精品解析：天津市第五中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

天津五中2024年5月高一年级月考数学试卷 一、选择题（每题4分，共计40分） 1. 是虚数单位，复数（ ） A B. C. D. 2. 已知向量：，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知与，它们的夹角为（ ） A 90° B. 45°或135° C. 135° D. 45° 4. 已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ） A. 若，，则‖ B. 若，，则‖ C. 若‖，‖，则‖ D. 若‖，‖，则‖ 5. 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若，EF⊥AB，则EF与CD所成角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. 已知，，，令，，则对应的坐标为（ ） A B. C. D. 9. 与向量的夹角为的单位向量是（ ） A. 或 B. C. D. 或 10. 在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在试卷上. 二、填空题：（本大题共7个小题，每小题4分，共28分） 11. 是虚数单位，则值为__________. 12. 已知正方体的棱长为2，那么正方体的外接球的体积为______. 13. 若，，三点共线，则__________. 14. 已知过球面上三点A，B，C的截面圆的圆心到球心的距离等于球半径的一半，为边长是4的等边三角形，则球的表面积为__________. 15. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为__________ 16. 设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题:①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中正确的命题序号是_______. 17. 在平行四边形中，，，，点在上，满足，则_______. 三、解答题：本大题共3个小题，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，且的面积为，求的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点F. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 20. 在△ABC中，内角的对边分别是，，，． （1）求； （2）求； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津五中2024年5月高一年级月考数学试卷 一、选择题（每题4分，共计40分） 1. 是虚数单位，复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，即可求得答案. 【详解】复数， 故选：C 2. 已知向量：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以 ， 故选：B 3. 已知与，它们的夹角为（ ） A. 90° B. 45°或135° C. 135° D. 45° 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式直接求解即可 【详解】设与的夹角为，则 ， 因为，所以， 故选：D 4. 已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ） A. 若，，则‖ B. 若，，则‖ C. 若‖，‖，则‖ D. 若‖，‖，则‖ 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD，举例分析判断，对于B，由线面垂直的性质分析判断. 【详解】对于A，如图，，，则与相交，所以A错误， 对于B，因为，，所以由线面垂直的性质可得‖，所以B正确， 对于C，如图，‖，‖，则与相交，所以C错误， 对于D，如图，‖，‖，则与相交，所以D错误， 故选：B 5. 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，则由题意可得，然后分别表示出圆柱的表面积与侧面积进行求解即可. 【详解】设圆柱底面半径为，高为， 因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以， 所以圆柱的表面积为， 圆柱的侧面积为， 所以这个圆柱的表面积与侧面积的比值是， 故选：C 6. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理结合题意求解即可 【详解】因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点， 所以 ， 故选：D 7. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设，取的中点，连接，则，且，则即为与所成的角，，且又，故选A. 考点：1、异面直线所成的角；2、中位线的性质. 8. 已知，，，令，，则对应的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算公式计算即可. 【详解】因为，，， 所以，， 所以. 故选：B 9. 与向量的夹角为的单位向量是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设向量坐标，再根据夹角公式及向量模的计算公式，构造方程组，解方程组求出向量的坐标． 【详解】设为所求向量， 与向量的夹角为， 则或. 即或 故选：D． 10. 在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值. 【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，， ，，， 因为点在线段的延长线上，设， 解得 ， 所在直线方程为 因为点在边所在直线上，故设 当时 故选： 【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题. 第Ⅱ卷 注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在试卷上. 二、填空题：（本大题共7个小题，每小题4分，共28分） 11. 是虚数单位，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题. 12. 已知正方体的棱长为2，那么正方体的外接球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】正方体外接球的直径是正方体的体对角线，由此能求出正方体的外接球的体积． 【详解】解：正方体棱长2， 则其体对角线为 正方体的外接球的半径， 正方体的外接球的体积． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方体的外接球的体积的求法，解题的关键是明确正方体的外接球的直径是正方体的体对角线，属于基础题． 13. 若，，三点共线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得与共线，然后列方程可求出的值. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，三点共线， 所以与共线，所以，得， 故答案为： 14. 已知过球面上三点A，B，C的截面圆的圆心到球心的距离等于球半径的一半，为边长是4的等边三角形，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设球的半径为R，的外接圆半径为r，由正弦定理结论求出r，利用球的几何性质列式计算求出R，即可求得答案. 【详解】设球的半径为R，的外接圆半径为r， 则， 则，即， 故球的表面积为， 故答案为： 15. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用直观图中的信息，求出的长度，从而得到原平面图形中的长度，利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】 过作于， 在直观图中，，，， 所以，， 故原平面图形的上底为 ，下底，高为， 所以这块菜地的面积为， 故答案为：. 16. 设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题:①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中正确的命题序号是_______. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质判断①；根据面面平行的性质判断②，根据线面垂直的判定以及性质判断③；根据线面平行以及面面垂直判断④. 【详解】对于①，若，，则或，故①错误； 对于②，若，，根据线面平行的性质可知，②正确； 对于③，若，，则分别作两相交平面γ，δ与平面相交， 设交线分别为，且相交，相交，如图： 由于，故可得， 又，，故，则， 而，相交，故，③正确； 对于④，若，，则或或与相交不垂直或，④错误； 故答案为：②③ 17. 在平行四边形中，，，，点在上，满足，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】把作为基底，然后根据平面向量基本定理用基底将和表示出来，再求即可. 【详解】因为平行四边形中，，，，点在上，满足， 所以，， ， 所以 . 故答案为： 三、解答题：本大题共3个小题，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，且的面积为，求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用，化简得 ，然后利用正弦定理和余弦定理求解即可. （Ⅱ）利用面积公式得，得到，再利用，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意知， 即， 由正弦定理，得，①， 由余弦定理，得，又因为， 所以． （Ⅱ）因为，，由面积公式得，即． 由①得，故，即． 【点睛】本题考查正弦和余弦定理的应用，属于基础题. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点F. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线与平面平面的判定定理证明即可； （2）根据直线与平面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 连接，交于，连接． 因为底面是正方形，所以点是的中点， 在中，是中位线，所以， 而平面且平面， 所以，平面. 【小问2详解】 证明：由底面，面，得， 因为底面是正方形，有， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为，可知是等腰三角形，而是边的中点，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 又，，平面，所以平面． 20. 在△ABC中，内角的对边分别是，，，． （1）求； （2）求； （3）求的值． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理列方程求得. （2）利用正弦定理求得. （3）结合二倍角公式、两角和的正弦公式求得. 【小问1详解】 由余弦定理得，， 解得. 【小问2详解】 由正弦定理得 【小问3详解】 由余弦定理得， ， ， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$