第03讲 二次根式的运算（一）（3个知识点+5种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第03讲 二次根式的运算（一）（3个知识点+5种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 【例1】（2022秋•浦东新区期中）下列等式正确的是　　 A． B． C． D．． 【变式1】（2021秋•虹口区校级期中）计算：　　． 【变式2】（2023秋•金山区校级月考）化简：． 知识点2．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【例2】（2022秋•宝山区校级期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】（2023秋•浦东新区期中）计算的结果是　　． 【变式2】（2023秋•金山区期中）计算：． 知识点3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【例3】（2023秋•静安区校级期中）下面计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•闵行区期中）计算：　　． 【变式2】（2024春•思明区校级月考）计算：． 经典题型汇编 题型一.二次根式的乘法 1．（23-24八年级上·上海杨浦·期中） 的一个有理化因式是（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 3．（21-22八年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 题型二.二次根式的除法 4．（20-21八年级上·上海·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级上·上海·阶段练习）计算：＝ ． 6．（20-21八年级上·上海金山·期中）计算： 题型三.二次根式的加减运算 7．（23-24八年级上·上海普陀·期中）计算： ． 8．（23-24八年级上·上海普陀·期中）下列运算中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算：． 题型四.二次根式的混合运算 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 ． 11．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·上海宝山·期末）计算：． 题型五.二次根式的乘除混合运算 13．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 14．（19-20八年级上·上海宝山·阶段练习）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）下列二次根式（左边）化简结果一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A．； B．； C．； D．． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（21-22八年级上·上海·阶段练习）计算： ． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）的一个有理化因式是 ． 9．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算： ． 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 11．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）解不等式：的解集是 ． 12．（21-22八年级上·上海宝山·阶段练习）已知x＝3﹣2y，则＝ ． 13．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： 14．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）合并同类二次根式 ． 15．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若等腰三角形的两条边分别长，，则此三角形周长为 ． 16．（22-23八年级上·上海宝山·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 17．（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且，则 ． 18．（22-23八年级上·上海静安·期中）计算： ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）计算：； 20．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 21．（23-24八年级上·上海松江·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 22．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）解方程：． 23．（22-23八年级上·上海·阶段练习）计算： 24．（23-24八年级上·上海长宁·期末）计算：． 25．（2022八年级上·上海·专题练习）已知，，求代数式的值． 26．（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）计算：      （2）计算： 27．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解方程：； （5）计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的运算（一）（3个知识点+5种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 【例1】（2022秋•浦东新区期中）下列等式正确的是　　 A． B． C． D．． 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：．，故此选项符合题意； ．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键． 【变式1】（2021秋•虹口区校级期中）计算：　　． 【分析】根据二次根式的乘法法则：计算． 【解答】解：原式； 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则，最后的化简是解题关键． 【变式2】（2023秋•金山区校级月考）化简：． 【分析】根据二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简计算方法进行计算即可得出答案． 【解答】解：，，， ，， 原式 ． ． 【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简的方法进行求解是解决本题的关键． 知识点2．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【例2】（2022秋•宝山区校级期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据二次根式的性质可判断①，根据二次根式的乘法运算可判断②，根据二次根式的性质和乘法可判断③，根据同类二次根式的定义可判断④． 【解答】解：，所以①正确；，所以②正确； 因为，则，所以③正确； 与不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键． 【变式1】（2023秋•浦东新区期中）计算的结果是　　． 【分析】先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【变式2】（2023秋•金山区期中）计算：． 【分析】根据二次根式的乘除，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查了二次根式的加减，熟记二次根式的运算法则并根据法则计算是解题关键． 知识点3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【例3】（2023秋•静安区校级期中）下面计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断． 【解答】解：、4与不能合并，所以选项错误； 、原式，所以选项的计算正确； 、原式，所以选项错误； 、原式，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【变式1】（2023秋•闵行区期中）计算：　　． 【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 【变式2】（2024春•思明区校级月考）计算：． 【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 经典题型汇编 题型一.二次根式的乘法 1．（23-24八年级上·上海杨浦·期中） 的一个有理化因式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理化因式的定义即可解答；掌握两个根式相乘的积为有理数成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 的一个有理化因式是． 故选A． 2．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（21-22八年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键． 题型二.二次根式的除法 4．（20-21八年级上·上海·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减法、乘除法法则和算术平方根的意义分别判断． 【详解】解：A、无法合并计算，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握运算法则． 5．（21-22八年级上·上海·阶段练习）计算：＝ ． 【答案】2 【分析】先化为最简二次根式，再进行二次根式除法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 6．（20-21八年级上·上海金山·期中）计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 题型三.二次根式的加减运算 7．（23-24八年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的减法法则进行计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的减法法则． 8．（23-24八年级上·上海普陀·期中）下列运算中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加减法法则依次进行判断即可得． 【详解】解：A、，选项说法错误，不符合题意； B、，选项说法错误，不符合题意； C、； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质，二次根式的加减法法则． 9．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的化简，将每一项先化简，再进行加减计算即可解答． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式化简的法则是解题的关键． 题型四.二次根式的混合运算 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得的解集，解题的关键是熟悉不等式的基本性质：不等式的两边同时除以负数，不等号的方向发生改变． 【详解】解：由，得： ， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A. 与不属于同类二次根式，不能运算，故A选项运算错误，不符合题意； B. ，故B选项运算错误，不符合题意； C. ，故C不符合题意； D. ，故D选项运算错误，不不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 12．（23-24八年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 先根据完全平方公式计算，然后进行分母有理化后合并即可． 【详解】解： ． 题型五.二次根式的乘除混合运算 13．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 14．（19-20八年级上·上海宝山·阶段练习）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据二次根式的加减乘除运算法则，直接求解各选项即可． 【详解】解：A．，无法计算，故选项A错误， B. ，故选项B错误， C. ，故选项C正确， D. ，故选D错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 15．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式加减运算法则，二次根式的性质，直接利用二次根式加减运算法则判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，原计算正确； D. ，原计算错误； 故选C． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：C． 3．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）下列二次根式（左边）化简结果一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用二次根式的性质和二次根式的乘除法法则对每个选项进行判断即可得出结论． 【详解】 解：∵是最简二次根式，不能再化简了， ∴A选项不一定成立； ∵成立的条件是：a≥0，b≥0， ∴B选项不一定成立； ∵ab，成立的条件是a，b同号， ∴C选项不一定成立； ∵，根据商的算术平方根的性质永远成立， ∴D选项一定成立． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质与乘除法法则成立的条件是解题的关键． 4．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义、二次根式的性质、分母有理数，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，本题根据二次根式的乘法与除法运算，结合化为最简二次根式的知识逐一分析即可． 【详解】解：，运算正确，故A不符合题意； 当，时，不成立，故B符合题意， ，运算正确，故C不符合题意； ，运算正确，故D不符合题意； 故选B 6．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算即可完成求解． 【详解】A.与不是同类二次根式，不能计算，故该选项计算错误，不符合题意， B.与不是同类二次根式，不能计算，故该选项计算错误，不符合题意， C.=，故该选项计算正确，符合题意， D.，故该选项计算错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 二、填空题 7．（21-22八年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 【详解】解：， ∴的一个有理化因式是， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理数，给分子、分母同乘以，利用平方差公式求解即可．掌握分母有理数的求解方法是解答的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，二次根式的混合运算，根据解不等式的步骤以及二次根式的运算法则，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 11．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）解不等式：的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（21-22八年级上·上海宝山·阶段练习）已知x＝3﹣2y，则＝ ． 【答案】 【分析】由x＝3﹣2y得，原式化简为，从而可求得值． 【详解】解：∵x＝3﹣2y ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题是化简求值问题，考查了二次根式的除法运算，二次根式的化简，求代数式的值，涉及整体思想，关键是二次根式的除法运算． 13．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 14．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）合并同类二次根式 ． 【答案】 【分析】直接去括号，合并同类二次根式得出答案． 【详解】 解：原式 故答案为: ． 【点睛】 本题主要主要考查了二次根式的加减，正确合并二次根式是解题关键． 15．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若等腰三角形的两条边分别长，，则此三角形周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系及二次根式的运算，根据题意可分两种情况进行求解，即当腰长为，底边为和当腰长为，底边长为，然后再根据三角形的三边关系再进一步判断求解即可．熟练掌握等腰三角形的性质、三角形的三边关系及二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ①当腰长为，底边为时， ∵， ∵ ∴， ∴围不成三角形，不符合题意， ②当腰长为，底边长为时， ∵，符合题意， ∴此三角形周长为． 综上所述：这个三角形的周长为． 故答案为：． 16．（22-23八年级上·上海宝山·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求出，然后求出S，代入公式即可求S，再根据二次根式比较大小的方法，即可求解． 【详解】解：∵三角形的三边长为a、b、c，记，面积， ∴当三角形的三边长分别为5，6，7时，， ∴面积， ∵，， ∴， ∴， ∵S介于整数n和之间， ∴． 故答案为：14． 【点睛】本题考查二次根式的应用，估算二次根式的值，解题的关键是理解题意，求出，S；掌握二次根式比较大小的方法． 17．（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且，则 ． 【答案】 【分析】先根据，且，判断出x、y的关系代入求出算式的值是多少即可． 【详解】∵， ∴， 又，， ∴，， ∴，即， 当时， 原式 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 18．（22-23八年级上·上海静安·期中）计算： ． 【答案】 【分析】利用，结合二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确化简二次根式是计算本题的关键． 先去括号和分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】 ． 20．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 21．（23-24八年级上·上海松江·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算及分式的约分，掌握分式的约分运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 22．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴ ， ∴方程的解为． 【点睛】本题考查了解方程，涉及二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 23．（22-23八年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先判断，化简，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确化简并熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 24．（23-24八年级上·上海长宁·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及性质是解题的关键．根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算乘法和分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 25．（2022八年级上·上海·专题练习）已知，，求代数式的值． 【答案】2015 【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案． 【详解】解：∵x， y， ． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键． 26．（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）计算：      （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，按照二次根式的性质，化简计算即可． (1)按照二次根式的混合运算法则，依次化简计算即可，分母有理化时要特别小心． (2)按照二次根式的混合运算法则，依次化简计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 27．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解方程：； （5）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【分析】（1）利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式，即得； （2）利用二次根式的性质，二次根式的乘除法法则进行计算； （3）利用平方差公式，负整数指数幂的法则，分母有理化，合并同类二次根式，即得； （4）利用解一元一次方程的一般步骤去分母，去括号，移项合并同类项，系数化成1，即得； （5）利用二次根式的性质，分母有理化，0指数幂性质化简，合并同类二次根式，即得． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化成1得，； （5） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解一元一次方程．熟练掌握二次根式的性质，二次根式混合运算的顺序和各种运算的法则，分母有理化，0指数幂性质，负整数幂性质，一元一次方程的解法，是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$