第3讲 不等式讲义-2025届高三数学一轮复习

第3讲 不等式 【课前测试】 1、若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 2、实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是(　　) A.<1 B.2－x<2－y C.lg(x－y)>0 D.x2>y2 3、关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是(　　) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【知识梳理】 一、不等关系与不等式性质 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 3.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 4.有关分式的性质 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔<. 二、二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 5.绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 6.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 【课堂讲解】 考点一 不等式的基本性质 例1、(1)若＜＜0，则下列不等式中正确的是(　　) A. ＞ B.|a|＋b＞0 C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2 (2)已知－1<x<y<3，则x－y的取值范围是________. 变式训练： 1、若a<b<0，给出下列不等式： ①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③>>. 其中正确的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2、下列四个命题中，正确命题的个数为(　　) ①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d； ③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，则>. A．3 B．2 C．1 D．0 3、若－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 4、已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． 考点二 一元二次不等式的解法 例2、(1)不等式2x2－x－3>0的解集为________. (2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－<x<－}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________. (3)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 变式训练： 1、解下列不等式：－3x2－2x＋8≥0. 2、已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝(　　) A.2 B.－2 C.－ D. 3、求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集. 4、解不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 考点三 分式不等式 例3、(1)不等式的解集是　 　． (2)不等式≥－1的解集为________． 变式训练： 解下列不等式 (1)＜0 (2)； (3)不等式≤0的解集为(　　) A. B. C. D．{x|x<2} (4)不等式≥1的解集为 　 　． 考点三 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在实数集R上恒成立 例3、若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　　　 B．[－2,2] C．(－2,2) D．(－∞，－2) 变式训练： 1、若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________． 2、不等式2x2﹣kx﹣k＞0对于一切实数恒成立，则k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0）∪（8，+∞） B．（0，8） C．（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞） D．（﹣8，0） 命题点2 在给定区间上恒成立 例4、(1)当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________． (2)若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(－∞，0) C．[1，＋∞ D．(－∞，1) 变式训练： 1、已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________． 2、已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________． 3．设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 命题点3 在给定参数范围的恒成立问题 例5、若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 变式训练： 1、不等式(a－3)x2＜(4a－2)x对a∈(0,1)恒成立，则x的取值范围是______． 2、已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3) 【作业布置】 1、已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　) A．ab>0　　　　　　　　　 B．ab<0 C．a＋b>0 D．a＋b<0 2、不等式(x－2)(2x－3)<0的解集是(　　) A．∪(2，＋∞) B．R C． D．∅ 3、不等式<1的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，1) 4、若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－，或x>}，则的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 5、若正实数a，b满足a>b，且ln a·ln b>0，则(　　) A.> B．a2<b2 C．ab＋1>a＋b D．lg a＋lg b>0 6、不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________． 7、不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________． 8、若α，β满足则α＋3β的取值范围是________． 9、若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________． 10、对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________． 11、已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1,0]，不等式f(x)＋t≤4恒成立，则实数t的取值范围是________． 12、解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a∈R）． 13、解关于x的不等式2ax2﹣（a+2）x+1≤0（a∈R）． 14、已知函数f(x)＝x2－x＋1. (1)若f(x)≥0，在R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若∃x∈[1,2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围． 15、函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围． 【课后测试】 1、不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　) A.　　　 B. C. D. 2、不等式>1的解集为(　　) A. B．(－∞，1) C.∪(1，＋∞) D． 3、已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是______. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 不等式 【课前测试】 1、若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 答案 B 解析 因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜. 2、实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是(　　) A.<1 B.2－x<2－y C.lg(x－y)>0 D.x2>y2 答案 B 解析 由x>y，得－x<－y，所以2－x<2－y，故选B. 3、关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是(　　) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案 C 解析 因为关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，所以a>0，且－＝1， 所以关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0， 所以不等式的解集为{x|1<x<2}． 【知识梳理】 一、不等关系与不等式性质 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 3.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 4.有关分式的性质 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔<. 二、二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 5.绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 6.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 【课堂讲解】 考点一 不等式的基本性质 例1、(1)若＜＜0，则下列不等式中正确的是(　　) A. ＞ B.|a|＋b＞0 C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2 答案 C 解析 由＜＜0，可知b＜a＜0.A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，故A错误； B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B错误； C中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确； D中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故D错误. 由以上分析，知C正确. (2)已知－1<x<y<3，则x－y的取值范围是________. 答案 (－4，0) 解析 ∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4. 又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4，0). 变式训练： 1、若a<b<0，给出下列不等式： ①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③>>. 其中正确的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 解析 因为a<b<0，所以|a|>|b|>0，所以a2>b2，故a2＋1>b2，①正确；a<b<0⇒－a>－b>0⇒－a＋1>－b＋1>0，故|1－a|>|b－1|，②正确；a<b<0⇒a＋b<a<b<0，所以>>，③正确.故选D. 2、下列四个命题中，正确命题的个数为(　　) ①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d； ③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，则>. A．3 B．2 C．1 D．0 答案 C 解析 易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a>b>0，则<，当c>0时，<，故④错误．所以正确的命题只有1个． 3、若－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 答案 (－π，0) 解析 由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0. 4、已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． 答案 (－4,2)　(1,18) 解析 ∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18. 考点二 一元二次不等式的解法 例2、(1)不等式2x2－x－3>0的解集为________. 答案　 解析 由2x2－x－3>0，得(x＋1)(2x－3)>0，解得x>或x<－1. ∴不等式2x2－x－3>0的解集为. (2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－<x<－}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________. 答案　{x|x≥3，或x≤2} 解析 由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0， 所以解得故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0， 解得x≥3或x≤2. (3)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 解析 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 当＜－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a＞0时，不等式的解集为； 当－2＜a＜0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a＜－2时，不等式的解集为. 变式训练： 1、解下列不等式：－3x2－2x＋8≥0. 解析 原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. 2、已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝(　　) A.2 B.－2 C.－ D. 答案 B 解析 根据题意，关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根为x＝－1或x＝－，当x＝－时，有＝0，解得a＝－2，故选B. 3、求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集. 解析 原不等式可化为12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为. 4、解不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析 原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 因为a＞0，所以a(x－1)＜0. 所以当a＞1，即<1时，解为＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当0＜a＜1，即>1时，解为1＜x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为. 考点三 分式不等式 例3、(1)不等式的解集是　（﹣4，2）　． 解析 由不等式 可得 ＜0，即 （x﹣2）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜2， 故不等式的解集为（﹣4，2）， 故答案为 （﹣4，2）． (2)不等式≥－1的解集为________． 答案 ∪(5，＋∞) 解析 将原不等式移项通分得≥0，等价于 解得x>5或x≤.所以原不等式的解集为. 变式训练： 解下列不等式 (1)＜0 解析 不等式＜0 等价为（x﹣+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1， 故不等式的解集为（﹣1，1）， (2)； 解析 原不等式可变形为，即， 设函数f（x）＝（2x﹣1）（x+4）， 则函数f（x）的零点为x＝或x＝﹣4， 又函数f（x）的图象开口向上， 所以不等式的解集为； (3)不等式≤0的解集为(　　) A. B. C. D．{x|x<2} 答案 C 解析 选C　不等式≤0等价于(3x－1)(x－2)≤0， 且x－2≠0，解得≤x<2.故选C. (4)不等式≥1的解集为 　[0，1]∪（2，4）　． 解析 ∵≥1，∴≤0， 解得：0≤x＜1或2＜x≤4， 故不等式的解集是， 故答案为：． 考点三 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在实数集R上恒成立 例3、若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　　　 B．[－2,2] C．(－2,2) D．(－∞，－2) 答案 C 解析 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0对一切x∈R恒成立． 当a≠2时，则 即解得－2<a<2. ∴实数a的取值范围是(－2,2)． 变式训练： 1、若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________． 解析 当k＝0时，显然成立； 当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立， 则解得－3<k<0. 综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0)． 答案 (－3,0) 2、不等式2x2﹣kx﹣k＞0对于一切实数恒成立，则k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0）∪（8，+∞） B．（0，8） C．（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞） D．（﹣8，0） 答案 D 解析 不等式2x2﹣kx﹣k＞0对于一切实数恒成立， 则Δ＝（﹣k）2+8k＜0，解得﹣8＜k＜0， 所以实数k的取值范围是（﹣8，0）． 故选：D． 命题点2 在给定区间上恒成立 例4、(1)当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________． 答案 (－∞， 解析 设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1，2)时，f(x)<0恒成立⇔⇒⇒m≤－5. (2)若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(－∞，0) C．[1，＋∞ D．(－∞，1) 答案 A 解析 法一：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意得 解得a≤－3，故选A. 法二：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3，故选A. 变式训练： 1、已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________． 答案　 解析　要满足f(x)＝x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立， 只需即 解得－＜m＜0. 2、已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________． 答案 解析 设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a. 因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0， 所以Δ<0或 解得1<a<4或4≤a≤5，即1<a≤5. 3．设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解析 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即 m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法： 解法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0. 综上所述，m的取值范围是m. 解法二：因为x2－x＋1＝2＋>0， 又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<. 因为函数y＝＝ 在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可． 所以m的取值范围是m. 命题点3 在给定参数范围的恒成立问题 例5、若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 解析 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4， 令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， 所以 解得x<1或x>3. 故x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 变式训练： 1、不等式(a－3)x2＜(4a－2)x对a∈(0,1)恒成立，则x的取值范围是______． 答案 (－∞，－1)∪ 解析 由题意知(a－3)x2＜(4a－2)x对a∈(0,1)恒成立等价于(x2－4x)a－3x2＋2x＜0对a∈(0,1)恒成立．令g(a)＝(x2－4x)a－3x2＋2x，当x＝0时，g(a)＝0，不满足题意． 当x≠0时，则得x≤－1或x≥. 2、已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3) 答案 C 解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 要使f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0， 且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组得x＜1或x＞3. 故选C. 【作业布置】 1、已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　) A．ab>0　　　　　　　　　 B．ab<0 C．a＋b>0 D．a＋b<0 答案 A 解析 因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0. 2、不等式(x－2)(2x－3)<0的解集是(　　) A．∪(2，＋∞) B．R C． D．∅ 答案 C 解析：选C．因为不等式(x－2)(2x－3)<0，解得<x<2，所以不等式的解集是. 3、不等式<1的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，1) 答案 A 解析 选A．因为<1，所以－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1. 4、若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－，或x>}，则的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 答案 A 解析 选A．由题意得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝. 5、若正实数a，b满足a>b，且ln a·ln b>0，则(　　) A.> B．a2<b2 C．ab＋1>a＋b D．lg a＋lg b>0 答案 C 解析 由已知得a>b>1或0<b<a<1，因此必有<，a2>b2，所以A，B错误；又ab>1或0<ab<1，因此lg a＋lg b＝lg (ab)>0或lg (ab)<0，所以D错误；而ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，即ab＋1>a＋b，所以C正确． 6、不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________． 答案 解析 2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为. 7、不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________． 答案 {x|0<x<2} 解析 不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2. 8、若α，β满足则α＋3β的取值范围是________． 答案 [1,7] 解析 设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. 则解得 因为－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β ≤7. 所以α＋3β的取值范围为[1,7]． 9、若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________． 答案 解析 由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为. 10、对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案 解析 当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，由解得－4<m<0.综上，m的取值范围是． 11、已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1,0]，不等式f(x)＋t≤4恒成立，则实数t的取值范围是________． 答案 4　 解析 由不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即解得所以f(x)＝－2x2＋4x＋6. 所以不等式f(x)＋t≤4可化为t≤2x2－4x－2，x∈[－1,0]．　 令g(x)＝2x2－4x－2，x∈[－1,0]，由二次函数的性质可知g(x)在[－1,0]上单调递减，则g(x)的最小值为g(0)＝－2， 则t≤－2. 12、解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a∈R）． 解析 不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0⇔（ax﹣1）（x﹣1）＞0，其中a∈R， ①当a＝0时，不等式化为x﹣1＜0，解得x＜1， ②当a＞0时，不等式等价于（x﹣）（x﹣1）＞0， 若0＜a＜1，则＞1，解得x＜1或x＞， 若a＝1，则＝1，解得x≠1， 若a＞1，则＜1，解得x＜或x＞1， ③当a＜0时，＜0＜1，解得＜x＜1， 综上，当a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，1）， 当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（，+∞）， 当a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}， 当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）， 当a＜0时，不等式的解集为（，1）． 13、解关于x的不等式2ax2﹣（a+2）x+1≤0（a∈R）． 解析 设f（x）＝2ax2﹣（a+2）x+1， 当a＝0时，f（x）＝﹣2x+1≤0，解集为{x|x≥}， 当a≠0时，令f（x）＝2ax2﹣（a+2）x+1＝0，解得，， 当0＜时，即a＞2时，2ax2﹣（a+2）x+1≤0的解集为{x|}， 当＞时，即0＜a＜2时，2ax2﹣（a+2）x+1≤0的解集为{x|}， 当时，即a＝2时，2ax2﹣（a+2）x+1＝（2x﹣1）2≤0 的解集为{}， 当a＜0时，，2ax2﹣（a+2）x+1≤0的解集为{x|或x}， 综上所述，当a＜0时，2ax2﹣（a+2）x+1≤0的解集为{x|或x}， 当a＝0时，解集为{x|x≥}， 当0＜a＜2时，2ax2﹣（a+2）x+1≤0的解集为{x|}， 当a＝2时，2ax2﹣（a+2）x+1＝（2x﹣1）2≤0 的解集为{}， 当a＞2时，2ax2﹣（a+2）x+1≤0的解集为{x|}． 14、已知函数f(x)＝x2－x＋1. (1)若f(x)≥0，在R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若∃x∈[1,2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围． 解析 (1)由题意得f(x)＝x2－x＋1≥0在R上恒成立， ∴Δ＝－4≤0，解得－4≤a≤4， ∴实数a的取值范围为[－4,4]． (2)由题意得∃x∈[1,2]，x2－x＋1≥2成立， ∴∃x∈[1,2]，≤x－成立． 令g(x)＝x－，x∈[1,2]， 则g(x)在区间[1,2]上单调递增， ∴g(x)max＝g(2)＝， ∴≤，解得a≤3，∴实数a的取值范围为(－∞，3)． 15、函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围． 解析 (1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， ∴实数a的取值范围是[－6,2]． (2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2. ②如图2，g(x)的图象与x轴有交点， 但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0， 即即 可得解得a∈∅. ③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2)时，g(x)≥0. 即即可得 ∴－7≤a≤－6. 综上，实数a的取值范围是[－7,2]． (3)令h(a)＝xa＋x2＋3. 当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立． 只需即 解得x≤－3－或x≥－3＋. ∴实数x的取值范围是(－∞，－3－)∪[－3＋，＋∞． 【课后测试】 1、不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　) A.　　　 B. C. D. 解析：选D　不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，所以(2x＋9)(x－1)≤0，解得－≤x≤1.所以不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是.故选D. 2、不等式>1的解集为(　　) A. B．(－∞，1) C.∪(1，＋∞) D． 答案 A 解析 选A　原不等式等价于－1>0，即>0，整理得<0， 不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得<x<1. 3、已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是______. 答案　[－4，0] 解析　若a＝0，则f(x)＝－1≤0恒成立， 若a≠0，则由题意，得 解得－4≤a<0， 综上，得a∈[－4，0）. 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$