第2章 专题三 构造基本图形解决直角三角形的实际问题(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(鲁教版五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二章　直角三角形的边角关系 专题三　构造基本图形解决直角三角形的实际问题 　构造一个直角三角形解决实际问题 1. 如图所示，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放置在与 教学楼水平距离为18 m的地面上.若测角仪的高度为1.5 m，测得教学楼的顶部 A 处的仰角为30°，则教学楼的高度是（　C　） A. 55.5 m B. 54 m C. 19.5 m D. 18 m C 1 2 3 4 5 　构造一个非直角三角形解决问题 2. （2023·烟台蓬莱区期中）某校为了丰富学生社会实践活动，决定组织九年级 学生到红色文化基地 A 和人工智能科技馆 C 参观学习.如图所示，学校在点 B 处， A 位于学校的南偏西75°方向， C 位于学校北偏东30°方向， C 在 A 的北偏东60°方 向60 km处.如果将九年级学生分成两组分别参观学习，两组学生同时从学校出 发，第一组学生乘坐客车前往 A 地，速度是40 km/h：第二组学生乘坐公交车前往 C 地，速度是30 km/h.请问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由.（参 考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449） 1 2 3 4 5 解：如图所示，过点 B 作 BD ⊥ AC 交于点 D ，由题意可知∠ FAC ＝60°， ∠ EBC ＝30°，∠ ABH ＝75°，∴∠ GAB ＝∠ GBA ＝15°， ∴ AG ＝ GB ， ∠ DGB ＝30°， ∴∠ GBD ＝60°，∴∠ DBE ＝30°. ∵∠ EBC ＝30°，∴∠ DBC ＝60°，∴∠ C ＝30°. 设 DB ＝ x km，则 BC ＝2 x km， CD ＝ x km. 1 2 3 4 5 在Rt△ DBG 中， GB ＝2 BD ＝2 x km， GD ＝ x km. ∵ AC ＝60 km，∴60 ＝2 x ＋ x ＋ x ， 解得 x ＝15（ － ），∴ BC ＝2 x ＝30（ － ） ≈31.05 （km） ， AB ＝ ＝60（km）， ∴第一组学生用时为60÷40＝1.5（h）， 第二组学生用时为31.05÷30＝1.035（h）. ∴第二组学生先到达目的地. 1 2 3 4 5 　构造双直角三角形解决问题 3. （2023·泰安泰山区月考）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄 河之上，使黄河南北“天堑变通途”.如图所示，已知主塔 AB 垂直于桥面 BC 于 点 B ，其中两条斜拉索 AD ， AC 与桥面 BC 的夹角分别为60°和45°，两固定点 D ， C 之间的距离约为33 m，求主塔 AB 的高度.（结果保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 1 2 3 4 5 解：在Rt△ ADB 中，∠ ADB ＝60°，tan∠ ADB ＝ ， ∴ BD ＝ ＝ . 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝45°，tan C ＝ ， ∴ BC ＝ ＝ AB . ∵ BC － BD ＝ CD ＝33 m， ∴ AB － ＝33， ∴ AB ＝ ≈78（m）. 答：主塔 AB 的高约为78 m. 1 2 3 4 5 4. （2023·威海乳山二模）学校数学兴趣小组的同学要测量操场旗杆的高度，示 意图如图所示，小明在旗杆 AB 的正南方向用1米高的测倾器（ CD ＝1米），测得 旗杆顶端 A 的仰角是37°.小强在旗杆 AB 的正北方向（点 F ， B ， D 在同一直线 上）2米高的图书馆台阶上，用1米高的测倾器（ EF ＝3米）测得旗杆顶端 A 的仰 角为18°.已知 FD ＝60米，求旗杆 AB 的高度.（精确到0.1米，参考数据： sin 18°≈ ， cos 18°≈ ，tan 18°≈ ， sin 37°≈ ， cos 37°≈ ，tan 37°≈ ） 1 2 3 4 5 解：过点 C 作 CG ⊥ AB ，垂足为点 G ，过点 E 作 EH ⊥ AB ，垂足为点 H ，如图 所示. 由题意得 CG ＝ BD ， EH ＝ BF ， CD ＝ GB ＝1米， EF ＝ HB ＝3米. 设 CG ＝ BD ＝ x 米.∵ DF ＝60米， ∴ EH ＝ BF ＝（60－ x ）米. 在Rt△ ACG 中，∠ ACG ＝37°， ∴ AG ＝ CG ·tan 37°≈ x （米）， 1 2 3 4 5 ∴ AB ＝ AG ＋ BG ＝ 米. 在Rt△ AEH 中，∠ AEH ＝18°， ∴ AH ＝ EH ·tan 18°≈ （60－ x ）米， ∴ AB ＝ AH ＋ BH ＝ 米， ∴ x ＋1＝ （60－ x ）＋3，解得 x ≈20.3， ∴ AB ＝ x ＋1≈16.2（米）， ∴旗杆 AB 的高度约为16.2米. 1 2 3 4 5 　构造梯形解决问题 5. （2023·威海环翠区期中）如图①所示是超市的手推车，如图②所示是其侧面 示意图，已知前后车轮半径均为5 cm，两个车轮的圆心的连线 AB 与地面平行， 测得支架 AC ＝ BC ＝40 cm， AC ， CD 所在直线与地面的夹角分别为30°，60°， CD ＝30 cm. 1 2 3 4 5 解：（1）如图所示，过点 C 作 CM ⊥ AB ，垂足为点 M ，过点 D 作 DN ⊥ AB ，垂足为点 N ，过点 C 作 CG ⊥ DN ， 垂足为点 G ， ∴∠ DCG ＝60°.∵ AC ＝ BC ＝40 cm， AC 所在直线与地面的夹角为30°，∴∠ A ＝∠ B ＝30°.在Rt△ AMC 中， CM ＝ AC ＝ ×40＝20 cm.∵在Rt△ CGD 中， sin ∠ DCG ＝ sin 60°＝ ， CD ＝30 cm， ∴ DG ＝ CD × sin 60°＝30× sin 60°＝15 cm. （1）求扶手前端 D 到地面的距离. 1 2 3 4 5 ∵ CM ⊥ AB ， DN ⊥ AB ， CG ⊥ DN ， ∴四边形 CMNG 是矩形， ∴ GN ＝ CM ＝20 cm，前后车轮半径均为5 cm， ∴扶手前端 D 到地面的距离为 DG ＋ GN ＋5＝15 ＋20＋5＝25＋15 （cm）. 1 2 3 4 5 （2）手推车内装有简易宝宝椅， EF 为小坐板，打开后，椅子的支点 H 到点 C 的 距离为6 cm， DF ＝14 cm， EF ∥ AB ，∠ EHD ＝45°，求坐板 EF 的宽度.（结果 均保留根号） 解：（2）如图所示，过点 E 作 EQ ⊥ FH ，垂足为点 Q ，设 FQ ＝ x cm. ∵ EF ∥ CG ∥ AB ，∴∠ EFH ＝∠ DCG ＝60°. ∵ CD ＝30 cm，椅子的支点 H 到点 C 的距离为6 cm， DF ＝14 cm，∴ FH ＝10 cm. 在Rt△ EQF 中，∠ EFH ＝60°， ∴ EF ＝2 FQ ＝2 x cm， EQ ＝ ＝ x cm. 在Rt△ EQH 中，∠ EHD ＝45°，∴ HQ ＝ EQ ＝ x cm. 1 2 3 4 5 ∵ HQ ＋ FQ ＝ FH ＝10 cm， ∴ x ＋ x ＝10，解得 x ＝5 －5， ∴ EF ＝2（5 －5）＝（10 －10）（cm）. ∴坐板 EF 的宽度为（10 －10） cm. 1 2 3 4 5 $$