精品解析：上海市大同中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

2023学年第二学期5月学情调研 高一数学 90分钟 满分100分 一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分） 1. 设是等差数列，且，，则的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设等差数列的公差为， 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 2. 已知数列中，， （），则数列的前9项和等于_______． 【答案】27 【解析】 【分析】 先判断数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列求和公式求解即可. 【详解】因为（）所以（）， 又因为，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 则数列的前9项和， 故答案为：27. 3. 数列中为的前n项和，若，则_______. 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为等比数列，则，解得． 考点：等比数列的概念及等比数列求和． 4. 已知数列是等比数列，且，则的值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用等比中项性质，，计算得到结果. 【详解】由等比数列的性质知：，，， 所以，又， 所以. 故答案为：9 5. 已知数列的前项和为，则此数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由数列 的前项和为，得时,，得出;验证时是否满足 即可. 【详解】当时,, 当时,, 又,所以. 故答案为:. 【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时，需验证时是否满足，是基础题. 6. 已知向量，，且向量与共线，则实数__． 【答案】 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再由与共线，列方程可求出 【详解】因为向量，， 所以向量与， 因为向量与共线 所以， 解得． 故答案为：． 7. 数列的前项和，首项为1，对于任意正整数，都有，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由数列新定义，等差数列、等比数列定义以及它们的求和公式运算即可得解. 【详解】由题意数列的前5项构成首项为1，公比为2的等比数列， 若从第5项起的数构成一个新的数列，则它的首项为，公差为， 所以由题意. 故答案为：. 8. 等差数列的前项和为，，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出数列的首项和公差，继而求得数列的前项和公式，将的表达式进行裂项，再求即得. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意有： ，解得 ， 数列的前n项和， 则有：， 故有 . 故答案为：. 9. 在平面直角坐标系中，已知，，，为轴上两个动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，的坐标，利用向量的坐标运算求解. 【详解】设， 1.若，则， 可得， 当时，取到最小值； 2.若，则， 可得， 当时，取到最小值； 综上所述：取到最小值. 故答案为：. 10. 已知等比数列，，，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列通项公式可得，进而可知数列是以8为首项、以为公比的等比数列，结合极限分析求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 则，可得. 因为，且， 可知数列是以8为首项、以为公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 11. 已知数列的前项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前100项的和为_____________. 【答案】319 【解析】 【分析】先求出数列的通项公式，根据数列的通项公式结构特征即可求解. 【详解】，， 则当时，， 于是得，即， 而，即， 因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，， 因为数列在区间内的项的个数， 则有， ， ， ， 所以数列的前100项的和为. 故答案为：319. 12. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】 【分析】方法一：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 方法二：由题意结合列举法和二分法即可求解. 【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】 设，则 由得，化简得， ，解得：，即． 所以只需研究是否有满足条件的解， 此时，，为等差数列项数，且. 由即，解得，所以 得满足条件的最小值为. 故答案为：. ［方法二］：列举法＋二分法 与相比，B元素间隔大．因此利用列举法从中元素构成看，分别加了几个B中元素进行考虑． 1个：； 2个：； 3个：； 4个：； 5个：； 6个：． 发现当时，发生变号，以下用二分法查找： ，所以所求n应在22~29之间． ，所以所求n应在25~29之间． ，，不符合条件；，，符合条件． 因为，而， 故答案为：. 【整体点评】方法一：先由求和公式寻找不等式成立的充分条件，即当第项的值大于等于时，不等式成立，再寻找第项的值在与之间时是否也可以有满足题意的解，从而解出，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：根据两个集合的特征，一一列举集合中的元素，并研究集合中元素的和与的变化规律，从而找出可能满足不等式的解，再由二分法验证解出，该法计算较为麻烦． 二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分） 13. 已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为 A. B. C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由,得排除B、C、D，选A 14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）；（2）；（3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）；（2）；（3），正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为； 所以①正确，②③错误，选B 15. 若，则在中，正数的 个数是（ ） A. 16 B. 72 C. 86 D. 100 【答案】C 【解析】 【详解】令，则，当1≤n≤14时，画出角序列终边如图， 其终边两两关于x轴对称，故有均为正数， 而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k时，Sn>0， 而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余 都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C. 16. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ） A. ①和②都为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②都为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答. 【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意， 当时，， 函数图象是开口向上的抛物线，对称轴， 存在，使得，取不小于的正整数，则有， 即，不符合题意，综上得①为假命题； 等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即， ，于是， 依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是， 因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题， 判断正确的是①为假命题，②为真命题. 故选：C 【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求的值； （2）求b的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）先由，求得，再结合，利用正弦定理求解； （2）根据，利用余弦定理求解. 【小问1详解】 解：在中，因为， 所以， 又， 由正弦定理得：； 【小问2详解】 在中，因为， 所以由余弦定理得：， 即， 解得 . 18. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为实数，求； （2）设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据为实数得到虚部为，即可求出参数的值，从而得解； （2）首先表示出、，由向量垂直得到，根据数量积的坐标表示得到方程解得，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为为实数，所以，解得，所以. 【小问2详解】 因为，在复平面上所对应的点为、， 所以、，则、， 因为，所以，解得， 所以. 19. 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元. （1）若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； （2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得； （2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 ，公比为，进而得年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可得. 【小问1详解】 解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元， 所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为， 所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为， 所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是， 因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元， 所以. 【小问2详解】 解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加， 所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为， 所以从第七年起，第年的养护保险费用为， 所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为， 所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为. 经计算器计算得时，最小. 20. 已知数列满足，（，）.又数列满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列是严格增数列，求取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，裂项变形，再利用等比数列定义判断即得. （2）由（1）求出数列的通项，再由单调性列出不等式，分离参数，借助单调性求解即得. 【小问1详解】 当时，，即，亦即， 又，即，所以数列是等比数列. 【小问2详解】 由（1），，即，， 依题意，对任意的正整数成立， 即对任意的正整数成立， 而数列严格增，且对任意的正整数成立， 因此，又，解得， 所以的取值范围是. 21. 已知以为首项的数列满足：. （1）当时，且，写出、； （2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围； （3）记为的前项和，当时， ①给定常数，求的最小值； ②对于数列，，…，，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？说明理由. 【答案】（1） ，；（2） ；（3）①为奇数时最小值为，当为偶数时最小值为 ； ②不唯一，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据首项，及递推公式，依次代入和即可求得、的值． （2）根据等差数列通项公式，表示出，根据绝对值的非负性可得，再根据即可求得的取值范围． （3）将代入，求得……值，即可表示出的最小值；举出特例，说明使得成立的数列不唯一即可． 【详解】（1）因为，且， 所以当 时，即 所以当 时，即 （2）因为数列是公差为-1的等差数列 所以，即①， 而，则，即 当时， 因为 所以或与①矛盾，（舍） 所以 所以 （3）当时 所以，或，或….. ①当为奇数时的最小值为， 当为偶数时的最小值为 ②不唯一 因为满足 如数列 和 ，两个数列都满足 因而不存在唯一的数列满足式子 【点睛】本题考查了数列的性质及综合应用，注意对定义的理解，分类讨论及绝对值的意义理解，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期5月学情调研 高一数学 90分钟 满分100分 一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分） 1. 设是等差数列，且，，则的通项公式为__________． 2. 已知数列中，， （），则数列的前9项和等于_______． 3. 数列中为前n项和，若，则_______. 4. 已知数列是等比数列，且，则的值为_________. 5. 已知数列的前项和为，则此数列的通项公式为___________． 6. 已知向量，，且向量与共线，则实数__． 7. 数列的前项和，首项为1，对于任意正整数，都有，则______． 8. 等差数列前项和为，，，则__________ 9. 在平面直角坐标系中，已知，，，为轴上两个动点，且，则的最小值为________. 10. 已知是等比数列，，，则____________. 11. 已知数列的前项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前100项的和为_____________. 12. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分） 13. 已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为 A. B. C. ， D. ， 14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）；（2）；（3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）；（2）；（3），正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15. 若，则在中，正数的 个数（ ） A 16 B. 72 C. 86 D. 100 16. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ） A. ①和②都为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②都为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求的值； （2）求b的值． 18. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为实数，求； （2）设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求． 19. 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元. （1）若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； （2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 20. 已知数列满足，（，）.又数列满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列是严格增数列，求的取值范围. 21. 已知以为首项的数列满足：. （1）当时，且，写出、； （2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围； （3）记为的前项和，当时， ①给定常数，求的最小值； ②对于数列，，…，，当取到最小值时，是否唯一存在满足数列？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$