1.2.3 直线的一般式方程 （同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第一章 直线与方程 1.2.3 直线的一般式方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 情景导入 数学家笛卡尔在平面直角坐标系中研究两直线间的位置关系时，碰到了这样一个问题： 平面直角坐标系中的任何一条直线能不能用一种优美的、统一的方程来表示？ 方程 适用范围 点斜式 不垂直于x轴的直线 斜截式 不垂直于x轴的直线 两点式 不垂直于坐标轴的直线 截距式 不垂直于坐标轴且不经过原点的直线 ★四种直线方程及其适用范围★ 复习回顾 问题1：上述四种方程最终都是一个怎样的方程？ 都是关于x与y的二元一次方程， 形式为Ax+By+C=0 是否任何一条直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式? (1)当倾斜角不为90°时,任何一条直线都可以写成y=kx+b形式, 即kx-y+b=0; (2)当倾斜角为90°时,任何一条直线都可以写成x=x1的形式, 即1·x+0·y+(-x1)=0 所以任何一条直线的方程都可以写成Ax+By+C=0的形式. 问题2：那么关于x和y的二元一次方程Ax+By+c=0 (A、B不全为零)都表示直线吗? 方程Ax+By+C=0,不一定代表直线,只有当A,B同时不为零时 问题3：有没有什么表示方法，可以避开上述四种特殊方程 形式这些局限性呢？ 引进直线方程一般式，即Ax+By+c=0 (A2＋B2≠0) 一般地，方程 Ax+By+C=0(A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程。 说明： (1)关于x和y的二元一次方程都表示一条直线，平面上 的直线与二元一次方程是一一对应的； (2)前面的四种形式都是一般方程的特殊情况。 1.直线的一般式方程 新知探究 问题4：直线的一般式Ax+ By+C=0（A²+B²≠0）表示下列直线时，有什么要求？ （1）直线过原点： （2）直线垂直于x轴： （3）直线垂直于y轴： （4）直线与两坐标轴都相交： （5）直线在两坐标轴上的截距相等： （6）倾斜角为45° C=0 B=0 A=0 AB≠0 A=B或C=0 A+B=0 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y 的二元一次方程， 方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列， x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 概念归纳 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 ★五种直线方程及其适用范围★ 不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线 不垂直于坐标轴的直线 不垂直于坐标轴且 不经过原点的直线 任何直线 课本例5、求直线l：3x+5y-15=0的斜率以及它在 x轴、y轴上的截距，并作图。 2.直线一般式方程的认识　 新知探究 典例剖析 求直线的一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 概念归纳 练一练 x＋2y＋4＝0　 2x－y－3＝0 x＋y－1＝0 x－y－6＝0 解析　设直线的斜截式方程为y＝kx＋b(k≠0)，则由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以y＝x－6，即x－y－6＝0. 课本例6、设m为实数，若l的方程为x+my−2m+6=0，根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距是−3； (2)直线l的斜率是1 。 解（1）令y=0，得 x=2m-6. 由题意知2m-6=-3. 解得m=. （2）因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程化为 由题意知 解得m=-1. 3.直线方程截距问题的研究　 新知探究 典例剖析 含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 概念归纳 练一练 1.已知直线l1：a1x+b1y+3=0，直线l2：a2x+b2y+3=0，点 P(1，2)既在直线l1上，也在直线l2上，求过点(a1，b1)， (a2，b2)的直线方程。 又 4.直线一般式方程的应用 新知探究 典例剖析 已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤   概念归纳 求值 检验 明条件 列式子 明确参数个数，x项、y项的系数及常数项 (1)表示直线时，A，B不全为0. （2）斜率 （3）在x轴上的截距 （4）在y轴上的截距- 解方程或不等式求值，检验是否符合题意，得出参数的值（范围） 审题 依据 结论 29 练一练 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 分层练习-基础 分层练习-基础 答案　C 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 A 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 ★五种直线方程及其适用范围★ 不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线 不垂直于坐标轴的直线 不垂直于坐标轴且 不经过原点的直线 任何直线 课堂小结 （2）当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成 x＝－，它表示垂直于x轴的直线． 因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线． （1）当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成 y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线． 解：将直线l的方程化为 ， 因此，直线l的斜率k= . 在方程3x+5y−15=0中， 当x=0时，y=3； 当y=0时，x=5， 所以直线l在y轴上的截距为3， 在x轴上的截距为5， 过点(5，0)，(0，3)作直线，就得到直线l。 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. (1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________； ②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为________________； ③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________． (2)在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________． 例2　(1)已知直线Ax＋By＋C＝0(AB>0，BC>0)，则直线不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　直线Ax＋By＋C＝0化为y＝－x－， 又AB>0，BC>0，所以－<0，－<0，则直线不经过第一象限． (2)设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： ①直线l在x轴上的截距是－3； ②直线l的斜率是－1. 解　①当直线在x轴上的截距为－3时，有＝－3， 且m2－2m－3≠0， 解得m＝－. ②当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2. 对于本例(2)中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值． 解　∵直线l与y轴平行， ∴解得m＝. (1)直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B．2 C．1 D. 答案　D 解析　由题意得，直线与坐标轴的交点为(1,0)，(0，－1)，故所求三角形的面积为. (2)若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的(　　) 答案　D 解析　直线ax＋by＋c＝0化为y＝－x－，因为a，b，c都大于0，所以－<0，－<0，所以直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的D. 例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． (1)证明　将直线l的方程整理为 y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A，又点A在第一象限内， 故不论a为何值，l恒过第一象限． (2)解　直线OA的斜率为k＝＝3. 如图所示，要使直线l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴a≥3. 本例中若直线l在y轴上的截距为2，求a的值，这时直线l的一般式方程是什么？ 解　把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋. 由条件可知＝2， 解得a＝－7， 这时直线l的一般式方程为7x＋y－2＝0. 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝. ∵直线l在两坐标轴上的截距相等， ∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0. 综上，a的值为2或0. (2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 故要使直线l不经过第二象限，只需 解得a≤－1. ∴实数a的取值范围为(－∞，－1]． 1．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 答案　C 解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 2．直线2x＋3y＋6＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　2x＋3y＋6＝0即y＝－x－2， ∴k＝－，在y轴上的截距为－2，∴直线不经过第一象限． 3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则该直线过定点________． 答案　(－2,1) 解析　直线l：kx－y＋1＋2k＝0， 即y－1＝k(x＋2)． 由直线的点斜式可知直线过定点(－2,1)． 4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________． 答案　3 解析　由已知得∴m＝3. 1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为(　　) A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0 C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0 答案　D 解析　根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. 2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件(　　) A．bc＝0 B．a≠0 C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0 答案　D 解析　y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足的条件为b＝c＝0，a≠0. 3．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 解析　将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a. A中，由l1的图象可知，a<0，b<0，由l2的图象可知，b<0，a>0， 两者矛盾，故A错误； B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知，b>0，a>0， 两者矛盾，故B错误； C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0， 故C正确； D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，a>0，b>0， 两者矛盾，故D错误． 4．直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　) A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0 答案　B 解析　直线ax＋by＋c＝0化为y＝－x－，因为直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以－<0，－>0，所以ab>0，bc<0. 解析　原方程化为＋＝1， ∴＝－1，∴b＝－1. ∴ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a， ∵x－y－＝0的倾斜角为60°， ∴k＝tan 120°＝－，∴a＝－. 5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A．－，－1 B.，－1 C．－，1 D.，1 6．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0. 7．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________． 答案　－ 解析　把(3,0)代入已知方程， 得(a＋2)×3－2a＝0， ∴a＝－6， ∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0， 令x＝0，得y＝－. 8．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 答案　D 解析　∵k＝－，∴－1≤k<0. ∴倾斜角的取值范围是. 9．设A(－2,2)，B(1,1)，若直线l：ax＋y＋1＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是(　　) A.∪[2，＋∞) B. C．(－∞，－2]∪ D. 答案　C 10．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过P1(a1，b1)，P2(a2，b2)两点的直线方程为________________． 答案　2x＋3y＋4＝0 解析　∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)， ∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0， 因此过P1(a1，b1)，P2(a2，b2)两点的直线的方程为2x＋3y＋4＝0. 11．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为________． 答案　3 解析　由题意可知直线过点(0,1)， 代入可得m2－m－2＝m＋1，变形可得m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1， 当m＝－1时，m＋1＝m2－m－2＝0，不满足题意，所以m＝3. 12.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为___________________________. 答案　x＋4y－14＝0 解析　过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)． ∵四边形ACGH为正方形， ∴Rt△AMH≌Rt△COA， ∵OC＝1， ∴AM＝OC＝1，∴OM＝OA＋AM＝3，又MH＝OA＝2， ∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)， ∴直线FH的方程为＝， 化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 解　由直线l：ax＋by－1＝0得y＝－x＋， 要使直线l：ax＋by－1＝0恰好不经过第二象限， 则或即或 ∵a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}， ∴a＝1，b＝－2或a＝1，b＝－1，共有2个结果． 而a，b的选择共有6个结果， 则根据古典概率的概率公式，得所求的概率P＝＝. 13．已知直线l：ax＋by－1＝0，若a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}，求直线l不经过第二象限的概率． $$