精品解析：2024年宁夏回族自治区银川九中教育集团阅海一校区九年级下学期第二次模拟考试数学试题

银川九中教育集团阅海一校区2023——2024学年第二学期九年级第二次模拟考试数学试卷 （本试卷满分120分） （注：班级、姓名、学号、座位号一律写在装订线以外规定的地方，卷面不得出现任何标记．） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 3. 新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥0 B. m＞0 C. m≥0且m≠1 D. m＞0且m≠1 6. 如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转后可以开到最大，若门扇的宽度，则旋转过程中点经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 7. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. b D. 8. 二次函数的图象如上图所示，其对称轴为直线，有如下结论：①；②；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：x2y﹣y=_____． 10. 有四张正面分别标有汉字“中”、“考”、“必”、“胜”卡片，它们除汉字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是 __________________． 11. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则________．（填“>”“<”或“=”） 12. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限内，将沿x轴正方向平移得到，若点A的对应点在直线上，则点B与对应点之间的距离为______． 14. 如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的大小为________． 15. 在平面直角坐标系中，一副三角板如图所示摆放，，反比例函数、的图象分别经过点A、点B，则________． 16. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为______________． 三、解答题（本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 在解不等式组时，小颖同学求解不等式①的解答过程如下，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得……第1步 去括号，得……第2步 移项，得……第3步 合并同类项，得……第4步 两边都除以3，得……第5步 任务一：填空： （1）以上运算步骤中，第2步去括号依据的运算律是________； （2）第3步移项的依据是________； （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请写出正确的解答过程，并求出不等式组的解集． 19. 某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在组的分数为91，92，93，94 八年级20名学生在组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94． 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 % 八年级 91 93 65% （1）填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”安全消防知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人． 20. 如图，四边形是平行四边形． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点E，在上截取，连接，求证：四边形为菱形； （2）与相交于O，若，，求四边形的面积． 21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？ 22. 图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位和底盘均平行于地面，座位可沿射线方向调节，当座位的位置最低时，支架，，支架与座位的夹角，与支架的夹角，底盘到地面的距离为，则此时座位到地面的高度为多少？（结果精确到，参考数据：，，） 23. 如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）． 桌面所受压强 受力面积 2 1 a （1）根据数据，求桌面所受压强与受力面积之间函数表达式及a的值； （2）现想将另一长、宽、高分别为，，，且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由． 24. 如图，AB是的直径，四边形内接于，连接，，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为13，求的长． 25. 如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，A，B两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C，D为桥面钢丝的固定点，C，D两点相距90米且，已知． （1）以M为坐标原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； （2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，海报顶边的两个顶点恰好在钢拱圈上的A，B两点，求海报底边与桥面的距离． 26. 综合与实践 问题情境： 如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H． 数学思考： （1）线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； 猜想证明： （2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图③，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 银川九中教育集团阅海一校区2023——2024学年第二学期九年级第二次模拟考试数学试卷 （本试卷满分120分） （注：班级、姓名、学号、座位号一律写在装订线以外规定的地方，卷面不得出现任何标记．） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合图形的特点选出即可． 【详解】A. 图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B. 图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C. 图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； D. 图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 3. 新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，其中，n为整数，是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 详解】 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相除、幂的乘方、完全平方公式，据此相关运算法则和乘法公式进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥0 B. m＞0 C. m≥0且m≠1 D. m＞0且m≠1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：m≥0且m≠1． 故选C． 6. 如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转后可以开到最大，若门扇的宽度，则旋转过程中点经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长的应用，解题的关键是掌握弧长公式，据此解答即可． 【详解】解：旋转过程中点A经过的路径长为：． 故选：B． 7. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. b D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出，，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴， 故选：A． 8. 二次函数的图象如上图所示，其对称轴为直线，有如下结论：①；②；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项． 【详解】由抛物线与y轴的交点位置得到：，选项①错误； ∵抛物线的对称轴为 ∴，选项②正确； 由抛物线与x轴有两个交点， 则方程有两个不相等的实数根， ∴， 即，选项③错误； 令抛物线解析式中，得到， ∵方程的两根为，，且， ∴ ∴ 选项④正确， 综上，正确的结论有②④． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：x2y﹣y=_____． 【答案】y（x+1）（x﹣1）． 【解析】 【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可． 【详解】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）， 故答案为y（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查因式分解.熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 10. 有四张正面分别标有汉字“中”、“考”、“必”、“胜”的卡片，它们除汉字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：“中”、“考”、“必”、“胜”的四张卡片分别用、、、表示，画树状图如图所示： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”有2种， 所以两次抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 11. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】分别求出平均数，再利用方差的计算公式计算甲、乙的方差，进行比较即可． 【详解】根据折线统计图中数据， ，， ∴， ， ∴， 故答案为：>． 【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解答本题的关键． 12. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆列方程即可． 【详解】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x， 根据题意可得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系列方程是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限内，将沿x轴正方向平移得到，若点A的对应点在直线上，则点B与对应点之间的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化—平移，熟练掌握平移的性质是求解的关键．先利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的横坐标，可得出点与其对应点之间的距离，再根据平移的性质可求解． 【详解】解：∵点A的对应点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵点与点为对应点， ∴， 故答案为：． 14. 如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的大小为________． 【答案】##144度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，作出圆中常用辅助线是解题的关键．连接，正多边形的性质得的度数，由圆周角定理得的度数，再圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵正五边形的外接圆为， ∴四边形是内接四边形， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，一副三角板如图所示摆放，，反比例函数、的图象分别经过点A、点B，则________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，灵活应用数形结合思想是解答本题的关键．由，得到，过点作于点，得到点B坐标，代入解析式即可求出答案． 【详解】，， 则． 过点作于点 ， 的图象过点B， 故答案为：． 16. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为______________． 【答案】110 【解析】 【分析】延长AB交KL于O，延长AC交ML于N，得四边形AOLN是矩形，证明全等直角三角形，然后求出矩形的边长KJ和KL，再求矩形的面积，注意图形中的矩形和正方形，充分利用矩形和正方形的性质解题． 【详解】解：如图，延长AB交KL于O，延长AC交ML于N，得四边形AOLN是矩形， ∵四边形BFGC是正方形， ∴BC=BF=FG=CG，∠CBF=∠BFG=∠FGC=∠BCG=90°， ∴∠ABC+∠OBF=∠OFB+∠LFG=∠FGL+∠NGC=∠ACB+∠NCG=90°， ∵∠BAC=∠AOL=∠L=∠ANL=90°， ∴∠ACB+∠ABC=∠OBF+∠OFB=∠LFG+∠LGF=∠NCG+∠NGC=90°， ∴∠ABC=∠OFB=∠FGL=∠NCG， ∴△CAB≌△BOF≌△FLG≌△GNC， ∴BO=FL=GN=AC=4，OF=LG=CN=AB=3， ∴JK=4+3+4=11，KL=3+3+4=10， ∴矩形KLMJ的面积为11×10=110， 故答案为：110． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造矩形得到全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据零指数幂和负整数指数幂的意义，二次根式的性质，分母有理化化简，再算加减即可． 【详解】解： 18. 在解不等式组时，小颖同学求解不等式①的解答过程如下，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得……第1步 去括号，得……第2步 移项，得……第3步 合并同类项，得……第4步 两边都除以3，得……第5步 任务一：填空： （1）以上运算步骤中，第2步去括号依据的运算律是________； （2）第3步移项的依据是________； （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请写出正确的解答过程，并求出不等式组的解集． 【答案】任务一：（1）乘法分配律；（2）不等式性质；（3）1，去分母时没给常数项乘分母的最小公倍数；任务二：，过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 任务一：（）根据乘法分配律即可求解； （）根据不等式的性质即可求解； （）根据去分母时，常数项漏乘最小公倍数，即可求解； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤解答，再求出不等式②的解集，然后得出不等式组的解集即可． 【详解】解：任务一： （）第2步去括号依据的运算律是乘法分配律； （）第3步移项的依据是不等式的性质； （）第1步开始出现错误，这一步错误的原因是，去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第1步中常数项没有乘以最小公倍数； 任务二：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 19. 某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在组的分数为91，92，93，94 八年级20名学生在组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94． 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 % 八年级 91 93 65% （1）填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）92.5，94，60，补全统计图见解析 （2）八年级的学生成绩更好，理由见解析 （3）估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有1630人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出、的值，用七年级优秀的人数除以总人数即可得的值，用总人数减去其它组的人数求出组的人数即可补全条形统计图； （2）根据中位数和优秀率进行判断即可； （3）用样本的优秀率估计总体优秀率，再进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数， 八年级学生竞赛成绩94出现的次数最多，故众数， ，即， 七年级组的人数为（人， 补全条形统计图如下： 故答案为：92.5，94，60； 【小问2详解】 解：八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级的平均数都是91，八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好； 【小问3详解】 解： （人， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1630人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数等知识，理解题意，把题目中提够的统计图和所列的表格结合起来，并结合提供的数据进行综合分析是解题关键． 20. 如图，四边形是平行四边形． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点E，在上截取，连接，求证：四边形为菱形； （2）与相交于O，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；再结合等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质证明即可； （2）根据四边形为菱形， 可得，，，再在中，可得，问题随之得解． 【小问1详解】 作图如下： 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明：， ∵根据作图可知：， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 ∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角平分线的尺规作图等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？ 【答案】（1）该商场节后每千克A粽子的进价是10元 （2）该商场节前最多购进300千克A粽子 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程和不等式． （1）设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，根据题意，得： ， 解得． 检验：当时，是原分式方程的根，且符合题意． 答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元． 【小问2详解】 解：设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得： ， 解得：． 答：该商场节前最多购进300千克A粽子． 22. 图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位和底盘均平行于地面，座位可沿射线方向调节，当座位的位置最低时，支架，，支架与座位的夹角，与支架的夹角，底盘到地面的距离为，则此时座位到地面的高度为多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点E作，垂足为H，延长交的延长线于点M，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点E作，垂足为H，延长交的延长线于点M， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵底盘到地面的距离为， ∴此时座位到地面高度， 故答案为：60． 23. 如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）． 桌面所受压强 受力面积 2 1 a （1）根据数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及a的值； （2）现想将另一长、宽、高分别为，，，且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由． 【答案】（1），； （2）这样摆放不安全； 【解析】 【分析】（1）根据关系表得到反比例关系，代入求解即可得到答案； （2）根据（1）的解析式求出所受压力比较大小即可得到答案； 【小问1详解】 解：由表格可得， ∵， ∴与成反比关系， ∴， 当时， ， 解得：； 【小问2详解】 解：当时， ， ， ∴这样摆放不安全； 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 24. 如图，AB是的直径，四边形内接于，连接，，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为13，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由得，由是半径，可得，由是的直径，可得，则，，进而结论得证； （2）由勾股定理得，，由是的直径，可得，证明，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是半径， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，垂径定理，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，垂径定理，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，A，B两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C，D为桥面钢丝的固定点，C，D两点相距90米且，已知． （1）以M为坐标原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； （2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，海报顶边的两个顶点恰好在钢拱圈上的A，B两点，求海报底边与桥面的距离． 【答案】（1）； （2）20米． 【解析】 【分析】本题考查是二次函数的实际应用，建立正确的坐标系，掌握解直角三角形的知识和待定系数法是解本题的关键； （1）如图，建立平面直角坐标系，过作于，求解，，，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入可得，求解，，再结合正方形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图，建立平面直角坐标系，过作于， 则，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴米， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为，则有： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 解得：，， ∴， ∵海报为正方形，海报顶边的两个顶点恰好在钢拱圈上的A，B两点， ∴海报底边与桥面的距离为． 26. 综合与实践 问题情境： 如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H． 数学思考： （1）线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； 猜想证明： （2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图③，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）四边形为菱形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质，得出，再证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答； （2）根据旋转性质，得出，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等，得证四边形是菱形； （3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，，进行边的运算，即可作答． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵四边形是正方形 ∴， 又∵， ∴， ∴． 由旋转的性质，得， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即 （2）四边形为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）∵点H是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，菱形的判定，旋转性质等内容，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$