第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（五大题型）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题 题型一：定义法 题型二：坐标法 题型三：基底法 题型四：几何意义法 题型五：极化恒等式 知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 2、坐标法 第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步： 将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 4、几何意义法 第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步： 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 知识点二．极化恒等式 1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （1） （2） 1. （2）两式相加得： 2、极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 （1）平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 题型剖析 题型一：定义法 【典例1-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，， ，…①； ，…②； ①②得：，， （当且仅当时取等号）， 则，； （当且仅当与同向时取等号）， 的取值范围为. 故答案为：. 【典例1-2】（2024·高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】如图：连接 因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形， 所以，，，. 所以 . 故选：A 【变式1-1】（2024·高一·重庆·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】的面积为， ， ， ， ，， 由，可得， ，，三点共线，，解得，即． ， 当且仅当时取等号，． 故选：A． 【变式1-2】（2024·高一·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】由，得，即，则， 因此 ， 而， 所以当时，取得最大值2． 故选：A 【变式1-3】（2024·高一·浙江温州·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 【答案】A 【解析】， 又，当且仅当与同向时取得等号； 故. 故选：A. 【变式1-4】（2024·高一·四川成都·阶段练习）在边长为的正三角形中，，，，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设角所对的边长分别为，则，，故 ， 所以当时，最大，选项A正确. 故选：A. 题型二：坐标法 【典例2-1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知五个点，满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，，， 由题意设，则，， 设，如图，因为求的最小值， 则，，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高一·广东佛山·期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧BD上的点，则的范围为 【答案】 【解析】如图所示：以点为原点建立平面直角坐标系，设，，，所以， ， 而，所以，即． 故答案为：． 【变式2-1】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】D 【解析】如图：以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，可设， 则， 所以 所以. 又因为，所以. 故选：D 【变式2-2】（2024·高一·上海·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 题型三：基底法 【典例3-1】（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】 ， 所以， 所以，即， 解得. . 故选：D 【典例3-2】（2024·高一·北京顺义·期中）已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】A 【解析】设的中点为，因为，， 所以，， 则 ， 因为，所以， 即的最大值是. 故选：A. 【变式3-1】（2024·高一·四川巴中·阶段练习）已知等边的边长为3，点，为边的两个三等分点，点靠近点，点在线段上运动，设的最大值为，最小值为，则（    ） A．8 B．10 C．19 D． 【答案】B 【解析】设，，则，， 设， 又点，为边的两个三等分点，点靠近点， 所以，， 所以，， ①， 因为，令， 所以，即， ①式可化为，， 根据二次函数的性质可知，时①取得最小值，当时①取得最大值， 当时， 取得最大值，当时，取得最小值， 即，， 所以． 故选：B． 【变式3-2】（2024·高一·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【解析】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【变式3-3】（2024·高一·安徽芜湖·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 【答案】C 【解析】由点是的重心，，， 故， 由、、三点共线，故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 题型四：几何意义法 【典例4-1】（2024·高一·山东青岛·期中）已知，，是同一平面的向量，其中是单位向量，非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】如图所示，设， 因为，又因为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，在射线上，且， 所以， 因为的最小值为到射线的距离减去半径， 又因为到射线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高一·上海·阶段练习）如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】连接，则， 由题可设，则， 所以 ， 因为，所以， 故. 故答案为：. 【变式4-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最大值为6 C． D．满足的点有一个 【答案】B 【解析】A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥， 由数量积公式及投影向量可得，A错误； B选项，过点作平行于，交圆与点， 过点作⊥，交延长线于点，连接， 则四边形为菱形， 由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值， 此时， 故的最大值为，B正确； C选项，， 因为四边形为菱形，所以，且， 因为为定值， 故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为， 当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为， 故，C错误； D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，， 又当⊥时，满足， 故满足的点有2个，D错误. 故选：B 【变式4-2】（2024·高二·江苏苏州·期末）已知圆的直径上有两点、，且有，为圆的一条弦，则的范围是 . 【答案】 【解析】因为圆的直径上有两点、，且有， 则的中点为圆心，故圆的半径为， ， 由于 ， 且，当且仅当时，等号成立， ， 当且仅当、方向相同且为圆的直径时，两个等号同时成立， 故，则， 所以，所以. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·高一·山东青岛·期中）中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】C 【解析】过点作、，垂足分别为、， 如图，因为是外接圆圆心，则、分别为、的中点， 在中，， 所以，即， 即， ， 同理， 则 ， 由正弦定理得， 当且仅当时取“=”， 所以的最大值为. 故选：C. 题型五：极化恒等式 【典例5-1】（2024·高一·湖南长沙·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ． 【答案】 【解析】取中点为， 则 ， 其中易得，故． 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高一·河南·阶段练习）如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是 ．    【答案】3 【解析】取边上的中点Q，设P到的距离为h， 由，所以， ， . （当且仅当，即时等号成立）． 则的最小值为3． 故答案为：3. 【变式5-1】（2024·高一·辽宁鞍山·期中）在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【答案】3 【解析】 如图，取中点，连接， ， ， 两式相减得 ， 要使有最大值，则最小， 当时，， 所以的最大值为. 故答案为：3. 【变式5-2】（2024·高一·浙江丽水·期中）已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是1 B．为定值 C．的最大值是10 D．的最小值是8 【答案】D 【解析】A选项，因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上运动，又因为点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 所以当三点共线时，取得最小值，为，故A正确； B选项，因为三点在圆上，所以圆是的外接圆，又因为，所以是圆的直径，所以， 是定值，故B正确； 选项C、D， ， 所以, ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误. 故选：D. 过关检测 1．（多选题）（2024·高一·广东广州·阶段练习）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（    ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 【答案】BCD 【解析】 如图，过中点作的平行线与的三边有两个交点，所以时，点有两种情况，故A错； 在三角形中由余弦定理得, 解得，则，， ， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴建系， ，，，，，，，，， 当点在上时，， 当点在上时，设，， ， 则，，， 所以当时，最大为， 当点在上时，设，， ， 则，，， 当时，最大为， 综上可得，当点在点处时最大为，故B正确； 根据数量积的几何意义可得，当点在点处时最小， 此时，故C正确； 取中点，则， 因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 2．（2024·高一·上海·阶段练习）正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则, 所以， 所以，即点的坐标为， 设，则（）， 所以， 所以 ， 所以当，且时，取得最小值， 故答案为： 3．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，O为外心，若，，则的范围是 ． 【答案】 【解析】因为，而，故， 故外接圆半径满足，故， 所以，而，故， 如图，在单位圆中， 设，则， 又 若，则， 故 ， 若，则， 故， 若，则， 故， 综上，时，总有 ， 其中，且， 因为，故， 而， 故， 所以，故， 故答案为： 4．（2024·高一·江苏南通·期中）设都是单位向量，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】因为，， 则， 所以 ， 当与方向相同时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 5．（2024·高一·北京顺义·期中）在边长为1的正六边形中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，．记，为的两个三元子集，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 5 【解析】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点G， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 由空1可知当时最大， 同理时最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：5；. 6．（2024·高一·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据题意，，所以， 所以， 又，， 所以， 因为三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 7．（2024·高一·四川达州·期中）若是边长为2的等边三角形，所在平面有一点C满足，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【解析】由是边长为2的等边三角形可得：， 将两边平方，得（*）， 由可得代入（*）得， 故当时，，即的最小值为3. 故答案为：3. 8．（2024·高一·山东德州·阶段练习）《易经》是阐述天地世间万象变化的古老经典，有《连山》、《归藏》、《周易》三部易书，现存于世的只有《周易》.《周易》中八卦深邃的哲理解释了许多奇幻的自然、社会现象.图1是八卦模型图，图2是其抽象出的图形正八边形.已知正八边形内角和为，若，则的值为 ；若正八边形的边长为是正八边形八条边上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】依题意，易知， 以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系， 因为正八边形内角和为，边长为，则， 则，，，，，， ，，， 因为，则， 所以，解得，，所以； 设，则，，，则， 所以当点P在线段GH上时，取最小值． 故答案为：；． 9．（2024·高一·甘肃·期中）已知向量，满足，，则最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / 【解析】，，设和的夹角为，， 又， ， 当时，取得最大值，即取最大值； 当时，取得最大值，即取最小值. 故答案为：；． 10．（2024·高一·江苏南京·期中）已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图： 因为，所以，又，所以， ，所以, ， 又三点共线，所以， 所以，，当且仅当时， 即时，等号成立， 故答案为：. 11．（2024·高一·安徽芜湖·期中）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【解析】取的中点，连接，，，如图所示： 因为为中点，所以， 所以， 因为，所以最大值为； 所以的最大值为. 故答案为：6． 12．（2024·高一·上海·期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可假设正六边形边长为2， 则，，设， 则， 因为，即， 即， 则，解得， 则，因为，则 故答案为：. 13．（2024·高一·北京·期中）如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 【答案】②④ 【解析】当在边上时，如图，取中点，连接，则 设，， ， 又， ，， ，， 当在边上时，，，， 当在边上时，设，， ， ，， ，，； ①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误； ②当时，有或，这样的点有两个，故正确； ③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故错误； ④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确. 故答案为：②④. 14．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，．（参考数据：） 【解析】（1）由题意得， 当时，在上恒成立，在上单调递减， 当时，令，解得． 当时，，当，． 所以在上单调递减，在上单调递增； 综合得：当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，的最小值为． 要证成立，需成立， 即证． 令，则． 令，得（负值舍去）． 当时，；当时，． 因此在上单调递减，在，上单调递增． 所以当时，取得最小值，， 故当时，． 15．（2024·高三·河南·专题练习）已知函数． (1)求函数在区间上的最值； (2)求证：． （参考数据：） 【解析】（1）由题意，得的定义域是， ， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，也是最小值为， 因为，， 且，所以， 所以函数在区间上的最大值为，最小值是． （2）要证，即证，即证， 不等式两边同时乘以，得只需证， 令，则，定义域为， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，； 令，则，定义域为， 令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，， 所以，即， 所以成立． 16．（2024·高三·辽宁沈阳·期末）（1）已知函数及其导函数的定义域均为，设是曲线在点处的切线的方程. 证明：当是增函数时， （2）已知，设的最大值为，证明：. （参考数据：，，） 【解析】（1）由题意可知， 令，则， 显然， 易知， 由，且是增函数， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，故， 故； （2）设，则， 易知在上单调递增，， 故使得，即， 则时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即， 故， 在的切线方程， 由（1）的结论可知，当且时取得等号， 故， 又，所以单调递减，即， 注意到. 故. 17．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，（a为常数，且）． (1)若当时，函数与的图象有且只有一个交点，试确定自然数n的值，使得； (2)当时，证明：（其中e为自然对数的底数）． （参考数值，，，） 【解析】（1）令，， 则， 当时， ∵，，函数单调递增，，函数无零点，即函数与的图象无交点； 当时，，且时，， 时，， ∴， 又因为函数与的图象有且只有一个交点，得， 化简得：， 记，， ∴在上单调递减， 又，， ∴，即． （2）证明：由（1）得：当时，， 只要证明：时，， 即， 记， 则， 记，图象为开口向上的抛物线，对称轴为，且， ∴当时，，即， ∴在区间上单调递增，从而， 即成立， ∴成立． 18．（2024·高一·河南信阳·期中）如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【解析】（1）由于正三角形中，为边的中点， 所以，，，， 故 ， 由于，所以， 故. （2）记，，，，又， 则， 设，其中，则， ， 所以 ，， 当且仅当即时，取最小值. 19．（2024·高一·浙江·阶段练习）设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． (1)求的范围 (2)求的最小值， (3)若，求的最小值. 【解析】（1）， ， 为锐角，， 解法一： . 取的中点为，， . 解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系， ， ， ，， ， . 故小问1答案为：. （2）解法一：由题意知： ， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法三： 设， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 故小问答案为： （3）解法一：由题意知： 令，则原式 当且仅当即，等号成立，的最小值为 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系 三点共线 ， ， ， ， ， . 解法三：由题意知： ， ， ， 下同解法二. 故小问答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题 题型一：定义法 题型二：坐标法 题型三：基底法 题型四：几何意义法 题型五：极化恒等式 知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 2、坐标法 第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步： 将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 4、几何意义法 第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步： 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 知识点二．极化恒等式 1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （1） （2） 1. （2）两式相加得： 2、极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 （1）平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 题型剖析 题型一：定义法 【典例1-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，，则的范围是 . 【典例1-2】（2024·高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式1-1】（2024·高一·重庆·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-2】（2024·高一·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式1-3】（2024·高一·浙江温州·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 【变式1-4】（2024·高一·四川成都·阶段练习）在边长为的正三角形中，，，，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 题型二：坐标法 【典例2-1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知五个点，满足：，，则的最小值为 ． 【典例2-2】（2024·高一·广东佛山·期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧BD上的点，则的范围为 【变式2-1】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 【变式2-2】（2024·高一·上海·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：基底法 【典例3-1】（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【典例3-2】（2024·高一·北京顺义·期中）已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（    ） A． B．3 C．1 D．2 【变式3-1】（2024·高一·四川巴中·阶段练习）已知等边的边长为3，点，为边的两个三等分点，点靠近点，点在线段上运动，设的最大值为，最小值为，则（    ） A．8 B．10 C．19 D． 【变式3-2】（2024·高一·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【变式3-3】（2024·高一·安徽芜湖·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 题型四：几何意义法 【典例4-1】（2024·高一·山东青岛·期中）已知，，是同一平面的向量，其中是单位向量，非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ． 【典例4-2】（2024·高一·上海·阶段练习）如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 . 【变式4-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最大值为6 C． D．满足的点有一个 【变式4-2】（2024·高二·江苏苏州·期末）已知圆的直径上有两点、，且有，为圆的一条弦，则的范围是 . 【变式4-3】（2024·高一·山东青岛·期中）中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 题型五：极化恒等式 【典例5-1】（2024·高一·湖南长沙·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ． 【典例5-2】（2024·高一·河南·阶段练习）如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是 ．    【变式5-1】（2024·高一·辽宁鞍山·期中）在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【变式5-2】（2024·高一·浙江丽水·期中）已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是1 B．为定值 C．的最大值是10 D．的最小值是8 过关检测 1．（多选题）（2024·高一·广东广州·阶段练习）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（    ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 2．（2024·高一·上海·阶段练习）正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为 ． 3．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，O为外心，若，，则的范围是 ． 4．（2024·高一·江苏南通·期中）设都是单位向量，且，则的最小值为 ． 5．（2024·高一·北京顺义·期中）在边长为1的正六边形中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，．记，为的两个三元子集，则的最大值为 ；的最小值为 ． 6．（2024·高一·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 7．（2024·高一·四川达州·期中）若是边长为2的等边三角形，所在平面有一点C满足，且，则的最小值为 ． 8．（2024·高一·山东德州·阶段练习）《易经》是阐述天地世间万象变化的古老经典，有《连山》、《归藏》、《周易》三部易书，现存于世的只有《周易》.《周易》中八卦深邃的哲理解释了许多奇幻的自然、社会现象.图1是八卦模型图，图2是其抽象出的图形正八边形.已知正八边形内角和为，若，则的值为 ；若正八边形的边长为是正八边形八条边上的动点，则的最小值为 . 9．（2024·高一·甘肃·期中）已知向量，满足，，则最大值为 ，最小值为 ． 10．（2024·高一·江苏南京·期中）已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为 . 11．（2024·高一·安徽芜湖·期中）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 . 12．（2024·高一·上海·期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 13．（2024·高一·北京·期中）如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 14．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，．（参考数据：） 15．（2024·高三·河南·专题练习）已知函数． (1)求函数在区间上的最值； (2)求证：． （参考数据：） 16．（2024·高三·辽宁沈阳·期末）（1）已知函数及其导函数的定义域均为，设是曲线在点处的切线的方程. 证明：当是增函数时， （2）已知，设的最大值为，证明：. （参考数据：，，） 17．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，（a为常数，且）． (1)若当时，函数与的图象有且只有一个交点，试确定自然数n的值，使得； (2)当时，证明：（其中e为自然对数的底数）． （参考数值，，，） 18．（2024·高一·河南信阳·期中）如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 19．（2024·高一·浙江·阶段练习）设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． (1)求的范围 (2)求的最小值， (3)若，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$