精品解析：上海市川沙中学2023-2024学年高一下学期数学5月月考数学试卷

川沙中学2026届高一第二学期十四周月考数学试卷 一．填空题（每题3分，共36分） 1. 若，，成等比数列，则________. 2. 已知为虚数单位，则复数的实部为______． 3. 等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝_________. 4. 已知无穷等比数列中，首项，公比，则______． 5. 已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应复数分别为与，则点B的坐标为____________． 6. 若复数，则实数___________． 7. 已知，若与夹角为锐角，则实数的取值范围为______． 8. 已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，若，则实数的值为______． 9. 设等差数列的前项和为，若，且，则______． 10. “燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________. 11. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有三个零点，则的取值范围是______． 12. 已知数列满足：，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为__________. 二．选择题（每题3分，共12分） 13. 已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. D. 14. 已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 15. 已知等比数列前项和为，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 16. 若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ） A. 存在等差数列，使得是的“M数列” B. 存在等比数列，使得是的“M数列” C. 存在等差数列，使得是的“M数列” D. 存在等比数列，使得是“M数列” 三．解答题（8分+8分+10分+12分+14分） 17 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 18. 已知z是复数，与均为实数. （1）求复数z； （2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 19. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和. 20. 已知函数， （1）若，函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若，，求函数在上的值域； （3）若，函数在内没有对称轴，求取值范围 21. 已知数列满足，，，n为正整数. （1）证明：数列是等比数列，并求通项公式； （2）证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列； （3）若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 川沙中学2026届高一第二学期十四周月考数学试卷 一．填空题（每题3分，共36分） 1. 若，，成等比数列，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项的性质列方程求值即可. 【详解】由题设，，可得. 故答案为： 2. 已知为虚数单位，则复数的实部为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的有关概念即可求解. 【详解】由题意知，， 所以复数的实部为2. 故答案为：2 3. 等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝_________. 【答案】3n－1 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的性质可得，解方程组求出，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公式 【详解】设公差为d，∵a2＋a4＝a1＋a5＝16， ∴由，解得或. ∵等差数列{an}是递增数列，∴a1＝2，a5＝14. ∴d＝＝＝3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1. 故答案为：3n－1 4. 已知无穷等比数列中，首项，公比，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用无穷等比数列和的公式求解. 【详解】是无穷等比数列，首项，公比， 则. 故答案为：. 5. 已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为与，则点B的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算结合复数的几何意义即可求解. 【详解】解：因为，所以点B的坐标为. 故答案为：. 6. 若复数，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解． 【详解】因为， 所以，解得． 故答案为：． 7. 已知，若与夹角为锐角，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】与夹角为锐角，则且与不同向，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】已知， 当时，有，此时与方向相同， 若与夹角为锐角，则且与不同向， 即，解得且， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 8. 已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用公式法求解一元二次方程可得题意方程的两个虚根为，进而，解之即可求解. 【详解】由关于的实系数一元二次方程的两个虚根为， 得，所以，解得. 故答案为： 9. 设等差数列的前项和为，若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式结合已知条件可求得的值，进而可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以，， 所以，，解得， 因此，. 故答案为：. 10. “燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】过点作于所以且,其中, 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即,故,取得的最小值为 的取值范围是． 故答案为：． 11. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有三个零点，则取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在上为偶函数的性质可知x=0为函数的一个零点，求得a=-1，再根据三角函数的图像和性质求得的取值范围. 【详解】因为函数（其中为常数，且）有且仅有三个零点，故必有一个零点为x=0，所以.所以问题等价于函数与直线y=1的图像在上有3个交点，如图所示： 所以. 故答案为：[2,4). 12. 已知数列满足：，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件求数列的通项公式，结合条件讨论的奇偶，列不等式求的取值范围. 【详解】因为当时，，， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以不等式，可化为， 当为正奇数时，，由已知， 当为正偶数时，，由已知， 所以的取值范围为， 故答案为：. 二．选择题（每题3分，共12分） 13. 已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据复数的加减法运算、几何意义、乘方运算与共轭复数的概念，结合选项依次判断即可. 【详解】由题意知，设，则. A：，故A正确； B：，当时，为纯虚数，故B错误； C：，，所以，故C正确； D：，， 所以，则，故D正确. 故选：B 14. 已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 15. 已知等比数列前项和为，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项ABD，举特殊等比数列排除即可；对于选项C，可分类讨论公比和两种情况证明，从而得解． 【详解】对于选项A，可列举公比的等比数列， 显然满足，但，故A错误； 对于选项B，可列举公比的等比数列， 显然满足，但，故B错误； 对于选项C，因为，即，所以， 当公比时，，故有； 当公比时，，故，，仍然有； 综上：，故C正确； 对于选项D，可列举公比的等比数列， 显然满足，但，故D错误． 故选：C． 16. 若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ） A. 存在等差数列，使得是的“M数列” B. 存在等比数列，使得是的“M数列” C. 存在等差数列，使得是的“M数列” D. 存在等比数列，使得是的“M数列” 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：取，分析判断；对于B、D：取，分析判断；对于C：根据题意结合等差数列的性质分析判断. 【详解】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故A为真命题； 对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故B为真命题； 对于C：若存在等差数列，使得是“M数列”， 设等差数列的公差为， ∵、均为严格增数列，则，故， 取满足，可知必存在，使得成立， 当时，对任意正整数，则有； 对任意正整数，则有； 故不存在正整数，使得，故C为假命题； 对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故D为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点睛：在说明选项C时，只需说明，故取即可. 三．解答题（8分+8分+10分+12分+14分） 17. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出，进而根据平面向量的夹角公式求出答案； （2）将变形为，然后展开，进而结合（1）求出答案. 【小问1详解】 因，， 所以， 即，所以， 设的夹角为，则， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 18. 已知z是复数，与均为实数. （1）求复数z； （2）复数在复平面上对应点在第一象限，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算法则，结合复数的特征，即可求解； （2）根据（1）的结果，计算复数的平方，再根据复数的几何意义，即可求解. 【小问1详解】 设，,所以， 由条件得，且， 所以，所以， 【小问2详解】 ， 由条件得， 解得，所以所求实数a的取值范围是. 19. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可. （2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则，，， 又，可得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列， 所以， 所以数列的前2n项和为：. 即: 数列的前2n项和为. 20. 已知函数， （1）若，函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若，，求函数在上的值域； （3）若，函数在内没有对称轴，求的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），，可求的取值范围； （2），时，，由正弦函数单调性求函数在上的值域； （3）由题可得， 根据三角函数的性质可得或，进而可求的取值范围. 【小问1详解】 时，， 函数在区间上单调递增，由，， 则，解得， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 若，，， 时，，， 所以函数在上的值域为； 【小问3详解】 若，函数， 因为在内没有对称轴，则，由，得， 所以，， 因为在内没有对称轴，且，， 所以或， 因为，解得或 所以取值范围为. 【点睛】方法点睛： 正弦型函数在区间内没有对称轴，则区间为函数的单调区间，区间长度小于半个周期. 21. 已知数列满足，，，n为正整数. （1）证明：数列是等比数列，并求通项公式； （2）证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列； （3）若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围； 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将所给等式变形为，根据等比数列的定义即可证明结论； （2）假设存在，，成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。从而证明原结论； （3）求出n=1,2,3,4时的情况，再结合时，，即可求得结果. 【小问1详解】 由已知可知，显然有 ，否则数列不可能是等比数列； 因为，，故可得 ， 由 得： ， 即有 ，所以数列是等比数列， 且 ； 【小问2详解】 假设存在，，成等差数列， 则 ，即， 整理得，即 ， 而是奇数，故上式左侧是奇数，右侧是一个偶数，不可能相等， 故数列中的任意三项，，都不成等差数列； 【小问3详解】 关于正整数n的不等式，即， 当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，， 并且当 时，， 因关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素， 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$