精品解析：江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高一下学期第七次考试（5月）数学试题

2023/2024学年度第二学期 联盟校第七次考试高一年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠､不破损. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 1. 若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 4. 高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观今世缘酒业厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在B､C处分别测得雕塑最高点的仰角为30°和20°，且，则该雕塑的高度约为（ ）（参考数据） A. 4.92 B. 5.076 C. 5.91 D. 7.177 5. 已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 8. 已知中，角的对边分别是，若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B. 在平面向量基本定理中，若，则 C. 表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D. 若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 10. 以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A. 在中， B. 在中，若，则 C. 在中，是的充要条件 D. 在中， 11. 某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.） 12. 已知中，，，，则___________. 13. ___________. 14. 正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为___________，二面角的平面角的余弦值为___________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，，. （1）若复数在复平面内的对应点落在第四象限，求实数的取值范围； （2）若复数，求. 16. 已知函数. （1）将化为； （2）设，求离原点距离最近的一个对称中心； （3）若求的值. 17. 在三棱柱中，侧面底面，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 18. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. （1）求角C的值； （2）若，求的取值范围. 19. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023/2024学年度第二学期 联盟校第七次考试高一年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠､不破损. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 1. 若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念求出，然后由共轭复数定义可得. 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得， 所以，所以. 故选：B 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦两角和公式和诱导公式化简即可得解. 【详解】 . 故选：D 3. 已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由共线定理可知存在使得，然后由平面向量基本定理可得. 【详解】因为与同向共线，所以存在使得， 即， 又向量不共线，所以，解得（舍去）或. 故选：A 4. 高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观今世缘酒业厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在B､C处分别测得雕塑最高点的仰角为30°和20°，且，则该雕塑的高度约为（ ）（参考数据） A. 4.92 B. 5.076 C. 5.91 D. 7.177 【答案】C 【解析】 【分析】运用正弦定理先求出BD，再求出AD. 【详解】在中，由正弦定理得：， 所以， 在中，； 故选：C. 5. 已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图与原图的关系，可确定直观图（三角形）的底和高，从而求得直观图的面积，得出答案. 【详解】 如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为. 故选：C. 6. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记的中点为，连接，在等腰三角形中即可得解. 【详解】记的中点为，连接， 因为为棱的中点，所以， 易知， 所以为等腰三角形，为锐角， 所以即为异面直线与所成角， 记的中点为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 7. 已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，先判断，然后由线面平行判定定理可判断；对于BCD，通过正方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以， 又，，所以，A正确； 对于B，在正方体中， 记平面为，平面为，为，为， 则，，，但与不平行，B错误； 对于C，记平面为，平面为，为，为， 由正方体性质可知，平面，平面，所以， 则，，，但不垂直，C错误； 对于D，记为，为，平面为， 则，，但与不垂直，D错误. 故选：A 8. 已知中，角的对边分别是，若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理，结合诱导公式及二倍角的余弦公式可得，可得，从而可得是等边三角形. 【详解】由， 结合正弦定理可得，所以， 又因为是的内角，故， 所以是等边三角形. 故选：B. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B. 在平面向量基本定理中，若，则 C. 表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D. 若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基底定义可判断AC；由平面向量基本定理可判断B；根据投影向量公式直接计算可判断D. 【详解】对于A，根据平面向量基底定义可知，不共线，所以一定都是非零向量，A正确； 对于B，若，且在平面向量基本定理中不共线，所以，B正确； 对于C，只要是平面内不共线的两个向量都可作为基底，C错误； 对于D，因为，所以在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 10. 以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A. 在中， B. 在中，若，则 C. 在中，是的充要条件 D. 在中， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由正弦定理可判断A；对于B：由，可得或，进而可判断B；对于C：利用边角关系及正弦定理可判断C；对于D：由正弦定理结合等比性质可判断D. 【详解】对于A：在中，由正弦定理可得，故A正确； 对于B：在中，若，则或， 所以或，所以或，故B错误； 对于C：在中，，故C正确； 对于D：在中，，故D正确. 故选：ACD. 11. 某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由截面直接可判断AB；然后分别计算出球形巧克力体积和包装盒的体积可判断CD. 【详解】由图知，故A正确，B错误；易知包装盒的高为，故，又，所以，故C错误，D正确. 故选：AD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.） 12. 已知中，，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用相反向量将转化为，然后由数量积定义可得. 【详解】因为，，， 所以. 故答案为： 13. ___________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用正切的两角和公式将展开整理可得. 【详解】因为， 整理得， 所以. 故答案为：2 14. 正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为___________，二面角的平面角的余弦值为___________. 【答案】 ①. 五边形； ②. ##. 【解析】 【分析】记上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为，以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量平行证明五点共面，可判断截面形状；求出平面和平面的法向量，根据二面角的向量公式，结合图形直观判断可得. 【详解】记上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 因为，所以四点共面，且四点共面， 又两平面有不共线的三个公共点，所以两平面重合， 即过，，做该正方体的截面为五边形. 设平面的法向量为， 则，取，得， 易知平面的一个法向量为， 所以， 记二面角的平面角为，由图可知为钝角， 所以. 故答案为：五边形；. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，，. （1）若复数在复平面内的对应点落在第四象限，求实数的取值范围； （2）若复数，求. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，计算即可； （2）由，可得，可求，进而可求的值. 【小问1详解】 因为在复平面内的对应点落在第四象限，所以， 解得，因此实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为，所以，解得或. 当时，，此时； 当时，，此时. 综上所述：或. 16. 已知函数. （1）将化为； （2）设，求离原点距离最近的一个对称中心； （3）若求的值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式以及辅助角公式可得； （2）由，可得离原点距离最近的一个对称中心； （3）由，可得，进而求得，根据，结合两角差的正弦定理可求值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 令，得， 当时，此时离原点距离最近， 所以离原点距离最近的一个对称中心为. 【小问3详解】 由，得，则. 因为，所以，所以. 所以 . 17. 在三棱柱中，侧面底面，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1） 连接，设，因为四边形为平行四边形， 所以为的中点. 因为为的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. （2） 在中，由，得，即； 在中，同理可得. 因为侧面底面，侧面底面， 底面，所以平面 又平面，所以， 又， 平面平面，所以平面 【解析】 【分析】（1）连接，设，则可得，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）在和中利用勾股定理逆定理可证得，，由面面垂直的性质可证得，再由线面垂直的判定定理可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. （1）求角C的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化边可得；方法二：利用和差公式化简即可得解. （2）方法一：利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得；方法二：利用正弦定理将b表示为关于角的函数，利用正切函数性质求出b的范围，由余弦定理用b表示c，然后表示出，根据函数单调性可解. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 方法一：利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. 方法二：由和差公式可得， 又因为，所以， 又为锐角三角形，故. 【小问2详解】 由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 方法一：所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 方法二：所以，所以， 又，所以， 由余弦定理得， 记， 易知在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围为. 19. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】（1） 点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2） （3）点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $