第08讲 圆-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（苏科版）

第08讲 圆 【苏科版】 ·模块一 圆的认识 ·模块二 与圆有关的概念 ·模块三 课后作业 模块一 圆的认识 圆的定义： 第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可看作到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 点与圆的位置关系： 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有： 点P在圆外d＞r ； 点P在圆上d=r ； 点P在圆内d＜r 。 【考点1 圆的定义】 【例1.1】（2023九年级·上海闵行·期末）经过点A，且半径等于圆的圆心的轨迹是 ． 【例1.2】（2023九年级·浙江宁波·期中）AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【例1.3】（2023九年级·福建厦门·期末）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1.1】（2023九年级·全国·课后作业）下列命题中，正确的有(   ) A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 【变式1.2】（2023九年级·吉林松原·期末）关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 ． 【变式1.3】（2023九年级·北京西城·期末）小云从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的图中角的度数为（    ） A．60° B．70° C．72° D．75° 【考点2 点和圆的位置关系】 【例2.1】（2023九年级·浙江温州·阶段练习）已知的半径为6，点P在外，则的长可以为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 【例2.2】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）已知的半径为，，下列四个图形中，正确的可能是（    ） A． B． C． D． 【例2.3】（2023九年级·江苏宿迁·阶段练习）的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ． 【变式2.1】（2023九年级·河北邢台·阶段练习）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 【变式2.2】（2023九年级·江苏泰州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是 ． 【变式2.3】（2023九年级·甘肃定西·阶段练习）已知的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程有实根，则点P（　　） A．在的内部 B．在的外部 C．在上 D．在上或的内部 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【题型2】（2023九年级·全国·课后作业）学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 【题型3】（2023九年级·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形；②利用尺规分别作，的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，长为半径画⊙O，则不一定在上的点是（    ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 【题型2】（2023九年级·浙江·期末）如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型3】（2023九年级·浙江温州·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，3为半径作圆，在圆上取一点D，连接并取中点M，连接．则长度的取值范围 ． 模块二 与圆有关的概念 圆的相关概念： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。 【考点1 与圆有关的概念】 【例1.1】（2023九年级·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【例1.2】（2023九年级·全国·课后作业）如图，圆中以为一个端点的劣弧有 条．    【例1.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【变式1.1】（2023九年级·吉林长春·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023九年级·全国·专题练习）等于圆周的弧叫做（   ） A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆 【变式1.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，线段过圆心O，点A，B，C，D均在上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它们表示出来． 【考点2 与半径有关的计算与证明】 【例2.1】（2023九年级·山西大同·期中）如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023九年级·江苏宿迁·期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则△OPC的面积的最大值是 cm2． 【例2.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图，为直径，点、在上，已知，，则 度． 【变式2.1】（2023六年级上·上海青浦·期末）如图，阴影面积是大圆面积的，是小圆面积的，小圆的半径是10，则大圆的半径是 ． 【变式2.2】（2023九年级·江苏泰州·期中）如图，的直径，半径，点是弧上的一个动点，，，垂足分别是、，则长（     ）    A．变大 B．变小 C．先变小，再变大 D．不变，始终等于2 【变式2.3】（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，点，，，都在上，，，，则 度． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 【题型2】（2023九年级·山东泰安·期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 【题型3】（2023九年级·广东茂名·期末）综合与实践 【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研． 【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，． 【计算与分析】                  图1                       图2                      图3                          图4 (1)当伞完全张开后，求的长度； (2)当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·湖北武汉·期中）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【题型2】（2023九年级·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【题型3】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    模块三 课后作业 1．（2023九年级·安徽阜阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧 C．直径是弦 D．弦是直径 2．（2023九年级·福建福州·阶段练习）已知的直径为，点P在上，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2023九年级·全国·课后作业）如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023九年级·福建厦门·期中）已知是半径为3的圆中的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．5 C．4 D．1 5．（14-15九年级·全国·课后作业）如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 6．（2023九年级·广东广州·期中）如图所示，为的弦，，则的度数为 ． 7．（2023·甘肃平凉·模拟预测）如图， 的两条弦、的延长线交于C点，的平分线过点O，请直接写出图中一对相等的线段： ． 8．（2023六年级上·上海静安·课后作业）如图，大小两个圆重叠在一起，重叠部分占小圆的，占大圆的，那么小圆面积与大圆面积之比是 ．    9．（2023九年级·黑龙江大庆·期中）如图，阴影部分的周长是 ． 10．（2023·山东泰安·三模）如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．若，则圆O半径的长为 ． 11．（2023九年级·全国·课后作业）找出图中所有的弦、优弧和劣弧． 12．（2023九年级·四川南充·期中）已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦． 13．（2023九年级·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 14．（2023九年级·全国·课后作业）如图，的顶点B、C在上，与分别交于D、E两点，连结，且．    (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 15．（2023六年级上·黑龙江鸡西·期末）如图是用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长米，横截面是一个直径米的半圆.（取.） （1）这个大棚的种植面积是多少平方米？ （2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜有多少平方米？ （3）大棚内的空间有多大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 圆 【苏科版】 ·模块一 圆的认识 ·模块二 与圆有关的概念 ·模块三 课后作业 模块一 圆的认识 圆的定义： 第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可看作到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 点与圆的位置关系： 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有： 点P在圆外d＞r ； 点P在圆上d=r ； 点P在圆内d＜r 。 【考点1 圆的定义】 【例1.1】（2023九年级·上海闵行·期末）经过点A，且半径等于圆的圆心的轨迹是 ． 【答案】以A为圆心，半径为的圆 【分析】此题主要考查了轨迹，所求轨迹就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．求圆心的轨迹实际上是求距离A点能画一个什么图形． 【详解】解：所求圆心的轨迹就是到A点的距离等于的点的集合， 因此圆心轨迹是是一个以A为圆心，半径为的圆． 故答案为：以A为圆心，半径为的圆． 【例1.2】（2023九年级·浙江宁波·期中）AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据已知条件可得圆的圆心为线段AB的中点，半径为6cm，即可得到符合条件的圆有1个． 【详解】解：∵AB＝12cm，圆的半径为6cm， ∴AB为直径， ∴圆心为线段AB的中点， ∴符合条件的圆可以画1个． 故选：B 【点睛】本题考查了圆的定义与圆的性质，确定一个圆有两个要素，一是圆心，二是半径，理解题意，得到AB为圆的直径是解题关键． 【例1.3】（2023九年级·福建厦门·期末）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据“径一周三”的古率计算出半圆的周长即可． 【详解】解：∵半圆的直径是1， ∴由“径一周三”知圆的周长， ∴半圆的周长为， ∴拉直后铁丝端的位置最接近的是点A， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了阅读与推理，解答此题的关键是读懂题意． 【变式1.1】（2023九年级·全国·课后作业）下列命题中，正确的有(   ) A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 【答案】D 【分析】根据圆的有关基本概念，逐一判断． 【详解】解：A，圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，有无数条，错误； B，结合上一条分析可知，圆的对称轴有无限条，错误； C，对称轴为直线，直径是线段，错误； D，结合上述分析可知，此项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的对称性知识及对称的概念，正确理解其含义是解题的关键． 【变式1.2】（2023九年级·吉林松原·期末）关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 ． 【答案】中心（圆心） 【分析】此题考查了圆的认识，根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；在同圆或等圆中，所有的半径都相等；由此判断即可． 【详解】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等； 故答案为：中心（圆心）． 【变式1.3】（2023九年级·北京西城·期末）小云从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的图中角的度数为（    ） A．60° B．70° C．72° D．75° 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质，涉及周角为，由将圆五等分得到的图中角，列式即可得到答案，读懂题意，掌握周角为是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：C． 【考点2 点和圆的位置关系】 【例2.1】（2023九年级·浙江温州·阶段练习）已知的半径为6，点P在外，则的长可以为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】D 【分析】 本题考查了点和圆的位置关系；根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可得答案． 【详解】解：∵O的半径为6，点P在外， ∴， 故选：D． 【例2.2】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）已知的半径为，，下列四个图形中，正确的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的关系做出判断是解题的关键．根据的半径和的大小关系得到点与的位置关系，即可做出判断． 【详解】解： 的半径为，， 点在内且更靠近圆弧， 故选：B． 【例2.3】（2023九年级·江苏宿迁·阶段练习）的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理．根据题意画出图形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴，    则， 根据勾股定理可得， 点或， ． 故答案为：． 【变式2.1】（2023九年级·河北邢台·阶段练习）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 【答案】（1）r<3时，点A在⊙C外；（2）3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外 【分析】（1）根据点A在圆外，则点A到圆心C的距离大于半径r，从而可得r的取值； （2）根据点A在圆内，则点A到圆心C的距离小于半径r，根据点B在圆外，则点B到圆心C的距离大于半径r，两者结合起来即可得到r的取值范围． 【详解】（1）点A在⊙C外，则AC>r，即r<3 即当r<3时，点A在⊙C外； （2）点A在⊙C内，则AC<r，即r>3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4， 综合起来，当3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可确定点与圆的位置关系，掌握它是解答本题的关键． 【变式2.2】（2023九年级·江苏泰州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是 ． 【答案】0＜x＜3 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3， 则BD= =5． ∵点A、B、C三点都在圆外， ∴0＜x＜3． 故答案为0＜x＜3. 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握勾股定理及点与圆的位置关系． 【变式2.3】（2023九年级·甘肃定西·阶段练习）已知的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程有实根，则点P（　　） A．在的内部 B．在的外部 C．在上 D．在上或的内部 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，，解得，，即，然后判断点与圆的位置关系即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， ∴点P在上或的内部， 故选：D． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴，，， ∴， 由题意可知，， 则点在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取最小值， 此时， 当点在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【题型2】（2023九年级·全国·课后作业）学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据圆的旋转不变性即可解决． 【详解】解：∵要求将它三等分 ∴①是不正确的； ②和③都是首先把圆三等分， 根据圆的旋转不变性，在每一部分内做了相同的图形； ④是把圆六等分，每一种占其中的2份． ∴②③④符合要求． 故答案为：②③④． 【题型3】（2023九年级·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了四点共圆，直角三角形斜边中线的性质．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形；②利用尺规分别作，的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，长为半径画⊙O，则不一定在上的点是（    ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点，到线段两端的距离相等是解题的关键； 连接，，，，由线段垂直平分线的性质可得出，据此即可得出结论． 【详解】解：连接，，，      作，的垂直平分线，两直线交于点O， ， 点P，Q， N在点O为圆心，长为半径的圆上，与的大小关系不能确定， 点M不一定在圆上， 故选：C． 【题型2】（2023九年级·浙江·期末）如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有1个点在圆内，推出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点A，B，C中只有1个点在圆内，， ∴在圆内的点为点B， ∴， 故选：B． 【题型3】（2023九年级·浙江温州·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，3为半径作圆，在圆上取一点D，连接并取中点M，连接．则长度的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形三边之间，取的中点E，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后确定的范围．根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点E，连接、、． 在直角中， ， ∵是直角斜边上的中点， ∴ ． ∵M是的中点，E是的中点， ∴ ． ∵， ∴，即． 故答案为：． 模块二 与圆有关的概念 圆的相关概念： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。 【考点1 与圆有关的概念】 【例1.1】（2023九年级·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误； C、弦不一定是直径，故选项错误； D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确； 故选D． 【例1.2】（2023九年级·全国·课后作业）如图，圆中以为一个端点的劣弧有 条．    【答案】3 【分析】根据劣弧的定义，所对圆心角小于180度的圆弧叫作劣弧，求解即可． 【详解】解：由图形可得，以为一个端点的劣弧有、、，有3条 故答案为：3 【点睛】此题考查了劣弧的定义，解题的关键是理解劣弧的定义． 【例1.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【变式1.1】（2023九年级·吉林长春·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦为直径，即可求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长的弦长直径是． 故选：D． 【变式1.2】（2023九年级·全国·专题练习）等于圆周的弧叫做（   ） A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆 【答案】C 【分析】根据优弧的定义即可求解，本题考查了优弧、劣弧的定义，解题的关键是熟练掌握优弧定义． 【详解】根据直径所对的两条弧是半圆，大于半圆的弧是优弧，则等于圆周的弧是优弧， 故选． 【变式1.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，线段过圆心O，点A，B，C，D均在上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它们表示出来． 【答案】见解析 【分析】根据直径、弦、半径的概念求解可得． 【详解】解：直径有：直径； 半径有：； 弦有：弦、弦． 【点睛】本题主要考查圆的认识，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径．注意，直径是最长的弦． 【考点2 与半径有关的计算与证明】 【例2.1】（2023九年级·山西大同·期中）如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查等腰三角形性质，解题的关键是熟知等腰三角形的两个底角相等． 【例2.2】（2023九年级·江苏宿迁·期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则△OPC的面积的最大值是 cm2． 【答案】9 【分析】作PH⊥AB于H，如图，利用三角形面积公式得到S△OPC＝OC•PH＝3PH，则当PH最大时，S△OPC有最大值，然后利用PH≤OP得到PH最大值为3，从而得到S△OPC有最大值9． 【详解】解：作PH⊥AB于H，如图， ∴OC=OB＋BC=AB+BC=6 ∵S△OPC＝OC•PH＝×6×PH＝3PH， ∴当PH最大时，S△OPC有最大值， ∵PH≤OP， ∴当PH＝OP＝3时，PH最大，S△OPC有最大值9， 即△OPC的面积的最大值是9cm2． 故答案为9． 【点睛】此题考查的是三角形的面积和圆的基本性质，掌握圆的基本性质和线段的最值问题是解决此题的关键． 【例2.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图，为直径，点、在上，已知，，则 度． 【答案】 【分析】根据同圆半径相等及等边对等角可知，借助三角形内角和可得，再利用两直线平行同位角相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识，掌握平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的性质是解题的关键． 【变式2.1】（2023六年级上·上海青浦·期末）如图，阴影面积是大圆面积的，是小圆面积的，小圆的半径是10，则大圆的半径是 ． 【答案】 【分析】根据题意得阴影部分的面积：，即可得大圆的面积，再根据圆面积的计算公式即可得． 【详解】解：∵阴影面积是小圆面积的，小圆的半径是10， ∴阴影部分的面积：， ∵阴影面积是大面积的， ∴大圆的面积：， 则大圆半径的平方：， ∴大圆的半径：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的面积，解题的关键是掌握圆的面积公式． 【变式2.2】（2023九年级·江苏泰州·期中）如图，的直径，半径，点是弧上的一个动点，，，垂足分别是、，则长（     ）    A．变大 B．变小 C．先变小，再变大 D．不变，始终等于2 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定和性质，圆的认识，考虑利用矩形的对角线相等把转化为是解题的关键．． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴为矩形， ∴， ∴长不变，始终等于2， 故选D．    【变式2.3】（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，点，，，都在上，，，，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，进而根据周角的定义求出，则由等边对等角可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 【答案】 1 3 4 4 【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为1，3，4，4． 【题型2】（2023九年级·山东泰安·期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 【答案】A 【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为D点， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置． 【题型3】（2023九年级·广东茂名·期末）综合与实践 【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研． 【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，． 【计算与分析】                  图1                       图2                      图3                          图4 (1)当伞完全张开后，求的长度； (2)当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，圆的面积的计算，掌握矩形的判定，勾股定理的实际运用是解题的关键． （1）根据题意，连结，过点作于，可证四边形是矩形，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解； （2）根据圆的面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连结，过点作于， ， ， 又如图3，连接， 伞在撑开过程中，点是中点，等于一半， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∴的长度为． （2）解：， 所以遮挡住的阴影部分的面积是． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·湖北武汉·期中）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的面积公式，勾股定理逆定理．根据题意结合圆的面积公式求出三角形三边长，再结合勾股定理逆定理证明该三角形为直角三角形是解题关键．由题意可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为．再根据圆的面积公式可求出，，，根据勾股定理逆定理可判断这个三角形为直角三角形，再计算其面积即可． 【详解】解：∵以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分， ∴可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为． ∵以为半径的圆的面积为， ∴， ∴， ∴以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为， ∴，，， ∴，，， ∴，，，， ∴以另外三个圆的半径为边的三角形为直角三角形，且直角边为和， ∴这个三角形的面积为． 故选C． 【题型2】（2023九年级·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【题型3】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 模块三 课后作业 1．（2023九年级·安徽阜阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧 C．直径是弦 D．弦是直径 【答案】C 【分析】根据弧：本题主要考查了圆的基本性质，“圆上两点所夹的部分”，弦：“连接圆上两点形成的线段”，进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误； B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误； C、直径是弦，选项正确； D、弦不一定是直径，选项错误； 故选C． 2．（2023九年级·福建福州·阶段练习）已知的直径为，点P在上，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆上的任意一点与圆心的连线段都是半径，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 （）； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的半径定义，理解定义是解题的关键． 3．（2023九年级·全国·课后作业）如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得． 【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条 故选B 【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．（2023九年级·福建厦门·期中）已知是半径为3的圆中的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．5 C．4 D．1 【答案】A 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：由题意圆的半径为3，则该圆的直径为6， 因为圆中最长的弦为直径， ∴． 观察选项，的长不可能是8，只有选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键． 5．（14-15九年级·全国·课后作业）如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径之和，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等． 【详解】解：设小明走的半圆的半径是． 则小明所走的路程是． 设小红所走的两个半圆的半径分别是与， 则， 小红所走的路程是， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，注意计算两个小半圆的直径之和是大于半圆的直径． 6．（2023九年级·广东广州·期中）如图所示，为的弦，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵为的弦， ∴，而， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，证明是解本题的关键． 7．（2023·甘肃平凉·模拟预测）如图， 的两条弦、的延长线交于C点，的平分线过点O，请直接写出图中一对相等的线段： ． 【答案】（或或） 【分析】根据圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的每一条直线；角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线结合进行判断．此题关键是根据图形的对称性，分析可以重合的线段． 【详解】这个图形是轴对称图形，对称轴即是直线，根据轴对称的性质，得或或． 故答案为：（或或）． 8．（2023六年级上·上海静安·课后作业）如图，大小两个圆重叠在一起，重叠部分占小圆的，占大圆的，那么小圆面积与大圆面积之比是 ．    【答案】5：14 【分析】设重叠阴影部分面积为1，根据重叠部分与小圆、大圆的关系占比，可计算小圆、大圆的面积． 【详解】设重叠阴影部分面积为1， 故小圆面积为，大圆面积为：， 那么小圆面积与大圆面积之比是 故答案为： 【点睛】本题考查重叠问题，是基础考点，掌握局部与总体的关系是解题关键． 9．（2023九年级·黑龙江大庆·期中）如图，阴影部分的周长是 ． 【答案】/厘米 【分析】由题意可得，阴影部分的周长为半个大圆的周长加小圆的周长，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得，大圆半径为，小圆的半径为 阴影部分的周长为 故答案为： 【点睛】此题考查了圆的周长计算，解题的关键是掌握圆的周长计算公式． 10．（2023·山东泰安·三模）如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．若，则圆O半径的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，连接，由等腰三角形的性质得，，由可证 ，则，设半径为x，则，在直角三角形中，，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴， 设半径为x，则， 在直角三角形中，由勾股定理得，即， ∴． ∴半径的长为3， 故答案为：3． 11．（2023九年级·全国·课后作业）找出图中所有的弦、优弧和劣弧． 【答案】弦有：弦，弦，弦；优弧：，，，；劣弧：，，， 【分析】利用弦，优弧，劣弧的概念找出即可． 【详解】解：弦有：弦，弦，弦；优弧：，，，；劣弧：，，，． 【点睛】本题考查了与圆相关的基本概念，正确理解熟记弦，优弧，劣弧的概念是解决本题的关键． 12．（2023九年级·四川南充·期中）已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦． 【答案】见解析 【分析】连接，，利用三角形三边关系可得，而，则可证明，即是中最长的弦． 【详解】证明：如图，连接，， 、、、是圆的半径， ． 是圆的直径， ． 、、是三角形的三边， ． 即． 是中最长的弦． 【点睛】本题考查直径为圆中最长的弦的证明，利用三角形三边关系证明是解题的关键． 13．（2023九年级·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 14．（2023九年级·全国·课后作业）如图，的顶点B、C在上，与分别交于D、E两点，连结，且．    (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的基本元素，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明，可得，即可求证； （2）根据，可得的度数，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴， ∴， ， 即是等腰三角形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2023六年级上·黑龙江鸡西·期末）如图是用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长米，横截面是一个直径米的半圆.（取.） （1）这个大棚的种植面积是多少平方米？ （2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜有多少平方米？ （3）大棚内的空间有多大？ 【答案】（1）这个大棚的种植面积是平方米；（2）覆盖的薄膜有平方米；（3）大棚内的空间有立方米. 【分析】（1）种植面积等于长乘以宽；（2）塑料薄膜的面积等于圆柱的侧面积的一半再加上一个底面圆的面积；（3）空间为体积的一半. 【详解】解:（1）（平方米）. 答:这个大棚的种植面积是平方米. （2）（平方米）. 答:覆盖的薄膜有平方米. （3）（立方米）. 答:大棚内的空间有立方米. 【点睛】此题主要考查圆的计算和有理数的计算. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$