精品解析：2024年福建省福州市台江区第八中学中考三模数学试题

福州八中2023-2024学年九年级第九次适应性练习数学试卷 一、选择题（每题4分，共10小题，共40分） 1. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了，利用数轴比较数的大；由a所在位置，得出a的取值范围，即可判断、，根据不等式的性质得出的取值范围，即可判断、，即可求解， 【详解】解：由数轴可知：，则：、错误，不符合题意， ∵，则：正确，符合题意，错误，不符合题意， 故选：C． （2021▪柳南区校级模拟） 2. 如图，王华用橡皮泥做了个圆柱，再用手工刀切去一部分，则其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】从左边看是上下两个矩形，矩形的公共边是虚线． 故选A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则,同底数幂的乘法，同底数幂的除法,幂的乘方等运算法则，即可判断答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项,同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算,幂的乘方运算,熟练掌握幂的相关运算是解题的关键． 4. 若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∴， 解得：， ∴选项中符合题意， 故选：． 5. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( ) A. 10° B. 15° C. 18° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°， ∵AB∥CF， ∴∠ABD=∠EDF=45°， ∴∠DBC=45°﹣30°=15°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 6. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 根据正多边形的边数求出圆心角的度数．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接，， 为正五边形， ， ； 故选：B 7. 为了解佳佳“1分钟跳绳”成绩的稳定情况，统计了佳佳6次的跳绳成绩（满分10分），并代入方差公式，得，下列判断正确的是（ ） A. 平均数与众数相等 B. 平均数与中位数相等 C. 众数与中位数相等 D. 平均数、中位数、众数互不相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差公式及平均数、中位数和众数的概念，考查数据观念、推理能力和运算能力．根据方差公式写出六次成绩，从而求出平均数及中位数、众数，即可解决问题． 【详解】解：根据公式可知6次的跳绳成绩为5，6，6，8，8，9，求得平均数为7分，众数为6分和8分，中位数为7分， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵点是函数图象上的点， ∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、 ∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为， ∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为． 故选A． 【点睛】本题考查了绕坐标原点逆时针旋转坐标变化的规律和一次函数平移的规律，解题关键是根据绕坐标原点逆时针的得到图象函数解析式为． 9. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭．已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 10. 如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最小值为 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求解可判断A；根据三角形的中位线性质证得，再证明，，，然后根据直角三角形的性质和相似三角形的性质可判断B；当最短时，点F为的中点，进而求解即可判断C；先求得，，，过点B作交的延长线于点N，结合题意以及直角三角形的性质，利用全等三角形的判定证明得到，再证明，进而利用相似三角形的性质可判断D． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵垂直， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 如图，过点D作交于点M， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，垂直， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴点H在以为直径的圆上， 当最短时，点F为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为，故C错误，符合题意； 当时，， ∴，，， 过点B作交的延长线于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、圆的基本知识等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 我市某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是______℃． 【答案】11 【解析】 【分析】温差等于最高气温减去最低气温，根据公式列式计算即可. 【详解】解：8﹣（﹣3）＝8+3＝11（℃） 答：这天的温差是11℃． 故答案为：11． 【点睛】本题考查的是有理数的减法的应用，理解题意，列出正确的运算式是解题的关键. 12. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为______． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意画出树状图求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，树状图如图所示， ， ∴两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为：， 故答案为：． 13. 如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值：______． 【答案】或或（任选一个即可）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，由，可得轴，得到点的纵坐标为，再根据横坐标，横坐标为整数，求出点的坐标，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵点在线段上， ∴点的纵坐标为，且横坐标， ∵点的横坐标为整数， ∴或或， ∴点的坐标为或或， ∴的值为，，， 故答案为：或或（任选一个即可）． 14. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，连接，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，证明为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：4． 15. 《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝________斛米.（注：斛是古代一种容量单位） 【答案】 【解析】 【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y值，将其相加即可得出结论． 【详解】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛， 根据题意得： ， 解得： . ∴x+y=. 故答案为 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程 16. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点．若对于，，总有，求的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，二次根式的加减运算，先去绝对值，负整数指数幂和二次根式的化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18. 如图，已知在中，点、分别在边、上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形即可得到结论． 【详解】略 19. 先化简：，然后从0，2，4中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，最后结合分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解： ； 由分式有意义可得：，， 当时， 原式． 20. 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案：一户家庭的月均用水量不超过（单位：）的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此拟召开听证会，以确定一个合理的月均用水量标准．通过抽样，获得了前一年1000户家庭每户的月均用水量（单位：），将这1000个数据按照，，…，分成8组，制成了如图所示的频数分布直方图． （1）写出的值，并估计这1000户家庭月均用水量的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表） （2）假定该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准，请判断若以（1）中所求得的平均数作为标准是否合理？并说明理由． 【答案】（1）100，14.72； （2）解：不合理．理由如下： 由（1）可得14．72在内， ∴这1000户家庭中月均用水量小于的户数有 （户）， ∴这1000户家庭中月均用水量小于的家庭所占的百分比是， ∴月均用水量不超过的户数小于60%． ∵该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准， 而， ∴用14．72作为标准不合理． 【解析】 【分析】（1）先确定a的值，然后求这些数据的加权平均数即可； （2）由14．72在内，然后确定小于的户数，再求出小于的户数占样本的百分比，最后用这个百分比和70%相比即可说明． 【详解】解：（1）依题意得a=（1000-40-180-280-220-60-20）÷2=100． 这1000户家庭月均用水量的平均数为： ， ∴估计这1000户家庭月均用水量的平均数是14.72． （2）略 【点睛】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数，正确求得加权平均数是解答本题的关键． 21. 如图，在中，，于点，为锐角． （1）将线段绕点顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点的对应点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，过点作于点，连接，，若，求的值． 【答案】（1） 如图，点即为所求； ∵，， ∴， 由作图可知：， ∴点即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，斜边上的中线： （1）分别以点，点为圆心，，的长为半径画弧，两弧的交点即为所求； （2）证明，得到，再证明，得到，三角函数得到，设，则，斜边上的中线得到，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，弦AE交BC于点F，＝，∠ACB＝2∠EAB． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若cosB＝，AB＝5，则线段BF的长为　 　． 【答案】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ＝， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据已知条件推出，求得，于是得到结论； （2）根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，过于，根据全等三角形的性质得到，，由勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， 过于， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角函数的定义，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式 【答案】任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；任务2：可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本；任务3：文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本（答案不唯一） 【解析】 【分析】任务1：设笔记本的单价为x元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可；任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据总的花费为400元，列出方程，根据，，且b是10的倍数，求出a、b的值即可；任务3：可以就钢笔和笔记本数量的一种情况进行解答，答案合理即可． 【详解】任务1： 解：设笔记本的单价为x元，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 这时． ∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元； 任务2： 解：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得，化简得， 由题意，，，且b是10的倍数， ∴，，， ∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本． 任务3： 解：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得 ，整理得， ∵，且，y均为正整数， ∴经尝试检验得， ∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程． 24. 已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）求出点坐标为，进而求出，，利用待定系数法即可求解； （2）设，连接,过点作轴于点，过点作于点．先求出，证明得到，再求出，，即可求出或，从而得到，即可求出； （3）先求出新抛物线的解析式为，设直线的解析式为，且、，根据，得到，联立，得，即可得到，，进而得到，，从而得到，求出或，当时，直线的解析式为，即直线过定点，不符合题意；当时，直线的解析式为，得到直线恒过定点． 【小问1详解】 解：令，得， ， ， ， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ，， ， ， 解得：或， 点在第一象限， ， ，， ； 【小问3详解】 证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的新抛物线， 新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且、， 点在抛物线上，， ， ， ， 整理得：， 联立，得， ，， ， ， ， 即， 或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为， 直线恒过定点． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 25. 如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作，交于点． （1）用等式表示与的数量关系，并说明原因； （2）如图2，若为中点，且，求证：，，三点共线． （3）如图3，若在线段上截取，连接，交于点，求证：． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 过点作，交的延长线与点，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴两点重合， ∴，，三点共线； （3） 过点作交的延长线于点， 则：， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，以及角的和差关系即可得出结论； （2）过点作，交的延长线与点，证明，推出，证明，推出，即可得出结论； （3）过点作交的延长线于点，证明，得到，，进而证明，得到，推出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州八中2023-2024学年九年级第九次适应性练习数学试卷 一、选择题（每题4分，共10小题，共40分） 1. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. （2021▪柳南区校级模拟） 2. 如图，王华用橡皮泥做了个圆柱，再用手工刀切去一部分，则其左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（ ） A. B. C. D. 5. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( ) A. 10° B. 15° C. 18° D. 30° 6. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了解佳佳“1分钟跳绳”成绩的稳定情况，统计了佳佳6次的跳绳成绩（满分10分），并代入方差公式，得，下列判断正确的是（ ） A. 平均数与众数相等 B. 平均数与中位数相等 C. 众数与中位数相等 D. 平均数、中位数、众数互不相等 8. 在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭．已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最小值为 D. 当时， 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 我市某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是______℃． 12. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为______． 13. 如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值：______． 14. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为_______． 15. 《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝________斛米.（注：斛是古代一种容量单位） 16. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点．若对于，，总有，求的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，已知在中，点、分别在边、上，且．求证：． 19. 先化简：，然后从0，2，4中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 20. 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案：一户家庭的月均用水量不超过（单位：）的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此拟召开听证会，以确定一个合理的月均用水量标准．通过抽样，获得了前一年1000户家庭每户的月均用水量（单位：），将这1000个数据按照，，…，分成8组，制成了如图所示的频数分布直方图． （1）写出的值，并估计这1000户家庭月均用水量的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表） （2）假定该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准，请判断若以（1）中所求得的平均数作为标准是否合理？并说明理由． 21. 如图，在中，，于点，为锐角． （1）将线段绕点顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点的对应点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，过点作于点，连接，，若，求的值． 22. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，弦AE交BC于点F，＝，∠ACB＝2∠EAB． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若cosB＝，AB＝5，则线段BF的长为　 　． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式 24. 已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 25. 如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作，交于点． （1）用等式表示与的数量关系，并说明原因； （2）如图2，若为中点，且，求证：，，三点共线． （3）如图3，若在线段上截取，连接，交于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $