第2章 直角三角形的边角关系 自我测评卷(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(鲁教版五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二章自我测评卷 1. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，如果三角形各边的长度都扩大到原来的2倍，那么 sin A 的值（　A　） A. 不变 B. 扩大到原来的2倍 C. 缩小到原来的 D. 不能确定 A 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2. 如图所示，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B ，再以 B 为 圆心， BO 长为半径画弧，两弧交于点 C ，画射线 OC ，则 sin ∠ AOC 的值为 （　D　） A. B. C. D. 第2题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3. （2023·烟台蓬莱区期中）如图所示，已知△ ABC 的三个顶点均在正方形格点 上，则下列结论错误的为（　C　） A. cos C ＝ B. tan B ·tan C ＝1 C. sin B ＝ sin C D. tan B ＝ 第3题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4. 如图所示，小王在高台上的点 A 处测得塔底点 C 的俯角为α，塔顶点 D 的仰角 为β，已知塔的水平距离 AB ＝ a ，则此时塔高 CD 的长为（　B　） A. a sin α＋ a sin β B. a tan α＋ a tan β C. D. 5. 利用计算器求tan 45°时，依次按键tan 4 5 ＝，则计算器上显示的结果是 （　D　） A. 0.5 B. 0.707 C. 0.866 D. 1 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6. 如图①所示是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择 两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形 OABC . 若 AB ＝ BC ＝1，∠ AOB ＝α，则 OC2的值为（　A　） A. ＋1 B. sin 2α＋1 C. ＋1 D. cos 2α＋1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7. 如图所示，在△ ABC 中，∠ ABC ＝60°， AB ＝8， BC ＝4 ，点 D 为边 AC 上 一点，点 F 在 BC 的延长线上， BC ＝2 CF . 若四边形 DCFE 是平行四边形，连接 AE ， BE ，则图中阴影部分的面积为（　B　） A. 24 B. 12 C. 8 D. 6 第7题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8. 应用意识　无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图所示，某农业特 色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m 的 A 处测得试验田右侧边界 N 处俯角为43°，无人机垂直下降40 m至 B 处，又测得 试验田左侧边界 M 处俯角为35°，则 M ， N 之间的距离为（　C　）（参考数 据：tan 43°≈0.9， sin 43°≈0.7， cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，结果保留整数） A. 188 m B. 269 m C. 286 m D. 312 m 第8题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9. 解放路上一座人行天桥如图所示，坡面 BC 的铅直高度与水平宽度的比为 1∶2，为了方便市民推车过天桥，有关部门决定在保持天桥高度的前提下，降低 坡度，使新坡面 AC 的坡度为1∶3， AB ＝6 m，则天桥高度为（　A　） A. 6 m B. 6 m C. 7 m D. 8 m 第9题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10. 数学文化　勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用 “弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法.“赵爽弦图”已成为我国 古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱.小亮在如图所示的“赵 爽弦图”中，连接 EG ， DG . 若正方形 ABCD 与 EFGH 的边长之比为 ∶1，则 sin ∠ DGE 等于（　A　） A. B. C. D. 第10题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算：2 sin 245°＋tan 60°·tan 30°－ cos 60°＝ ⁠. 12. 一等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，则其底角的余弦值为 ⁠. 13. 如图所示，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，∠ A 的正切值等于2，直尺的一边与 BC 重合，另一边分别交 AB ， AC 于点 D ， E . 点 B ， C ， D ， E 处的读数分别为 15，12，0，1，则直尺宽 BD 的长为 ⁠. 　 或 　 1　 第13题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14. 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝∠ ABC ＝90°， DB 平分∠ ADC . 若 AD ＝1， CD ＝3，则 sin ∠ ABD ＝ ⁠. 第14题图 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15. 应用意识　如图所示，为测量大楼 AB 的高度，小明测得坡底 C 到大楼底部 A 的水平距离 AC ＝52米，斜坡 CD ＝52米（ A ， B ， C ， D 在同一平面内），斜面 CD 的坡比为1∶2.4（坡面的铅直高度与水平宽度的比），在 D 处测得大楼顶部 B 的仰角为45°，则大楼 AB 的高度为 米. 第15题图 120　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16. 如图所示，一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在 A 处测得岛礁 P 在东北方向上，继续航行1.5小时后到达 B 处，此时测得岛礁 P 在北偏东30°方 向，同时测得岛礁 P 正东方向上的避风港 M 在北偏东60°方向.为了在台风到来之 前用最短时间到达 M 处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行 ⁠ 小时即可到达.（结果保留根号） 第16题图 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、解答题（本大题共7个小题，共86分） 17. （10分）运算能力　计算： （1）6tan230°－ sin 60°－2 sin 45°； 解：原式＝6× － × －2× ＝6× － － ＝ － . （2） cos 45°－（tan 45°＋1）0＋ ＋ sin 30°. 解：原式＝ × －1＋ ＋ ＝ －1＋1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18. （10分）如图所示， AD 是△ ABC 的高， cos B ＝ ， sin C ＝ ， AC ＝10， 求 AB 的长. 解：在Rt△ ACD 中， sin C ＝ ＝ ， AC ＝10， ∴ ＝ ， ∴ AD ＝6. 在Rt△ ABD 中， ∵ cos B ＝ ， ∴∠ B ＝45°， ∴∠ BAD ＝∠ B ＝45°， ∴ BD ＝ AD ＝6， ∴ AB ＝6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19. （10分）如图所示，在矩形 ABCD 中， AB ＝10， BC ＝8， E 为 AD 边上一 点，沿 CE 将△ CDE 对折，使点 D 正好落在 AB 边上的 F 处，求tan∠ AFE . 解：∵∠ AFE ＋∠ EFC ＋∠ BFC ＝180°，根据折叠的性质，得∠ EFC ＝∠ EDC ＝90°，即∠ AFE ＋∠ BFC ＝90°， ∵在Rt△ BCF 中，有∠ BCF ＋∠ BFC ＝90°，易得∠ AFE ＝∠ BCF ， 根据折叠的性质，得 CF ＝ CD ， 在Rt△ BFC 中， BC ＝8， CF ＝ CD ＝ AB ＝10， 由勾股定理，得 BF ＝ ＝6， 则tan∠ BCF ＝ ＝ ＝ ， ∴tan∠ AFE ＝tan∠ BCF ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20. （12分）如图所示，在△ ABC 中， CD 是边 AB 上的中线，∠ B 是锐角， sin B ＝ ，tan A ＝ ， AC ＝ ， （1）求∠ B 的度数和 AB 的长. 解：（1）过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ，如图所示，设 CE ＝ x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 在Rt△ ACE 中，∵tan A ＝ ＝ ， ∴ AE ＝2 x ，∴ AC ＝ ＝ x ， ∴ x ＝ ，解得 x ＝1，∴ CE ＝1， AE ＝2， 在Rt△ BCE 中， ∵ sin B ＝ ， ∴∠ B ＝45°， ∴△ BCE 为等腰直角三角形，∴ BE ＝ CE ＝1， ∴ AB ＝ AE ＋ BE ＝3， 故∠ B 的度数为45°， AB 的值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2）求tan∠ CDB 的值. 解：（2）∵ CD 是边 AB 上的中线，∴ BD ＝ AB ＝1.5， ∴ DE ＝ BD － BE ＝1.5－1＝0.5， ∴tan∠ CDE ＝ ＝ ＝2，即tan∠ CDB 的值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21. （14分）如图所示，在△ ABC 中， AB ＝13， AC ＝8， cos ∠ BAC ＝ ， BD ⊥ AC ，垂足为点 D ， E 是 BD 的中点，连接 AE 并延长，交边 BC 于点 F . （1）求∠ EAD 的正切值. 解：（1）∵ BD ⊥ AC ，∴ cos ∠ BAC ＝ ＝ .∵ AB ＝13，∴ AD ＝5， ∴ BD ＝ ＝12.∵ E 是 BD 的中点，∴ DE ＝ BD ＝6， ∴tan∠ EAD ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2）求 的值. 解：（2）过 D 作 DM ∥ AF ，如图所示，由（1）得 AD ＝5. ∵ AC ＝8，∴ CD ＝ AC － AD ＝3. ∵ DM ∥ AF ，∴ FM ∶ MC ＝ AD ∶ DC ＝5∶3， BF ∶ FM ＝ BE ∶ ED . ∵ BE ＝ ED ， ∴ BF ＝ FM . 令 FM ＝5 x ，则 MC ＝3 x ， BF ＝5 x ， ∴ FC ＝ FM ＋ MC ＝8 x ，∴ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22. （14分）如图所示，山坡上有一棵竖直的树 AB ，坡面上点 D 处放置高度为 1.6 m的测倾器 CD ，测倾器的顶部 C 与树底部 B 恰好在同一水平线上（即 BC ∥ MN ），此时测得树顶部 A 的仰角为50°.已知山坡的坡比为1∶3，求树 AB 的高度. （结果精确到0.1 m.参考数据： sin 50°≈0.77， cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19） 解：∵山坡 BM 的坡比为1∶3， ∴tan M ＝ ，∵ BC ∥ MN ，∴∠ CBD ＝∠ M ， ∴tan∠ CBD ＝ ＝tan M ＝ ， ∴ BC ＝3 CD ＝4.8 m. 在Rt△ ABC 中，tan∠ ACB ＝ ＝tan 50°≈1.19， ∴ AB ＝ BC ·tan 50°≈1.19×4.8≈5.7（m）， 即树 AB 的高度约为5.7 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23. （16分）某种落地灯如图①所示， AB 为立杆，其高为80 cm； BC 为支杆，它 可绕点 B 旋转，其中 BC 长为55 cm； DE 为悬杆，滑动悬杆可调节 CD 的长度.支 杆 BC 与悬杆 DE 之间的夹角∠ BCD 为60°. （1）如图②所示，当支杆 BC 与地面垂直，且 CD 的长为50 cm时，求灯泡悬挂点 D 距离地面的高度. 解：（1）如图①所示，过点 D 作 DM ⊥ AC 于点 M . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 在Rt△ CDM 中，∠ DCM ＝60°， CD ＝50 cm，∴ CM ＝ CD · cos 60°＝ CD ＝25 cm，∴ AM ＝ AB ＋ BC － CM ＝80＋55－25＝110（cm），即灯泡悬挂点 D 距地面的高度为110 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2）在如图②所示的状态下，将支杆 BC 绕点 B 顺时针旋转20°，同时调节 CD 的 长（如图③所示），此时测得灯泡悬挂点 D 到地面的距离为100 cm，求 CD 的长. （结果精确到1 cm，参考数据： sin 20°≈0.34， cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36， sin 40°≈0.64， cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84） 解：（2）如图②所示，过点 D 作地面的 垂线，垂足为点 N ，过点 B 作 BP ⊥ DN ，垂足为点 P ，过点 C 作 CQ ⊥ BP 于点 Q ，过点 D 作 DF ⊥ CQ 于点 F ，则四边形 DPQF ，四边形 ABPN 是矩形，∴ AB ＝ PN ＝80 cm， DP ＝ FQ . ∵ DN ＝100 cm，∴ DP ＝ FQ ＝100－80 ＝20（cm）， 在Rt△ BCQ 中，∠ BCQ ＝20°， BC ＝55 cm， ∴ CQ ＝ BC · cos 20°＝（55× cos 20°） cm， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴ CF ＝ CQ － FQ ＝（55× cos 20°－20） cm， 在Rt△ CDF 中，∠ DCF ＝60°－20°＝40°， ∵ cos ∠ DCF ＝ ，即 cos 40°＝ ， ∴ CD ＝ ≈41（cm）， 即 CD 的长约为41 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 $$