第10讲 圆周角-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（苏科版）

第10讲 圆周角 【苏科版】 ·模块一 圆周角的概念与圆周角定理 ·模块二 圆周角定理的推论 ·模块三 圆内接四边形 ·模块四 课后作业 模块一 圆周角的概念与圆周角定理 圆周角： 定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。 【考点1 圆周角的定义】 【例1.1】（2023九年级·广西南宁·期末）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断． 【详解】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念． 【例1.2】（2023九年级·山东潍坊·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角． 【例1.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断． 【变式1.1】（2023九年级·江西赣州·期末）下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的都不是圆周角，C中的是圆周角， 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 【变式1.2】（2023九年级·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 【考点2 圆周角和圆心角的关系】 【例2.1】（2023·安徽蚌埠·二模）如图，是的外接圆，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出的度数． 【详解】解：中，，， ∴， ∴． 故选：B． 【例2.2】（2023九年级·河北邯郸·期中）嘉嘉的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她把三角板的顶点放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点，，如图所示，经测量弦的长为，则该镜子的直径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键正确作出辅助线．设镜子的圆心为，连接，，根据圆周角定理得出，得到是等边三角形，即可求解． 【详解】解：设镜子的圆心为，连接，，    ， ， ， 是等边三角形， ， 该镜子的直径为， 故选：C． 【例2.3】（2023九年级·北京大兴·期末）如图，在中，，，为的外接圆，求的半径． 【答案】⊙O的半径是 【分析】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，连接，，由圆周角定理求得，利用勾股定理求出即可． 【详解】连接，， ， ， 在中， ，，， ， ， （舍负）， 的半径是． 【变式2.1】（2023·浙江·二模）如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【变式2.2】（2023九年级·浙江台州·期中）如图，把一个量角器放在的上面，点B恰好在量角器上的位置，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了圆周角定理．根据量角器度量角的方法得到圆周角的度数为，然后根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：如图，， ∴． 故答案为：． 【变式2.3】（2023·山西太原·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数． 【答案】∠ABD=102°． 【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数． 【详解】解：∠AOB＝96°， ∴∠ACB＝48°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，， 又∵点D是的中点， ∴， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键． 【考点3 同弧或等弧所对圆周角的关系】 【例3.1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是弦，且，为上一点．连接、、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、等弧所对的圆周角相等、直角三角形的两个锐角互余，根据垂径定理得出，根据直角三角形的两个锐角互余、等弧所对的圆周角相等，计算得出答案即可，熟练掌握垂径定理、等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【详解】解：∵，为的直径， ∴，， 又∵， ∴， 故选：C． 【例3.2】（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形四个顶点都在⊙O上，点P是在弧上的一点（P点与C点不重合），则的度数是 ． 【答案】 【分析】连接，由正方形的性质、同弧或等弧上的圆周角相等即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形四个顶点都在⊙O上，点P是在弧上的一点（P点与C点不重合）， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握“同弧或等弧上的圆周角相等”是解题的关键． 【例3.3】（2023·宁夏固原·模拟预测）如图，图中两条弦相交于点E，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，证明结论． 【详解】证明：由圆周角定理得，， 在和中， ， ∴， ， ， 即． 【变式3.1】（2023九年级·辽宁鞍山·期末）如图，在中，点为弧的中点，，则 ． 【答案】 【分析】根据同弧（等弧）所对的圆心角是圆周角的两倍，由此即可求解． 【详解】解：∵点为弧的中点， ∴，且是圆心角，是圆周角， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆心角与圆周角的计算，掌握圆周角与圆心角的数量关系是解题的关键． 【变式3.2】（2023·安徽六安·三模）如图，已知的半径为2，，是的弦，是的直径，，弦与交于点E，且点E是的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、，根据垂径定理可得，．根据圆周角定理可得，进而可得．在中，求出的长，再求出的长，即可求出的值． 本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 【详解】连接、 ∵是的直径, 点E是的中点， ，， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 【变式3.3】（2023·河北廊坊·二模）如图，已知的两条弦，相交于点P，，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，三角形内角和性质，解题关键是灵活运用圆周角定理得到角的关系． 先根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据三角形内角和性质求出的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，， ∴， ∴， 即弧的度数为， 故选：A． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·北京·模拟预测）如图，点A，B，C，D在上，，，则 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待求角度集中在同一个三角形内． 利用同弧上的圆周角相等得到，然后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型2】（2023·贵州黔东南·模拟预测）如图，在中，，， (1)判断的形状并证明你的结论； (2)求的周长． 【答案】(1)为等边三角形，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理可求得，再结合题意，继而可得形状； （2）首先过点作于点，连接，由垂径定理，易求得的长，继而求得答案； 此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理，熟练掌握辅助线的作法，采用数形结合思想是解题的关键. 【详解】（1）解：为等边三角形，证明如下： 和都是弧所对的圆周角， ， 为等边三角形 （2）过点作于点，连接 ， 为等边三角形， 设，则， 在中，有， 解得 ， 即的周长． 【题型3】（2023九年级·山东潍坊·阶段练习）在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，注意：此类题一定要分情况考虑．即一条弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况中的角是互补的关系． 根据半径为R的圆中有一条长度为R的弦，知这条弦和两条半径组成了一个等边三角形．则该弦所对的圆心角是，要进一步求其所对的圆周角，应分情况考虑：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得此圆周角等于；当圆周角的顶点在劣弧上，根据圆内接四边形的性质，此圆周角和第一种的圆周角互补，即 【详解】解：半径为R，长度为R的弦， 这条弦和两条半径组成了一个等边三角形， 该弦所对的圆心角是， ①当圆周角的顶点在优弧上时，得此圆周角等于； ②当圆周角的顶点在劣弧上，得此圆周角等于； 故选：A． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·湖南·模拟预测）如图，内接于是的直径，连接．已知，则的度数是 ．    【答案】/100度 【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据圆周角定理得到，进而利用邻补角互补求解即可． 此题考查了同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，邻补角互补等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【题型2】（2023九年级·全国·竞赛）如图，在中，为直径，弦于点，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求弦与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理； （1）根据垂径定理，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）根据已知条件与圆周角定理可得，进而得出，设交于点，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设的直径为， ， 又， ， 解得， 的直径为． （2）解： ， ， ， ， 设交于点， 即弦与的夹角为．    【题型3】（2023九年级·河北石家庄·期中）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定： （1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得； （2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， 设，则， 在中：由勾股定理得， 在中：由勾股定理得， ∴， 解得 ∴的半径为9． 模块二 圆周角定理的推论 圆周角定理推论： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 【考点1 直径所对的圆周角是直角】 【例1.1】（2023·内蒙古包头·一模）如图，为的直径，点C，D，E在上，且D，E两点与点C分别在的两侧．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等成为解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据直径所对的圆周角为90度，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：连接， ，， ， 为的直径， ， ， 故选：B． 【例1.2】（2023·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果． 【详解】解：如图，连接，    为直角，且点都在圆上， 为直径，圆心P在上， ， ， ，， ， ， 故答案为：5． 【例1.3】（2023·山东泰安·三模）如图，是的直径，点，在上，，交于点．若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，先根据圆周角定理得到，，则可计算出，再利用圆周角定理得到，然后根据三角形内角和计算出，从而得到的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1.1】（2023九年级·河北石家庄·期末）如图，为的直径，，为上两点，，，则的长度为 ． 【答案】10 【分析】连接，由圆周角定理得，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式1.2】（2023·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点、，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接、，点在的延长线上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键． 如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1.3】（2023九年级·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 即点E为的中点； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点2 90°的圆周角所对的弦是直径】 【例2.1】（2023·浙江宁波·一模）如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，连接，利用圆周角定理得到是圆的直径，然后根据边长利用勾股定理求得直径的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形中，， ∴为的直径， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 【例2.2】（2023·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 【例2.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图所示，四边形内接于，．    求证： (1)； (2)是的直径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再由可计算出，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； （2）根据三角形内角和定理可计算出，则根据圆周角的推理即可得到为的直径． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， 而， ， ， ， ；    （2），， ， 为的直径． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 【变式2.1】（2023九年级·天津滨海新·期中）如图，四边形内接于，，，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】如图，连接证明为直径，则三点共线，再证明结合从而可得答案. 【详解】解：如图，连接 为直径，则三点共线， ，， 故答案为：5 【点睛】本题考查的是的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，熟悉以上两个性质是解题的关键. 【变式2.2】（2023九年级·江苏盐城·阶段练习）如图，点A，D，B，C在上，于点E．若，，求半径的长．    【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，90度的圆周角对的弦是直径，同弧或等弧所对的圆周角相等，直接利用圆周角定理结合等腰直角三角形的性质得出的长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：如图，连接，连接与交于点F，    ∵， ∴． ∴为直径． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． ∴半径的长5． 【变式2.3】（2023九年级·浙江绍兴·期中）如图，的平分线AD交外接圆于点D，若．连结BD，，时， (1)求⊙O的半径； (2)求BD的长 (3)求AD的长 【答案】(1)⊙O的半径为3 (2)BD的长为 (3)AD的长为 【分析】（1）连接BC，由得到，进而得到BC为直径，然后根据勾股定理求解即可； （2）连接BC，CD，首先根据圆周角定理得到，然后根据勾股定理求解即可； （3）作交AD于点E，首先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出BE的长度，然后求出DE的长度，最后根据勾股定理即可求出AD的长度． 【详解】（1）如图连接BC ∵ ∴ ∴BC为⊙O的直径，经过点O， ∴在中，， ∴半径； （2）如图连接OD， ∵， ∴， ∵， ∴在中，； （3）如图所示，作交AD于点E， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·河北邯郸·期中）图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 【答案】B 【分析】本题主要考查了的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解题的关键，根据的圆周角所对的弦是直径求解即可。 【详解】解：如图，连接，，    ∵， ∴是的直径，即 ∵点，与整钟点“时”重合， ∴点应位于“时”处， 故选： 【题型2】（2023九年级·山东枣庄·期中）如图，A、B、E、C四点都在上，是的高，，是的直径吗？为什么？ 【答案】是的直径，理由见解析 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦为直径，三角形内角和定理．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦为直径是解题的关键． 如图，连接，则，由，可得，则，进而可得是的直径． 【详解】解：是的直径．理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的直径． 【题型3】（2023年辽宁省辽阳市中考第三次模拟数学试题）如图，，以为半径，O为圆心作圆交射线于点B．仍以为半径，分别以A和B为圆心作弧交于点C和D．顺次连接A，C，B，D，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定，矩形的判定等知识，连接，证明是等边三角形，可得根据直径所对的圆周角是直角得由三角形内角和定理可得得进一步证明四边形是矩形，再计算面积即可 【详解】解：连接，如图， 由作图得， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴四边形是矩形， 又 ∴矩形的面积为 故选：B． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·江苏无锡·二模）如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型2】（2023九年级·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键． （1）根据是直径，求出，再根据点D在上且平分，求出的度数； （2）由题意得，利用勾股定理求出的长，即可求得的长． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵点在上且平分， ， ； （2）解：点D在上且平分， ， ， ， ， ． 【题型3】（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，点D在以为直径的半圆上，连接交于点E，若，则所对的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据圆周角定理判断出点在以为直径的圆上，然后根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴如图，点在以为直径的圆上， ∴所对的圆心角的度数是， 故选：C． 模块三 圆内接四边形 圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补。 【考点1 圆内接四边形的定义】 【例1.1】（2023·河南信阳·一模）的内接四边形中，与的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质，根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质即可得出结论． 【详解】解：的内接四边形中，， 故选B． 【例1.2】（2023九年级·河北石家庄·期中）圆内接四边形中，的度数之比为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，设的度数分别为，根据圆内接四边形的性质列出方程是解题的关键． 【详解】解：解：设的度数分别为， 由圆内接四边形的性质可知，， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【例1.3】（2023九年级·浙江杭州·期中）若四边形是圆内接四边形，若它的内角，则 ． 【答案】/72度 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆内接四边形对角互补的性质列方程． 【变式1.1】（2023九年级·河南安阳·期中）下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键． 【详解】解：∵四点共圆的四边形对角互补， ∴在平行四边形，矩形，菱形和梯形中，只有矩形的对角一定互补， ∴四个顶点一定在同一个圆上的是矩形， 故选：B． 【变式1.2】（2023九年级·陕西安康·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形，根据圆内接四边形的两对角互补得到即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【考点2 圆内接四边形的性质】 【例2.1】（2023·湖南娄底·三模）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，，则的度数是 ．    【答案】/128度 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆的内接四边形的性质以及圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案：． 【例2.2】（2023·陕西渭南·二模）如图，点A、B、C、D、E均在上，连接、、、，且，则 弧所对圆心角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，连接、，，根据圆内接四边形的性质得到，由求出，再根据圆周角定理解答即可，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】如图，连接、，，    ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，即弧所对的圆心角的度数为， 故选：C． 【例2.3】（2023九年级·湖南郴州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）首先根据直径的性质得到，然后根据含角直角三角形的性质求出直径，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质得到，然后根据点D为的中点得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了直径的性质，圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，弧、弦、角关系，等边对等角和三角形内角和定理等知识，根据题意找出相关的角度关系是解题关键． 【变式2.1】（2023·甘肃天水·三模）如图，，，，均在上，，若，则的长最大为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识点，连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据等边三角形的判定和性质解答即可，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】如图，连接、， ∵四边形为内接四边形， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 当为的直径时，最大，最大值为， 故选：B． 【变式2.2】（2023·江苏无锡·一模）如图，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出，根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 四边形为的内接四边形， ， ， ， 的度数为， 故选：C． 【变式2.3】（2023九年级·北京丰台·开学考试）已知，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，关键是分类讨论．分两种情况讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：当点为优弧上一点时，如图， 则， ， ； 当点为劣弧上一点时，如图， 则， 的度数为或． 故答案为：或． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·河南·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，，当__________时，四边形为菱形； (3)若，，则　　． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，在圆内接四边形中，，则，得出，即可得证； （2）根据四边形为菱形，得出，进而得出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （3）连接在，中，勾股定理分别求得，在中，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：， 设． 在圆内接四边形中，． ． ． ； （2）若四边形为菱形，则． ． 同理． ． ． ． 为等边三角形． 故答案为：． （3）如图，连接， ， ． 在中，． 在中，． 如图，连接，则． ． 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型2】（2023九年级·江苏南京·阶段练习）如图，⊙O是的外接圆，，是的中点，连接并延长交⊙O于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/59度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，根据圆周角定理求出的度数、垂径定理证得是解决问题的关键． 连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：连接， 四边形是圆内接四边形，， ， ， 是边的中点， ， ， ， 故 【题型3】（2023·安徽·二模）如图，为的直径，CD为的一条弦，的平分线交于点E，，的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，结合圆周角定理可得，从而可得答案； （2）如图，连接．证明，，可得，，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接． ， 平分， ． 为的直径， ∴， ， ． （2）证明：如图，连接． 平分， ，而，， ． 是的直径， ∴， ， ，， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分． (1)求证：平分，并求的大小； (2)过点C作交的延长线于点F，若，求此圆半径的长． 【答案】(1)证明见解析， (2)4 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，进而可得，再证，推出是圆的直径，可得； （2）先证，是等边三角形，进而证明和是含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，，即可求出半径． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是圆的直径， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵平分， ∴． ∵是圆的直径， ∴， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是圆的直径， ∴半径的长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，圆内接四边形的性质等，解题的关键是推导得出和是含30度角的直角三角形． 【题型2】（2023·广东江门·二模）如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，首先证明，从而得到的面积等于四边形的面积，证明为等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求出，解题的关键是将四边形的面积转化为的面积． 【详解】∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】（2023·山东烟台·一模）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)圆的半径长是 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，即可得出是直径； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径； （2）解：∵是直径； ∴， ∵， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 模块四 课后作业 1．（2023九年级·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 2．（2023·山西太原·二模）如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理．先求得，得到，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2023·江苏淮安·一模）如图，为的直径，、为上两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，进而得到，再由圆周角定理即可得到的度数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（2023·福建漳州·二模）如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于，， ， 由圆周角定理得，， 故选：D． 5．（2023·湖北孝感·模拟预测）如图，的直径长为10，弦长为6，的平分线交于点B，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D．24 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，由圆周角定理得到，，推出，因此是等腰直角三角形，于是得到，关键是由以上知识点推出是等腰直角三角形． 【详解】解：平分， ∴， ， ， 是圆的直径， ，， ∴是等腰直角三角形， ， ， 四边形的周长为， 故选：B． 6．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，圆内接四边形的性质，根据三角形外角的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故答案为：． 7．（2023·江苏扬州·二模）如图，中，是弦，点D在优弧上，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确记忆利用圆周角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理可知，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 8．（2023·山西运城·模拟预测）如图，中，是直径，点C，D，E都在圆周上，连接，，，，若，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查了圆周角的性质，解题关键是连接，根据圆周角的性质求出，即可． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2023·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果． 【详解】解：如图，连接，   为直角，且点都在圆上， 为直径，圆心P在上， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 10．（2023九年级·山东烟台·期中）如图，四边形是的内接四边形，，连接，，，，．则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由题意知，，则，，进而可求根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 11．（2023·甘肃金昌·三模）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再进行弧运算，得出，结合圆周角定理，即可作答． （2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 即； ∴ （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 12．（2023九年级·四川广安·期末）如图，四边形是的内接四边形，是等边三角形，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先求解，，再利用圆的内接四边形的对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 13．（2023九年级·江苏宿迁·期中）如图，、是上的两点，点在内，点在外，，分别交于点，，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了圆周角定理和三角形外角性质，能熟记圆周角定理是解此题的关键．延长交于，连接，，根据三角形的外角性质得出，，根据圆周角定理得出，即可得出答案． 【详解】解：，理由如下： 如图，延长交于，连接，， ∵和分别是和的外角， ∴，， ∵和都是所对的圆周角， ∴， ∴． 14．（2023九年级·四川巴中·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D．若，，求，的长． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出． 根据直径得出，根据勾股定理求出的长度；根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据等腰直角三角形的性质其解即可． 【详解】解：连接，如下图所示，    ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴． 15．（2023·安徽·三模）如图，四边形内接于圆，，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形外接圆的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，等腰三角形判定及性质，圆内接四边形性质． （1）利用圆周角定理，可得，再得到，即可得到本题答案； （2）根据圆内接四边形性质可得，继而得到，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ∵， ， ； （2）解：四边形内接于圆， ， 又， ， 为四边形外接圆的半径， ， ， 四边形外接圆的半径为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 圆周角 【苏科版】 ·模块一 圆周角的概念与圆周角定理 ·模块二 圆周角定理的推论 ·模块三 圆内接四边形 ·模块四 课后作业 模块一 圆周角的概念与圆周角定理 圆周角： 定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。 【考点1 圆周角的定义】 【例1.1】（2023九年级·广西南宁·期末）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【例1.2】（2023九年级·山东潍坊·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）． A． B． C． D． 【例1.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1.1】（2023九年级·江西赣州·期末）下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023九年级·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【考点2 圆周角和圆心角的关系】 【例2.1】（2023·安徽蚌埠·二模）如图，是的外接圆，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【例2.2】（2023九年级·河北邯郸·期中）嘉嘉的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她把三角板的顶点放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点，，如图所示，经测量弦的长为，则该镜子的直径为（   ）    A． B． C． D． 【例2.3】（2023九年级·北京大兴·期末）如图，在中，，，为的外接圆，求的半径． 【变式2.1】（2023·浙江·二模）如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023九年级·浙江台州·期中）如图，把一个量角器放在的上面，点B恰好在量角器上的位置，则的度数是 ． 【变式2.3】（2023·山西太原·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数． 【考点3 同弧或等弧所对圆周角的关系】 【例3.1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是弦，且，为上一点．连接、、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形四个顶点都在⊙O上，点P是在弧上的一点（P点与C点不重合），则的度数是 ． 【例3.3】（2023·宁夏固原·模拟预测）如图，图中两条弦相交于点E，且，求证：． 【变式3.1】（2023九年级·辽宁鞍山·期末）如图，在中，点为弧的中点，，则 ． 【变式3.2】（2023·安徽六安·三模）如图，已知的半径为2，，是的弦，是的直径，，弦与交于点E，且点E是的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.3】（2023·河北廊坊·二模）如图，已知的两条弦，相交于点P，，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·北京·模拟预测）如图，点A，B，C，D在上，，，则 ． 【题型2】（2023·贵州黔东南·模拟预测）如图，在中，，， (1)判断的形状并证明你的结论； (2)求的周长． 【题型3】（2023九年级·山东潍坊·阶段练习）在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为（    ） A．或 B．或 C． D． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·湖南·模拟预测）如图，内接于是的直径，连接．已知，则的度数是 ．    【题型2】（2023九年级·全国·竞赛）如图，在中，为直径，弦于点，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求弦与的夹角． 【题型3】（2023九年级·河北石家庄·期中）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 模块二 圆周角定理的推论 圆周角定理推论： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 【考点1 直径所对的圆周角是直角】 【例1.1】（2023·内蒙古包头·一模）如图，为的直径，点C，D，E在上，且D，E两点与点C分别在的两侧．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ． 【例1.3】（2023·山东泰安·三模）如图，是的直径，点，在上，，交于点．若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【变式1.1】（2023九年级·河北石家庄·期末）如图，为的直径，，为上两点，，，则的长度为 ． 【变式1.2】（2023·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点、，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接、，点在的延长线上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1.3】（2023九年级·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 【考点2 90°的圆周角所对的弦是直径】 【例2.1】（2023·浙江宁波·一模）如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为 ． 【例2.2】（2023·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【例2.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图所示，四边形内接于，．    求证： (1)； (2)是的直径． 【变式2.1】（2023九年级·天津滨海新·期中）如图，四边形内接于，，，，则的值为 ． 【变式2.2】（2023九年级·江苏盐城·阶段练习）如图，点A，D，B，C在上，于点E．若，，求半径的长．    【变式2.3】（2023九年级·浙江绍兴·期中）如图，的平分线AD交外接圆于点D，若．连结BD，，时， (1)求⊙O的半径； (2)求BD的长 (3)求AD的长 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·河北邯郸·期中）图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 【题型2】（2023九年级·山东枣庄·期中）如图，A、B、E、C四点都在上，是的高，，是的直径吗？为什么？ 【题型3】（2023年辽宁省辽阳市中考第三次模拟数学试题）如图，，以为半径，O为圆心作圆交射线于点B．仍以为半径，分别以A和B为圆心作弧交于点C和D．顺次连接A，C，B，D，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·江苏无锡·二模）如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023九年级·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 【题型3】（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，点D在以为直径的半圆上，连接交于点E，若，则所对的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 模块三 圆内接四边形 圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补。 【考点1 圆内接四边形的定义】 【例1.1】（2023·河南信阳·一模）的内接四边形中，与的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023九年级·河北石家庄·期中）圆内接四边形中，的度数之比为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例1.3】（2023九年级·浙江杭州·期中）若四边形是圆内接四边形，若它的内角，则 ． 【变式1.1】（2023九年级·河南安阳·期中）下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【变式1.2】（2023九年级·陕西安康·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【考点2 圆内接四边形的性质】 【例2.1】（2023·湖南娄底·三模）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，，则的度数是 ．    【例2.2】（2023·陕西渭南·二模）如图，点A、B、C、D、E均在上，连接、、、，且，则 弧所对圆心角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例2.3】（2023九年级·湖南郴州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 【变式2.1】（2023·甘肃天水·三模）如图，，，，均在上，，若，则的长最大为（   ） A． B． C．2 D． 【变式2.2】（2023·江苏无锡·一模）如图，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2023九年级·北京丰台·开学考试）已知，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则的度数为 ． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·河南·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，，当__________时，四边形为菱形； (3)若，，则　　． 【题型2】（2023九年级·江苏南京·阶段练习）如图，⊙O是的外接圆，，是的中点，连接并延长交⊙O于点，连接，则的度数为 ． 【题型3】（2023·安徽·二模）如图，为的直径，CD为的一条弦，的平分线交于点E，，的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分． (1)求证：平分，并求的大小； (2)过点C作交的延长线于点F，若，求此圆半径的长． 【题型2】（2023·广东江门·二模）如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．    【题型3】（2023·山东烟台·一模）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长. 模块四 课后作业 1．（2023九年级·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·山西太原·二模）如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏淮安·一模）如图，为的直径，、为上两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·福建漳州·二模）如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·湖北孝感·模拟预测）如图，的直径长为10，弦长为6，的平分线交于点B，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D．24 6．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为 ． 7．（2023·江苏扬州·二模）如图，中，是弦，点D在优弧上，，则 ． 8．（2023·山西运城·模拟预测）如图，中，是直径，点C，D，E都在圆周上，连接，，，，若，则的度数为 ． 9．（2023·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ．    10．（2023九年级·山东烟台·期中）如图，四边形是的内接四边形，，连接，，，，．则的度数是 ． 11．（2023·甘肃金昌·三模）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 12．（2023九年级·四川广安·期末）如图，四边形是的内接四边形，是等边三角形，，求的度数． 13．（2023九年级·江苏宿迁·期中）如图，、是上的两点，点在内，点在外，，分别交于点，，试比较与的大小，并说明理由． 14．（2023九年级·四川巴中·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D．若，，求，的长． 15．（2023·安徽·三模）如图，四边形内接于圆，，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形外接圆的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$