第1章 反比例函数 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(鲁教版五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第一章　反比例函数 本章综合提升 1. 数形结合思想 从几何直观的角度利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决 途径；或用数量关系研究几何图形的性质，以形助数，以数辅形，使抽象问题直 观化，复杂问题简单化，从而使问题得以解决. 借助函数图象与反比例函数解决相关的比较大小的问题，非常简捷、直观、 易于理解，这充分体现了数形结合的优势，是反比例函数比较函数值大小的常用 方法. 　　【例1】　若点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， C （ x3， y3）都在反比例函数 y ＝ 的图象上，其中 y2＜0＜ y1＜ y3，则 x1， x2， x3的大小关系是（　B　） A. x1＜ x2＜ x3 B. x2＜ x3＜ x1 C. x1＜ x3＜ x2 D. x2＜ x1＜ x3 【变式训练1】反比例函数 y ＝－ 的图象上有三点（－3， y1），（1， y2），（6， y3），则 y1， y2， y3的大小关系是 ⁠. B y2＜ y3＜ y1　 2. 方程思想 　　从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量 的数量关系转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的逻辑，使问题得到 解决. 反比例函数的表达式的确定及实际问题中无不渗透着方程思想的运用，它集 中体现在待定系数法的运用上. 　　【例2】　如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y ＝ 与一次函 数 y ＝－ x ＋2的图象交于 A （ c ，4）， B 两点. （1）求反比例函数的表达式和点 B 的坐标. 解：（1）将点 A 坐标代入一次函数表达式，得－ c ＋2＝4，解 得 c ＝－ ，故点 A 坐标为 .将点 A 坐标代入反比例函 数表达式，得 k ＝－ ×4＝－6，所以反比例函数表达式为 y ＝－ . 将一次函数表达式和反比例函数表达式联立方程组，得 解得或所以点 B 的坐标为（3，－2）. （2）求出不等式 ≥－ x ＋2的取值范围. 解：（2）观察函数图象可知， 当－ ≤ x ＜0或 x ≥3时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即 ≥－ x ＋2，所以不等式 ≥－ x ＋2的取值范围是－ ≤ x ＜0或 x ≥3. （3）若点 C 在 y 轴上，△ ABC 的面积为18，求满足条件的点 C 的坐标. 解：（3）令直线 AB 与 y 轴的交点为 M ，如图所示. 将 x ＝0代入一次函数表达式，得 y ＝2， 所以点 M 坐标为（0，2）.又点 C 在 y 轴上， 则 S△ ACM ＝ × CM ×｜ xA ｜， S△ BCM ＝ × CM ×｜ xB ｜，所以 × CM × ＝18， 解得 CM ＝8.又点 M 坐标为（0，2）， 所以点 C 坐标为（0，－6）或（0，10）. 　　【变式训练2】如图所示，已知反比例函数 y ＝ 与一次函数 y ＝－ x ＋3的图 象交于 A ， B 两点， P 为 y 轴上一动点，连接 PA ， PB ，当 PA ＋ PB 取得最小值 时，△ ABP 的面积为（　D　） A. 1 B. C. D. D 3. 分类讨论思想 当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对 每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答. 反比例函数自变量的取值、函数表达式、函数的性质、利用反比例函数解决 问题等都可能要分类讨论. 　　【例3】　（2023·泰安泰山区月考）如图所示，在平面直角坐标系中，一次 函数 y ＝ k1＋ b （ k ≠0）与反比例函数 y ＝ （ m ≠0）的图象相交于 A ， B 两 点，过点 A 作 AD ⊥ x 轴于点 D ， AO ＝5， OD ＝ AD ， B 点的坐标为（－6， n ）. 解：（1）∵ AD ⊥ x 轴，∴∠ ADO ＝90°，在Rt△ AOD 中， AO ＝5， OD ＝ AD ，由勾股定理，得 AD ＝4， OD ＝3，∴ A （3，4），∴ k2＝3×4＝12，∴ y ＝ .又点 B 在反比例函数的 图象上， ∴ n ＝ ＝－2，∴ B （－6，－2）.∵点 A （3，4）， B （－6，－2）在直线 AB 上，∴∴ ∴ AB 直线的函数表达式为 y ＝ x ＋2. （1）求一次函数和反比例函数的表达式. （2） P 是 y 轴上一点，且△ AOP 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件 的 P 点坐标. 解：（2）设点 P （0， m ），∵ A （3，4）， O （0，0）， OA ＝5， ∴ OP ＝｜ m ｜， AP ＝ .∵△ AOP 是等腰三角 形，∴①当 OA ＝ OP 时，｜ m ｜＝5，∴ m ＝±5，∴ P （0，5）或（0，－5）. ②当 OA ＝ AP 时，∴5＝ ， ∴ m ＝0（舍）或 m ＝8，∴ P （0，8）.③当 OP ＝ AP 时， ∴｜ m ｜＝ ，∴ m ＝ ，∴ P .综上 所述，当点 P 坐标为（0，8），（0，5），（0，－5）或 时，△ AOP 是等腰三角形. 　　【变式训练3】如图所示，反比例函数 y ＝ （ k ＞0）的图象与正比例函数 y ＝ x 的图象交于 A ， B 两点（点 A 在第一象限）. （1）当点 A 的横坐标为2时，求 k 的值. 解：（1）当 x ＝2时， y ＝ ×2＝ ，∴点 A 坐标为 ， ∵点 A 在反比例函数 y ＝ （ k ＞0）的图象上，∴ k ＝2× ＝3. （2）若 k ＝12，点 C 为 y 轴正半轴上一点，∠ ACB ＝90°. ①求点 C 的坐标及△ ACB 的面积. 解：（2）①∵ k ＝12，∴反比例函数表达式为 y ＝ ，联立方 程组，得解得或 ∴点 A （4，3），点 B （－4，－3），∴ AO ＝ BO ＝5. 又∵∠ ACB ＝90°，∴ CO ＝ AO ＝ BO ＝5，∴点 C （0，5），∴△ ACB 的面积＝ ×5×4＋ ×5×4＝20. ②设点 D 坐标为（ x ， y ）， 若 AB 为对角线，四边形 ACBD 是平行四边形，则 AB 与 CD 互相平分， ∴ ＝ ， ＝ ，∴ x ＝0， y ＝－5，∴点 D （0，－5）. 若 AC 为对角线，四边形 ABCD 是平行四边形，则 AC 与 BD 互相平分， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴ x ＝8， y ＝11，∴点 D （8，11）.若 BC 为对角线， 四边形 ABDC 是平行四边形，则 BC 与 AD 互相平分， ∴ ＝ ， ＝ ，∴ x ＝－8， y ＝－1，∴点 D （－8，－1）. 综上所述，点 D 坐标为（0，－5）或（8，11）或（－8，－1）. ②以 A ， B ， C ， D 为顶点作平行四边形，请求出第四个顶点 D 的坐标. 4. 建模思想 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构 建模型解决问题的素养. 本章中主要体现在建立反比例函数模型，利用反比例函数的图象和性质解决 问题. 　　【例4】　学科融合　寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没 有烧开，重新找木柴的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是 气馁.路过的智者提醒他，木柴不够，可以将水倒掉一部分.青年听后，茅塞顿 开，把水烧开了.智者的话蕴含一定道理，根据物理学公式 Q ＝ cm Δ t （ Q 表示寓 言故事中水吸收的总热量， c 表示水的比热容为常数， m 表示水的质量，Δ t 表示 水的温差），得Δ t ＝ .智者的话可解释为：当木柴质量确定时，提供给水吸收 的总热量 Q 随之确定， 为定值，水上升的温度Δ t （℃）与水的质量 m （kg）成 反比例. （1）若现有木柴可以将3 kg温度为25 ℃的水加热到75 ℃，请求出这种情形 下 的值及Δ t 关于 m 的反比例函数的表达式. 解：（1）根据题意，Δ t ＝ ， ∵将3 kg温度为25 ℃的水加热到75 ℃， ∴ m ＝3 kg，Δ t ＝75－25＝50 ℃， ∴50＝ ，∴ ＝150，∴Δ t ＝ ， ∴ 的值为150，Δ t 关于 m 的反比例函数的表达式为Δ t ＝ . （2）在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为25 ℃的水加热到 100 ℃. 解：（2）∵25 ℃的水加热到100 ℃， ∴Δ t ＝100－25＝75（℃），∴75＝ ，解得 m ＝2，∴现有的木柴可将2千克 温度为25 ℃的水加热到100 ℃. 　　【变式训练4】喝茶前需要烧水和泡茶两个工序，电热水壶将水烧到100 ℃，然后继续加热1分钟后断电，烧水时水温 y （℃）与时间 x （min）成一次函 数关系；断电后，水壶中水的温度（℃）与时间 x （min）近似于反比例函数关 系（如图所示）.已知水壶中水的初始温度是20 ℃，降温过程中水温不低于20 ℃. 解：（1）停止加热时，设 y ＝ ，由题意，得50＝ ，解得 k ＝900，∴ y ＝ . 当 y ＝100时，解得 x ＝9，∴ C 点坐标为（9，100）， ∴ B 点坐标为（8，100）. 当加热烧水时，设 y ＝ ax ＋20，由题意，得100＝8 a ＋20， 解得 a ＝10， ∴当加热烧水时，函数关系式为 y ＝10 x ＋20（0≤ x ≤8）； 当停止加热时， y 与 x 的函数关系式为 y ＝100（8＜ x ≤9）； 当断电后函数关系式为 y ＝ （9＜ x ≤45）. （1）分别求出图中 AB 段和 CD 段所对应的函数关系式. （2）从水壶中的水烧开（100 ℃）降到80 ℃就可以进行泡茶，问从水烧开 到泡茶需要等待多长时间？ 解：（2）把 y ＝80代入 y ＝ ，得 x ＝ ， 因此从水烧开到泡茶需要等待 －8＝ （分钟）. 1. （2023·烟台蓬莱区期末）下列函数 y 是 x 的反比例函数的是（　D　） A. y ＝ x B. y ＝ C. y ＝ D. y ＝ D 2. （2023·烟台栖霞期末）已知反比例函数 y ＝ ，下列结论不正确的是（　C　） A. 图象经过点（1，6） B. 图象在第一、三象限 C. y 随着 x 的增大而减小 D. 当 x ＞1时，0＜ y ＜6 C 1 2 3 4 5 3. （2023·泰安三模）如图所示，一次函数 y1＝ x ＋1的图象与反比例函数 y2＝ （ x ＞0）的图象交于点 A （ a ，3），与 y 轴交于点 B . （1）求 a ， k 的值. 解：（1）将点 A 的坐标代入一次函数表达式，得3＝ a ＋1， 解得 a ＝4，则点 A （4，3）， 将点 A 的坐标代入反比例函数表达式，得3＝ ，解得 k ＝12. 1 2 3 4 5 （2）请直接写出在第一象限 y1＜ y2＜4时， x 的取值范围. 解：（2）把 y ＝4代入 y ＝ ，得 x ＝3， 由图可知 y2＜4时， x ＞3，由图可知 y1＜ y2时， x ＜4， ∴ y1＜ y2＜4时，3＜ x ＜4. 1 2 3 4 5 （3）直线 CD 过点 A ，与反比例函数图象交于点 C ，与 x 轴交于点 D ， AC ＝ AD ，连接 CB . 求△ ABC 的面积. 解：（3）∵点 A （4，3）， D 点的纵坐标是0， AC ＝ AD ， ∴点 C 的纵坐标是3×2－0＝6，把 y ＝6代入 y ＝ ，得 x ＝2， ∴ C （2，6）. 如图所示，过点 C 作 CD ⊥ x 轴于点 D ，交 AB 于点 E ， 当 x ＝2时， y ＝ ×2＋1＝2，∴ E （2，2）. ∵ C （2，6），∴ CE ＝6－2＝4， ∴ S△ ABC ＝ CE · xA ＝ ×4×4＝8. 1 2 3 4 5 4. （2023·泰安中考）一次函数 y ＝ ax ＋ b 与反比例函数 y ＝ （ a ， b 为常数且 均不等于0）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　D　） D 1 2 3 4 5 5. （2023·泰安中考）如图所示，一次函数 y1＝－2 x ＋2的图象与反比例函数 y2＝ 的图象分别交于点 A ，点 B ，与 y 轴， x 轴分别交于点 C ，点 D ，作 AE ⊥ y 轴，垂足为点 E ， OE ＝4. （1）求反比例函数的表达式. 解：（1）∵一次函数 y1＝－2 x ＋2的图象与 y 轴， x 轴分别 交于点 C ，点 D ，∴点 C （0，2），点 D （1，0）. ∵ OE ＝4，∴ OC ＝ CE ＝2. ∵∠ AEC ＝∠ DOC ＝90°，∠ ACE ＝∠ DCO ，∴△ AEC ≌△ DOC （ASA），∴ AE ＝ OD ＝1，∴点 A （－1，4）. ∵点 A 在反比例函数 y2＝ 的图象上，∴ k ＝－1×4＝－4， ∴反比例函数的表达式为 y2＝－ . 1 2 3 4 5 （2）在第二象限内，当 y1＜ y2时，直接写出 x 的取值范围. 解：（2）方程组 的解为 ∵点 A （－1，4），∴点 B （2，－2）. 在第二象限内，当 y1＜ y2时， x 的取值范围为－1＜ x ＜0. 1 2 3 4 5 （3）点 P 在 x 轴负半轴上，连接 PA ，且 PA ⊥ AB ，求点 P 坐标. 解：（3）由于直线 PA ⊥ AB ，可设直线 PA 的函数表达式为 y ＝ x ＋ b ， 把点 A 的坐标（－1，4）代入，得4＝－ ＋ b ，解得 b ＝ ， ∴直线 PA 的函数表达式为 y ＝ x ＋ ， 当 y ＝0时， x ＝－9，∴点 P 的坐标为（－9，0）. 1 2 3 4 5 $$