1.4 二次函数的应用 第1课时　　一课一练　2023—2024学年浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册一课一练 第1章　二次函数 1.4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积的最值问题 1.用一根长为30 cm的绳子围成一个矩形,其面积的最大值为 (　　) A.225 cm2 B.112.5 cm2 C.56.25 cm2 D.100 cm2 2.已知▱ABCD的周长为8 cm,∠B=30°,若AB=x cm. (1)▱ABCD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为　　　　　　,自变量x的取值范围为　　　　　　;  (2)当x=　　　　时,y的值最大,最大值为　　　　.  3.如图1-4-1,利用一面墙(墙的长度不超过45 m),用79 m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD,在AB(AB>1 m)边上开了一个1 m宽的门(用其他材料).设AB=x m,矩形场地ABCD的面积为y m2. (1)请写出y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围; (2)怎样围才能使矩形场地ABCD的面积为750 m2? (3)所围矩形场地ABCD的最大面积为　　　　m2.  图1-4-1 4.课本中有一个例题:图1-4-2①中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6 m,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大(结果精确到0.01 m)? 这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35 m,窗框矩形部分的另一边长约为1.23 m时,窗户的透光面积最大,最大值约为1.05 m2. 如果我们改变这个窗户的形状,上部分改为由两个正方形组成的矩形,如图②,材料的总长度仍为6 m,利用图③,解答下列问题: (1)若AB为1 m,求此时窗户的透光面积; (2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明. 图1-4-2 5.如图1-4-3,在矩形ABCD中,AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿边BC向点C以1 cm/s的速度运动,当P,Q中的一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为x s(x>0),△PBQ的面积为y cm2. (1)y关于x的函数表达式为　　　　　　,x的取值范围为　　　　;  (2)求△PBQ的最大面积. 图1-4-3 6.王师傅想在一块直角三角形余料中按图1-4-4所示的方式挖取一块最大矩形材料做其他用途,则王师傅所取得最大矩形材料的面积为　　　　.  图1-4-4 7.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中裁出一块矩形铁皮制作工件,如图1-4-5所示.经测量,AB∥DE,AB与DE之间的距离为2米,AB=3米,AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,∠C=∠F=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为　　　　时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是　　　　.  图1-4-5 8.如图1-4-6,点E,F,G,H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,设AE=x,正方形EFGH的面积为y. (1)当a=2,y=3时,求x的值; (2)当x为何值时,y的值最小?最小值是多少? 图1-4-6 【答案解析】 1.C 2.(1)y=-x2+2x　0<x<4　(2)2　2 3.解:(1)由AB=x m可知AB边所用篱笆为(x-1)m, ∴AD=BC==40-xm, ∴y=x40-x=-x2+40x. ∵AB>1 m,墙的长度不超过45 m, ∴1<x≤45. (2)在y=-x2+40x中,令y=750,得750=-x2+40x, 解得x1=30,x2=50(不合题意,舍去), ∴当AB=30 m时,矩形场地ABCD的面积为750 m2. (3)800　[解析] ∵y=-x2+40x=-(x-40)2+800,且-<0,1<x≤45, ∴当x=40时,y有最大值800, 即矩形场地ABCD的最大面积为800 m2. 4.解:(1)∵AB=1 m,∴DF=CE= m, ∴AD=×=(m), ∴AD·AB=×1=(m2). 故此时窗户的透光面积为 m2. (2)设AB=x m,则FE=DC=x m,DF=CE=x m, ∴AD==m. ∵AD>DF, ∴3-x>x,解得x<, ∴x的取值范围为0<x<. 设窗户的透光面积为S m2,则S=AD·AB=·x=-x2+3x=-x-2+. ∵在0<x<的范围内, ∴当x=时,S最大值=>1.05, 故改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值变大了. 5.解:(1)∵S△PBQ=PB·BQ,PB=AB-AP=(18-2x)cm,BQ=x cm,∴y=(18-2x)x, 即y=-x2+9x(0<x≤4). 故答案为y=-x2+9x,0<x≤4. (2)由(1)得y=-x2+9x=-+. ∵-1<0,∴当x≤时,y随x的增大而增大. ∵0<x≤4,∴当x=4时,函数y有最大值20, 即△PBQ的最大面积是20 cm2. 6. m2　[解析] 在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=1 m, ∴AB=2 m,∴AC== m. 设CF=ED=x m(0<x<1),矩形DECF的面积为S m2,则同理可得AE=x m, ∴CE=(-x)m. ∵S=ED·CE=x(-x)=-x2+x=-x-2+,-<0, ∴当x=时,S有最大值, 故王师傅所取得最大矩形材料的面积为 m2. 7.米　平方米　[解析] 连结CF,交MH于点Q,交GN于点P,如图. 设MH=x米. 因为∠A=∠B=90°,所以AF∥BC. 又因为AF=BC, 所以四边形ABCF是平行四边形. 又因为∠A=90°,所以四边形ABCF是矩形, 所以∠AFC=∠BCF=90°,CF∥AB,CF=AB=3米. 因为四边形MNGH是矩形, 所以MH∥GN,∠HMN=∠MNG=90°,MH=GN, 所以四边形MNPQ是矩形,MQ=AF=NP=BC=1米, 所以MN=PQ,∠MQP=∠NPQ=90°, 所以∠HQF=∠GPC=90°. 因为∠AFH=∠BCG=135°, 所以∠HFQ=∠GCP=45°, 所以FQ=HQ,CP=GP. 因为HQ=MH-MQ=(x-1)米, 所以FQ=(x-1)米,同理:CP=(x-1)米, 所以MN=PQ=CF-FQ-CP=3-(x-1)-(x-1)=(5-2x)米, 所以S矩形MNGH=MN·MH=(5-2x)x=-2x2+5x=-2x-2+. 因为-2<0,所以当x=时,S矩形MNGH取得最大值,最大值为, 故当MH的长度为米时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是平方米. 8.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,且边长为a,AE=x, ∴∠A=∠B=90°,BE=a-x. ∵四边形EFGH是正方形, ∴HE=EF,∠HEF=90°, ∴∠AEH+∠BEF=90°. ∵∠A=90°, ∴∠AEH+∠AHE=90°, ∴∠AHE=∠BEF. 在△AHE和△BEF中, ∵ ∴△AHE≌△BEF(AAS), ∴BF=AE=x, ∴EF2=BE2+BF2=(a-x)2+x2=2x2-2ax+a2, ∴正方形EFGH的面积y=EF2=2x2-2ax+a2. 当a=2,y=3时,2x2-4x+4=3, 解得x=. (2)∵y=2x2-2ax+a2=2x-a2+a2, ∴当x=a时,y的值最小,最小值是a2. 学科网（北京）股份有限公司 $$