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年级上册·RJ
数 学
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第二十二章 二次函数
专题二 二次函数系数与图象形状和对称轴的关系
根据表格中 x , y 的对应值确定二次函数的对称轴
1. (2023·安徽阜阳颍州区期中)已知二次函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表:
x … -3 -2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 -8 -9 -5 0 40 …
则二次函数图象的对称轴是( B )
A. x =-1 B. x =1
C. x =4 D. x =-4
B
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2. 新视野 二次函数 y = ax2+ bx + c ( a , b , c 是常数, a ≠0)的自变量 x 与
函数值 y 的部分对应值如表所示.
x … -2 -1 0 1 2 …
y = ax2+ bx + c … t m -2 -2 n …
根据以上列表,回答下列问题:
(1)直接写出 c 的值和该二次函数图象的对称轴.
解:(1)根据图表可知:
二次函数 y = ax2+ bx + c 的图象过点(0,-2),(1,-2),
∴对称轴为直线 x = = , c =-2.
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(2)写出关于 x 的一元二次方程 ax2+ bx + c = t 的根.
解:(2)根据二次函数的对称性可知:
(-2, t )关于对称轴 x = 的对称点为(3, t ),
即 x =-2和 x =3是关于 x 的方程 ax2+ bx + c = t 的两个根.
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根据二次函数的解析式确定其对称轴
3. 已知二次函数 y =( x -5)2-2,那么该二次函数图象的对称轴是( A )
A. 直线 x =5 B. 直线 x =-5
C. 直线 x =2 D. 直线 x =-2
4. (2023·安徽合肥蜀山区期末)在平面直角坐标系中,设二次函数 y =( x +
a )( x - a -1),其中 a ≠0,则此二次函数图象的对称轴为直线 x = .
A
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5. (2023·北京西城区月考)已知二次函数 y = ax2-2 ax -2( a >0).
(1)求该二次函数图象的对称轴.
解:(1)该二次函数图象的对称轴是直线 x =- =1.
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(2)当-1≤ x ≤5时,函数图象的最高点为 M ,最低点为 N ,点 M 的纵坐标为
,求点 M 和点 N 的坐标.
解:(2)∵该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线 x =1,-1≤ x ≤5,
∴当 x =5时, y 的值最大,即 M .
把 代入 y = ax2-2 ax -2,解得 a = .
∴该二次函数的解析式为 y = x2- x -2.
当 x =1时, y =- ,∴ N .
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(3)对于该二次函数图象上的两点 A ( x1, y1), B ( x2, y2),当 t +1< x1<
t +2, t +3< x2< t +4时,均有 y1≠ y2,请结合图象,直接写出 t 的取值范围.
解:(3) a >0,开口向上,对称轴 x =1,
当 t +1< x1< t +2, t +3< x2< t +4时,均有 y1≠ y2,
∴ t +4<1,解得 t <-3;或 t +1>1,解得 t >0.
综合所述, t 的取值范围为 t >0或 t <-3.
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根据对称轴确定二次函数的系数
6. (2023·天津和平区期中)已知二次函数 y = x2+ bx + c 的图象经过点 A
( c ,2),且这个二次函数图象的对称轴是直线 x =3,则二次函数的解析式
为 .
7. 已知 y = x2+(1- a ) x +2是关于 x 的二次函数,其对称轴为直线 x =2.
(1) a 的值为 .
(2)当0≤ x ≤4时, y 的取值范围是 .
y = x2-3 x +2+2 或 y = x2-3 x +2-2
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-2≤ y ≤2
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8. 已知某二次函数的图象是由二次函数 y =2 x2的图象平移后得到的,并且该二次
函数图象的对称轴是直线 x =1,同时该二次函数的图象经过点(3,2),求这个
二次函数的解析式.
解:依题意可以设该二次函数的解析式为 y =2( x -1)2+ b ,
把(3,2)代入,得2=2(3-1)2+ b ,
解得 b =-6.
故该二次函数的解析式为 y =2( x -1)2-6.
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根据抛物线图象形状确定其对称轴
9. (2023·广东河源龙川期末)已知一个二次函数的图象如图所示,根据图
象可得:
(1)函数图象的顶点坐标为 .
(2)图象的对称轴为直线 .
(3)当 x = 时, y 有最大值,是 .
(4)当 时, y 随 x 的增大而增大.
(5)当 时, y >0.
(-3,2)
x =-3
-3
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x <-3
-5< x <-1
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根据对称轴完善抛物线图象形状
10. (2023·湖南株洲中考)如图所示,直线 l 为二次函数 y = ax2+ bx + c ( a
≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的是( C )
A. b 恒大于0 B. a , b 同号
C. a , b 异号 D. 以上说法都不对
C
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11. (2023·湖北黄石大冶模拟)如图所示是二次函数 y = ax2+ bx + c 的图象的一
部分,图象过点 A (3,0),二次函数图象的对称轴为 x =1,给出下列结论:①
b2>4 ac ;② bc <0;③2 a + b =0;④ a + b + c =0;⑤当-1< x <3时, y <0.
其中正确的是( B )
A. ②③⑤ B. ①③
C. ②③ D. ①④⑤
B
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12. 推理能力 已知二次函数 y = ax2+ bx + c ( a ≠0)的部分图象如图所示,抛
物线的对称轴为直线 x = ,且经过点(-1,0),下列结论错误的是( A )
A. 3 a + b >0
B. 若点 , 是抛物线上的两点,则 y1> y2
C. 10 a + c >0
D. 若 y ≤ c ,则0≤ x ≤3
A
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