2.6 利用三角函数测高(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(鲁教版五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第二章　直角三角形的边角关系 6　利用三角函数测高 　测量倾斜角 1. 如图所示，在量角器的圆心 O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪.量角器 的0刻度线 AB 对准楼顶时，铅垂线对应量角器上的读数是50°，则此时观察楼顶 的仰角度数是（　A　） A. 40° B. 50° C. 130° D. 140° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　测量两地的距离 2. （2023·烟台莱州期中）如图所示，一架水平飞行的无人机在 A 处测得正前方河 岸边 C 处的俯角为α，tan α＝2，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行80米至 B 处 时，被河对岸 D 处的小明测得其仰角为30°.无人机距地面的垂直高度用 AM 表 示，点 M ， C ， D 在同一条直线上，其中 MC ＝100米，则河流的宽度 CD 为 （　C　） A. 200米 B. 200 米 C. （200 －20）米 D. （200 ＋80）米 第2题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　测量底部可以到达的物体的高度（或宽度） 3. （2023·泰安泰山区模拟）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知 无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部 的俯角为30°，则旗杆的高度约为 米.（结果精确到1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 第3题图 14　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. （2023·泰安岱岳区期末）如图所示，楼房 BD 的前方竖立着旗杆 AC . 小亮在 B 处观察旗杆顶端 C 的仰角为45°，在 D 处观察旗杆顶端 C 的俯角为30°，楼高 BD 为20米.求旗杆 AC 的高度. 解：过点 C 作 CE ⊥ BD ，垂足为点 E ，如图所示. 由题意，得 AC ＝ BE ，∠ DCE ＝30°，∠ BCE ＝45°.设 AC ＝ BE ＝ x 米， 在Rt△ BCE 中， CE ＝ BE ·tan 45°＝ x 米. 在Rt△ DCE 中， DE ＝ CE ·tan 30°＝ x 米. ∵ BD ＝20米， BE ＋ DE ＝20， ∴ x ＋ x ＝20，解得 x ＝30－10 ， ∴ AC ＝ BE ＝（30－10 ）米， ∴旗杆 AC 的高度为（30－10 ）米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　测量底部不可以到达的物体的高度（或宽度） 5. 某校兴趣小组同学为测量校外某小区的一栋电梯高楼 AB 的楼高，从学校前广 场的 C 处测得该座建筑物顶点 A 的仰角为45°，沿着 C 向上走到30 米处的 D 点，再测得顶点 A 的仰角为22°，如图所示.已知 CD 的坡比为1∶2， A ， B ， C ， D 在同一平面内，则高楼 AB 的高度为（　D　）（参考数据： sin 22°≈0.37， cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40） A. 60米 B. 70米 C. 80米 D. 90米 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图所示，某物业楼上竖立一块广告牌，高 CD ＝3 m，小亮和小伟要测量广告 牌底部 D 到水平地面 AH 的距离，小亮在水平地面 A 处安置测倾器，测得广告牌 底部 D 的仰角为22°，小伟在水平地面 B 处安置测倾器，测得广告牌顶部 C 的仰 角为45°，两人合作量得测倾器的高度 AE ＝ BF ＝1.2 m，测点 A 和测点 B 之间的 距离 AB ＝9 m，请根据以上信息，求广告牌底部 D 到水平地面 AH 的距离.（参考 数据： sin 22°≈0.37， cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图所示，延长 EF 交 CH 于点 G ，则 FG ⊥ CH ，得矩形 AEFB ，矩形 BFGH ，矩形 AEGH ，∴ EF ＝ AB ＝9 m， AE ＝ BF ＝ GH ＝1.2 m. ∵∠ CFG ＝45°，∴∠ FCG ＝45°，∴ FG ＝ CG ， ∴ GD ＝ CG － CD ＝（ CG －3）m. 在Rt△ EDG 中，∠ EGD ＝90°，∠ DEG ＝22°， EG ＝ EF ＋ FG ＝ （9＋ FG ）m. ∵ DG ＝ EG ·tan 22°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴ CG －3≈（9＋ CG ）×0.40， ∴ CG ＝11 m，∴ DG ＝ CG －3＝8 m， ∴ DH ＝ DG ＋ GH ＝8＋1.2＝9.2（m）. 答：广告牌底部 D 到水平地面 AH 的距离为9.2 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解直角三角形时审题不清，解错三角形 7. （2023·烟台福山区期中）如图所示，无人机从 A 处测得某建筑物顶点 P 的俯角 为22°，继续水平前行18米到达 B 处，测得点 P 的俯角为45°，已知无人机的飞行 高度为45米，则这座建筑物的高度约为 米. 33　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. （2023·烟台芝罘区期中）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活 动，准备测量一栋大楼 BC 的高度.如图所示，其中观景平台斜坡 DE 的长是20 米，坡角为37°，斜坡 DE 底部 D 与大楼底端 C 的距离 CD 为74米，与地面 CD 垂 直的路灯 AE 的高度是3米，从楼顶 B 测得路灯 AE 顶端 A 处的俯角是42.1°.求大楼 BC 的高度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图所示，延长 AE 交 CD 延长线于点 M ，过点 A 作 AN ⊥ BC 于点 N ，则四 边形 AMCN 是矩形，∴ NC ＝ AM ， AN ＝ MC . 在Rt△ EMD 中，∠ EDM ＝37°. ∵ sin ∠ EDM ＝ ， cos ∠ EDM ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴ EM ＝ ED × sin 37°≈20× ＝12（米）， DM ＝ ED × cos 37°≈20× ＝ 16（米）， ∴ AN ＝ MC ＝ CD ＋ DM ＝74＋16＝90（米）. 在Rt△ ANB 中，∠ BAN ＝42.1°， ∵tan∠ BAN ＝ ， ∴ BN ＝ AN ×tan 42.1°≈90× ＝81（米）， ∴ BC ＝ BN ＋ AE ＋ EM ＝81＋3＋12＝96（米）. 答：大楼 BC 的高度约为96米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. （2023·烟台招远期中）如图所示，为了测量一教学楼 AB 的高度，某数学兴趣 小组从教学楼底部 B 出发，沿楼前的平路前进10米至点 C ，然后沿坡比为1∶2.4 的斜坡向下走3.9米到达点 D ，再沿平路继续前行6米至点 E （平路 ED 平行于平 路 BC ），在 E 处操作无人勘测机，当无人勘测机飞行至点 E 的正上方点 F 时， 测得点 D 的俯角为30°，楼顶 A 的仰角为27°，点 A ， B ， C ， D ， E ， F 在同一 平面内，则教学楼 AB 的高度约为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73， sin 27°≈0.45， cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图所示，过点 F 作 FG ⊥ AB 于点 G ，延长 ED ， AB 交于点 O ，过点 C 作 CH ⊥ OE 于点 H ，则 CB ＝10米， CD ＝3.9米， DE ＝6米， EF ＝ GO ， FG ＝ EO ， OB ＝ CH ，∠ AFG ＝27°，∠ DFG ＝∠ FDE ＝30°. ∵斜坡 CD 的坡比为1∶2.4， ∴ CH ∶ DH ＝1∶2.4＝5∶12， ∴设 CH ＝5 x 米，则 DH ＝12 x 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在Rt△ CDH 中，由勾股定理得 CD2＝ CH2＋ DH2，即3.92＝（5 x ）2＋（12 x ）2，解得 x ＝0.3，即 CH ＝5 x ＝1.5米， DH ＝12 x ＝3.6米， ∴ EO ＝ ED ＋ DH ＋ HO ＝6＋3.6＋10＝19.6（米）， ∴ FG ＝ EO ＝19.6米. 在Rt△ AFG 中，tan∠ AFG ＝ ， ∴ AG ＝ FG ·tan∠ AFG ＝19.6×tan 27°≈19.6×0.51＝9.996（米）. 在Rt△ FDE 中，tan∠ FDE ＝ ， ∴ GO ＝ EF ＝ DE ·tan∠ FDE ＝6×tan 30°＝6× ＝2 ≈3.46（米），∴ AB ＝ AG ＋ GO － OB ＝9.996＋3.46－1.5≈12.0（米）. 即教学楼 AB 的高度约为12.0米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 模型观念　如图所示是一座房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称 轴是房屋的高 AB 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上 C 点测得屋顶 A 的仰角为35°，此时地面上 C 点、屋檐上 E 点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向 房屋方向走8 m到达点 D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为60°，房屋的顶层横梁 EF ＝12 m， EF ∥ CB ， AB 交 EF 于点 G （点 C ， D ， B 在同一水平线上）.（参考 数据： sin 35°≈0.6， cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7， ≈1.7） （1）求屋顶到横梁的距离 AG . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（1）∵房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，对称轴是房 屋的高 AB 所在的直线， EF ∥ BC ，∴ AG ⊥ EF ， EG ＝ EF ，∠ AEG ＝∠ ACB ＝35°. 在Rt△ AGE 中，∠ AGE ＝90°，∠ AEG ＝35°， ∵tan∠ AEG ＝tan 35°＝ ， EG ＝6 m， ∴ AG ≈6×0.7＝4.2（m）. 答：屋顶到横梁的距离 AG 约为4.2 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）求房屋 AB 的高.（结果精确到1 m） 解：（2）过点 E 作 EH ⊥ CB 于点 H ，如图所示. 设 EH ＝ x m，在Rt△ EDH 中，∠ EHD ＝90°，∠ EDH ＝60°. ∵tan∠ EDH ＝ ，∴ DH ＝ . 在Rt△ ECH 中，∠ EHC ＝90°，∠ ECH ＝35°. ∵tan∠ ECH ＝ ，∴ CH ＝ .∵ CH － DH ＝ CD ＝8 m， ∴ － ＝8，解得 x ≈9.52， ∴ AB ＝ AG ＋ BG ＝4.2＋9.52＝13.72≈14（m）. 答：房屋的高 AB 约为14 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$