7.2.2 复数的乘、除运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　复 数 7.2.2 复数的乘除运算 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律; 3.理解且会求复数范围内的方程根. 教学目标 1.复数的乘法法则： ②两个复数的积仍然是一个确定的复数。 ③在复数中，完全平方公式，平方差公式仍然适用。 新知讲解 一、复数的乘法运算 设z1=a+bⅈ,z2=c+dⅈ(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积 (a+bⅈ)(c+di)=ac+bc i+ad i+bd i2=(ac−bd)+(ad+bc)i 注意： ①可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2 换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可。 【例】(7−i)(4−3i) =28−21i−4i+3i2 =28−25i−3 =25−25i 2.复数乘法满足的交换律： 一、复数的乘法运算 复数的乘法满足交换律、结合律，以及对加法的分配律，则对任意的z1,z2,z3∈C ，有如下规律成立： z1z2=z2z1 (z1z2)z3=z1(z2z3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 例题讲解 例1　计算下列各题． (1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)； (2)(2－3i)(2＋3i)； (3)(1+i）2 . 解析 (1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝－20＋15i. (2)原式=22-(3i)2=4－9i2＝4+9＝13. (3)原式=1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i. 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i2换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i.　　　 解题技巧 复数乘法运算技巧： 注意： 实数集内的乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如： 1.当z∈R时，z2=|z|2； 当z∈C时，|z|2∈R,z2∈C,  故z2与|z|2不一定能比较大小； 2.若m,n∈R，则m2+n2=0⇔m=n=0； 若z1,z2∈C，则 z12+z22=0不一定有z1=z2=0 ， 但若z1=z2=0，则一定有z12+z22=0。 分母：无理数 有理数 二、复数的除法运算 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c+di)(x+yi)= a+bi(a,b,c,d,x,y∈R,c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数 c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或 由此可见，两个复数相除(除数不为0)的结果是一个确定的复数 1.复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论；但是对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简. 2.复数除法实质上就是分母实数化的过程. 注意： 四、复数的除法运算 3.复数的除法法则形式复杂，难于记忆，所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成复数的代数形式a+bi(a,b∈R)即可. 例2 计算(1＋2i)÷(3－4i). 解析 解题技巧 复数除法运算技巧： 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式 例3 在复数范围内解下列方程： 配方法 求根公式法 无实数根 练习： 小 结 课堂作业 教材：P80 练习1、2、3 $$