预习02讲 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习02讲 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示（精讲+精练） ①空间向量基本定理 ②空间直角坐标系 ③空间向量运算的坐标表示 一、空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2.基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 二、空间向量的正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3.特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 三、空间向量的正交分解及其坐标表示 1.空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2.空间向量的坐标表示 （1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 四、空间向量运算的坐标表示 1.设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 五、空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1.两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2.向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3.两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4.两点间的距离公式 已知，则 ①空间向量基本定理 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，在平行六面体中，为的交点.若，则向量（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． ②空间直角坐标系 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）在平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·甘肃·期中）如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． ③空间向量运算的坐标表示 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C．4 D．6 2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖北·期中）已知向量，其中在同一平面的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知向量，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 8．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习02讲 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示（精讲+精练） ①空间向量基本定理 ②空间直角坐标系 ③空间向量运算的坐标表示 一、空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2.基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 二、空间向量的正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3.特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 三、空间向量的正交分解及其坐标表示 1.空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2.空间向量的坐标表示 （1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 四、空间向量运算的坐标表示 1.设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 五、空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1.两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2.向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3.两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4.两点间的距离公式 已知，则 ①空间向量基本定理 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要表示出，只需要用给出的基底表示即可，结合图形及空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】. 故选：B 2．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， . 故选：D 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，在平行六面体中，为的交点.若，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，结合空间向量的线性运算可得. 【详解】由图知，， 即. 故选：C 4．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理得到，故. 【详解】为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 5．（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用表达出三个向量，设，得到方程组，无解，得到不共面，能作为空间中的一组基底. 【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，， 设， 即， ，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.    故选：A ②空间直角坐标系 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B 2．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用关于坐标轴对称的特点求出坐标即可. 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为. 故选：B 3．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间点关于原点对称点的特征可得正确的选项. 【详解】点关于原点对称的点的坐标为， 故选：D. 4．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 5．（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，然后由即可求解. 【详解】设，因为， 所以，得， 所以，故B正确. 故选：B. 6．（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中点在坐标轴和坐标平面上的射影的特点进行求解. 【详解】点在x轴上的射影横坐标不变，纵坐标和竖坐标为0，即， 点在平面上的射影横坐标和竖坐标不变，纵坐标为0，即. 故选：D. 7．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加减运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 8．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）在平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算可得. 【详解】设点的坐标为，则由，得，解得，，则点的坐标为， 故选：B. 9．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间直角坐标系中点坐标公式可得. 【详解】由图可知，， 因为点是的中点， 则由中点坐标公式可得. 故选：C. 10．（23-24高二下·甘肃·期中）如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，交于点，连接，利用线面平行的性质定理得，从而得是的中点，即可求解点的坐标. 【详解】设，交于点，连接， 因为正方形与矩形所在的平面互相垂直， 点在上，且平面，又平面平面，平面， 所以，又，所以是平行四边形， 故，所以是的中点， 因为，所以，所以. 故选：C ③空间向量运算的坐标表示 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】代入空间向量垂直的数量积坐标表示的公式，即可求解. 【详解】，得. 故选：A 2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C. 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以， 又， 所以设，即， 所以， 故选：B. 4．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解. 【详解】， 故在上的投影向量为. 故选：D 5．（23-24高二下·湖北·期中）已知向量，其中在同一平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量定理，结合方程思想逐项分析判断即可. 【详解】对于A，假定共面，设，则，无解，A不是； 对于B，由，得共面，B是； 对于C，假定共面，设，则，无解，C不是； 对于D，假定共面，设，则，矛盾，D不是. 故选：B 6．（23-24高二上·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量坐标运算求出，利用向量模的坐标运算可得结果. 【详解】因为，所以, 又，即， 所以， 所以， 故选：D. 二、多选题 7．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知向量，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】ABC选项，根据得到且，AC正确，B错误；D选项，利用投影向量的求解公式得到答案. 【详解】ABC选项，由题意得，故且，AC正确，B错误； D选项，在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ACD 8．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD,由空间向量基本定理判断C,由投影向量判断B. 【详解】由已知可得，A正确； 由于，所以在上的投影向量即为，B正确； 若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得，而, 所以， 上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误; 由，故，且， 所以正确． 故选：ABD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$