1.1三角形及其三角、三边的关系（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第一章 三角形的初步认识 1.1 认识三角形 第一课时 三角形及其三角、三边的关系 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角 形分类. 2.掌握三角形的三边关系.（难点） 3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点） 埃及金字塔 情景导入 飞机机翼 水分子结构示意图 你能举出在生活中看到的三角形的例子吗？ 那么，怎样的图形叫做三角形呢？ 请你画一个三角形,并标上适当的字母，写出图中的点，线段和角. 1.认识三角形 新知探究 A B C 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 问题1：下列图形符合三角形的定义吗？ 不符合 不符合 不符合 三角形应满足以下两个条件： ①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次. 例 1.如图所示，图中三角形的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 典例剖析 1.如图，将房屋顶的框架抽象成了一个几何图形，指出图中一共有多少个三角形，并分别写出这些三角形。 解：图中三角形有△BDF，△BDA，△BEA，△BCA，△DFA，△EDA，△EGA，△CGE，△ACE，△ACD， 共10个三角形． 练一练 问题2：三角形中有几条线段?有几个角? 边：线段AB、BC、CA是三角形的边. 顶点：点A、B、C是三角形的顶点， 角：∠A、∠B、∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角. 有三条线段，三个角. 10 三角形的表示：三角形ABC用符号表示________. 边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表 示为________. △ABC或△BCA或△CAB c、a、b 边c 边b 边a 顶点C 角 角 角 顶点A 顶点B 1.三角形的表示方法 新知探究 例2.如图，三角形ABC有几条边？它们分别是______________。 AB、AC、BC A B C 典例剖析 1.(1)如图所示，共有 个三角形，它们分别是 ； (2)以AE为边的三角形有 ； (4)△ADE的三条边分别是 6 △ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC △ABE，△ADE，△AEC AD、DE、EA 练一练 2.若三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm，且其中两边相等，这个三角形的周长 ． 15 cm 练一练 三角形的形状、大小和位置由它的三个顶点确定。 三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 如图，三角形ABC有几个顶点？它们分别是 。 A、B、C A B C 2.三角形的顶点、对边与对角 新知探究 B C A 在△ABC中， AB边所对的角是： ∠A所对的边是： ∠C BC 再说几个对边与对角的关系试试. 三角形的对边与对角： (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？ A B C D E 5个，分别是△ABE、△ABC、 △BEC、△BCD、△ECD. (2)以AB为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE. （3）以E为顶点的三角形有哪些？ △ ABE 、△BCE、 △CDE. （4）以∠D为角的三角形有哪些？ △ BCD、 △DEC. （5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边. △BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC. 练一练 三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 3.三角形的内角 新知探究 例3.如图，图中共有8个三角形，其中以BC为边的三角形是 ， ∠BEC是 的内角 △BCG，△ABC，△BEC，△BFC △BEG和△BEC 典例剖析 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 4.三角形的内角和 新知探究 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 结论验证 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 概念归纳 问题3：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？ 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 5.三角形的分类 新知探究 有一个角是钝角 三个角都是锐角 有一个角是直角 例4.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 D 典例剖析 判断适合下列条件的△ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形． (1)∠A＝80°，∠B＝25°； (2)∠A－∠B＝30°，∠B－∠C＝36°； (3)∠A＝ ∠B＝ ∠C. 解：(1)锐角三角形 (2)钝角三角形 (3)钝角三角形 练一练 (1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么? (2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么样 的三角形? (3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？ 等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等. 三边都不相等的三角形. 问题4：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢？ 观察图形回答下面各小题. 等边三角形 等腰三角形 不等边三角形 （ 顶角 （ 底角 （ 底角 按是否有边相等分 三角形 不等边三角形 等腰 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 按内角大小分 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 腰 底边 概念归纳 判断： （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ） （1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ） √ × （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） × （4）等边三角形是锐角三角形.（ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ） × √ 练一练 AC+CB>AB（两点之间线段最短） 6.三角形的三边关系 新知探究 如图，从教室到食堂有两条路可走，你会走哪条？为什么？ A 教室 B 食堂 C 三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边. 1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么 大小关系? 2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么 大小关系? 3.三角形三边有怎样的不等关系? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？ 想一想 课本例题 例1 判断下列各组线段中，哪些首尾相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由. （1）a=2.5cm，b=3cm，c=5cm. （2）e=6.3 cm，f=6.3 cm，g=12.6cm. 解（1）∵最长线段是c=5cm， a+b=2.5+3=5.5（cm）， ∴a+b>c，所以线段a，b，c能组成三角形. （2）∵最长线段是g=12.6cm， e+f=6.3+6.3=12.6（cm）， ∴e+f=g，所以线段e，f，g不能组成三角形. 分析：要判断三条线段能否组成三角形，依据“三角形任何两边的和大于第三边”，只要把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较.如果最长的一条线段小于另外两条线段的和，那么这三条线段就能组成三角形；如果最长的一条线段大于或等于另外两条线段的和，那么这三条线段就不能组成三角形. 概念归纳 【变式1】判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm； （3）5cm、6cm、10cm. 归纳：判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可. 解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm； （2）不能，因为5cm+6cm=11cm； （3）能，因为5cm+6cm>10cm. 典例剖析 【变式2】一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若能拼成，则第三条边应在什么范围呢？ 归纳：设x为三角形第三条边的长，则有两边之差＜x＜两边之和. 解：设第三边长为x，则应有 7-2<x<7+2， 即5<x<9. 则用长度为4的木棒不能和它们拼成三角形，长度为11的木棒也不能和它们拼成三角形.第三边长的范围为5<x<9. 【变式3】 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？ 解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm, x+2x+2x=18. 解得 x=3.6. 所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm. 练一练 (2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. ①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有4+2x=18. 解得x=7. ②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有2×4+x=18. 解得x=10. 因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形. 1.图中锐角三角形的个数有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 A 2.用木棒钉成一个三角架,两根小棒分别是7cm和 10cm,第三根小棒可取 ( ) A.20cm B.3cm C.11cm D.2cm C 随堂练 3.如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 ． 4.已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这个三角形的周长为 __________. A B F E D C AC 19cm 提示：等腰三角形问题常要用到分类讨论，在涉及周长问题时，三边要养成检验好习惯哦！ 随堂练 5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长. 解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得 7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9， 又x为奇数，则第三边的长为7. 随堂练 6.已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c-a| +|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|. ∴原式=|（b+c）-a|+|b-（c+a）|-|c-（a+b）|- |（a+c）-b| =b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c =2c-2a． 解：∵a、b、c为三角形三边的长， ∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a， 随堂练 不在同一条直线上 首尾顺次相接 △ABD、△ACD △ABD、△ABC 分层练习-基础 2.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 D 知识点二：三角形按角分类 分层练习-基础 大于 小于 是否大于 3＜x＜13 C 分层练习-基础 5或9 分层练习-基础 B D 分层练习-巩固 C 7 35 0＜a＜12 b＞2 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 三角形 定义及其基本要素 顶点、角、边 分类 按角分类 按边分类分类 不重不漏 三边关系 原理 两点之间线段最短 内容 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 |a-b|<x<a+b (a>b,x为第三边） 应用 课堂小结 知识点一：三角形的概念 由 的三条线段 所组成的图形叫三角形． 1．如图，以AD为边的三角形是 ，以∠B为内角的三角形是 . 知识点三：三角形三边的关系 三角形两边的和 第三边，三角形两边的差 第三边．这个结论可以判断三条线段能否组成三角形，运用时只需检查较短两条线段的和 第三条线段． 3．已知两条线段的长为5cm和8cm，要钉成一个三角形，则第三条线段的长度范围为 . 4．(福建中考)下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是(　　) A．1、1、2　　　　 B．1、2、4　　　 C．2、3、4　　　 D．2、3、5 能力点：准确求三角形的边长或周长 在涉及三角形的边长或周长的计算中，一要注意分类讨论，二要注意用三边关系去检验，这是个隐含条件，容易忽略． 5．等腰三角形的两边长分别是5和9，则第三边长为 . 6．已知a、b、c为△ABC的三边长，其中b＝2，c＝3，且a是方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 解：因为|x－4|＝2，则x－4＝±2，解得x＝6或x＝2，即a＝6或a＝2， 当a＝6时，2＋3＜6，故a＝6不合题意(舍去)；当a＝2时，a＋b＋c＝2＋2＋3＝7，所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7，△ABC为等腰三角形． 7．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是(　　) A．5　　　 B．10　　 C．11　　 D．12 8．用集合观点来表示“按边把三角形分类”，下列表示正确的是(　　) 9．某同学用长分别为5cm、7cm、9cm、13cm的四根木棒摆三角形(用其中三根木棒首尾顺次相接)，每摆好一个后，拆开再摆，这样最多可摆出不同的三角形的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．(白银中考)已知a、b、c是△ABC的三边长，a、b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝ . 11．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm. 12．若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长a的取值范围是 ，若等腰三角形的底边长为4，则它的腰长b的取值范围是 . 13．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 解：图中有8个三角形，分别为：△AOD、△AOB、△BOC、△COD、△ABD、△ABC、△BDC、△ADC. 14．已知：a、b、c是△ABC的三边，且a＝4，b＝6.若三角形的周长是小于18的偶数． (1)求c边的长； (2)判断△ABC的形状． 解：(1)因为a＝4，b＝6，所以周长l的范围为12＜l＜20，又因为周长是小于18的偶数，所以l＝16或14.当周长为16时，c＝6；当周长为14时，c＝4； (2)当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；当c＝4时，a＝c，△ABC也为等腰三角形． 15．小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔．已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍多2m. (1)请用a表示第三条边长； (2)第一条边长可以为7m吗？请说明理由． 解：(1)第三条边长为30－a－(2a＋2)＝(28－3a)m； (2)第一条边长不可以为7m； 理由：当a＝7时，三边分别为7、16、7.∵7＋7＜16，∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m. 16．有一条长为22cm的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长比底边长的2倍多1cm，那么各边的长是多少？ (2)能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由． 解：(1)设底边长为xcm，则腰长为(2x＋1)cm，x＋2x＋1＋2x＋1＝22，解得x＝4.所以，三边长分别为4cm、9cm、9cm； (2)若腰长为5cm，则底边长为22－2×5＝12cm，因为5＋5＜12，所以不能围成腰长为5cm的等腰三角形；若底边长为5cm，则腰长为eq \f(22－5,2)＝8.5，能构成三角形，所以能围成底边长为5cm的等腰三角形． 能运用三角形的三边关系解决问题． 【例】一个等腰三角形的周长是36cm. (1)已知腰长是底边长的2倍，求各边长； (2)已知其中一边长为8cm，求其他两边长． 【思路分析】(1)把几何问题转化为代数中的方程问题，根据已知条件，设未知数，列方程． (2)只给出已知条件一边长为8cm，没有给定这条边是底边还是腰，需要分情况求解． 【规范解答】(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm.x＋2x＋2x＝36，解得x＝7.2.所以2x＝2×7.2＝14.4.所以三边长分别为7.2cm、14.4cm、14.4cm； (2)若腰长为8cm，则底边长为36－2×8＝20(cm)．此时8＋8＜20，故不能组成三角形，所以腰长不能为8cm；若底边长为8cm，则腰长为eq \f(36－8,2)＝14(cm)，能构成三角形，所以其他两边长分别为14cm、14cm. 【方法归纳】在本题的解答过程中，涉及到方程思想和分类讨论思想的运用．在求三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验． $$