第4讲 基本不等式讲义-2025届高三数学一轮复习

第4讲 基本不等式 【课前测试】 1、若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为____，＋的最小值为_____． 2、已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　) A. B. C. D．3 【知识梳理】 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大) 3．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． (5) ≤≤≤ (a>0，b>0)． 【课堂讲解】 考点一 利用基本不等式求最值—公式法 例1、设正实数a，b满足a+b＝1，则a2+b2最小值是　　，最大值是　　． 变式训练： 1、已知正数a、b满足2a+3b＝，则ab的最大值为（　　） A． B． C． D． 2、若实数a、b满足a+b＝1，则3a+3b的最小值是（　　） A．18 B．2 C．6 D．2 考点二 利用基本不等式求最值—拼凑法 例2、(1)已知0＜x＜，则x（4﹣3x）的最大值为 . (2)已知x∈（2，+∞），函数y＝x+的最小值为（　　） A．4 B．6 C．2 D．8 变式训练： 1、设0＜x＜，求函数y＝4x（3﹣2x）的最大值． 2、已知x＜3，求f（x）＝+x的最大值； 3、已知0＜x＜，则函数y＝x（1﹣4x）的最大值为 ． 4、设x＞0，则函数y＝x+﹣的最小值为（　　） A．0 B． C．1 D． 5、已知x为正实数且x2＋＝1，求x的最大值为　 　． 类型三 利用基本不等式求最值—常数代换法 例3、(1)已知正实数x，y满足2x+y＝2，则+的最小值为　　． (2)若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（　　） A．2 B．2 C．5 D．4 变式训练： 1、已知x，y∈R+，且x+y＝4，求+的最小值． 2、若x，y∈R+，且x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 3、若正数x，y满足2x+y﹣3＝0，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．3 D． 4、设正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为　 　． 5、已知正数x，y满足x+2y＝3，则的最小值　 　． 6、设实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 类型四 利用基本不等式求最值—消元法 例4、已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则x+y的最小值为　 　． 变式训练： 1、若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（　　） A．4 B． C．2 D．4 2、如果正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则3x+2y的最小值为　 　． 类型五 利用基本不等式求最值—整体法 例5、已知正数a，b满足a+2b+ab＝6，则a+2b的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 变式训练： 1、已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值是（　　） A．3 B．4 C． D． 2、已知x，y都是正实数，且x+y﹣3xy+5＝0，求xy的最小值． 3、已知实数x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则x+y的最大值为　 　． 类型六 利用基本不等式求最值—换元法 例6、已知实数x，y满足2x＞y＞0，且＝1，则x+y的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式训练： 1、设a，b为正实数，则+的最小值为　 　． 2、若正数a，b满足，的最小值为（　　） A．1 B．6 C．9 D．16 类型七 利用基本不等式求最值—轮换对称法 例7、若a＞0，b＞0，且，则a2+b2的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 变式训练： 1、已知a，b都是正数a+b＝1，则（a+）（b+）的最小值为（　　） A．4 B．6 C．8 D． 2、已知a＞0，b＞0，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．5 考点八 利用基本不等式求最值—多次利用 例8、已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________。 变式训练： 1、已知a＞b＞0，则2a＋＋的最小值为(　　) A．6 B．4 C．2 D．3 2、若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________. 考点九 利用基本不等式求最值—代换减元 例9、已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 变式训练： 1、若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 2、若a，b都是正数，且a＋b＋c＝1，则的最大值是________. 3、设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为__________． 考点十 基本不等式的综合应用求参数值或取值范围 例10、已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 变式训练：1、若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1)恒成立，则a的取值范围是________． 2、已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 3、已知不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________． 【作业布置】 1、已知正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为(　　) A. B.＋1 C. D.＋1 2、若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 3、若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　) A. B. C．2 D. 4、若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　) A. B. C. D. 5、若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是(　　) A．4 B．8 C．2 D．4 6、若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　) A．16 B．9 C．6 D．1 7、已知a>b>0，则a＋＋的最小值为(　　) A. B．4 C．2 D．3 8、设x＞0，y＞0，且x+y＝3，则2x+2y的最小值是（　　） A．8 B．6 C．3 D．4 9、已知正实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D． 10、若正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 11、设实数a，b满足b＞0，且a+b＝2．则+的最小值是（　　） A． B． C． D． 12、已知a＞0，b＞0，则的最小值为（　　） A．4 B．7.5 C．8 D．16 13、已知x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy＝5，则x+2y的最大值是（　　） A． B．2 C． D．2 14、已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则的最小值为_______． 15、若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为________． 16、正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________． 17、已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的取值范围为________． 18、正实数x，y满足2x+y＝2，则+的最小值为　　． 19、已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为　 　． 20、设a，b为正实数，则的最小值为　 　． 21、设正数a，b满足，，则+的最大值是　　． 22、已知实数x，y满足2x＞y＞0，且，则x+y的最小值为　　． 23、已知实数若x、y满足x＞y≥0，则的最小值是　 　． 24、设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为　 　． 25、设x，y为实数，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是　 　． 26、若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则xy的最小值是　 　． 27、已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，则的最小值为 ． 28、已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为 ． A．13 B．11 C．10 D．9 29、已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 30、已知a，b∈R，且a>b>0，a＋b＝1，则a2＋2b2的最小值为________，＋的最小值为________． 【课后测试】 1、已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 2、已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 基本不等式 【课前测试】 1、若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为____，＋的最小值为_____． 答案 2　 解析 因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为＋＝·＝(5＋＋)≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为. 2、已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　) A. B. C. D．3 答案 D 解析 ＋＝＋－1≥3，当且仅当＝，即x＝3y时，等号成立．故选D. 【知识梳理】 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大) 3．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． (5) ≤≤≤ (a>0，b>0)． 【课堂讲解】 考点一 利用基本不等式求最值—公式法 例1、设正实数a，b满足a+b＝1，则a2+b2最小值是　　，最大值是　　． 答案 解析 根据题意，若正实数a，b满足a+b＝1，则有1＝a+b≥2，即≤， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab≥，即a2+b2最小值是， 对于，有（）2＝a+b+2＝1+2≤2， 则有≤；则最大值是； 故答案为：，． 变式训练： 1、已知正数a、b满足2a+3b＝，则ab的最大值为（　　） A． B． C． D． 答案 B 解析 由于正数a、b满足，所以，， 故选：B． 2、若实数a、b满足a+b＝1，则3a+3b的最小值是（　　） A．18 B．2 C．6 D．2 答案 D 解析 ∵3a＞0，3b＞0，a+b＝1，∴3a+3b≥2 ＝2＝2 当且仅当a＝b＝时取等号， ∴3a+3b的最小值是2 故选：D． 考点二 利用基本不等式求最值—拼凑法 例2、(1)已知0＜x＜，则x（4﹣3x）的最大值为 . 答案 解析 ∵0＜x＜， ∴x（4﹣3x）＝（3x）（4﹣3x）≤（）2＝， 当且仅当3x＝4﹣3x，即x＝时等号成立， ∴x（4﹣3x）的最大值为． (2)已知x∈（2，+∞），函数y＝x+的最小值为（　　） A．4 B．6 C．2 D．8 答案 B 解析 ∵x∈（2，+∞），函数y＝x+＝x﹣2++2≥+2＝6，当且仅当x＝4时取等号．因此其最小值为6． 故选：B． 变式训练： 1、设0＜x＜，求函数y＝4x（3﹣2x）的最大值． 答案 解析 ∵0＜x＜，∴3﹣2x＞0， 则y＝4x（3﹣2x）＝2[2x（3﹣2x）]≤2（）2＝， 当且仅当2x＝3﹣2x，即x＝时等号成立， 答：当0＜x＜时，函数y＝4x（3﹣2x）的最大值为． 2、已知x＜3，求f（x）＝+x的最大值； 答案 ﹣1 解析 ∵x＜3，∴x﹣3＜0， ∴f（x）＝+x＝+（x﹣3）+3＝﹣（+（3﹣x））+3 ≤﹣2+3＝﹣4+3＝﹣1，当且仅当＝3﹣x，即x＝1时取等号， ∴f（x）的最大值为﹣1． 3、已知0＜x＜，则函数y＝x（1﹣4x）的最大值为 ． 答案 解析 ∵0＜x＜，∴0＜1﹣4x＜1， 则y＝x（1﹣4x）≤＝， 当且仅当4x＝1﹣4x，即x＝时，函数y＝x（1﹣4x）的最大值：． 4、设x＞0，则函数y＝x+﹣的最小值为（　　） A．0 B． C．1 D． 答案 A 解析 根据题意，函数y＝x+﹣＝x+﹣＝（x+）+﹣2， 又由x＞0，则有y＝x+﹣≥2×﹣2＝0，当且仅当x＝，等号成立，即函数y＝x+﹣的最小值为0； 故选：A． 5、已知x为正实数且x2＋＝1，求x的最大值为　 　． 答案 解析 因为x＞0，所以x＝≤， 当且仅当x2＝＋，即x＝，y2＝时，等号成立． 又x2＋＝＋＝，所以x≤＝， 即(x)max＝. 类型三 利用基本不等式求最值—常数代换法 例3、(1)已知正实数x，y满足2x+y＝2，则+的最小值为　　． 答案 解析 ∵正实数x，y满足2x+y＝2， 则+＝＝≥＝， 当且仅当x＝y＝时取等号．∴+的最小值为． 故答案为：． (2)若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（　　） A．2 B．2 C．5 D．4 答案 C 解析 根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1， 则+＝+＝++3≥2×+3＝5， 当且仅当b＝3a＝时等号成立，即+的最小值为5，故选：C． 变式训练： 1、已知x，y∈R+，且x+y＝4，求+的最小值． 答案 1+ 解析 ∵x，y∈R+， ∴+＝（x+y）（+）＝1+≥1+2×＝1+． 当且仅当y＝，即x＝2（﹣1），y＝2（3﹣）时取“＝”号． +的最小值：1+． 2、若x，y∈R+，且x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 答案 A 解析 ∵x+3y＝5xy，x＞0，y＞0，∴+＝1， ∴3x+4y＝（3x+4y）（+）＝++×3≥+2 ＝5， 当且仅当＝即x＝2y＝1时取等号，故选：A． 3、若正数x，y满足2x+y﹣3＝0，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．3 D． 答案 C 解析 ∵正数x，y满足2x+y﹣3＝0，∴3＝2x+y． ∴＝＝＝3，当且仅当x＝y＝1时取等号．则的最小值为3．故选：C． 4、设正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为　 　． 答案 8 解析 正实数a，b满足a+b＝1， 则＝+＝++4≥2+4＝8， 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立；∴的最小值为8． 故答案为：8． 5、已知正数x，y满足x+2y＝3，则的最小值　 　． 答案 解析 ∵x+2y＝3，∴＝ ＝≥＝， 当且仅当，即时取等号，∴的最小值为． 故答案为：． 6、设实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 答案 A 解析 实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，∴1＝（a+b）． 则＝+＝++， a＜0时，≥﹣+2＝+＝． 当且仅当b＝﹣3a＝时取等号． a＞0时，≥+2＝+＝．当且仅当b＝3a＝时取等号． 故选：A． 类型四 利用基本不等式求最值—消元法 例4、已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则x+y的最小值为　 　． 答案 解析 ∵正实数x，y满足xy+2x+y＝4，∴（0＜x＜2）． ∴x+y＝x+＝＝（x+1）+﹣3﹣3＝﹣3， 当且仅当x＝时取等号．∴x+y的最小值为． 故答案为：． 变式训练： 1、若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（　　） A．4 B． C．2 D．4 答案 A 解析 因为x2+xy﹣2＝0，所以＝， 所以3x+y＝3x+＝2x+≥4，当且仅当x＝1时等号成立， 故选：A． 2、如果正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则3x+2y的最小值为　5　． 答案 5 解析 ∵正实数x，y满足xy+2x+y＝4， ∴y＝＞0，解得0＜x＜2． 则3x+2y＝3x+2•＝3（x+1）+﹣7≥12﹣7＝5，当且仅当x＝1时取等号． ∴3x+2y的最小值为5． 故答案为：5． 类型五 利用基本不等式求最值—整体法 例5、已知正数a，b满足a+2b+ab＝6，则a+2b的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 答案 B 解析 依题意，6＝a+2b+ab＝a+2b+×a×（2b）≤a+2b+， 即（a+2b）2+8（a+2b）﹣48≥0，解得a+2b≤﹣12（舍）或者a+2b≥4， 故a+2b的最小值为4． 故选：B． 变式训练： 1、已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值是（　　） A．3 B．4 C． D． 答案 B 解析 考察基本不等式， 整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0， 所以x+2y≥4，故选：B． 2、已知x，y都是正实数，且x+y﹣3xy+5＝0，求xy的最小值． 答案 解析 由x+y﹣3xy+5＝0，得x+y+5＝3xy， ∴2+5≤x+y+5＝3xy，∴3xy﹣2﹣5≥0，解得≥，即xy≥， ∴xy的最小值为． 3、已知实数x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则x+y的最大值为　 　． 答案 2 解析 ∵x2+y2﹣xy＝1，∴（x+y）2＝1+3xy， 化为（x+y）2≤4，∴x+y≤2，∴x+y的最大值为2． 故答案为：2． 类型六 利用基本不等式求最值—换元法 例6、已知实数x，y满足2x＞y＞0，且＝1，则x+y的最小值为（　　） A． B． C． D． 答案B 解析 ∵2x＞y＞0，且＝1， ∴可设，，此时； 则，； ∴. 当且仅当，即m＝n时取得等号 故x+y的最小值为．故选：B． 变式训练： 1、设a，b为正实数，则+的最小值为　 　． 答案 4﹣5 解析 设a+2b＝m，a+b＝n，（m＞0，n＞0），则a＝2n﹣m，b＝m﹣n， 即有+＝+＝+﹣5≥2﹣5＝4﹣5． 当且仅当m＝n，即a＝（2﹣）n，b＝（﹣1）n．取得等号， 则所求最小值为4﹣5． 故答案为：4﹣5． 2、若正数a，b满足，的最小值为（　　） A．1 B．6 C．9 D．16 答案 B 解析 令，则，； ∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；故且； ∴可变形为，则 ∴； 当且仅当，即，此时，时取“＝”； ∴的最小值为6；故选：B． 类型七 利用基本不等式求最值—轮换对称法 例7、若a＞0，b＞0，且，则a2+b2的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 答案 C 解析 方法一：∵a＞0，b＞0，且， ∴≥2，可得ab≥2．当且仅当a＝b＝时取等号． ∴a2+b2≥2ab≥4，则a2+b2的最小值为4，故选：C． 方法二：（轮换对称法）∵a＞0，b＞0，且，且地位等价，则当a＝b＝时，a2+b2取得最小值4，故选：C． 变式训练： 1、已知a，b都是正数a+b＝1，则（a+）（b+）的最小值为（　　） A．4 B．6 C．8 D． 答案 D 解析 方法一：因为a，b都是正数a+b＝1，所以1＝a+b≥2，即0＜ab≤． 又（a+）（b+）＝ab+++＝ab++＝ab++ ＝ab+﹣2．因为函数y＝x+在（0，）递减， 所以当ab＝时，ab+﹣2取得最小值+﹣2＝.. 故选：D． 方法二：（轮换对称法）因为a，b都是正数a+b＝1，且地位等价，则当a＝b时，（a+）（b+）取得最小值.. 2、已知a＞0，b＞0，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．5 答案 C 解析 方法一：因为 当且仅当，且，即a＝b时，取“＝”号．所以的最小值为4. 故选：C． 方法二：（轮换对称法）因为，且地位等价，则当a＝b， 此时 当且仅当, 即a＝1时，取“＝”号．所以的最小值为4. 故选：C． 考点八 利用基本不等式求最值—多次利用 例8、已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________。 答案 4 解析 由a>b>0，得a－b>0，所以b(a－b)≤2＝。所以a2＋≥a2＋≥2 ＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号。所以a2＋的最小值为4。 变式训练： 1、已知a＞b＞0，则2a＋＋的最小值为(　　) A．6 B．4 C．2 D．3 答案 A 解析 因为a＞b＞0，所以a＋b＞0，a－b＞0， 所以2a＋＋＝a＋b＋＋a－b＋≥2＋2＝4＋2＝6. 当且仅当a＋b＝且a－b＝，即a＝，b＝时等号成立． 所以2a＋＋的最小值为6. 2、若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________. 答案　4 解析 ∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2＝4， 当且仅当即时取得等号. 考点九 利用基本不等式求最值—代换减元 例9、已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 答案 A 变式训练： 1、若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 B 解析 由题意可得b＋c＝2－a>0，所以0<a<2. ＋＝＋＝ ＝＝＝≥3×＝3，当且仅当a＝1时等号成立，所以＋的最小值是3. 2、若a，b都是正数，且a＋b＋c＝1，则的最大值是________. 答案　 解析 由题意可得； ∴ ； 当且仅当，即时取等号； ∴的最大值是. 3、设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为__________． 答案 2 解析 x2－3xy＋4y2－z＝0⇒z＝x2－3xy＋4y2，① 所以＝＝＋－3≥2－3＝1. 等号成立条件为x＝2y，代入到①可得z＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2， 所以x＝2y，z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2≤2. 考点十 基本不等式的综合应用求参数值或取值范围 例10、已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案 B 解析 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9， ∵1＋a＋＋≥a＋2＋1，当且仅当y＝x时，等号成立，∴a＋2＋1≥9， ∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4，故选B. 变式训练：1、若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1)恒成立，则a的取值范围是________． 答案 解析 x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立 ⇔a≤x＋，x∈(0,1]恒成立，∵x∈(0,1]，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立， ∴a≤2. 2、已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 答案 B 解析 由＋≥，得m≤(a＋3b)＝＋＋6. 又＋＋6≥2＋6＝12， ∴m≤12，∴m的最大值为12. 3、已知不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案 (－10，＋∞) 解析 不等式2x＋m＋>0可化为2(x－1)＋>－m－2， 因为x>1，所以2(x－1)＋≥2＝8， 当且仅当x＝3时取等号．因为不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立， 所以－m－2<8.解得m>－10. 【作业布置】 1、已知正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为(　　) A. B.＋1 C. D.＋1 答案 C 解析 ∵(＋)2＝a＋b＋1＋2·≤a＋b＋1＋a＋b＋1＝6.∴＋≤.故选C. 2、若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案 C 解析 依题意ab＝a＋b，∴a＋b＝ab≤2，即a＋b≤， ∴a＋b≥4，当且仅当a＝b时取等号，∴a＋b的最小值为4. 3、若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　) A. B. C．2 D. 答案 C 解析 由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2. 4、若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案 B 解析 对于x2＋3xy－1＝0可得y＝， ∴x＋y＝＋≥2＝.故选B. 5、若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是(　　) A．4 B．8 C．2 D．4 答案 B 解析 ∵2x＋4y≥2＝2＝2＝8，当且仅当2x＝22y，即x＝2y＝2时取等号，∴2x＋4y的最小值为8. 6、若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　) A．16 B．9 C．6 D．1 答案 C 解析 方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6. 方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)－10≥16－10＝6. 7、已知a>b>0，则a＋＋的最小值为(　　) A. B．4 C．2 D．3 答案 D 解析 因为a＝[(a＋b)＋(a－b)]，所以a＋＋＝(a＋b)＋＋(a－b)＋.因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，由基本不等式可得(a＋b)＋≥2＝2　①，(a－b)＋≥2＝2·＝　②.由①②可知当且仅当a＝，b＝时，a＋＋的最小值为3.故选D. 8、设x＞0，y＞0，且x+y＝3，则2x+2y的最小值是（　　） A．8 B．6 C．3 D．4 答案 D 解析 因为x＞0，y＞0，且x+y＝3， 则2x+2y的最小值是＝2＝4，当且仅当x＝y时取等号， 故选：D． 9、已知正实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D． 答案 A 解析 ∵正实数a，b满足a+b＝2， 则＝＝≥＝，当且仅当b＝2a＝4（﹣1）时取等号．因此最小值为． 故选：A． 10、若正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 答案 A 解析 因为正数x，y满足x+4y﹣xy＝0， 所以x+4y＝xy即＝1，x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+4＝9， 当且仅当且＝1，即y＝3，x＝6时取等号， 此时x+y取得最小值9，则的最大值为． 故选：A． 11、设实数a，b满足b＞0，且a+b＝2．则+的最小值是（　　） A． B． C． D． 答案 C 解析 由题意可知，a≠0， 当a＞0时，+＝＝＝， 当且仅当且a+b＝2即a＝，b＝时取等号， 当a＜0时，+＝＝＝，当且仅当且a+b＝2时取等号，综上可得，最小值． 故选：C． 12、已知a＞0，b＞0，则的最小值为（　　） A．4 B．7.5 C．8 D．16 答案 C 解析 根据题意，＝+ ＝++2（+）++ ≥2+2+2×2＝2（+）+2×2≥4+4＝8； 则的最小值为8，当且仅当a＝b＝1时，等号成立； 故选：C． 13、已知x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy＝5，则x+2y的最大值是（　　） A． B．2 C． D．2 答案 C 解析 由基本不等式可知，xy＝x•2y，当且仅当x＝2y时取等号 ∵x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy＝5， ∴（x+2y）2﹣3xy＝5即3xy＝（x+2y）2﹣5×3，（当且仅当y＝，x＝时取等号）解可得，0＜x+2y，则x+2y的最大值是2． 故选：B． 14、已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则的最小值为_______． 答案 解析 因为2a＋b＝4，a>0，b>0，所以＝≥＝＝， 当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取“＝”，所以的最小值为. 15、若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为________． 答案　 解析 (a＋1)(b＋1)≤2＝，当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝时取等号，故(a＋1)(b＋1)的最大值为. 16、正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________． 答案　　 解析 ∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，∴5xy≤1，∴xy≤，当且仅当y＝2x时取等号， ∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1， ∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤2，即(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2， ∴(2x＋y)2≤，∴2x＋y≤，当且仅当2x＝y时，取等号． 17、已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的取值范围为________． 答案 (－∞，12) 解析 因为a>0，b>0，所以m≤[(a＋3b)]min.又因为(a＋3b)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当＝，即a＝3b时，等号成立，所以m≤12，所以m的取值范围为(－∞，12)． 18、正实数x，y满足2x+y＝2，则+的最小值为　　． 答案 解析 ∵2x+y＝2，∴2（x+1）+y＝4， ∴+＝＝ ≥＝， 当且仅当，即x＝，y＝时取等号． 故答案为：． 19、已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为　 　． 答案 11 解析 ∵a+b＝1 ∴+＝2a+2b++＝2++， ∵+＝（+）（a+b）＝1+4++≥5+2＝5+4＝9，当且仅当＝时，即a＝，b＝时取等号，故+≥2+9＝11， 故答案为：11． 20、设a，b为正实数，则的最小值为　 　． 答案 2﹣2 解析 ＝＝1﹣＝1﹣， ∵a，b为正实数，∴≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号， ∴≥1﹣＝1﹣（3﹣2）＝2﹣2， 故的最小值为：，故答案为：2﹣2 21、设正数a，b满足，，则+的最大值是　18　． 答案 18 解析 因为16＝（a+3b）+（）≥2＝2 所以+≤18，当且仅当a+3b＝＝8时取等号．故答案为：18． 22、已知实数x，y满足2x＞y＞0，且，则x+y的最小值为　　． 答案 解析 设x+y＝m（2x﹣y）+n（x+2y），可得，解得； 所以x+y＝＝[]（）＝≥，当且仅当x＝，y＝时等号成立； 故答案为：． 23、已知实数若x、y满足x＞y≥0，则的最小值是　 　． 答案 5 解析 ∵+＝+，设t＝，（0≤t＜1）， 则原式＝+＝2++﹣1＝1+（+）[（1+t）+（1﹣t）]＝1+1+++1≥3+2＝5， ∵＞0，∴当且仅当＝，即t＝0时，+有最小值5，即的最小值是5， 故答案为：5． 24、设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为　 　． 答案 9 解析 ∵x，y∈R，且xy≠0， ∴＝1+4+≥5+2＝9 当且仅当时等号成立，∴的最小值为9． 故答案为9． 25、设x，y为实数，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是　 　． 答案 解析 ∵4x2+y2+xy＝1∴（2x+y）2﹣3xy＝1 令t＝2x+y则y＝t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x＝1即6x2﹣3tx+t2﹣1＝0 ∴△＝9t2﹣24（t2﹣1）＝﹣15t2+24≥0 解得 ∴2x+y的最大值是 故答案为 26、若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则xy的最小值是　 　． 答案 18 解析 由条件利用基本不等式可得， 令xy＝t2，即 t＝＞0，可得． 即得到可解得 ． 又注意到t＞0，故解为 ，所以xy≥18． 故答案应为18． 27、已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，则的最小值为 ． 答案 解析 因为实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1， 所以x＞1﹣x＞0，解可得1＞x＞＞y＞0， 则＝＝， ＝（）[（3﹣2x）+（2x﹣1）]， ＝[3+]＝， 当且仅当＝时取等号，∴的最小值为 28、已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为 ． A．13 B．11 C．10 D．9 答案 10 解析 由＝＝1，∵a+b＝1， ∴＝（）（a+b）＝5+，当且仅当b＝，a＝时取等号．∴的最小值为9+1＝10 29、已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 答案 解析 ∵，∴∴， ∴ 当且仅当b＝a时取等号． 30、已知a，b∈R，且a>b>0，a＋b＝1，则a2＋2b2的最小值为________，＋的最小值为________． 答案 　9 解析 因为a＋b＝1，所以a＝1－b.又因为a>b>0，所以0<b<. 所以a2＋2b2＝(1－b)2＋2b2＝3b2－2b＋1＝32＋，当b＝时，a2＋2b2取得最小值. 因为＋＝＋，1－2b>0，所以＋＝(1－2b＋2b)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当b＝时，等号成立．故＋的最小值为9. 【课后测试】 1、已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 答案 6 解析 方法一　(换元消元法)由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·2， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号． 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 方法二　(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝， 所以x＋3y＝＋3y＝ ＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6. 2、已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为________． 答案 解析 令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x>0，y>0，∴m>0，n>0， 则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8， ∴＋＝＋＝×(m＋n)＝≥·(2＋2)＝. 当且仅当＝，即m＝n＝4时等号成立．∴＋的最小值为. 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$