21.2 二次函数y＝a(x＋h) ²的图象和性质（第3课时）（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象和性质 第三课时 二次函数y＝a(x＋h) ²的图象和性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会画二次函数y=a(x+h)2的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=a(x+h)2的性质.(难点） 3.比较函数y=ax2 与 y=a(x+h)2的联系. y = ax² + k a >0 图象 y=kx+b y=kx 性质 y=ax2+k 类比 y=ax2 O x y y = ax² y = ax² - k a <0 O x y y = ax² + k y = ax² y = ax² - k 平移规律 上加下减 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 知识回顾 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 开口向上，a 越大，开口越小 y 轴(直线 x＝0) 原点(0，k) 当 x = 0 时，y最小值 = k 当 x < 0 时，y 随 x 增大而减小； 当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大. 开口向下，a 越大，开口越大 y 轴(直线 x＝0) 原点(0，k) 当 x = 0 时，y最小值 =k 当 x < 0 时，y 随 x 增大而减小； 当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大. x y x y 知识回顾 【探究1】在同一平面直角坐标系中,画出下列二次函数的图象. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y轴 x=-1 (0，0) (-1,0) 向上 x=1 (1，0) 1.二次函数 y = a(x+h)2 的图象和性质 新知探究 x y 【探究2】在同一平面直角坐标系中,画出下列二次函数的图象. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 向下 向下 直线x=-1 直线x=0 直线x=1 (-1,0) (0,0) (1,0) y=a(x－h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x＝h 直线 x＝h (h，0) (h，0) 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 概念归纳 若抛物线 y＝3(x＋ )2的图象上的三个点，A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为_______________． 解析：∵抛物线y＝3(x＋ )2的对称轴为x＝－ ，a＝3＞0， ∴x＜－ 时，y随x的增大而减小； x＞－ 时，y随x的增大而增大． ∵点A的坐标为(－3 ，y1)， ∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为( ，y1)． ∵－1＜0＜ ， ∴y2＜y3＜y1. y2＜y3＜y1 练一练 向右平移 1个单位 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 向左平移 1个单位 2.二次函数y=ax2与y=a(x+h)2的关系 新知探究 二次函数y=a（x+h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 可以看作互相平移得到. 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. y=a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 总结归纳 例：抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ， ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2. 方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 1.将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　) A．向上平移1个单位　 　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　 　D．向右平移1个单位 解析：抛物线 y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线 y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数 y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2的图象．故选C. C 练一练 2.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . 3.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______，顶点是________. 4 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________. y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 y1 ＞y2 ＞ y3 练一练 14 5．抛物线 y＝－3(x＋3)2，当 x________时，y 随 x 的增大而增大；当 x________时，y 随 x 的增大而减小． 6．抛物线 y＝a(x＋h)2 的顶点为(－2，0)，它的形状与 y＝3x2 相同，但开口方向与之相反． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与 y 轴交点坐标． 解：(1)由题意得 y＝－3(x＋2)2； (2)当x＝0时，y＝－12，与y轴交点(0，－12)． ＜－3 ＞－3 练一练 7.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线x=3 ( 3, 0 ) 直线x=2 直线x=1 向下 向上 (2, 0 ) ( 1, 0) 练一练 16 8.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 解：图象如图. 函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到. y O x y = 2x2 2 练一练 9.抛物线 y＝ax2 向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数 y＝ax2 的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把 x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝ ， ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2. 提示：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．． 练一练 课本练习 1.在同一平面直角坐标系中，画出函数和的图象. （1）填表： -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 0 -3 0 -3 -3 0 （2）描点、连线： 2.观察第 1 题所画的图象，并填空： （1）抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是（ ），对称轴是 ，当x 时，函数y随x的增大而增大；当x 0 时，函数 y 随 x 的增大而减小.抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到. 向下 -2，0 直线x=-2 <-2 2 左 3.当，抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是（ ），对称轴是 ，当x= 时,函数取得最 值， = . 当，抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是（ ），对称轴是 ，当x= 时,函数取得最 值， = . 直线x=-h 小 小值 0 -h , 0 向下 大 大值 0 向上 >-2 -h , 0 直线x=-h -h -h 4.抛物线可由抛物线怎样平移后得到？ 5.抛物线的顶点为（-2，0），形状与抛物线相同，但开口方向相反. （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）求抛物线与y轴交点坐标. 解：（1）因为抛物线的形状与相同，但开口方向相反，所以a=-5，从而得.又因为的顶点坐标为（-2，0），所以抛物线再向左平移2个单位，得. （2）把x=0代入得y=-20，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，-20）. 解：抛物线y=4（x-1）2是由y=4x2向右平移1个单位得到的. 直线x＝－h (－h,0) 上 －h 小 0 C 分层练习-基础 B 分层练习-基础 －h ＞－h ＜3 ＞3 3 大 0 y3＜y1＜y2 分层练习-基础 x |h| 左 右 B 分层练习-基础 －3 3 分层练习-基础 A 分层练习-巩固 D ＜ －3 0 分层练习-巩固 ①②③ a≤2 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-巩固 课堂反馈 右 1 直线x＝1 ＜1 x轴下方　 0 ＞1 ＝1 B 课堂反馈 复习y=ax2+k 探索y=a(x+h)2的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线x=h （h,0） a>0,开口向上 a<0,开口向下 y=ax2 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变. 课堂小结 知识点一：二次函数y＝a(x＋h)2的图象 图象：其对称轴是　 　，顶点坐标是　 　，当a＞0时，开口向　　，当x＝　 　时，y有最　 　值为　 　. 1．抛物线y＝－3(x－2)2的顶点坐标及对称轴分别是(　　) A．(－3,2)，y轴　　　　　　　 B．(－2,0)，直线x＝2 C．(2,0)，直线x＝2 D．(0,2)，x轴 2．如图，二次函数y＝－(x＋eq \f(2,3))2的大致图象是(　　) 知识点二：二次函数y＝a(x＋h)2的性质 增减性：若a＞0，当x＜　 　时，y随x的增大而减小；若a＜0，当x　 　时，y随x的增大而减小． 3．抛物线y＝－2(x－3)2，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x＝ 时，函数有最 值为 . 4．已知A(－4，y1)、B(－3，y2)、C(3，y3)三点都在二次函数y＝－2(x＋2)2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为　 　. y＝－eq \f(1,2)(x＋1)2 知识点三：二次函数y＝a(x＋h)2的图象的平移 抛物线y＝a(x＋h)2可由抛物线y＝ax2沿　 　轴方向平移　 　个单位得到，当h＞0时，向　 　平移；当h＜0时，向　　平移． 5．将y＝2x2的函数图象向左平移1个单位后，得到的函数图象的表达式是(　　) A．y＝2x2＋1 B．y＝2(x＋1)2 C．y＝2(x－1)2 D．y＝2x2－1 6．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝－eq \f(1,2)x2不动，把y轴向右平移1个单位，那么在新坐标系下抛物线的表达式为　 　. 能力点：确定二次函数表达式 求二次函数的表达式时，易弄错字母h的符号． 7．已知抛物线y＝a(x＋h)2向左平移2个单位后，得到的新抛物线为y＝－3(x＋5)2，则a＝　 　，h＝　 　. 8．函数y＝k(x＋b)2的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－eq \f(3,2)(x－1)2的图象大致是(　　) 10．顶点为(－5,0)且开口方向、形状都与抛物线y＝－eq \f(1,3)x2相同的抛物线的解析式为　 　. 11．如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，则a 0，当x＝ 时，函数的最大值为 . y＝－eq \f(1,3)(x＋5)2 y＝－eq \f(2,3)(x＋4)2 12．抛物线y＝－eq \f(2,3)(x－4)2与抛物线　 　关于x轴对称；抛物线y＝－eq \f(2,3)(x－4)2与抛物线　 　关于y轴对称． 13．有下列函数：①y＝x＋1，②y＝x2＋1，③y＝(x－1)2，④y＝－(x－2)2.其中，当x＞2时，y随x的增大而增大的函数是 . 14．已知二次函数y＝3(x－a)2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是　 　. y＝eq \f(2,3)(x－4)2 (2)图略； (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)? 解：当x＜－2时，y随x的增大而增大，当x＝－2时，函数有最大值． 15．已知抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴为x＝－2，且过点(1，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)画出函数的图象； 解：(1)y＝－eq \f(1,3)(x＋2)2；　 16．如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)求点A、B的坐标； (2)过点B且平行于x轴的直线交抛物线于另一点C，连接AC，求四边形OACB的面积； (3)是否存在点P，使以点P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)①BC为边时，有BC＝AP＝4，且点P必在x轴上．设P(m,0)，∴AP＝|m＋2|＝4.解得m1＝2，m2＝－6，∴P1(2,0)，P2(－6,0)；　②BC为对角线时，易知此时四边形ABPC为菱形．而BC平行于x轴，则AP平行于y轴，且AP＝2OB.又A(－2,0)、B(0,4)，则P3(－2,8)．故满足条件的点P的坐标为P1(2,0)、P2(－6,0)、P3(－2,8)． 解：(1)∵二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，令y＝0，则x＝－2，∴A(－2,0)．∵二次函数y＝(x＋2)2的图象与y轴交于点B，令x＝0，则y＝4，∴B(0,4)；　 (2)∵经过点B且平行于x轴的直线交抛物线于另一点C，∴C(－4,4)，∴BC＝4.∵OB＝4，OA＝2，四边形OACB为梯形，∴S四边形OACB＝eq \f(1,2)(OA＋BC)×OB＝12；　 二次函数y＝a(x＋h)2的图象与性质 1.在同一直角坐标系中，画出函数y＝－eq \f(1,2)x2与y＝－eq \f(1,2)(x－1)2的图象，并根据图象回答下列问题： (1)抛物线y＝－eq \f(1,2)(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－eq \f(1,2)x2向 平 移 个单位得到的； (2)函数y＝－eq \f(1,2)(x－1)2的图象的对称轴是 ；当x 时，曲线自左向右上升，除顶点外，抛物线上的点都在 ； 【规范解答】　图象如图． (1)右；1　(2)直线x＝1；＜1；x轴下方　(3)＞1；＝1；0 【方法归纳】　利用数形结合思想来理解其性质并求解． (3)函数y＝－eq \f(1,2)(x－1)2，当x 时，y随x的增大而减小； 当x 时，y有最大值，最大值是 ． 【思路分析】　用描点法画出图象后，可对照图象轻松回答上面的问题． 【方法归纳】　要理解二次函数中各个字母的作用，准确运用二次函数y＝a(x＋h)2的性质解题. 二次函数y＝a(x＋h)2中字母a、h的作用 2.二次函数y＝a(x＋h)2的图象的顶点位置(　　) A．只与a有关 B．只与h有关 C．与a、h有关 D．与a、h无关 【思路分析】　a的取值决定图象的开口方向和开口大小；h的值决定图象的对称轴和顶点位置． $$