暑假作业10 平行线的基本模型（知识梳理+5大题型+拓展突破）-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业10 平行线的基本模型 模型1、猪蹄模型（M型） 如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD. ① ②图 ③图 ③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3. 模型2、铅笔头模型 如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°； ②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD. ① ②图 ③图 ③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）. 模型3、拐弯模型 ①（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3. ②（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3. 模型4、“5”字模型 如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 模型5：平行线的动态角度模型（折叠、旋转、动点） 1、翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，对应点连线被对称轴垂直平分。 2、平行线旋转问题的技巧是利用平行线的性质和旋转的性质，通过画图和推导等方法解决问题。 具体来说，可以采用以下几个步骤： 1）画出问题中的图形，并标出已知条件和需要求解的量； 2）利用平行线的性质，找出与所求解的量有关的平行线段或角度，并尝试构造相应的平行线； 3）利用旋转的性质，将所求解的量旋转到已知条件所在的位置，从而得到一个新的图形； 4）利用新图形中的已知条件和平行线的性质，推导出所求解的量的值； 5）检查所求解的量是否符合实际情况，如果符合，则得到了正确的解答。 3、动点压轴问题：分析过程很重要，代数法表示角度是基本处理方法。 题型一 平行基本模型之M模型 1、如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 2、如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示） 3、已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间． (1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由． 题型二 平行基本模型之铅笔模型 1、如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 2、如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是 ．    3、探究题 (1)如下图，，，．求度数；    (2)如下图，，点在射线上运动，，．    ①当点P在A，B两点之间运动时，，，之间的数量关系为__________ ②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．    题型三 平行基本模型之鸡翅模型 1、①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、（2023春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由． 3、（2023·全国·七年级假期作业）已知，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数． 题型四 平行基本模型之骨折模型 1、如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 2、如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______ 3、（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 题型五 平行基本模型之折叠问题 1．折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，小明拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图1，将长方形ABCD沿CE（点E在AB上，不与点A，B重合）折叠，点B落在点处，连接，，设，．变化长方形的大小如图2所示，若的值增大了，且保持不变，则的值（    ） A．增大了 B．减小了 C．增大了 D．减小了 3．如图将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为、，若，且，则 ．    4．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 1．如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，平分平分，，则的度数为（     ）度．    A．55 B．50 C．40 D．30 4．如图，把一张长方形纸沿折叠，若，则有下列结论：；； ；．其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，已知，，，则 度．    7．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 8．如图，，分别平分，，若，则的度数是 ． 9．如图，，、分别平分和，，与互补，则的度数为 ． 10．如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则 ； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ． 11．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 12．如图，，点，分别在，上，点在，之间，连接，，且．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中作，且． (2)如图2，，作．且． 13．已知：两直线、满足点是平面内一动点，连接、    (1)如图，若点在两直线外部，则 、、之间满足什么数量关系？请证明这个结论 (2)如图，若点在两直线外部，连接，则、、、之间满足什么数量关系？请证明结论(不能用三角形内角和为) (3)若点在两直线内部，且在右侧，则、、、之间满足什么数量关系？(不需证明) 14．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以 ， ． 又因为．所以． 解题反思： 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知，求的度数． 提示：过点作． 深化拓展： （3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． 如图3，点在点的左侧，若，则的度数为 ． 15．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2020·江苏南通·中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　） A．36° B．34° C．32° D．30° 3．（2021·山东东营·中考真题）如图，，于点F，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（    ） A．35° B．45° C．55° D．65° 5．（2020·四川广元·中考真题）如图，，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么 （    ） A． B． C． D． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业10 平行线的基本模型 模型1、猪蹄模型（M型） 如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD. ① ②图 ③图 ③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3. 模型2、铅笔头模型 如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°； ②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD. ① ②图 ③图 ③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）. 模型3、拐弯模型 ①（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3. ②（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3. 模型4、“5”字模型 如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 模型5：平行线的动态角度模型（折叠、旋转、动点） 1、翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，对应点连线被对称轴垂直平分。 2、平行线旋转问题的技巧是利用平行线的性质和旋转的性质，通过画图和推导等方法解决问题。 具体来说，可以采用以下几个步骤： 1）画出问题中的图形，并标出已知条件和需要求解的量； 2）利用平行线的性质，找出与所求解的量有关的平行线段或角度，并尝试构造相应的平行线； 3）利用旋转的性质，将所求解的量旋转到已知条件所在的位置，从而得到一个新的图形； 4）利用新图形中的已知条件和平行线的性质，推导出所求解的量的值； 5）检查所求解的量是否符合实际情况，如果符合，则得到了正确的解答。 3、动点压轴问题：分析过程很重要，代数法表示角度是基本处理方法。 题型一 平行基本模型之M模型 1、如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 【答案】C 【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系． 【详解】解：过点E作EF∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠β=∠AEF+∠FED， 又∵∠γ=∠EDC， ∴∠α+∠β-∠γ=180°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 2、如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示） 【答案】 【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出 ，由即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作，则， ， ∴，， 又∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴ ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义． 3、已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间． (1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)；理由见详解 【分析】（1）过点作，由，可知．由此可知：，，故； （2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：，利用三角形内角和是180°，可得． （1） 解：如图：过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2） 解：，理由如下： 如图：过点作， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵∠AGM＝∠HGQ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用． 题型二 平行基本模型之铅笔模型 1、如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题要作辅助线，过点作，则根据平行线的传递性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：． 【详解】解：过点作，    ， ， ，， 又， ， ． 故选：B． 【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系． 2、如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是 ．    【答案】/108度 【分析】过点F作，可得，根据平行线的性质结合已知求出，可得，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点F作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 3、探究题 (1)如下图，，，．求度数；    (2)如下图，，点在射线上运动，，．    ①当点P在A，B两点之间运动时，，，之间的数量关系为__________ ②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． （1）过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得； （2）①过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②画出图形（分两种情况：点P在的延长线上，点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：过P作，    ∵， ∴， ∵，． ∴，， ∴； （2）解：①： 如图3，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴；    故答案为：； ②当P在延长线时，； 理由：如图4，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴；    当P在之间时，． 理由：如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴．    综上所述，，，之间的数量关系为或． 题型三 平行基本模型之鸡翅模型 1、①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故①错误； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2、（2023春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由． 【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析 【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解； （2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D． （3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系． 【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB， ∴∠B+∠BPE=180°， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠EPD+∠D=180°， ∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°， ∴∠B+∠BPD+∠D=360°． （2）∠BPD=∠B+∠D． 理由：如图2，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠1=∠B，∠2=∠D， ∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D． （3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B． 理由：∵AB∥CD， ∴∠1=∠D， ∵∠1=∠B+∠BPD， ∴∠D=∠B+∠BPD， 即∠BPD=∠D-∠B； 如图（4），∠BPD=∠B-∠D． 理由：∵AB∥CD， ∴∠1=∠B， ∵∠1=∠D+∠BPD， ∴∠B=∠D+∠BPD， 即∠BPD=∠B-∠D． 【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法． 3、（2023·全国·七年级假期作业）已知，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案． 【详解】（1）证明： ； （2）过点E作，延长DC至Q，过点M作 ，，， AF平分 FH平分 设 ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 题型四 平行基本模型之骨折模型 1、如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 【答案】57° 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 2、如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______ 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键． 3、（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°． 【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可； （2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可； （3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过E作EMAB， ∵ABCD， ∴CDEMAB， ∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM， ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠DCF， ∵∠DCF＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CEM＝60°， 又∵∠CEB＝20°， ∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°， ∴∠ABE＝40°； （2）过E作EMAB，过F作FNAB， ∵∠EBF＝2∠ABF， ∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x， ∵CF平分∠DCE， ∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y， ∵ABCD， ∴EMABCD， ∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x， ∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x， 同理∠CFB＝y﹣x， ∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°， ∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，   ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°； （3）过P作PLAB， ∵GM平分∠DGP， ∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y， ∵PQ平分∠BPG， ∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x， ∵PQGN， ∴∠PGN＝∠GPQ＝x， ∵ABCD， ∴PLABCD，   ∴∠GPL＝∠DGP＝2y， ∠BPL＝∠ABP＝30°， ∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG， ∴30°＝2y﹣2x， ∴y﹣x＝15°， ∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x， ∴∠MGN＝15°． 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理． 题型五 平行基本模型之折叠问题 1．折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，小明拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出． 【详解】解：∵， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 故选：C． 2．如图1，将长方形ABCD沿CE（点E在AB上，不与点A，B重合）折叠，点B落在点处，连接，，设，．变化长方形的大小如图2所示，若的值增大了，且保持不变，则的值（    ） A．增大了 B．减小了 C．增大了 D．减小了 【答案】C 【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质，三角形内角和性质，先根据长方形和折叠性质，得出，因为，所以，结合的值增大了，即可作答． 【详解】解：∵将长方形ABCD沿CE（点E在AB上，不与点A，B重合）折叠，点B落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的值增大了， ∴， ∴的值增大了， 故选：C． 3．如图将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为、，若，且，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，设，根据折叠以及平行线的性质表示出，根据，建立方程，解方程得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：设    ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）作，根据平行线的性质和折叠的性质即可求解； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； 本题考查了平行线的性质额折叠的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），理由： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 1．如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．过点作，根据题意求得，从而，过点H作，同理可求． 【详解】解：如图，过点作 ∴ 分别是和的角平分线 过点H作， 同理可求 故选C． 2．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键． 过点作，则，根据平行线的性质可得到，，即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 故选． 3．如图，已知，平分平分，，则的度数为（     ）度．    A．55 B．50 C．40 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，利用平行线的性质及角平分线的定义，求出和的度数是解题的关键． 由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出和的度数，结合角平分线的定义可求出和的度数，过点作，则，利用“两直线平行，内错角相等”可得出和的度数，再结合，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分平分， ∴． 过点作，则，如图所示．    ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，把一张长方形纸沿折叠，若，则有下列结论：；； ；．其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题考查折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质，平行线的性质逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握性质． 【详解】∵，， ∴ ，故正确； ∵，， ∴，故正确； ，， ∴ ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴，故正确； 则说法正确的有个， 故选：． 5．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 6．如图，已知，，，则 度．    【答案】120 【分析】本题主要考查了平行线的性质，灵活运用平行线的性质求角度是解题的关键． 如图：过作，然后根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：过作，   ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：120． 7．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：100． 8．如图，，分别平分，，若，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：过点E作，过点F作，即可得，然后根据平行线的性质以及，即可求得，根据角平分线的性质可求得的度数，再根据平行线的性质及角的和差即可解答． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．如图，，、分别平分和，，与互补，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查平行线的性质、补角的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意延长交于点，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，即可求得的度数． 【详解】解：延长交于点，如图： ，分别平分和， ，， ， ， ，与互补， ，，， 设，则，，， ， 解得，， 即的度数为． 故答案为：． 10．如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则 ； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查利用平行线的性质探究角的关系： （1）作，则，根据两直线平行、内错角相等，可得，，由此可解； （2）作交于点K，根据两直线平行、同位角相等，可得，进而可得，同（1）可证，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，作， ，， ， ，， ， 故答案为：60； （2）如图，作交于点K， ， ， ， ， ， 同（1）可得， ， 即， 故答案为：． 11．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）过M作，过N作，则，得到，，，由可得，计算得到； （3）作，，，由推出，即，由，推出，据此即可解答． 【详解】（1）证明：如图（1）过作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 如图（2）：过M作，过N作，    ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴； （3）解：． 作，，，    ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即． 12．如图，，点，分别在，上，点在，之间，连接，，且．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中作，且． (2)如图2，，作．且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查几何作图，平行线的判定及性质，垂直的定义． （1）延长交于点M，由可得，即为所求； （2）延长至点N，由得到，过点P作，由得到，则，，进而根据得到，即为所求． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：如图，为所求． 13．已知：两直线、满足点是平面内一动点，连接、    (1)如图，若点在两直线外部，则 、、之间满足什么数量关系？请证明这个结论 (2)如图，若点在两直线外部，连接，则、、、之间满足什么数量关系？请证明结论(不能用三角形内角和为) (3)若点在两直线内部，且在右侧，则、、、之间满足什么数量关系？(不需证明) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，平行线公理的推论； （1）过点作，由平行线的传递性知，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而得证； （2）过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，，进而得证； （3）分两种情况进行讨论，证明方法与（1）类似． 【详解】（1）如图1，数量关系为：， 理由：过点作， ， ， ，， ；    （2）如图2，数量关系为：， 理由：过点作，过点作， ， ，，， ， ， ；    （3）数量关系为： 或， 如图3，过点作，    ∴， ，，， ∴， 即； 如图4，过点作，    ∴， ，，， ∴， 即． 14．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以 ， ． 又因为．所以． 解题反思： 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知，求的度数． 提示：过点作． 深化拓展： （3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． 如图3，点在点的左侧，若，则的度数为 ． 【答案】（1），；（2）；（3）65 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． （1）根据平行线的性质得，，进而可得到结论； （2）过作根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论； （3）过点作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数． 【详解】解：（1）过点作， ，， 又， ． 故答案为：，； （2）过点作， ， ， ，， ． （3）如图，过点作， ， ， ，， 平分，平分，，， ，， 故答案为：65． 15．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)①，②见解析， 【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得便可； ②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解． 【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得，， 解得，， 的4系补周角的度数为， 故答案为60； （2）解：①过作，如图1， ， ， ，， ， ， 即， 是的3系补周角， ， ， ； ②当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，此时． 若是的k系补周角， 则， ∴， 过F作， 又， ，， ，即， ∴k， 又∵，， ∴， ∵平分，PD平分， ∴，， ∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意，添加合适辅助线是解题的关键． 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，   ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 2．（2020·江苏南通·中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　） A．36° B．34° C．32° D．30° 【答案】A 【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数． 【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示． ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝∠A＝54°， ∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°． 又∵EF∥CD， ∴∠C＝∠CEF＝36°． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 3．（2021·山东东营·中考真题）如图，，于点F，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作EH∥CD，由此求出，得到，根据平行线的推论得到AB∥EH，利用平行线的性质求出答案． 【详解】解：过点E作EH∥CD，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵EH∥CD，， ∴AB∥EH， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查平行线的推论，平行线的性质，正确引出辅助线、熟记定理是解题的关键． 4．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（    ） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【分析】过C点作CF∥AM，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过C点作CF∥AM， ∵AM∥BN， ∴AM∥CF∥BN， ∴∠MAC＝∠ACF，∠CBN＝∠FCB， ∵∠ACB＝90°，∠MAC＝35°， ∴∠CBN＝∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝∠ACB﹣∠MAC＝90°﹣35°＝55°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据题意构造平行线，并熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 5．（2020·四川广元·中考真题）如图，，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题． 【详解】解：过点P作PA∥a，则a∥b∥PA， ∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠NPA=180°， ∴∠1+∠MPN+∠3=360°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$