1.2 y=ax²的图象（第1课时）（教学课件） -2024-2025学年九年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

九年级浙教版数学上册 第一章 二次函数 第一课时图象 1.2 二次函数的图象 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.（难点） 情景导入 铅球推出后沿着怎样的一条曲线运动？你能用二次函数的表达式来描述这条曲线吗？ 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是 ． 特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是 ． 一条经过(0，b)的直线 2．描点法画出一次函数的步骤： 分别为 、 、_______三个步骤． 过原点的直线 3.我们把形如 的函数叫做二次函数． 列表 描点 连线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 旧知回顾 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 二次函数的图象 新知探究 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y 函数图象画法 列表 描点 连线 2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连结各点，就得到y = x2 的图象． (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你 找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (4)在对称轴左侧,随着x值的增大,y 的值如何变化？在对称轴右侧呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？ 思考探究 -3 3 o 3 6 9 x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 概念归纳 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． x o y=x2 y 概念归纳 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … 你能用描点法画二次函数y=-x2的图象吗? 1.列表 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -10 -8 -6 -4 -2 2 -1 y=-x2 2.描点 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=x2 y= -x2 （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 向上 向下 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最大值为0. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c. 2.一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是 ，顶点是 ．当a＞0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的最 点，|a|越大，抛物线的开口 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当a＜0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，|a|越大，抛物线的开口越 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ． y轴 (0，0) 向上 低 越小 减小 增大 下 高 小 增大 减小 概念归纳 例1 已知二次函数y=ax²（a≠0）的图象经过点（-2，-3）. （1）求a的值，并写出这个二次函数的表达式. （2）说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和 图象的位置. 课本例题 解（1）把点（-2，-3）的坐标代入y=ax²，得-3=a（-2）²，解得a=. 所以这个二次函数的表达式是y= （2）顶点为（0，0），对称轴为y轴. 因为a=<0，所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方（除顶点外）. 课本例题 第一步：列表 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 请在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 典例剖析 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 抛物线 开口大小与 a 的大小有什么关系？ 当a>0时，a越大，开口越小． 第二步．描点，连线得到函数图象如图： 开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴. 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 1．分别填表如下： x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小 你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗？ 一般地，当a<0时，抛物线y＝ax2的 开口向下，对称轴是y轴，顶点是原 点，顶点是抛物线的最高点，a越小， 抛物线的开口越小． 概念归纳 1.已知正方形周长为C cm，面积为Scm2. (1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象； (2)根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的周长； (3)根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2. 解析：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 练一练 描点、连线，图象如图． (2)根据图象得S＝1cm2时，正方形的周长是4cm. (3)根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2. 练一练 2.已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？在此条件下，当x为何值时，y随x的增大而减小？ 解析：抛物线有最低点的条件是它的开口向上，即m＋2＞0；函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m＋2＜0. 练一练 (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2＞0，即m＞－2，∴m＝2.∵抛物线顶点为最低点，∴其坐标为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大． (3)若抛物线有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2＜0，∴m＜－2，∴m＝－3.∵抛物线最大值为抛物线顶点坐标，顶点坐标为(0，0)，∴当m＝－3时，抛物线有最大值为0，在此条件下，当x＞0时，y随x的增大而减小． ∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数． 练一练 C D 随堂练 下 y 高 随堂练 随堂练 C 随堂练 B B 随堂练 B (－1，－2) y轴 抛物线 向上 (0,0) 减小 增大 0 0 随堂练 随堂练 D 分层练习-基础 C C 分层练习-基础 －9＜y≤－1 分层练习-基础 B B 分层练习-基础 C B 分层练习-基础 2π 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 抛物线 y 上 低 下 高 增大 减小 小 减小 增大 大 课堂反馈 A 课堂反馈 B 课堂反馈 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置、开 口方向 对称性 顶点、最值 增减性 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 课堂小结 答案：(1)由题意，得S＝C2(C＞0)． 列表： c … 2 4 6 8 … s … 1 4 … 答案：(1)由题意得 1．下列抛物线中开口方向向下，且开口最大的是( ) A．y＝－x2　　　　　 B．y＝－eq \f(2,3)x2 C．y＝－eq \f(1,3)x2 D．y＝－eq \r(3)x2 2．下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是( ) A．y＝x2 B．y＝x－1 C．y＝eq \f(3,4)x D．y＝eq \f(1,x) 3．如图，根据图形写出一个符合图象的二次函数表达式： 　 　. 4．抛物线y＝－4x2的开口向　 　，对称轴是　 　轴，图象有最　 　点． 5．函数y＝x2，y＝eq \f(1,2)x2，y＝3x2的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是　 　. y＝－eq \f(1,2)x2(答案不唯一) y＝3x2，y＝x2，y＝eq \f(1,2)x2 6．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)． (1)求a的值； (2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标． 解：(1)a＝－2；　(2)不在；　(3)(－eq \r(3)，－6)与(eq \r(3)，－6)． 7．正方形面积y(cm2)与边长x(cm)之间的函数关系可用图象表示为下图中的(　 　) 8．关于二次函数y＝x2和y＝－x2的图象，下列叙述正确的有(　 　) ①它们的图象都是抛物线；②图象都有最低点；③它们的图象都经过(0,0)；④二次函数y＝x2的图象开口向上，二次函数y＝－x2的图象开口向下． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是(　 　) A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 10．(德州中考)给出下列函数：①y＝－3x＋2；②y＝eq \f(3,x)；③y＝2x2；④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是(　 　) A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 11．下列各点：(－1,2)、(－1，－2)、(－2，－4)、(－2,4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是　 　. 12．二次函数y＝x2的图象是对称轴为　 　的曲线，这条曲线叫做　 　，它的开口　 　，与x轴的交点坐标是　 　.当x＜0时，y随x的增大而 　 　；当x＞0时，y随x的增大而　 　；当x＝　 　时，y有最小值，最小值是　 　. 13．不画图象，说出抛物线y＝－eq \f(3,4)x2的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高(低)点坐标． 解：抛物线y＝－eq \f(3,4)x2的对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)．∵a＝－eq \f(3,4)＜0，∴开口方向向下，最高点坐标是(0,0)． 1．二次函数y＝x2与一次函数y＝－x－1的图象在同一直角坐标系中(如图)，大致应为(　 　) 2．二次函数y＝x2和y＝2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0,0)；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大．其中正确的说法有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．已知A(－2，y1)、B(－1，y2)、C(2，y3)三点都在抛物线y＝2x2上，则y1、y2、y3的大小关系为(　 　) A．y3＞y2＞y1 B．y3＜y2＜y1 C．y1＝y3＞y2 D．y2＞y1＝y3 4．如图，从y＝－x2的图象上可看出当－3＜x≤1时，函数y的取值范围是　 　. 5．如图，Rt△OAB的顶点A(－2,4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为　 . (eq \r(2)，2)　 7．若函数y＝axa2－2a－6是二次函数且图象开口向上，则a等于( ) A．－2　　 B．4　　 C．4或－2　　 D．4或3 8．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s＝eq \f(1,2)gt2(g是不为0的常数)，则s与t的函数图象大致是( ) 9．抛物线①y＝3x2；②y＝eq \f(2,3)x2；③y＝eq \f(4,3)x2的开口大小的次序为( ) A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③ 10. (毕节中考)抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝eq \f(1,2)x2的共同性质是( ) A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x的增大而增大 11．抛物线y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－eq \f(1,2)x2的形状相同，则a＝　 　. 12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝eq \f(1,2)x2的图象，C2是函数y＝－eq \f(1,2)x2的图象，则阴影部分的面积是　 　. －eq \f(5,2)或－eq \f(3,2) 13．一个二次函数，它的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，且经过点(－1，eq \f(1,3))． (1)求出这个二次函数的解析式； (2)画出这个二次函数的图象； (3)抛物线在对称轴左侧部分，y随x的增大怎样变化？这个函数有最大值还是最小值？ 解：(1)由题意可设抛物线解析式为y＝ax2，将点(－1，eq \f(1,3))代入得，a＝eq \f(1,3)，∴y＝eq \f(1,3)x2；　(2)略；　(3)在对称轴左侧，y随x的增大而减小，这个函数有最小值． 14．二次函数y＝－2x2的图象如图所示． (1)点A(1，m)在该图象上，求出点A坐标； (2)求与点A关于y轴对称的点A′的坐标，点A′在抛物线上吗？ (3)若A(1，y1)、B(2，y2)、C(－3，y3)、D(－4，y4)四点都在该抛物线上，请判断y1、y2、y3、y4的大小． 解：(1)A(1，m)代入y＝－2x2中，得m＝－2×1＝－2，∴A(1，－2)；　 (2)A点关于y轴对称的点A′坐标为(－1，－2)，将x＝－1代入y＝－2x2中，得y＝－2，∴A′(－1，－2)仍在抛物线上；　 (3)由图象可得y1＞y2＞y3＞y4. 15．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，－eq \f(1,2))． (1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴； (3)当x为何值时，y随x的增大而减小？ 解：(1)y＝－eq \f(1,2)x2，图象如图；　(2)顶点坐标为(0,0)，对称轴是y轴；　(3)当x＞0时，y随x的增大而减小． (1)求满足条件的m的值； (2)当m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？ (3)当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？ 解：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋m－4＝2,m＋2≠0))， 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝2或m＝－3,m≠－2))，∴当m＝2或m＝－3时，该函数为二次函数；　 (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2＞0则m＞－2，∴只能取m＝2.∵这个最低点为抛物线的顶点，则其坐标为(0,0)．当x≥0时，y随x的增大而增大；　 (3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2＜0，∴m＜－2，∴只能取m＝－3，∵抛物线最大值为抛物线顶点的纵坐标且顶点坐标为(0,0)，∴当m＝－3时，抛物线有最大值为0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小． 16．如图所示，直线AB过x轴上一点A(2,0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为(1,1)． (1)求直线AB和抛物线的解析式； (2)当x为何值时，y＝ax2随x的增大而增大？ (3)若抛物线上有一点D(在第一象限内)使得S△AOD＝S△OBC，求D点的坐标． 解：(1)直线AB的解析式是y＝－x＋2，抛物线的解析式是y＝x2；　 (2)当x＞0时，y随x的增大而增大；　 (3)D点坐标为(eq \r(3)，3)． 17．如图，点P是抛物线y＝x2在第一象限内的一点，点A的坐标是(3,0)．设点P的坐标为(x，y)． (1)求△OPA的面积S关于变量y的关系式； (2)S是x的什么函数？ (3)当S＝6时，求点P的坐标； (4)在y＝x2的图象上求一点P′，使△OP′A的两边OP′＝P′A. 解：(1)S＝eq \f(3,2)y(y＞0)；　 (2)S＝eq \f(3,2)x2(x＞0)，S是x的二次函数；　 (3)点P的坐标为(2,4)；　 (4)∵OP′＝P′A，∴P′在OA的垂直平分线上，∴P′的横坐标为eq \f(3,2).当x＝eq \f(3,2)时，y＝x2＝eq \f(9,4).∴点P′的坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(9,4))． 二次函数y＝ax2的图象 1．二次函数y＝ax2的图象是　 　，对称轴是　 　轴，顶点坐标是原点，当a＞0时，抛物线的开口向　 　，顶点是抛物线的最　 　点；当a＜0时，抛物线的开口向　 ，顶点是抛物线的最　 　点． 2．在二次函数y＝ax2(a≠0)图象中，①当a＞0，x＞0时，y随x增大而　 　，x＜0时，y随x增大而　 　，当x＝0时，y取最　 　值是0；②当a＜0，x＞0时，y随x增大而　 　，x＜0时，y随x增大而　 　，当x＝0时，y取最　 　值是0. 1.若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2,4)，则该图象必经过点(　 　) A．(2,4)　　　　　　 B．(－2，－4)　　　　　　 C．(－4,2)　　　　　　 D．(4，－2) 易错点：忘记由图象特征对所求的值进行判断取舍． 2.若二次函数y＝(a－3)x2＋a2－2a－3的图象如 图所示，试求a的值． 解：由题意可知：a2－2a－3＝0，a1＝－1，a2＝3，∵a－3＜0，∴a＝－1. 3. 抛物线y＝eq \f(1,2)x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0,0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 已知A(－1，y1)、B(－2，y2)、C(3，y3)都在二次函数y＝－eq \f(1,2)x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是　 　. y1＞y2＞y3 $$