第03讲 一元二次方程的根与系数的关系（2个知识点+1种经典题型+习题试卷）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第03讲 一元二次方程的根与系数的关系（2个知识点+1种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【例1】（2023•盐都区一模）设、是方程的两个根，则　　． 【变式1】（2023秋•盐城期末）已知与分别为方程的两根，则的值等于　　 A． B．2 C． D． 【变式2】（2024•建湖县二模）已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数　　． 【变式3】（2024•广陵区一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，保． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法“求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：　　； （2）方程，，的两个根与方程 　　的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 知识点2．一元二次方程的整数根与有理根 对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数根问题，可以用根的判别式△＝b2﹣4ac来判别，但对于它的有理根、整数根情况就没有统一的方法来判别，常用到的方法有：（1）直接求解，（2）根的判别式法，（3）根与系效的关系，（4）巧设主元，（5）构造函数等方法，另对公式x1x2+x1+x2的恒等变形也是解决整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用 【例2】（2022秋•连云港期末）一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中可以取的值是　　 A．12 B．16 C．20 D．24 【变式1】（2021•栖霞区二模）已知关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为　　． 【变式2】（2020•仪征市一模）定义：若关于的一元二次方程，，，为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定，，为该“全整方程”的“全整数”． （1）判断方程是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由； （2）若关于的一元二次方程（其中为整数，且满足是“全整方程”，求其“全整数”． 【变式3】（2022•工业园区校级自主招生）已知关于的方程，其中，都是实数． （1）若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数的值． （2）若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数和的值． （3）是否同时存在质数和整数使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的，．若不存在，说明理由． 经典题型汇编 题型.一元二次方程的根与系数的关系 1．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）若a，b为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（       ） A．4 B．5 C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知满足，满足，且，则 ． 3．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）如果， 是方程： 的两个根，那么 ， ． 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列一元二次方程两根之和为2的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的方程的两根分别是，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程的两个根为、，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）设，，且，则代数式的值为（    ） A．5 B．3 C．9 D．11 5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）一元二次方程的两个根的符号为（   ） A．异号 B．同号 C．两根都为正 D．不能确定 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知与分别为方程的两根，则的值等于（    ） A． B．2 C． D． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．14 D．15 9．（23-24九年级上·江苏南京·期中）若关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的个数是（    ） （1）当时，方程一定有实数根； （2）当时，方程至少有一个根为； （3）当，方程的两根一定互为相反数； （4）当时，方程的两个根同号，当时，方程的两个根异号． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，则 ． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期中）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）若是一元二次方程的两根，则的值是 ． 14．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）设，是一元二次方程的两个根，且，则 ． 15．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知方程的两个根是，则 ， ． 16．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知方程的两根分别是和，则的值为 ． 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，且有，，则的值等于 ． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若两个不等实数满足条件：，，则的值是 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a，b是一元二次方程的两根，求代数式的值． 20．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知：方程组有两组不同的实数解，． (1)求实数k的取值范围． (2)是否存在实数k，使?若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由． 21．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：．其中m，n是方程的两解． 22．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实根． (1)求实数m的取值范围； (2)当时，若恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长c； (3)若方程两实根满足，求m的值． 23．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：无论m取何值，此方程必有实数根； (2)若x1，x2是原方程的两个跟，且，求m的值． 24．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程必有两个实数根； (2)若方程的一个根为，求的值及方程另一个根． 25．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”， (1)方程 “2倍根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值． (3)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 26．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程的根与系数的关系（2个知识点+1种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【例1】（2023•盐都区一模）设、是方程的两个根，则　3　． 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【解答】解：、，是方程的两个根， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【变式1】（2023秋•盐城期末）已知与分别为方程的两根，则的值等于　　 A． B．2 C． D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可直接求解． 【解答】解：与分别为方程的两根， ． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握根据根与系数的关系：若一元二次方程两个根为，，则，是解决问题的关键． 【变式2】（2024•建湖县二模）已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数　　． 【分析】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得的值，再根据根的判别式求得的取值范围．最后综合情况，求得的值． 【解答】解：一元二次方程的两个实数根为，， ，， ， ， 解得， 又方程有两个实数根， △， 解得， 综合以上可知实数． 故答案为：． 【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键要明确将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【变式3】（2024•广陵区一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，保． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法“求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：　　； （2）方程，，的两个根与方程 　　的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【分析】（1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程； （2）方法同（1）； （3）由化简，得，即可根据（2）可知关于的一元二次方程的根与关于的二元一次方程的根互为倒数，即，据此即可求得的值即可． 【解答】解（1）设所求的方程的根为，则， ． 把代入已知方程，得， 化简，得， 即所求方程为． 故答案为：； （2）设所求方程的根为，则， ． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故答案为：； （3）， 化简，得， 由（2）知，关于的一元二次方程的根与关于的二元一次方程的根互为倒数， 即， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 或， 或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2025和2022． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，换元法解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问题进行换根； 知识点2．一元二次方程的整数根与有理根 对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数根问题，可以用根的判别式△＝b2﹣4ac来判别，但对于它的有理根、整数根情况就没有统一的方法来判别，常用到的方法有：（1）直接求解，（2）根的判别式法，（3）根与系效的关系，（4）巧设主元，（5）构造函数等方法，另对公式x1x2+x1+x2的恒等变形也是解决整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用 【例2】（2022秋•连云港期末）一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中可以取的值是　　 A．12 B．16 C．20 D．24 【分析】分别代入数值解方程，逐一判断即可解题． 【解答】解：当时，方程为，解得不是整数，故选项不符合题意； 当时，方程为，解得不是整数，故选项不符合题意； 当时，方程为，解得或是整数，故选项符合题意； 当时，方程为，解得不是整数，故选项不符合题意；解法二： 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的整数根与有理根，解题的关键是利用特殊值法解决问题． 【变式1】（2021•栖霞区二模）已知关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为　0或　． 【分析】①当时，此方程为一元一次方程，求解判断即可得出结论； ②当时，此方程为一元二次方程，先用判别式判断出为非0实数，然后利用根与系数的关系，即可得出结论． 【解答】解：①当时，原方程可化为， ，此种情况符合题意； ②当时，原方程为一元二次方程， 关于的方程有根， △， 为非0实数， 设关于的方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，，， 关于的方程根都是整数， ，也是整数， 和也是整数， 为整数， ， 即满足条件的为0或， 故答案为0或． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，用分类讨论的思想是解本题的关键． 【变式2】（2020•仪征市一模）定义：若关于的一元二次方程，，，为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定，，为该“全整方程”的“全整数”． （1）判断方程是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由； （2）若关于的一元二次方程（其中为整数，且满足是“全整方程”，求其“全整数”． 【分析】（1）解出方程，即可得出结论； （2）先求出，再利用“全整方程”判断出是完全平方数，即可得出结论． 【解答】解（1）是，理由： 解方程得，， 两个根均为整数，满足定义， 方程为“全整方程”， ，，； （2）一元二次方程， ， ， 即：， 关于的一元二次方程是“全整方程”， 是完全平方数， 即是完全平方数， 或81或100， 为整数， （舍去），，（舍去）， 即原方程为， ，，． 【点评】此题主要考查了解一元二次方程的方法，完全平方数的特征，判断出是解本题的关键． 【变式3】（2022•工业园区校级自主招生）已知关于的方程，其中，都是实数． （1）若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数的值． （2）若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数和的值． （3）是否同时存在质数和整数使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的，．若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得△，，，代入可得关于的方程，解方程即可； （2）由方程有三个不同的实数根、、，可得，、是方程的两根；由根与系数的关系可得，，．△，进而得到关于的方程，解出即可求出的值； （3）方程有四个不同的实数根，，，，由（2）知，不妨设，是方程的两根，，是方程的两根，可得，进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）若，则方程为． 因该方程有两个不同的实数、， 可得△，，， 解得； 由，得， 解得或．（注意 因为，所以． （2）显然．方程可写成． 因该方程有三个不同的实数根， 即函数与的图象有三个不同的交点， 可得：，，即， 因为、是方程的两根， 即． 则，，． △， 解得． 由，得， 解得， 所以或，． （3）存在． 方程有四个不同的实数根，，，，由（2）知， 不妨设，是方程的两根，，是方程的两根， 则，，，， 则，， 因为， 所以， 因为是质数，，， 所以， ， 则， 则无解， 则， 则无解， 则， 则， 解得， 则， 则， 解得，2，5， 则， 则， 解得． 故，5， 所以存在满足条件的，．当时，；当时，． 【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根，根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键． 经典题型汇编 题型.一元二次方程的根与系数的关系 1．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）若a，b为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（       ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，熟悉，是解题的关键．根据方程的根的定义以及一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知满足，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．由题意可知实数、是关于的方程的两个不相等的实数根，由此可得答案． 【详解】解：实数、满足，，且， 实数、是关于的方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 3．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）如果， 是方程： 的两个根，那么 ， ． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了根与系数的关系：．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据根与系数的关系得，解不等式即可． 【详解】（1）， ， ， ， ∴不论取何值，方程总有两个实数根． （2）∵，且， ， 解得， ∴的取值范围为：． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列一元二次方程两根之和为2的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式及根于系数的关系即可求解． 【详解】解：A、，原方程无解，故不符合题意； B、，，故不符合题意； C、，，故符合题意； D、，，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根于系数的关系，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的方程的两根分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：，， ∴， 故选D． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程的两个根为、，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据两根之和等于，求解即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选D． 4．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）设，，且，则代数式的值为（    ） A．5 B．3 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据已知得出，是一元二次方程的两根，则，，把代数式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，，且， ∴，可以看作是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系，代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）一元二次方程的两个根的符号为（   ） A．异号 B．同号 C．两根都为正 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，常数项， ∴ ∴一元二次方程的两个根的符号是异号． 故选：A． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据若，是方程的两个根，则，，即可解题． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， 故选：A． 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知与分别为方程的两根，则的值等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可直接求解． 【详解】解：∵与分别为方程的两根， ∴， 故选：A． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．14 D．15 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值，把与分别代入方程得到，，根据根与系数的关系得到，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ 故选：C． 9．（23-24九年级上·江苏南京·期中）若关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．利用换元的思想是解决问题的关键．先把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于x的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系得到结论． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于x的方程的两根为， 则方程的两根为， ∵关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n， ， ． 故选：C． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的个数是（    ） （1）当时，方程一定有实数根； （2）当时，方程至少有一个根为； （3）当，方程的两根一定互为相反数； （4）当时，方程的两个根同号，当时，方程的两个根异号． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．正确．当时，，则方程一定有实数根； B．正确．当时，则，则方程至少有一个根为0； C．正确．当时，设方程两根为， ，则方程的两根一定互为相反数； D．错误．当时，方程的两个根异号，当时，方程的两个根同号． 故选：C． 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴． 故答案为3． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期中）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根．先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：、b是方程的两个实数根， ， ， ， 故答案为： 13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）若是一元二次方程的两根，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）设，是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得到，，代入，即可求出m的值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∵，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知方程的两个根是，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：，． 16．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知方程的两根分别是和，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，，，熟练掌握关系式是解题关键．根据一元二次方程根和系数的关系，将数值代入即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 根据一元二次方程根和系数的关系可得： ∴ 故答案为：1． 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，且有，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键．将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， ∵，即， 是的两根， ， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若两个不等实数满足条件：，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形应用，由，，得到是关于的一元二次方程的两个不等实数根，由根和系数的关系得到，，再由完全平方公式可得，代入计算即可求解，理解是关于的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是关于的一元二次方程的两个不等实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a，b是一元二次方程的两根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系．根据题意，得到，，整体代入代数式求值即可．掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ． 20．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知：方程组有两组不同的实数解，． (1)求实数k的取值范围． (2)是否存在实数k，使?若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)由等式得，不符合（1）所求范围，所以不存在 【分析】本题考查了高次方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的存在关系是解题的关键， （1）将方程整理为，根据题意可得，，求出的范围即可； （2）由根与系数的关系可得，通过计算可得，即可进行判断． 【详解】（1）解：， 将代入，得， 方程组有两组不同的实数解， ，， 解得且． （2）解：不存在，理由如下： ， ， ， 不成立． 21．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：．其中m，n是方程的两解． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系．先根据分式的混合运算法则，进行化简，根据根与系数的关系，得到，代入求值即可．掌握分式的运算法则，以及根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ； ∵m，n是方程的两解， ∴， ∴原式． 22．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实根． (1)求实数m的取值范围； (2)当时，若恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长c； (3)若方程两实根满足，求m的值． 【答案】(1) (2)斜边长6 (3) 【分析】（1）由题意知，，计算求解即可； （2）当时，，即，根据，计算求解即可； （3）由题意知，，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得：； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴斜边长6； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形，因式分解法解一元二次方程等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形是解题的关键． 23．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：无论m取何值，此方程必有实数根； (2)若x1，x2是原方程的两个跟，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【详解】（1）证明： ， 无论取何值，此方程必有实数根； （2）解：， ， 又，， ， 解得：， 24．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程必有两个实数根； (2)若方程的一个根为，求的值及方程另一个根． 【答案】(1)见解析； (2)，另一个根． 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式： （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论k取何值，方程必有两个实数根； （2）将代入原方程可求出k值，再根据两根之和等于可求出方程另一个根． 【详解】（1）证明：． ∵， ∴， ∴不论k取何值，方程必有两个实数根； （2）解：将代入原方程得， 解得：， ∴方程的另一个根为． 答：k的值为2，方程的另一个根为． 25．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”， (1)方程 “2倍根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值． (3)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值： （1）先利用因式分解法解方程得到，再由即可得到方程是“2倍根方程”； （2）设方程的两根为，由“2倍根方程”的定义可设，由根与系数的关系得到，进而求出，则； （3）解方程得到，再由“2倍根方程”的定义得到或，即或，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴方程是“2倍根方程”， 故答案为：是； （2）解：设方程的两根为， ∵一元二次方程是“2倍根方程”， ∴不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得， ∵是“2倍根方程”， ∴或， ∴或， ∴或． 26．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）因式分解法解一元二次方程得，根据定义，求解作答即可； （2）由，可得，，代入，整理得，，解得，或，分当时，当时，两种情况求解，然后判断作答即可． 【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：∵， ∴， 解得，， ∵， ∴方程为“限根方程”； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴，即，整理得，， ∴， 解得，或， ①当时，， 解得，， ∵， ∴符合题意； ②当时，， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去； ∴k的值为5． 学科网（北京）股份有限公司 $$