1.3 第2课时 正方形的判定(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定（课程标准变动内容） 第2课时　正方形的判定 正方形的判定 1. 已知在四边形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝90°，如果添加一个条件，使得该 四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（　C　） A. ∠ D ＝90° B. AB ＝ CD C. AB ＝ BC D. AC ＝ BD 2. 当一个四边形的两组对边分别平行，四条边都相等，四个角都相等时，这个四 边形是（　B　） A. 平行四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 长方形 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 推理能力　如图所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，试添加 一个条件 ，使得矩形 ABCD 为正方形. AC ⊥ BD （答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图所示，有4个动点 P ， Q ， E ， F 分别从正方形 ABCD 的4个顶点出发，沿着 AB ， BC ， CD ， DA 以同样的速度向 B ， C ， D ， A 各点移动.判断四边形 PQEF 的形状，并说明理由. 解：四边形 PQEF 是正方形. 理由：在正方形 ABCD 中，AP ＝ BQ ＝ CE ＝ DF ， AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ， ∴ BP ＝ QC ＝ ED ＝ FA . 又∵∠ BAD ＝∠ B ＝∠ BCD ＝∠ D ＝90°， ∴△ AFP ≌△ BPQ ≌△ CQE ≌△ DEF （SAS）. ∴ FP ＝ PQ ＝ QE ＝ EF ，∠ APF ＝∠ PQB ，∴四边形 PQEF 为菱形. ∵∠ PQB ＋∠ BPQ ＝90°，∴∠ APF ＋∠ BPQ ＝90°，∴∠ FPQ ＝90°， ∴菱形 PQEF 为正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. （2023·十堰中考）如图所示，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，分别以 点 B ， C 为圆心， AC ， BD 长为半径画弧，两弧交于点 P ，连接 BP ， CP . （1）试判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由. 解：（1）四边形 BPCO 为平行四边形. 理由：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ OC ＝ OA ＝ AC ， OB ＝ OD ＝ BD . ∵分别以点 B ， C 为圆心， AC ， BD 长为 半径画弧，两弧交于点 P ，∴ OB ＝ CP ， BP ＝ OC ，∴四边形 BPCO 为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）请说明当▱ ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形 BPCO 是正方形？ 解：（2）当 AC ⊥ BD ， AC ＝ BD 时，四边形 BPCO 为正方形. ∵ AC ⊥ BD ，∴∠ BOC ＝90°，∴平行四边形 BPCO 为矩形. ∵ AC ＝ BD ， OB ＝ BD ， OC ＝ AC ，∴ OB ＝ OC ， ∴矩形 BPCO 为正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中点四边形 6. 新视野　如图所示，已知点 E ， F ， G ， H 分别是菱形 ABCD 各边的中点，则 四边形 EFGH 是（　B　） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 7. 顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（　D　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图所示，在菱形 ABCD 中，点 E ， F ， G ， H 分别是边 AB ， BC ， CD 和 DA 的中点，连接 EF ， FG ， GH 和 HE . 若 EH ＝2 EF ，则下列结论正确的是（　D　） A. AB ＝ EF B. AB ＝2 EF C. AB ＝ EF D. AB ＝ EF 第8题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图所示，菱形 ABCD 的边长为4，∠ DAB ＝60°，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ， F 同时从点 O 出发，在线段 AC 上以0.5 cm/s的速度反向运动（点 E ， F 分别到达 A ， C 两点时停止运动），设运动时间为 t s .连接 DE ， DF ， BE ， BF ，当 t ＝ s时，四边形 DEBF 为正方形. 第9题图 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝90°，将△ AED ，△ DCF 分别沿 着 DE ， DF 翻折，点 A ， C 都分别与 EF 上的点 G 重合. （1）求证：四边形 ABCD 是正方形. 解：（1）证明：由翻折的性质可知： △ ADE ≌△ GDE ，△ DCF ≌△ DGF ， ∴ AD ＝ DG ＝ DC ， ∠ A ＝∠ DGE ＝90°， ∠ C ＝∠ DGF ＝180°－90°＝90°. ∵∠ B ＝90°，∴四边形 ABCD 是矩形. ∵ DA ＝ DC ，∴矩形 ABCD 是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）若 AB ＝6，点 F 是 BC 的中点，求 AE 的长. 解：（2）设 AE ＝ EG ＝ x ，则 BE ＝6－ x . ∵点 F 是 BC 的中点，∴ BF ＝ FC . ∵ AB ＝ BC ＝6，∴ BF ＝ FC ＝ GF ＝3， ∴ EF ＝ x ＋3， BF ＝3.在Rt△ BEF 中， ∵ EF2＝ BE2＋ BF2， ∴（ x ＋3）2＝（6－ x ）2＋32，∴ x ＝2， ∴ AE 的长为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 探究拓展　如图所示，在△ ABC 中，点 O 是边 AC 的上一个动点，过点 O 作直线 MN ∥ BC ，设 MN 交∠ BCA 的平分线于点 E ，交△ BCA 的外角平分线于点 F . （1）探究 OE 与 OF 的数量关系并加以证明. 解：（1） OE ＝ OF . 证明：∵ MN ∥ BC ，∴∠ OEC ＝∠ BCE ，∠ OFC ＝∠ DCF . 又∵ CE 平分∠ BCO ， CF 平分∠ DCO ，∴∠ OCE ＝∠ BCE ， ∠ OCF ＝∠ DCF ，∴∠ OCE ＝∠ OEC ，∠ OCF ＝∠ OFC ， ∴ EO ＝ CO ， FO ＝ CO ，∴ OE ＝ OF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）当点 O 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 可能是菱形吗？若可能，请加以证 明；若不可能，则说明理由. 解：（2）不可能.理由：如图所示，连接 BF . ∵ CE 平分∠ ACB ， CF 平分∠ ACD ， ∴∠ ECF ＝ ∠ ACB ＋ ∠ ACD ＝ （∠ ACB ＋∠ ACD ）＝90°.若四边形 BCFE 是菱形，则 BF ⊥ EC ， 但在△ GFC 中，不可能存在两个角为90°， ∴不存在四边形 BCFE 为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形，请说明理由. 解：（3）当点 O 运动到边 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形. 理由如下：∵当点 O 运动到 AC 的中点时，AO ＝ CO . 又∵ EO ＝ FO ，∴四边形 AECF 是平行四边形. ∵ FO ＝ CO ，∴ AO ＝ CO ＝ EO ＝ FO ，∴ AO ＋ CO ＝ EO ＋ FO ，即 AC ＝ EF ，∴平行四边形 AECF 是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （4）在（3）问的基础上，△ ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？请 说明理由. 解：（4）当点 O 运动到 AC 的中点，且满足△ ABC 是∠ ACB 为直角的直角三角形的条件时，四边形 AECF 是正方形. 理由：∵由（3）知，当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形，已知 MN ∥ BC ，当∠ ACB ＝90°时，则∠ AOF ＝∠ COE ＝∠ COF ＝∠ AOE ＝90°，∴ AC ⊥ EF ，∴矩形 AECF 是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$