山东省聊城市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段测试数学试题

第 1 页 共 3 页 2023 级高一下学期第二次阶段性测试 数 学 试 题 时间：120 分钟 分值：150 分 命题人：赵春刚 审题人：董雪珂 做题人：朱潇霞 第Ⅰ卷(选择题，共 58分) 一、单项选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1. 总体由编号为01,02,…,39,40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机 数如下，则选出来的第5个个体的编号为 66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 21 14 32 52 41 52 48 A.54 B.14 C.21 D.32 2.样本数据 12,11,7,15,9,10,12,8 的中位数是 A.12 B.11 C.10 D.10.5 3.为了提升学生的文学素养，某校将 2024 年 5 月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》 与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为 450，选择《麦 田里的守望者》的人数为 550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取 20 名学生进行阅 读分享，则被抽到的这 20 名学生中选择了《平凡的世界》的人数为 A.9 B.10 C.11 D.12 4.下列命题是真命题的是 A.上底面与下底面相似的多面体是棱台 B.若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥 C.若直线 l 在平面α外,则 l∥α D.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 1+2π 2π 5.从某中学抽取 10 名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这 10 名同学数学成绩的众数、第 25 百分位数分别为( ) A. 92,  85 B. 92,  88 C. 95,  88 D. 96,  85 6.四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD为平行四边形，点Q满足 3PC PQ   ，设四棱锥 P ABCD 的体 积为V ，则三棱锥Q PBD 的体积为（ ） . . . . 4 8 3 6 V V V VA B C D 7．已知球 O为正三棱柱 1 1 1ABC ABC- 的外接球，正三棱柱 1 1 1ABC ABC- 的底面边长为 1，高为 3，则 球 O的表面积是（ ） A． 4 B． 31 3  C． 16 3  D． 31 12  8.如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 2, 4. , ,AD AA AB E M N   分别是棱 1 1, ,C D AB BC的 中点，若点P是平面 1 1A ADD 内的动点，且满足 1/ /PE BMN平面 ，则线段 PE长度的最小值为( ) A. 5 B. 6 C. 2 30 5 D. 2 2 二、多项选择题 (本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题 目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分) 9.已知某省 2023 年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省 2023 年各地市地区生 产总值占比的统计情况，下列结论正确的是 A. A 市 2023 年地区生产总值比 B 市 2023 年地区生产总值多 B.图中 11 个地市 2023 年地区生产总值占比的 40%分位数为 5.92% C.图中 11 个地市 2023 年地区生产总值占比的 70%分位数为 4.58% D.若该省 2024 年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省 2024 年各地市地区生产总值的占比不变 10.在空间中， ,m n是两条不同的直线， ,  是两个不重合的平面，则下列说法一定正确的是( ) A.若 / / , / / , / / ,m n    则 / /m n B.若 内的两条相交直线分别垂直于  内的两条相交直线，则  C.若 ,m    ，则存在 n  使得 / /m n D.若 ,m n是异面直线， , , / / , / /m n m n     ，则 / /  第 2 页 共 3 页 11．已知棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D ，点 P是 BC的中点，点Q在CD上，满足  0 1CQ CD    ，则下列表述正确的是（ ） A． 1 2   时， / /PQ 平面 1 1AB D B． 1 2   时，平面 1PQC ∥平面 1 1AB D C．任意  0,1 ，三棱锥 1 1P A BQ 的体积为定值 D．过点 1, ,A P Q的平面分别交 1 1,BB DD 于 ,E F，则 BE DF 的范围是  1,2 第Ⅱ卷(非选择题，共 92分) 三 、填空题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．某人任意统计 5 次上班步行到单位所花的时间（单位：分钟）分别为8 ,12 ,10 ,11 ,9 ．则这组数 据的标准差为 ． 13.为了了解我国 13 岁男孩的平均身高，从北方抽取了 300 个男孩，平均身高 1.60m；从南方抽取了 200 个男孩，平均身高 1.50m，由此可推断我国 13 岁男孩的平均身高为_____________. 14．在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 BAC=90°，AB=AC= 2 ,AA1=2,则直线 AC 到平面 A1BC1 的距 离为 . 四、解答题 (本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 13 分)如图：在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中 2AB  ，M 为 1DD的中点. (1)求三棱锥M ABC 的体积； （2）求证： 1 / /BD 平面 AMC； (3)若 N为 1CC 的中点，求证：平面 / /AMC 平面 1BND . 16.(本小题满分15分)某校高中年级举办科技节活动，开设A,B两个会场，其中每个同学只能去一个会场, 且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A,B会场学生年级及比例情况如下表所示： 高一 高二 高三 A 会场 50% 40% 10% B 会场 40% 50% 10% 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x,y,z,利用分层随机抽样的方法从参加活动 的全体学生中抽取一个容量为n的样本. (1) 求x:y:z的值； (2)若抽到的B会场的高二学生有150人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数. 17.(本小题满分 15 分)如图所示的四棱锥 P-ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD，AD//BC， ∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E 为 PD 的中点. (1) 求证：CE//平面 PAB (2) 求证：平面 PAC⊥平面 PDC (3)求直线 EC 与平面 PAC 所成角的正切值 第 3 页 共 3 页 18.(本小题满分 17 分) 已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型 号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示(每组区间均为左开右闭). 尺寸大于 M 的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于 M 的零件用于小型机器中. (1)若 M=60，试分别估计该工厂一区生产车间生产的 500 个该种型号的零件和二区生产车间生产的 500 个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数. (2)若 M∈(60，70]，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、 小型机器各 5000 台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件. 方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于 M 的零件的 大型机器每台会使得工厂损失 200 元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺 寸大于 M 的零件的小型机器每台会使得工厂损失 100 元. 方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的 总费用为 35 万元. 请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值 H(M)(单位：万元)的表达式，并从工厂损失的角度考 虑，选择合理的方案. 19.(本小题满分 17 分) 如图①，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC = 90°，AB//CD，AD = CD = 1 2 AB，E 为 AC 的中点，将∆ACD 沿 AC折起构成几何体 D − ABC，如图②.在图②所示的几何体 D − ABC中: （Ⅰ）在棱 CD上找一点 F，满足 AD//平面 BEF，求几何体 E − BCF与几何体 D − ABC的体积比； （Ⅱ）当几何体 D − ABC的体积最大时， ①求证：BC ⊥平面 ACD； ②求二面角 D − AB − C的余弦值. 第 1 页 共 4 页 高一下学期第二次阶段性考试数学试题参考答案 1．B．生成的随机数中落在编号 01，02，…，39，40 内的依次有 06，35，02，35(重复)，21，14，32， 故第 5 个编号为 14，故选 B． 2. D 将数据从小到大排列:7,8,9,10,11,12,12,15.故这组数据的中位数是 10+11 2 = 10.5. 3.A 依题意，被抽到的这 20 名学生中选择了《平凡的世界》的人数为 20 × 450 450+550 = 9. 4.D 正方体的上底面与下底面相似，但正方体不是棱台，A 错误.如图所示的几何体所有的 面均为三角形，但该几何体不是三棱锥，B 错误.若直线 l 在平面α外，则 l∥α或直线 l 与平面 α相交，C 错误.设圆柱的底面圆半径为 r，则 2πr＝2，解得 r＝1 π ，所以 S 侧＝4，S 底＝πr2＝ 1 π ， 所以 � 表 � 侧 ＝ 4+2×1π 4 ＝ 1+2π 2π . 5.B【详解】本题中数据 92 出现了 3 次，出现的次数最多，所以本题的众数是 92；将一组数据按照由 小到大(或由大到小)的顺序排列，取第三个数，第 25 百分位数是 88．故选：B．. 6.D 7．B【分析】外接球球心为正三棱柱上下底面的外接圆圆心连线的中点，先求出底面外接圆半径，再 由勾股定理即可求出外接球半径. 【详解】解：设三棱柱 1 1 1ABC ABC- 的高为 h，底边边长为 a．设球 O的半径为 R， 则三棱柱底面三角形的外接圆半径 r满足： 2 sin 3 ar   ，解得： 3 3 r a 由题知， 1a  ， 3h  2 2 2 2 2 3 1 1 9 31 3 2 3 4 3 4 12 a hR a h                  ，故球 O的表面积为 2 314 3 S R   ，故选：B. 8．选 C． 9. ABD 由图中统计数据，可得 A 市 2023 年地区生产总值比 B 市 2023 年地区生产总值多，A 正确.因 为 11×40%=4.4，所以图中 11 个地市 2023 年地区生产总值占比的 40%分位数为 5.92%,B 正确.因为 11×70%=7.7,所以图中11个地市 2023年地区生产总值占比的70%分位数为 10.1%，C错误.若该省2024 年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省 2024 年各地市地区生产总值的占比不变，D 正确. 10.CD 第 2 页 共 4 页 11．ACD 【分析】对于 A，利用 1 1PQ B D∥ 并使用线面平行的判定定理即可；对于 B，使用反证法，并利用面面 平行的性质即可；对于 C，证明Q到直线 1 1AB 的距离和 P到平面 1 1ABQ的距离均为定值即可；对于 D， 直接计算得到 2 1 BE DF     即可. 【详解】 如图，设 AD的中点为 R， 1BB 的中点为S，直线 PQ与直线 AB和 AD分别交于点 ,M N . 对于 A，当 1 2   时，Q是CD的中点，而 P是 BC的中点， 所以 1 1PQ BD B D  ，而 1 1B D 在平面 1 1AB D 内， PQ不在平面 1 1AB D 内， 所以 PQ平行于平面 1 1AB D ，A 正确； 对于 B，假设平面 1PQC 平行于平面 1 1AB D ， 由于 1C P在平面 1PQC 内，故 1C P平行于平面 1 1AB D . 由于 P是 BC的中点， R是 AD的中点，所以 1 1PR CD C D  ， 1 1PR CD C D  . 这就得到四边形 1 1PRDC 是平行四边形， 所以 1 1C P D R ，且该平行四边形确定一个平面 1 1PRDC . 由于 1C P在平面 1 1PRDC 内， 1C P平行于平面 1 1AB D ，平面 1 1PRDC 和平面 1 1AB D 有公共点 1D ， 所以平面 1 1PRDC 和平面 1 1AB D 有一条过 1D 的交线，且该直线平行于 1C P . 又因为 1 1C P D R ，所以该交线就是 1D R，这意味着 1D R在平面 1 1AB D 内， 再由D在直线 AR上，知 1 1, , ,A D B D 四点共面，这与正方体的性质矛盾. 故平面 1PQC 与平面 1 1AB D 不平行，B 错误； 对于 C，由于 1 1 1 1AB C D CD∥ ∥ ，Q在直线CD上，所以Q到直线 1 1AB 的距离恒为定值 1d . 同样因为 1 1 1 1AB C D CD∥ ∥ ，可知一对平行线 1 1AB 和CD确定一个平面 1 1ABCD， 设 P到平面 1 1ABCD的距离为 2d ，则由Q在直线CD上，可知 P到平面 1 1ABQ的距离为 2d . 从而 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 6P A B Q A B Q V S d A B d d     ，恒为定值，C 正确； 对于 D，由于 ,M N均在平面 1APQ上，故 E是 1AM 和 1BB 的交点， F是 1A N 和 1DD的交点. 同时，我们有 1 1 2 BP CP BC   ， 2CQ CD   . 当 0 1  时，由相似三角形知识可得 2 BM CQBM BP CP    ， 1DN DQDN CP QC       . 所以 1 2 2 2 1 BE BM BM AA AM AB BM            ， 1 1 1 1 12 DF DN DN AA AN AD DN              . 从而 1 2 1 1 BE AA        ， 1 1 2 2 1 1 DF AA          . 注意到 1BB 的中点为S，则当 0  时， ,E F分别与 1,B D 重合； 当 1  时， ,E F 分别与 ,S D重合，容易验证知 2 1 BE     ， 2 2 1 DF      亦成立. 所以 2 2 2 2 1 1 1 BE DF              ，而 0 1≤ ≤ ，所以 BE DF 的取值范围是  1,2 ，D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对线面平行与面面平行的性质，以及平面的性质的灵活运用。 12． 2 ； 13. 1.56m (不带单位 0 分) 14. 3 32 第 3 页 共 4 页 易证明 AC//平面 A1BC1 ，所以 AC 到平面 A1BC1 的距离也就是 A 到平面 A1BC1的距离 下求 A 到平面 A1BC1的距离 15．【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行的判定进行证明； （3）根据面面平行的的判定进行证明. 【详解】（1）显然MD 平面 ABC，于是 1 1 1 21 2 2 3 3 2 3M ABC ABC V MD S          .……3 分 （2）设 AC BD O ，连接OM ， 在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，四边形 ABCD是正方形， O 是 BD中点， M 是 1DD的中点， 1OM BD ∥ ， 1BD  平面 ,AMC OM 平面 ,AMC 1BD  平面 AMC；……7 分 （3） NQ 为 1CC 的中点，M 为 1DD的中点， 1 1,CN DM CN DM  ∥ ， 四边形 1CND M 为平行四边形， 1D N CM ∥ ， 又 MC  平面 1,AMC D N  平面 1,AMC D N  平面 AMC，……10 分 由（2）知 1BD  平面 1 1 1 1, ,AMC BD D N D BD   平面 1 1,BND D N 平面 1BND ， 平面 AMC  平面 1BND .……13 分 16．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为 a，b，c， 则去 A会场的学生总数为 0.25( )a b c  ， 去 B会场的学生总数为 0.75( )a b c  ， …………………………………………（2 分） 则对应人数如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 0.125( )a b c  0.1( )a b c  0.025( )a b c  B会场 0.3( )a b c  0.375( )a b c  0.075( )a b c  …………………………………………（5 分） 则 0.425 ( ) 0.475( ) 0.1( ) 17 19 4x y z a b c a b c a b c       ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ . …………………………………………（8 分） （Ⅱ）依题意， 0.75 0.5 150n   ，解得 400n  ，……………………（10 分） 故抽到的 A会场的学生总数为 100 人，…………………………………（12 分） 则高一年级人数为 100×50%  50， 高二年级人数为 100×40%  40， 高三年级人数为 100×10%  10． …………………………………………（15 分） 17.（本小题满分 15 分）(1)证明：取 PA 的中点 M，连接 BM，ME，则 ME//AD 且 ME=1 2 AD. ∵BC//AD 且 BC=1 2 AD，∴ME//BC 且 ME=BC， ∴四边形 MECB 是平行四边形，∴BM//CE. 又 CE⊄平面 PAB，BM⊂平面 PAB，∴CE//平面 PAB. ……5 分 (2) 证明：∵PA⊥平面 ABCD，DC⊂平面 ABCD,∴PA⊥DC， 又 AC2+CD2=AD2，∴DC⊥AC.……7 分 ∵AC∩PA=A，AC,PA⊂平面 PAC,∴DC⊥平面 PAC，……9 分 又 DC⊂平面 PDC，∴平面 PAC⊥平面 PDC.……10 分 第 4 页 共 4 页 (3) 取 PC 的中点 F，连接 EF，则 EF//DC， 由(2)知 DC⊥平面 PAC，则 EF⊥平面 PAC. ∴∠ECF 即为直线 EC 与平面 PAC 所成的角.……12 分 ∵�� = 1 2 �� = 3 2 , �� = 1 2 �� = 2 2 , ∴���∠��� = �� �� = 6 3 , 即直线 EC 与平面 PAC 所成角的正切值为 6 3 ……15 分 18. 解 :(1) 一 区 生 产 车 间 生 产 的 零 件 尺 寸 大 于 60 的 频 率 为 (0.020+0.024+0.020+0.020)×10=0.84,………………………………………………………………………… ………1 分 则该工厂一区生产车间生产的 500 个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数 为 500×0.84=420;………………………………………………………………………………3 分 二区生产车间生产的零件尺寸大于 60 的频率为(0.024+0.016)×10=0.4,⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分 则 该 工 厂 二 区 生 产 车 间 生 产 的 500 个 该 种 型 号 的 零 件 用 于 大 型 机 器 中 的 零件 个 数 为 500×0.40=200.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分 (2) 一 区 生 产 车 间 生 产 的 零 件 尺 寸 小 于 或 等 于 M 的 频 率 为 0.004×10+0.012×10+0.02×(M-60)=0.02M-1.04.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分 二 区 生 产 车 间 生 产 的 零 件 尺 寸 大 于 M 的 频 率 为 0.024×(70-M)+0.016×10=1.84-0.024M.……………………………………………………………………10 分 故 H(M)=(0.02M-1.04)×0.02×5000+(1.84-0.024M)×0.01×5000=0.8M-12. ………………………………………………………………………………………14 分 因为 M∈(60,70],所以 H(M)∈(36,44].………………………………………………16 分 又因为采用方案二重新测量的总费用为 35 万元，所以从工厂损失的角度考虑， 应选择方案二.………………………………………………………………………………………17 分 19 、解 ( Ⅰ ) ：取DC中点N,连EN,则EN是DC的中位线,即得AD//EN ，又AD平面BEN ， EN平面BEN ，即有AD//平面BEN ，即N就是所找点F.................3 分 由VE — BCF = VB — CEF ，从而得 (Ⅱ)①由题意，当几何体 D — ABC 的体积最大时，底面ΔABC 的面积确定，点 D 到底面 ABC的距 离最大，此时应有平面ADC 丄平面ABC.................8 分 由已知，在图①中，取 AB 中点 Q ，连 CQ ，在图②中连 DE. 由已知 AD = DC = AB = AQ ，又 DC//AQ，则四边形 ADCQ 为正方形，从而ΔAQC 为 等腰直角三角形，又 AQ = QB， 2 AQC BQC     ，QC = QC， 所以ΔAQC  ΔBQC，即ΔABC为直角三角形，得 BC 丄AC. ................10 分 在图②中 AD = DC ，E 为 AC 中点，则DE 丄 AC， 又平面 ADC 丄平面 ABC 且平面 ADC ∩平面 ABC = AC ， 则有 DE 丄平面 ABC ，得 DE 丄 BC. 又 BC 丄 AC ，DE ∩ AC = E ，则 BC 丄平面 ADC. ................12 分 ②过点E作EM 丄 AB于M ，连DM ， 由①知DE 丄平面ABC ，则DE 丄 AB ， 又EM 丄 AB， EM ∩ DE = E ，则AB 丄平面DEM ，从而AB 丄 DM ， 即 DME 就是二面角D — AB — C的平面角 显然ΔDEM是直角三角形，且 2 DEM   .............15 分 令 AD = 2 ，则 DE = AE =2 ，EM = AEsin 则 2tan DME  ，则 3 cos 3 DME  .................17 分