精品解析：湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（5月）数学试题

南雅中学2024年上期第二次月考试题 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人：黄知清 审题人：刘德志、邓佩君 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. 5 C. D. 2 4. 已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 7. 已知、，直线，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为16 B. 这10年粮食年产量的第70百分位数为35 C. 这10年粮食年产量的平均数为33.7 D. 前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差 10. 如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 11. 已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C D. 函数与函数的图象有8个不同的公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在长方体中，底面为正方形，，其外接球的体积为，则此长方体的表面积为______. 13. 已知函数是定义在上增函数，则的取值范围是______. 14. 有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 16. 已知函数是定义域为的偶函数. （1）求a的值； （2）若，求函数的最小值. 17. 设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点．已知，． （1）求椭圆方程． （2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点．若，求直线的方程． 18. 我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布． （1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？ （2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有． （i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 1824 79.2 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：， 另，刻画回归效果的相关指数 19. 已知数列：的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为. （1）若数列：，且，，求数列和集合； （2）若是递增的等差数列，求的值（用表示），并说明理由； （3）请你判断是否存在最大值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南雅中学2024年上期第二次月考试题 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人：黄知清 审题人：刘德志、邓佩君 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合和集合，然后，直接求解即可 【详解】集合， 集合， 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题 2. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】从函数的定义域和对应法则两个方面是否都相同考查函数即得. 【详解】对于A项，定义域为，定义域为R， 故两函数定义域不同，故与不是同一函数，错误； 对于B项，定义域为，定义域为，故 两函数定义域不同，故与不是同一函数，错误； 对于C项，与的定义域相同，但与对应法则不同， 故与不是同一函数，错误； 对于D项，与的定义域、对应关系都相同， 所以是同一函数，正确. 故选：D 3. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由复数的定义即可得出答案. 【详解】因为，所以， 故复数的虚部为. 故选：A. 4. 已知函数，则“，”是“为偶函数”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】当时，代入可得，由正弦函数性质，可验证充分性，为偶函数时，得到，可验证必要性. 【详解】函数，当时， ， 则为奇函数，所以充分性不成立， 当为偶函数时，，所以必要性不成立， 故“，”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单调性可判断数的范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故. 故选：C. 6. 一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，前三次摸出的球有2种不同的颜色，计算情况数，第四次摸出的球可以有1种颜色选择，结合分步乘法计数原理计算即可. 【详解】若小明第4次摸球后终止摸球，则前三次摸出的球有2种不同的颜色，再将其排列，共有情况， 第四次摸出的球可以有1种颜色选择， 所以他摸球的情形有种， 故选：C 7. 已知、，直线，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由，可得，变形得，所以，化简后利用基本不等式求解即可 【详解】因为、，直线，，且， 所以，即， 所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为， 故选：D 8. 某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得，由，解不等式即可求解. 【详解】由题意知，， 当时，，故，解得， 所以． 由，得，即， 得，又， 所以， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为16 B. 这10年粮食年产量的第70百分位数为35 C. 这10年粮食年产量的平均数为33.7 D. 前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差 【答案】ACD 【解析】 【分析】ABC选项，由极差，百分位数和平均数的定义求出答案；D选项，根据图形及方差的意义得到D错误. 【详解】A选项，将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A正确； B选项，，结合A选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即，故B不正确； C选项，这10年粮食年产量的平均数为，故C正确； D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D正确． 故选：ACD 10. 如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；求出平面和平面的法向量，不存在实数λ使得．可判断B；求出三棱锥的体积可判断C；求出三棱锥的外接球的表面积可判断D. 【详解】解：以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 因为，所以与不垂直．故A错误． ，， 设平面的一个法向量为， 则由得所以 不妨取，则，所以． 设平面的一个法向量为， ，， 则由得所以 不妨取，则，所以． 故不存在实数λ使得． 故平面与平面不平行，故B错误． 在长方体中，⊥平面， 故是三棱锥的高，所以 ．故C正确． 三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球半径． 所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确． 故选：CD． 11. 已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. D. 函数与函数的图象有8个不同的公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件先得到函数的对称性及周期性，进而判断ABC，画出函数与函数的图象，根据图象观察交点个数即可判断D. 【详解】由得函数关于对称，A正确； 由得函数关于对称， 所以，， 所以，即， 所以，故函数的周期为， 由知，， 又时，，所以，解得， 所以时，， 所以，B正确； ，C错误； 画出函数和函数的图象，如图： ，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在长方体中，底面为正方形，，其外接球的体积为，则此长方体的表面积为______. 【答案】64 【解析】 【分析】根据长方体外接球直径为体对角线长求出底面边长，进一步求得长方体的表面积. 【详解】设外接球的半径为，因为外接球的体积为，所以，所以. 设底面正方形边长为，因为长方体外接球的球心在体对角线中点， 球直径为长方体体对角线，所以，所以， 所以长方体的表面积为. 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分别利用二次函数及一次函数性质限定出两段函数中参数的取值范围，再由单调性比较出两函数端点处的取值大小即可求得结果. 【详解】根据题意可知函数在上单调递增， 且函数在上单调递增； 又函数在上是增函数， 需满足，解得； 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示） 【答案】 ①. 40 ②. 【解析】 【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解；根据和的展开式相减得到的通项公式. 【详解】根据乘法原理和加法原理得到． 奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，， 根据乘法原理和加法原理得到， 两式相减得到. 故答案为：40；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值. 试题解析：（1）因为向量与平行， 所以， 由正弦定理得， 又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝. （2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝， 得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0， 因为c>0，所以c＝3. 故△ABC的面积为bcsinA＝. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理. 16. 已知函数是定义域为的偶函数. （1）求a的值； （2）若，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数定义转化为等式恒成立问题，由系数为求值即可； （2）由换元法，把函数转化为二次函数，然后分类讨论确定函数的最小值，从而求得参数值． 【小问1详解】 则， 因为是定义域为的偶函数， 则， 即对任意恒成立，则； 【小问2详解】 由（1）知， 则 ， 令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 则原函数化为：，， ①当即时， 在上单调递增， 则，即，； ②当，即时， 在单调递减，在单调递增， 则； 即， 综上所述，. 17. 设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点．已知，． （1）求椭圆方程． （2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点．若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列式计算得，，，得解； （2）设直线为，由圆心到直线的距离小于半径得出的范围，由圆的性质求出弦的长，将直线的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，求出弦的长，由条件得出方程，可得答案. 【小问1详解】 由题意，，， 解得，，， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 设直线为，，，由题意，以为直径的圆的方程为， 则圆心到直线的距离，即， 所以， 由，消去，整理得， ，解得，又，所以， ，， ， 因为，所以，解得，又，所以， 所以直线的方程为：或． 18. 我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布． （1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？ （2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有． （i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：， 另，刻画回归效果的相关指数 【答案】（1）1.29%；（2）（i），（ii）见解析 【解析】 【分析】（1）根据正态分布对称性得到，购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故，由间接法列式得到结果即可；（2）（i）根据公式计算得到回归直线方程；（ii）通过比较的大小可得到拟合效果的差异，将x=16代入回归方程可得到预测值. 【详解】（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则， 由正态分布的对称性可知， ， 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故， 故， 所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%． （2）（i）由，有 ， 且， 所以，模型②中关于的回归方程为 （ii）由表格中的数据，有，即模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 当时，模型②的收益增量的预测值为 （万元）， 这个结果比模型①预测精度更高、更可靠． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值 19. 已知数列：的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为. （1）若数列：，且，，求数列和集合； （2）若是递增的等差数列，求的值（用表示），并说明理由； （3）请你判断是否存在最大值，并说明理由. 【答案】（1）：，； （2），利用见解析 （3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义列举出集合的元素即可求；根据题意可知，求出，即可求解； （2）设公差为d（），则，即可分析得； （3）利用的定义结合特例可判断存在最大值. 【小问1详解】 由：，且，得，，均不相等， 则2，，都是集合中的元素，而， 于是，解得，， 所以数列：，. 【小问2详解】 因为为递增的等差数列，设的公差为， 当时，，则， 所以. 【小问3详解】 存在最大值，理由如下： 依题意，集合中的元素个数最多为个，即，取：，此时， 若存在，则，其中， 故，若， 不妨设， 则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾， 即有，，因此由：得到的彼此相异， 于是，即的最大值为，所以必有最大值. 【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解答的关键在于理解题意并根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而分析得出的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$