当点在上时，______． （2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【应用】： 若正方形纸片的边长为，当时，的长为______． 【答案】[探究]（1）；（2）；应用． 【分析】[探究] （1）连接，可推出，从而得出，进一步得出结果； （2）可证得，从而，进而得出结果； [应用]设，则，在中，，，，根据勾股定理得，求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：[探究] （1）如图①，连接， 垂直平分， ， 由折叠得， ，，， 四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形，则， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由（1）可知：，，， ， ， ， ， ； 应用 设，则， 由（2）知：， 在中，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 25．（2023九年级上·山东·专题练习）有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，Q，在同一条直线l上，当，Q两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当Q在线段上时，___________；当Q在线段延长线上时，___________（用含t的代数式表示）． (2)当秒时，求S的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围． (4)当点P到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或或或13 【分析】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，三角形的面积，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确分类，找出数量关系． （1）当点在上时，，当在的延长线时，； （2）当时，点在的右侧，此时的边长是3； （3）先根据临界确定两种情形：和，进而确定的边长，从而求得； （4）分为点在的右侧，在和之间及在左侧，设到距离是，距离是，列出二元一次方程组求得． 【详解】（1）解：当点在上时， ， 当在的延长线时， ． （2）解：如图1， 作于， ，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ； （3）解：当点和点重合时，点在上，此时， 当点和重合时，此时， 当点和和点重合时，此时， 当点在上时，此时， 当时，如图2， ， ， ， ， 当时，如图3， ， ， ， 当时，如图4， 此时是五边形或三角形， ； （4）解：设点到的距离是，到的距离是， 当点在的右侧时， ， ， ， 此时， 当点在和之间时， 当时， ， ， 此时， 当时， ， ， 此时， 当点在的左侧时， ，， ， 此时， 综上所述：或或或13． 26．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与直线交于，，． (1)求直线的解析式． (2)点P是射线上的动点，过点P作且与交于点Q，轴垂足为点F，轴垂足为点H，当四边形为正方形时，求出正方形的边长． (3)如图2，连接，将沿直线翻折得到．若点M为直线上一动点，在平面内是否存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出N的坐标，并把求其中一个点N的过程写出来，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或或或 【分析】（1）分别求出A、C、D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，，则，，再由，求出t的值即可求正方形的边长； （3）设，，，由，，求出，，①当为菱形对角线时，，求出；②当为菱形对角线时，，求出；③当为菱形的对角线时，，求出或． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将，代入， ∴，解得， ∴， 将代入， ∴， 解得， ∴， 设直线直线的解析式为， ∴，解得， ∴； （2）设，则，，， ∵， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， 解得或， ∵P点在射线上， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （3）存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，理由如下： 设，， ∵，， ∴，， 设， ∴，， 解得，（舍）或，， ∴， ①当为菱形对角线时，， ∴，解得：， ∴； ②当为菱形对角线时，， ∴， 解得（舍）或， ∴； ③当为菱形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴N点坐标或； 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，正方形的性质，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．注意第(3)问有多种情况，注意不要有遗漏． 学科网（北京）股份有限公司 $$