21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)

年级上册·RJ 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 利用根与系数的关系求关于两根的代数式的值 1. （2023·天津中考）若 x1， x2是方程 x2－6 x －7＝0的两个根，则（　A　） A. x1＋ x2＝6 B. x1＋ x2＝－6 C. x1 x2＝ D. x1 x2＝7 2. 若 x1和 x2为一元二次方程 x2＋2 x －1＝0的两个根，则 x2＋ x1 的值为 （　B　） A. 4 B. 2 C. 4 D. 3 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4. （2023·湖北随州中考）已知关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋1＝0的两个实数 根分别为 x1和 x2，则 x1＋ x2－ x1 x2的值为 ⁠. 5. （2023·四川攀枝花中考） x2－4 x －2＝0的两根分别为 m ， n ，则 ＋ ＝ ⁠. 2　 －2 3. 已知 x1， x2是一元二次方程 x2－ x －1＝0的两根，则 ＋ x2的值为（　B　） A. 0 B. 2 C. 1 D. －1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （1） ＋ ；　　（2） ＋ . 解：∵ x1， x2是方程2 x2＋5 x －7＝0的两个实数根， ∴ x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝－ . （1）原式＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝ ＋7＝ . （2）原式＝ ＝ ＝－ . 6. 新视野　设 x1， x2是方程2 x2＋5 x －7＝0的两个实数根，不解方程，求下列式 子的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 利用根与系数的关系求未知系数或方程的根 7. 已知一元二次方程 x2＋6 x ＋ c ＝0有一个根为－2，则另一个根为（　C　） A. －2 B. －3 C. －4 D. －8 8. 已知方程 x2＋ px ＋ q ＝0的两个根分别是2和－3，则（　C　） A. p ＝－1， q ＝－6 B. p ＝1， q ＝6 C. p ＝1， q ＝－6 D. p ＝－1， q ＝6 9. （2023·湖北中考）已知一元二次方程 x2－3 x ＋ k ＝0的两个实数根为 x1， x2， 若 x1 x2＋2 x1＋2 x2＝1，则实数 k ＝ ⁠. C C －5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 利用根与系数的关系求方程中的待定参数时，忽略Δ≥0这一前提条件 10. 新视野　已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m －1） x ＋ m2＝0有实数根. （1）求 m 的取值范围. 解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m －1） x ＋ m2＝0有实数根， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝[－（2 m －1）]2－4×1× m2≥0，解得 m ≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （2）设此方程的两个根分别为 x1， x2，若 x1＋ x2＝2－ x1 x2，求 m 的值. 解：（2）∵关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m －1） x ＋ m2＝0的两个根分别为 x1， x2， ∴ x1＋ x2＝2 m －1， x1 x2＝ m2. ∵ x1＋ x2＝2－ x1 x2，即2 m －1＝2－ m2， 整理，得 m2＋2 m －3＝0， ∴（ m ＋3）（ m －1）＝0， 解得 m1＝－3， m2＝1（不合题意，舍去）. 故 m 的值为－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11. 下面以3和－1为两根的一元二次方程是（　C　） A. x2＋2 x －3＝0 B. －2 x2－4 x ＋6＝0 C. 3 x2－6 x －9＝0 D. x2－2 x ＋3＝0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2－（ m ＋2） x ＋ ＝0有两个不等的实数根 x1， x2.若 ＋ ＝4 m ，则 m 的值是（　A　） A. 2 B. －1 C. 2或－1 D. 不存在 13. 阅读理解　定义运算： a ★ b ＝ a （1－ b ）.若 a ， b 是方程 x2－ x ＋ m ＝0 （ m ＜0）的两根，则 b ★ b － a ★ a 的值为（　A　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与 m 有关 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14. （2023·四川内江中考）已知 a ， b 是方程 x2＋3 x －4＝0的两根，则 a2＋4 a ＋ b －3＝ ⁠. 15. （2023·湖南岳阳中考）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋ m2－ m ＋2＝0 有两个不等的实数根 x1， x2，且 x1＋ x2＋ x1· x2＝2，则实数 m ＝ ⁠. 16. 若 m ， n 是一元二次方程 x2＋3 x －1＝0的两个实数根，则 的值 为 ⁠. 17. （2023·四川宜宾中考）若关于 x 的方程 x2－2（ m ＋1） x ＋ m ＋4＝0两根的 倒数和为1，则 m 的值为 ⁠. －2　 3　 3　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （1）求 p 和 q 的值. 解：（1）根据根与系数的关系，得 q ＝－3×1＝－3， p ＝－（－2＋4）＝－2. 则 p 的值为－2， q 的值为－3. （2）设 m ， n 是方程 x2＋ px ＋ q ＝0的两实数根，不解方程求 m2＋2 n2＋ pn 的值. 解：（2）由（1），得原方程为 x2－2 x －3＝0， ∴ m ＋ n ＝2， mn ＝－3， ∴ m2＋2 n2＋ pn ＝ m2＋2 n2－2 n ＝ m2＋ n2＋ n2－2 n －3＋3＝（ m ＋ n ）2－2 mn ＋（ n2－2 n －3）＋3＝4＋6＋0＋3＝13. 18. 推理能力　在解方程 x2＋ px ＋ q ＝0时，小张看错了 p ，解得方程的根为1与 －3；小王看错了 q ，解得方程的根为4与－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19. 阅读理解　阅读材料： 材料1：关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的两个实数根 x1， x2和 系数 a ， b ， c ，有如下关系： x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝ . 材料2：已知一元二次方程 x2－ x －1＝0的两个实数根分别为 m ， n ，求 m2 n ＋ mn2的值. 解：∵ m ， n 是一元二次方程 x2－ x －1＝0的两个实数根， ∴ m ＋ n ＝1， mn ＝－1. 则 m2 n ＋ mn2＝ mn （ m ＋ n ）＝－1×1＝－1. 根据上述材料，结合你所学的知识，回答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （1）应用：一元二次方程2 x2＋3 x －1＝0的两个实数根为 x1， x2，则 x1＋ x2 ＝ 　－ 　， x1 x2＝ 　－ 　. （2）类比：已知一元二次方程2 x2＋3 x －1＝0的两个实数根为 m ， n ，求 m2＋ n2 的值. 解：（2）∵一元二次方程2 x2＋3 x －1＝0的两根分别为 m ， n ， ∴ m ＋ n ＝－ ， mn ＝－ ， ∴ m2＋ n2＝（ m ＋ n ）2－2 mn ＝ ＋1＝ . － 　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （3）提升：已知实数 s ， t 满足2 s2＋3 s －1＝0，2 t2＋3 t －1＝0且 s ≠ t ，求 － 的值. 解：（3）∵实数 s ， t 满足2 s2＋3 s －1＝0，2 t2＋3 t －1＝0，且 s ≠ t ， ∴ s ， t 是一元二次方程2 x2＋3 x －1＝0的两个实数根，∴ s ＋ t ＝－ ， st ＝－ . ∵（ t － s ）2＝（ t ＋ s ）2－4 st ＝ －4× ＝ ，∴ t － s ＝± ， ∴ － ＝ ＝ ＝± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$