第02讲 全等三角形（3大知识点5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第02讲 全等三角形 课程标准 学习目标 1 理解全等三角形的概念； 2 掌握全等三角形的性质； 3 能运用全等三角形的知识解决问题. 1. 透彻理解全等三角形的相关概念； 2. 熟练掌握全等三角形的各种性质与判定方法； 3. 能够灵活运用全等三角形的知识解决各类问题. 知识点一、全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 知识点二、全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 知识点三、全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 题型01 利用三角形全等性质求角度 1．如图的两个三角形全等，则∠1的度数为（　　） A．50° B．58° C．60° D．62° 2．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∠DBC＝40°，则∠DCB的度数为（　　） A．75° B．65° C．40° D．30° 3．如图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．无法确定 4．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，且△ABC≌△DEF，则∠F的度数为 　　． 题型02 利用三角形全等性质求长度 1．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　） A．12 B．7 C．2 D．14 2．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（　　） A．30 B．45 C．50 D．85 3．如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF．若CF＝8，BE＝4，则CE的长为 　　． 4．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　　． 题型03 全等变换——平移 1．如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 2．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝7，DP＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为 　． 题型04 全等变换——翻折 1．如图，△ABC沿AC边所在的直线翻折得到△ADC，AB+BC＝12cm，AC＝6cm，则△ACD的周长是　　cm． 2．如图所示，△ABD是ABC△沿AB边所在的直线翻折得到的，已知∠C＝100°，∠ABC＝30°，则∠CAD＝　　度． 题型05 全等变换——旋转 1．一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． （1）△ABC≌△CDA，对应边是　 　，对应角是　 　； （2）△AOB≌△DOC，对应边是　 　，对应角是　 　； （3）△AOC≌△BOD，对应边是　 　，对应角是　 　； （4）△ACE≌△BDF，对应边是　 　，对应角是　 　． 2．如图，△ABE≌△EDC，E在BD上，AB⊥BD，B为垂足． （1）试问：AE和CE垂直吗？AE和EC相等吗？ （2）分别将图中的△ABE绕点E按顺时针方向旋转，分别画出满足下列条件的图形并说出此时△ABE与△EDC中相等的边和角． ①使AE与CE重合；②使AE与CE垂直；③使AE与EC在同一直线上． 1．如图，△ABC≌△FDE，∠C＝50°，∠F＝100°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 2．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD，垂足为F，若∠CAF＝30°，则∠BCE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 3．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+β＝180° 4．如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 5．如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（　　） A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180° 6．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是 　 　°． 7．三个全等三角形摆成如图所示的形式，则∠α+∠β+∠γ的度数为 　 　． 8．如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，AC、DF交于点M，∠ACB＝30°，则∠AMF的度数是 　 　°． 9．已知△ABC≌△A′B′C′，AB+AC＝12，若△A′B′C′的周长为22，则B′C′的长为 　 　． 10．如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠A＝20°，∠B＝∠CEB＝65°，则∠DFA的度数为 　 　度． 11．如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC、BF交于E，∠FEC＝110°． （1）求∠FAC的度数； （2）AF平行于DC吗？说明理由； （3）求∠BAC的度数． 12．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F． （1）当DE＝9，BC＝5时，线段AE的长为 　 　； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数． 13．如图，点A、D、C、B在同一条直线上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求： （1）∠1的度数． （2）AC的长． 14．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm． （1）求DE的长． （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 15．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：∠CAE＝∠BAD； （2）若∠BAD＝35°，求∠BED的度数． 16．如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，求∠BFD的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 全等三角形 课程标准 学习目标 1 理解全等三角形的概念； 2 掌握全等三角形的性质； 3 能运用全等三角形的知识解决问题. 1. 透彻理解全等三角形的相关概念； 2. 熟练掌握全等三角形的各种性质与判定方法； 3. 能够灵活运用全等三角形的知识解决各类问题. 知识点一、全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 知识点二、全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 知识点三、全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 题型01 利用三角形全等性质求角度 1．如图的两个三角形全等，则∠1的度数为（　　） A．50° B．58° C．60° D．62° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：如图， ∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣58°﹣62°＝60°， ∵两个三角形全等， ∴∠1＝∠C＝60°， 故选：C． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 2．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∠DBC＝40°，则∠DCB的度数为（　　） A．75° B．65° C．40° D．30° 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠A＝75°， ∴∠D＝∠A＝75°， ∵∠DBC＝40°， ∴∠DCB＝180°﹣75°﹣40°＝65°， 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角的度数是解题关键． 3．如图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．无法确定 【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、b边的夹角，然后写出即可． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠α的度数＝180°﹣60°﹣70°＝50°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 4．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，且△ABC≌△DEF，则∠F的度数为 　　． 【分析】根据全等三角形的性质，∠C＝∠F，由三角形的内角和定理求出∠C，即可求出∠F的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠C， ∵∠A＝30°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（30°+70°）＝80°， ∴∠F＝∠C＝80°， ∴∠F的度数是80°． 故答案为：80°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答． 题型02 利用三角形全等性质求长度 1．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　） A．12 B．7 C．2 D．14 【分析】由全等三角形的性质得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根据BD＝DC+CB即可得解． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴AC＝DC，CB＝CE， ∵CE＝5，AC＝7， ∴CB＝5，DC＝7， ∴BD＝DC+CB＝7+5＝12． 故选：A． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 2．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（　　） A．30 B．45 C．50 D．85 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：∠A＝180°﹣105°﹣45°＝30°， ∵两个三角形是全等三角形， ∴∠D＝∠A＝30°，即x＝30， 故选：A． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 3．如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF．若CF＝8，BE＝4，则CE的长为 　　． 【分析】根据△ABC≌△DEF得到BC＝EF，从而得到BF＝EC，最后求得答案即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BC﹣BE＝EF﹣BE， 即：BF＝EC， ∵CF＝8，BE＝4， ∴CE2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出BF＝EC是解题关键． 4．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　　． 【分析】直接利用全等三角形的性质得出x，y的值进而得出答案． 【解答】解：∵一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，这两个三角形全等， ∴x＝6，y＝5， 则x+y＝11． 故答案为：11． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出x，y的值是解题关键． 题型03 全等变换——平移 1．如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， 又BC＝7， ∴EF＝7， ∵EC＝5， ∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2． 故选：A． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 2．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝7，DP＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为 　． 【分析】根据平移的性质分别求出BE、DE，根据题意求出PE，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：由平移的性质知，BE＝4，DE＝AB＝7， ∴PE＝DE﹣DP＝7﹣3＝4， 根据题意得：△ABC≌△DEF， ∴S△ABC＝S△DEF， ∴S阴影＝S梯形ABEP， 故答案为：22． 【点评】本题考查平移及全等三角形的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 题型04 全等变换——翻折 1．如图，△ABC沿AC边所在的直线翻折得到△ADC，AB+BC＝12cm，AC＝6cm，则△ACD的周长是　　cm． 【分析】根据题意我们可以得出：△ABC≌△ADC，根据全的三角形的性质，△ABC的周长就等于△ACD的周长，此时就不难解答了． 【解答】解：根据题意得，△ABC≌△ADC ∴△ABC的周长就等于△ACD的周长 ∵AB+BC＝12cm，AC＝6cm ∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝18cm ∴△ACD的周长为18cm． 故填18cm． 【点评】本题考查了全等三角形的性质；此题的关键是能够通过已知条件认识到△ABC≌△ADC，本题比较简单，属于基础题． 2．如图所示，△ABD是ABC△沿AB边所在的直线翻折得到的，已知∠C＝100°，∠ABC＝30°，则∠CAD＝　　度． 【分析】先运用三角形内角和求出∠CAB＝50°，在运用全等求出∠DAB从而易得． 【解答】解：∵△ABD是ABC△沿AB边所在的直线翻折得到的， ∴△ABD≌△ABC， ∴∠CAB＝∠DAB， ∵∠C＝100°，∠ABC＝30°， ∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝50°， ∴∠CAD＝∠CAB+∠DAB＝100°． 故填100 【点评】本题综合运用了全等三角形的性质定理，以及三角形内角和定理．由翻折得到三角形全等是解决本题的关键． 题型05 全等变换——旋转 1．一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． （1）△ABC≌△CDA，对应边是　 　，对应角是　 　； （2）△AOB≌△DOC，对应边是　 　，对应角是　 　； （3）△AOC≌△BOD，对应边是　 　，对应角是　 　； （4）△ACE≌△BDF，对应边是　 　，对应角是　 　． 【分析】根据全是三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）△ABC≌△CDA，对应边是AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，对应角是∠B＝∠D，∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠ACB； （2）△AOB≌△DOC，对应边是AO＝DO，AB＝DC，OB＝OC，对应角是∠A＝∠D，∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC； （3）△AOC≌△BOD，对应边是AO＝BO，OC＝OD，AC＝BD，对应角是∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠AOC＝∠BOD； （4）△ACE≌△BDF，对应边是AC＝BD，AE＝BF，CE＝DF，对应角是∠A＝∠DBF，∠E＝∠F，∠ACE＝∠D． 故答案为：AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠ACB，AO＝DO，AB＝DC，OB＝OC，∠A＝∠D，∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC；AO＝BO，OC＝OD，AC＝BD，AC＝BD，AE＝BF，CE＝DF，∠A＝∠DBF，∠E＝∠F，∠ACE＝∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 2．如图，△ABE≌△EDC，E在BD上，AB⊥BD，B为垂足． （1）试问：AE和CE垂直吗？AE和EC相等吗？ （2）分别将图中的△ABE绕点E按顺时针方向旋转，分别画出满足下列条件的图形并说出此时△ABE与△EDC中相等的边和角． ①使AE与CE重合；②使AE与CE垂直；③使AE与EC在同一直线上． 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等可得AE＝EC，全等三角形对应角相等可得∠A＝∠CED，然后求出∠AEC＝90°，再根据垂直的定义判定； （2）根据要求分别作出图形，再根据全等三角形对应边相等解答． 【解答】解：（1）∵△ABE≌△EDC， ∴AE＝EC，∠A＝∠CED， ∵AB⊥BD， ∴∠A+∠AEB＝90°， ∴∠CED+∠AEB＝90°， ∴∠AEC＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥CE； （2）如图所示，相等的边有AB＝ED，AE＝EC，BE＝DC， 相等的角有∠BAE＝∠DEC，∠ABE＝∠EDC，∠AEB＝∠ECD． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，是基础题，熟记全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等是解题的关键． 1．如图，△ABC≌△FDE，∠C＝50°，∠F＝100°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAC＝∠F，然后根据三角形的内角和等于180°列式进行计算即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△FDE， ∴∠BAC＝∠F， ∵∠F＝100°， ∴∠BAC＝100°， 又∵∠C＝50°， ∴∠B＝180°﹣100°﹣50°＝30°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，准确确定对应角并求出∠BAC的度数是解题的关键． 2．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD，垂足为F，若∠CAF＝30°，则∠BCE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】由全等三角形的性质得到∠ACB＝∠DCE，因此∠BCE＝∠ACF，由垂直的定义得到∠AFC＝90°，求出∠ACF＝90°﹣30°＝60°即可得到∠BCE＝60°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCE＝∠ACF， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∵∠CAF＝30°， ∴∠ACF＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCE＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形得到性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 3．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+β＝180° 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可． 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠OAD＝α， 在△ABC中，∠ABC（180°﹣α）， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°， ∴β（180°﹣α）＝90°， 整理得，α＝2β． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 4．如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】由全等三角形的性质推出CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，得到∠CEB＝∠B＝70°，∠ACD＝∠BCE，由三角形内角和定理求出∠BCE＝40°，即可得到∠ACD＝40°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴CE＝BC，∠ACB＝∠DCE， ∴∠CEB＝∠B＝70°，∠ACD＝∠BCE， ∵∠BCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠ACD＝40°． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由△ABC≌△DEC，推出CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，得到∠CEB＝∠B＝70°，∠ACD＝∠BCE． 5．如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（　　） A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180° 【分析】由∠BAC＝α，得∠B+∠C＝180°﹣α，根据△BED≌△CFE，即有∠B＝∠C＝90°α，∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠BED＝90°α，从而90°α+θ＝180°，即可答案． 【解答】解：∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∵△BED≌△CFE， ∴∠B＝∠C＝90°α，∠BDE＝∠FEC， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°α）＝90°α， ∴∠FEC+∠BED＝90°α， ∵∠FED＝θ，∠FEC+∠BED+∠FED＝180°， ∴90°α+θ＝180°， ∴α+2θ＝180°， 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的性质及应用，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 6．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是 　65　°． 【分析】由全等三角形的对应角相等，得到x＝∠F＝65°． 【解答】解：∵两个三角形是全等三角形， ∴两个三角形边长是7和4的边的夹角相等， ∴x＝∠F＝65°． 故答案为：65． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 7．三个全等三角形摆成如图所示的形式，则∠α+∠β+∠γ的度数为 　180°　． 【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠2+∠4+∠6＝180°，∠1+∠3+∠5＝180°，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由图形可得：∠1+∠2+∠α+∠3+∠4+∠β+∠5+∠6+∠γ＝540°， ∵三个三角形全等， ∴∠1+∠3+∠5＝180°， 又∵∠2+∠4+∠6＝180°， ∴∠α+∠β+∠γ+180°+180°＝540°， ∴∠α+∠β+∠γ的度数是180°． 故答案为：180°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 8．如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，AC、DF交于点M，∠ACB＝30°，则∠AMF的度数是 　60　°． 【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE＝∠ACB＝30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠DFE＝∠ACB＝30°， ∵∠AMF是△MFC的一个外角， ∴∠AMF＝∠DFE+∠ACB＝60°， 故答案为：60． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 9．已知△ABC≌△A′B′C′，AB+AC＝12，若△A′B′C′的周长为22，则B′C′的长为 　10　． 【分析】根据三角形的周长公式求出BC，根据全等三角形的对应边相等解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′的周长为22， ∴△ABC的周长为22， ∵AB+AC＝12， ∴BC＝22﹣12＝10， ∴B'C'＝BC＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 10．如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠A＝20°，∠B＝∠CEB＝65°，则∠DFA的度数为 　70　度． 【分析】由全等三角形的性质得到∠CED＝∠B＝65°，求出∠AEF＝180°﹣∠CEB﹣∠CED＝50°，由三角形外角的性质得到∠DFA＝∠A+∠AEF＝20°+50°＝70°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠CED＝∠B＝65°， ∵∠B＝∠CEB＝65°， ∴∠AEF＝180°﹣∠CEB﹣∠CED＝50°， ∴∠DFA＝∠A+∠AEF＝20°+50°＝70°． 故答案为：70． 【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由全等三角形的性质得到∠CED＝∠B＝65°，由三角形外角的性质即可求出∠DFA的度数． 11．如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC、BF交于E，∠FEC＝110°． （1）求∠FAC的度数； （2）AF平行于DC吗？说明理由； （3）求∠BAC的度数． 【分析】（1）由全等三角形的性质可知∠DAC＝∠FAB，然后证明∠DAB＝∠FAC即可； （2）由DA∥BF可知∠DAF+∠F＝180°，由全等三角形的性质可知：∠D＝∠F，从而可得到∠DAF+∠D＝180°； （3）由AF∥DC，可知∠F＝∠FEC＝110°，然后由DA∥BF可求得∠DAF＝70°，从而可求得∠BAC的度数． 【解答】解：（1）∵△ADC≌△AFB， ∴∠DAC＝∠FAB． ∴∠DAC﹣∠BAC＝∠FAB﹣∠BAC． ∴∠FAC＝∠DAB＝20°； （2）∵DA∥BF， ∴∠DAF+∠F＝180°． ∵△ADC≌△AFB， ∴∠D＝∠F． ∴∠DAF+∠D＝180°． ∴AF∥DC． （3）∵AF∥DC， ∴∠F＝∠FEC＝110°． ∵AD∥BF， ∴∠DAF+∠F＝180°． ∴∠DAF＝180°﹣110°＝70°． ∠BAC＝∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB＝70°﹣20°﹣20°＝30°． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的性质和判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 12．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F． （1）当DE＝9，BC＝5时，线段AE的长为 　4　； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数． 【分析】（1）由△ABC≌△DEB，可得AB＝9，BE＝5，从而可得答案； （2）由△ABC≌△DEB，∠C＝60°，∠D＝35°，可得∠DBE＝60°，∠A＝35°，再利用三角形的外角的性质求解∠AED＝95°，∠AFD＝130°，从而可得答案． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝9，BC＝5， ∴AB＝DE＝9，BC＝BE＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝9﹣5＝4． 故答案为：4． （2）∵△ABC≌△DEB，∠C＝60°，∠D＝35°， ∴∠C＝∠DBE＝60°，∠A＝∠D＝35°， ∵∠ABC＝180°﹣35°﹣60°＝85°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 13．如图，点A、D、C、B在同一条直线上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求： （1）∠1的度数． （2）AC的长． 【分析】（1）根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【解答】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝27°， ∴∠E＝∠F＝27°， ∵∠1＝∠B+∠E，∠B＝33°， ∴∠1＝60°； （2）∵△ADF≌△BCE，BC＝5cm， ∴AD＝BC＝5cm， ∵CD＝2cm， ∴AC＝AD+CD＝7cm． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 14．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm． （1）求DE的长． （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等及线段的和差关系可得答案； （2）根据全等三角形的对应角相等及余角的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BE＝AB＝2cm，BD＝BC＝3cm． ∴DE＝BD﹣BE＝1cm． （2）AC与DB垂直，理由如下： ∵△ABD≌△EBC， ∴∠EBC＝∠ABD． 又∵∠ABD+∠EBC＝180°， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴DB⊥AC． 【点评】本题侧重考查全等三角形的性质、邻补角的题目，全等三角形的对应边、对应角分别相等． 15．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：∠CAE＝∠BAD； （2）若∠BAD＝35°，求∠BED的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出∠D＝∠B，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出∠AFD＝∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD＝180°，∠B+∠EFB+∠BED＝180°，求出∠BED＝∠BAD即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE， ∴∠CAE＝∠BAD； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠D＝∠B， ∵∠AFD＝∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD＝180°，∠B+∠EFB+∠BED＝180°， ∴∠BED＝∠BAD， ∵∠BAD＝35°， ∴∠BED＝35°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 16．如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，求∠BFD的度数． 【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D，求出∠∠EAC＝∠DAB＝50°，根据三角形内角和定理求出∠BFD＝∠DAB，代入求出即可． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D， ∴∠EAD﹣∠CAD＝∠CAB﹣∠CAD， ∴∠∠EAC＝∠DAB， ∵∠EAB＝125°，∠CAD＝25°， ∴∠DAB＝∠EAC（125°﹣25°）＝50°， ∵∠B＝∠D，∠FGD＝∠BGA，∠D+∠BFD+∠FGD＝180°，∠B+∠DAB+∠AGB＝180°， ∴∠BFD＝∠DAB＝50°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$