专题09 二次函数与一元二次方程、不等式-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 专题09 二次函数与一元二次方程、不等式 考点一 解不含参数的一元二次不等式 考点二 一元二次不等式与根与系数关系的交汇 考点三 简单分式不等式的解法 考点四 解含参数的一元二次不等式 考点五 实际问题中的一元二次不等式 考点六 一元二次不等式中的恒成立和有解问题 一、一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 二、二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 三、一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 四、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 五、利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 六、简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 七、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 【常用结论】 解一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 2.计算对应方程的判别式； 3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； 4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【题型一 解不含参数的一元二次不等式】 策略方法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正. (2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象. (5)根据图象写出不等式的解集. 一、解答题 1．（23-24高一上·新疆·期末）解下列不等式； (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24高一上·北京·期中）解关于的不等式. (1); (2) (3). 【题型二 一元二次不等式与根与系数关系的交汇】 策略方法 已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,解其他不等式的解集时,一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 一、单选题 1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【题型三 简单分式不等式的解法】 一、填空题 1．（23-24高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 2．（23-24高一上·福建福州·期中）不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·吉林·阶段练习）不等式的解集为 . 4．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 5．（23-24高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为 ． 【题型四 解含参数的一元二次不等式】 策略方法 （1）含参数的一元二次不等式,若二次项系数不含参数,且不等式对应的方程能够因式分解(或方程根可求),应按不等式对应方程根的大小分类讨论. （2）当二次项系数含参数且能因式分解时,先求解二次项系数为0的情况,此时不等式一般是化为一元一次不等式,比较简单;当二次项系数不为0时,先分解因式,然后再分二次项系数大于0和小于0两种情况讨论.一般地,有一种情况能判断两根的大小关系,比较简单,而另一种情况,两根的大小不确定,还需分三种情况讨论,最后的结论一般会达到五种情况. （3）若含参数的一元二次不等式对应的方程不能直接求根,则需要考虑一元二次方程对应的判别式,这里需要对判别式Δ<0,Δ=0和Δ>0分类讨论.当Δ>0时,如果不能确定根的大小,还需要讨论根的大小.若二次项系数含参数,还需要讨论参数的符号. 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．R 二、解答题 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：. 4．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知关于 x 的不等式 ，其中 ． (1)若该不等式的解集为 ，求 a 的值； (2)解不等式不等式，其中 ． 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 6．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【题型五 实际问题中的一元二次不等式】 策略方法 一元二次不等式解决实际应用问题的步骤 (1)理解题意,弄清量与量之间的关系. (2)设出起关键作用的未知数,建立相应的不等关系,把实际问题转化为一元二次不等式(组). (3)解这个一元二次不等式(组),得到实际问题的解. 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 3．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 二、解答题 4．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 5．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【题型六 一元二次不等式中的恒成立和有解问题】 策略方法 (1)不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R. 对于一元二次不等式ax2+bx+c>0,它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集为R的条件为 (2)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为的条件为 (3)一元二次不等式ax2+bx+c>0在R上有解的条件为a>0或 提醒:注意题意中是否要求不等式是一元二次不等式,注意讨论二次项系数,结合二次函数图象的开口方向和与x轴的交点情况讨论,注意所列的关于判别式Δ的不等式是否取等号. 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是 （     ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 专题09 二次函数与一元二次方程、不等式 考点一 解不含参数的一元二次不等式 考点二 一元二次不等式与根与系数关系的交汇 考点三 简单分式不等式的解法 考点四 解含参数的一元二次不等式 考点五 实际问题中的一元二次不等式 考点六 一元二次不等式中的恒成立和有解问题 一、一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 二、二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 三、一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 四、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 五、利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 六、简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 七、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 【常用结论】 解一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 2.计算对应方程的判别式； 3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； 4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【题型一 解不含参数的一元二次不等式】 策略方法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正. (2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象. (5)根据图象写出不等式的解集. 一、解答题 1．（23-24高一上·新疆·期末）解下列不等式； (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法解原不等式，即可得出诸不等式的解集. 【详解】（1）解：由可得，解得或， 故原不等式的解集为或. （2）解：由可得，即，解得， 故原不等式的解集为. （3）解：由可得，解得或， 故原不等式的解集为. （4）解：由可得，，故原不等式的解集为. 2．（23-24高一上·北京·期中）解关于的不等式. (1); (2) (3). 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为； （3）不等式， 当时，解集为或， 当时，解集为或， 当时，解集为. 【题型二 一元二次不等式与根与系数关系的交汇】 策略方法 已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,解其他不等式的解集时,一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 一、单选题 1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为是方程的两个实根，再直接代入方程得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式解集求参数，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由题设是的两个根，则， 所以，即， 故不等式解集为. 故选：B 3．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【题型三 简单分式不等式的解法】 一、填空题 1．（23-24高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】或. 【分析】将其等价转化为一元二次不等式，再解得即可. 【详解】不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 2．（23-24高一上·福建福州·期中）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据分式不等式的解法计算即可. 【详解】由， 得，解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 3．（23-24高一上·吉林·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将分式不等式化为求解集. 【详解】由， 所以不等式解集为. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分式不等式求解，移项通分变形，可由符号法则转化为整式不等式求解. 【详解】不等式可化为， 即，则有①，或②， 由①得， 由②得，解得， 故原不等式的解集为. 故答案为： 5．（23-24高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为，且和是的两根，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由的解集是， 可得，且和是的两根， 则且，即且， 解得，所以． 故答案为：. 【题型四 解含参数的一元二次不等式】 策略方法 （1）含参数的一元二次不等式,若二次项系数不含参数,且不等式对应的方程能够因式分解(或方程根可求),应按不等式对应方程根的大小分类讨论. （2）当二次项系数含参数且能因式分解时,先求解二次项系数为0的情况,此时不等式一般是化为一元一次不等式,比较简单;当二次项系数不为0时,先分解因式,然后再分二次项系数大于0和小于0两种情况讨论.一般地,有一种情况能判断两根的大小关系,比较简单,而另一种情况,两根的大小不确定,还需分三种情况讨论,最后的结论一般会达到五种情况. （3）若含参数的一元二次不等式对应的方程不能直接求根,则需要考虑一元二次方程对应的判别式,这里需要对判别式Δ<0,Δ=0和Δ>0分类讨论.当Δ>0时,如果不能确定根的大小,还需要讨论根的大小.若二次项系数含参数,还需要讨论参数的符号. 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 2．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【分析】根据不等式特点对参数进行分类讨论，当时，不等式为一元一次不等式，直接求解即可；当时，不等式为一元二次不等式，需结合一元二次不等式对应的一元二次方程及二次函数即可求解. 【详解】根据题意，当时，原不等式为，解得； 当时，原不等式可化为， 当时，不等式对应的二次函数为，开口向上，对应方程根为和， 又因为当时，，所以不等式的解集为； 当时，不等式对应的二次函数为，开口向下，对应方程根为和， 当，即，不等式的解集为； 当，即，不等式的解集为； 当，即，不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集不可能是. 故选：D. 二、解答题 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】首先将不等式左侧因式分解，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或. 4．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知关于 x 的不等式 ，其中 ． (1)若该不等式的解集为 ，求 a 的值； (2)解不等式不等式，其中 ． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据不等式的解可知对应方程的根，利用根与系数的关系求解； （2）求出不等式对应方程的根，讨论两个根的大小关系，结合二次函数图象与性质即可写出不等式的解集. 【详解】（1）若不等式的解集为， 则方程的两根为1和2， 所以，解得. （2）不等式对应方程的两根为和1， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或；（2）答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或. （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为. 6．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）或；（2）答案见解析 【分析】（1）利用二次函数图象得出解得结果； （2）分成，，，，五种情况讨论一元二次不等式的解集. 【详解】（1）∵R，为真命题， 则函数与x轴有交点， ∴，即，解得或． ∴实数的取值范围是或． （2）当时，不等式等价于，即； 当时，原不等式化为， 当时，即时，解得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或． 当时，原不等式化为， 解得． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【题型五 实际问题中的一元二次不等式】 策略方法 一元二次不等式解决实际应用问题的步骤 (1)理解题意,弄清量与量之间的关系. (2)设出起关键作用的未知数,建立相应的不等关系,把实际问题转化为一元二次不等式(组). (3)解这个一元二次不等式(组),得到实际问题的解. 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出一元二次不等式，结合实际意义求出范围即可. 【详解】依题意，，即，解得， 因为，则，所以这批台灯的销售单价x的取值范围是. 故选：A 2．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C. 3．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式求解. 【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 二、解答题 4．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第年 (2)第年最大，为万元 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当万元时等号成立， 第7年，平均利润最大，为12万元. 5．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值； （2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论. 【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 【题型六 一元二次不等式中的恒成立和有解问题】 策略方法 (1)不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R. 对于一元二次不等式ax2+bx+c>0,它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集为R的条件为 (2)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为的条件为 (3)一元二次不等式ax2+bx+c>0在R上有解的条件为a>0或 提醒:注意题意中是否要求不等式是一元二次不等式,注意讨论二次项系数,结合二次函数图象的开口方向和与x轴的交点情况讨论,注意所列的关于判别式Δ的不等式是否取等号. 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是 （     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先由p是假命题，得到是真命题，求出b的范围，对四个选项一一验证. 【详解】由，，得，. 由于命题p是假命题，可知是真命题，所以在时恒成立， 则，解得. 故选：CD. 2．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得. 【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 3．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 4．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在性问题得即可得解. 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 6．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$