第03讲 交集、并集（四大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第03讲 交集、并集 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 交集 3 题型02 并集 5 题型03 交并补的综合运算 7 题型04 区间及其表示 9 易错归纳 11 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 17 创新拓展 22 一、交集 1．交集的概念 自然语言 由所有属于集合A__________属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作________(读作“________”) 符号语言 A∩B＝________________ 图形语言 2.交集的性质 (1)A∩B＝________. (2)A∩B________A，A∩B________B. 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 二、并集 1．并集的概念 自然语言 由所有属于集合A________属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作________(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝________________ 图形语言 2.并集的性质 (1)A∪B________B∪A. (2)A________A∪B，B________A∪B. 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 三、区间及其表示 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 {x|a<x<b} 开区间 {x|a≤x<b} 左闭右开区间 {x|a<x≤b} 左开右闭区间 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，不能表示有限集，开闭不能混淆． (2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (4)∞是一个符号，而不是一个数． 题型01交集 【解题策略】 交集运算的注意点 若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【典例分析】 【例1】．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·江西抚州·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】若A＝{x|1≤x≤10，x∈N}，B＝{x|x2＋x－6＝0，x∈Z}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3} 【变式3】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）设，，若，则的取值范围是 ． 题型02 并集 【解题策略】 (1)并集的运算技巧 ①若集合是有限集，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． ②若集合是无限集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值． (2)利用集合交集、并集的性质解题的技巧 在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． 【典例分析】 【例2】（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）1963年3月5日，毛泽东主席为沈阳部队某部因公牺牲的英雄战士雷锋的题词“向雷锋同志学习”在《人民日报》发表．为发扬雷锋精神，国家将每年的3月5日规定为“学雷锋纪念日．某学校学生会自发地组织了若干个团队分别去社会开展“学雷锋，做好事”志愿者活动．记到社区参加志愿者活动的同学的集合为，到敬老院参加志愿者活动的同学的集合为，则集合的含义是（    ） A．同时到社区和敬老院参加志愿者活动的全体同学 B．只到社区而没有去敬老院参加志愿者活动的同学 C．只到敬老院而没有去社区参加志愿者活动的同学 D．到社区或到敬老院参加志愿者活动的同学 【变式演练】 【变式1】（2022高一上·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·北京顺义·期中）已知集合，，且，则a的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高一上·上海虹口·期中）若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 题型03 交并补的综合运算 【解题策略】 交、并、补集的运算性质 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A⊆B⇔∁UB⊆∁UA；B⊆A⇔∁UA⊆∁UB；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知则（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（多选）（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·湖南张家界·开学考试）已知全集，集合，，则 【变式3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型04 区间及其表示 【解题策略】 　用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 【典例分析】 【例4】把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1，或2≤x≤4}． 【变式演练】 【变式1】．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为 （用区间表示）    【变式2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【变式3】（2023高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合 ： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 易错点　含参数的集合运算中忽视对空集的讨论而致错 1．(多选)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，则使A∪B＝A的实数m的取值范围可以是　(　 　) A．{m|－3≤m≤4} B．{m|－3<m<4} C．{m|2<m<4} D．{m|m≤4} 2.(多选)[湖北孝感部分学校2022高一期中联考]已知集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|ax－1＝0}， 若A∩B＝B，则实数a的取值可能是(　　) A．2 B．－1 C．1 D．0 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·云南·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）设集合，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·湖北·期中）下列说法正确的是（        ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，，则 6．（23-24高一上·江苏泰州·期中）设，若，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C． D．2 7．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 三、填空题 8．（22-23高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 9．（24-25高一上·全国·课后作业）填空：（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为 ； （2）不等式组的解集为A，则 ； （3）已知集合，，则 ； （4）满足的集合B的个数是 ； （5）已知集合或，，则与的关系是 ． 10．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 四、解答题 11．（23-24高一上·北京·期中）已知集合 ，集合 ． (1)当 时，求 ，， ; (2)若 ，求实数 的取值范围； 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知A，B均为全集的子集，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，.若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·四川内江·期末）若非空集合满足：，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则 .（用区间形式书写） 8．（23-24高一上·湖北·期中）已知全集是小于的自然数，，，则 . 四、解答题 9．（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（23-24高一上·北京东城·期中）设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列关系或运算中①，②，③，④正确的个数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 三、解答题 3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 【下节预览】 一、解答题 （2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题的真假： (1)若，则方程有实根． (2)若，则． (3)若，则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 交集、并集 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 交集 3 题型02 并集 5 题型03 交并补的综合运算 7 题型04 区间及其表示 9 易错归纳 11 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 17 创新拓展 22 一、交集 1．交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 2.交集的性质 (1)A∩B＝B∩A. (2)A∩B⊆A，A∩B⊆B. 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 二、并集 1．并集的概念 自然语言 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 2.并集的性质 (1)A∪B＝B∪A. (2)A⊆A∪B，B⊆A∪B. 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 三、区间及其表示 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，不能表示有限集，开闭不能混淆． (2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (4)∞是一个符号，而不是一个数． 题型01交集 【解题策略】 交集运算的注意点 若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【典例分析】 【例1】．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出一元二次方程，再利用交集含义即可. 【详解】，则， 故选：C. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·江西抚州·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 【变式2】若A＝{x|1≤x≤10，x∈N}，B＝{x|x2＋x－6＝0，x∈Z}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3} 【答案】　A 【详解】易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}． 【变式3】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）设，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据交集的结果直接得到. 【详解】因为，且， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 题型02 并集 【解题策略】 (1)并集的运算技巧 ①若集合是有限集，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． ②若集合是无限集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值． (2)利用集合交集、并集的性质解题的技巧 在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． 【典例分析】 【例2】（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）1963年3月5日，毛泽东主席为沈阳部队某部因公牺牲的英雄战士雷锋的题词“向雷锋同志学习”在《人民日报》发表．为发扬雷锋精神，国家将每年的3月5日规定为“学雷锋纪念日．某学校学生会自发地组织了若干个团队分别去社会开展“学雷锋，做好事”志愿者活动．记到社区参加志愿者活动的同学的集合为，到敬老院参加志愿者活动的同学的集合为，则集合的含义是（    ） A．同时到社区和敬老院参加志愿者活动的全体同学 B．只到社区而没有去敬老院参加志愿者活动的同学 C．只到敬老院而没有去社区参加志愿者活动的同学 D．到社区或到敬老院参加志愿者活动的同学 【答案】D 【分析】根据并集的概念直接得到答案. 【详解】集合包含“到社区参加志愿者活动的同学或到敬老院参加志愿者活动的同学”， 故选：D 【变式演练】 【变式1】（2022高一上·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的并运算即可求解. 【详解】， 故选：B 【变式2】（23-24高一上·北京顺义·期中）已知集合，，且，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据并集的运算性质，即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·上海虹口·期中）若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 【答案】7 【分析】根据子集关系可分类求解，进而得到，根据子集的个数公式即可求解. 【详解】由可得， 由于，所以， 当时，， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 所以,故Q的真子集个数为， 故答案为：7 题型03 交并补的综合运算 【解题策略】 交、并、补集的运算性质 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A⊆B⇔∁UB⊆∁UA；B⊆A⇔∁UA⊆∁UB；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知集合的交集及补集定义运算即得． 【详解】因 则,故. 故选：D． 【变式演练】 【变式1】（多选）（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可. 【详解】对A，，，故，故A错误； 对B，，故，故B正确； 对C，，故，故C正确； 对D，，故，故D正确. 故选BCD 【变式2】（22-23高一下·湖南张家界·开学考试）已知全集，集合，，则 【答案】 【分析】根据集合的交集和补集运算求解. 【详解】由题意可知：，所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得； （2）分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）当时，， 又或，所以， 所以. （2）因为，又且， 当，即时，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得，即实数的取值范围是. 题型04 区间及其表示 【解题策略】 　用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 【典例分析】 【例4】把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1，或2≤x≤4}． 【详解】　 (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x<0}＝(－∞，0)． (3){x|－1<x<1}＝(－1,1)． (4){x|0<x<1，或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]． 【变式演练】 【变式1】．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为 （用区间表示）    【答案】 【分析】根据图形知所求集合，再由交集、补集运算求解. 【详解】由图形可知，阴影部分表示的集合为， 因为集合，集合， 所以， 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【答案】 【分析】根据区间的定义直接得到答案. 【详解】，. 故答案为；. 【变式3】（2023高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合 ： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据区间的定义即可求解； （2）求解一元一次不等式，即可由区间定义求解. 【详解】（1），故集合可用区间表示； （2）由可得，所以不等式的解集为，即用区间表示为. 易错点　含参数的集合运算中忽视对空集的讨论而致错 1．(多选)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，则使A∪B＝A的实数m的取值范围可以是　(　 　) A．{m|－3≤m≤4} B．{m|－3<m<4} C．{m|2<m<4} D．{m|m≤4} 【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A. ①若B不为空集，则m＋1＜2m－1，解得m＞2. ∵A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}， ∴m＋1≥－2，且2m－1≤7, 解得－3≤m≤4. 此时2＜m≤4. ②若B为空集，则m＋1≥2m－1，解得m≤2，符合题意． 综上，实数m满足m≤4即可，故选ABCD. 2.(多选)[湖北孝感部分学校2022高一期中联考]已知集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|ax－1＝0}， 若A∩B＝B，则实数a的取值可能是(　　) A．2 B．－1 C．1 D．0 【解析】∵集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|ax－1＝0}，A∩B＝B，∴B⊆A. 当a＝0时，B＝∅，成立； 当a≠0时，B＝，故＝－1或＝1，解得a＝－1或a＝1. 综上，a的取值可能是－1，0，1. 故选BCD. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 故选：A 2．（23-24高三下·云南·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集和交集求出答案. 【详解】或，故. 故选：B. 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为， 则. 故选：B 4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）设集合，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由交集运算的结果，即可得到答案. 【详解】因为集合，， 且，则. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一上·湖北·期中）下列说法正确的是（        ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】利用有理数的意义判断A；利用并集、交集的性质推理判断B；利用交集的意义判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，，得，而，则， 同理得，于是，B正确； 对于C，由，，得，C错误； 对于D，由，，得，D正确． 故选：BD 6．（23-24高一上·江苏泰州·期中）设，若，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】根据一元二次方程解得集合，结合交集的结果，利用分类讨论思想，可得答案. 【详解】，由，则， 当时，方程无解，则； 当时，即，方程的解为，可得或，解得或. 故选：ABC. 7．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】由交集、并集和补集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，集合，集合，则A， 若，则实数的取值范围是； 若，则实数的取值范围是， 故选：AD. 三、填空题 8．（22-23高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】根据区间的定义逐个分析可得结果. 【详解】； ； 且； ； . 故答案为：；；；；. 9．（24-25高一上·全国·课后作业）填空：（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为 ； （2）不等式组的解集为A，则 ； （3）已知集合，，则 ； （4）满足的集合B的个数是 ； （5）已知集合或，，则与的关系是 ． 【答案】 或 4 是的真子集 【分析】（1）根据数的分类直接写出集合；（2）根据不等式组写出集合，然后由补集的定义可得结果；（3）由并集的定义写出，然后根据补集的运算可得结果；（4）由题意分析集合的范围，写出可能取值；（5）求解补集，可得出集合之间的关系. 【详解】（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为； （2）不等式组的解集为，则或； （3）或，则； （4），则且，所以集合可能是，所以集合有4个； （5）因为全集为，所以，，所以是的真子集. 10．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【分析】根据并集的定义，结合交集的运算性质进行求解即可. 【详解】（ⅰ）当时，集合或，， 所以或； （ⅱ）因为，所以， 于是有或，即或， 因此实数的取值范围为， 故答案为：或； 四、解答题 11．（23-24高一上·北京·期中）已知集合 ，集合 ． (1)当 时，求 ，， ; (2)若 ，求实数 的取值范围； 【答案】(1)，， 或 (2) 【分析】（1）由交集并集补集的定义求解； （2）由集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）当 时，， 则 ，， 或； （2）由 知 解得 ， 即实数 的取值范围为 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】， 且，则集合中不包含元素， 即. 故选：C 2．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集的性质计算即可得. 【详解】由，且，故. 故选：D. 3．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知A，B均为全集的子集，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集与交集的定义进行计算得出结果. 【详解】已知全集，且， 所以， 又，所以， 若，则，所以，这与矛盾， 所以，同理. 所以. 故选：D. 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设2是方程的解求得，进而确定集合B，应用并运算求结果. 【详解】由题设知：2是方程的解，将代入方程，得， 所以的解为或，所以， 所以， 故选：B 二、多选题 5．（23-24高一上·四川内江·期末）若非空集合满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先根据条件得到集合之间的包含关系，根据包含关系逐一判断选项. 【详解】由得， 由得，B错误； 所以，，D正确； 则，，A正确，C错误； 故选：AD. 6．（23-24高一上·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案. 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 三、填空题 7．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则 .（用区间形式书写） 【答案】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 8．（23-24高一上·湖北·期中）已知全集是小于的自然数，，，则 . 【答案】 【分析】根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】因为是小于的自然数， 又，，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据区间与集合的对应关系即可写出对应的区间表示. 【详解】（1） （2） （3） （4） 10．（23-24高一上·北京东城·期中）设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）因为全集为R，，所以或. 当时，集合. 所以，或； （2）若，则所以. 所以的集合为. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列关系或运算中①，②，③，④正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系判断①②，根据子集概念判断③，根据集合的交集判断④. 【详解】①正确；②空集不含任何元素，故错误；③因为空集是任何集合的子集， 故正确；④因为，为点的集合， 故，故错误. 所以正确的个数为2. 故选：B 二、填空题 2．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 【答案】12 【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可 【详解】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集 集合的子集有个 其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个 故满足题意的集合的个数为 故答案为：12 三、解答题 3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）求出集合后根据集合的运算法则计算； （2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围． 【详解】（1）当时，， 因为， 所以；； （2）因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. 【下节预览】 一、解答题 （2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题的真假： (1)若，则方程有实根． (2)若，则． (3)若，则． 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题 【分析】根据命题的定义逐项分析判断. 【详解】（1）当时，则恒成立， 所以方程有实根，是真命题． （2）例如，满足，但不成立，故是假命题． （3）对每一个大于2的数一定大于1，故是真命题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$