8.1基本立体图形与8.2立体图形的直观图-2023-2024学年高一下学期数学暑假作业（知识回顾+基础训练+提升训练+培优训练）（人教2019A版专用）

8.1基本立体图形与8.2立体图形的直观图（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 5 【提升训练】 10 【培优训练】 15 知识回顾 1. 空间几何体 (1)空间几何体的定义 空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. (2)多面体、旋转体 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴 2. 棱柱的结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 3. 棱锥的结构特征 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥 S－ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 4. 棱台的结构特征 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 5. 旋转体的结构特征 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为球O 6.简单组合体 (1)定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的. 7. 水平放置的平面图形的直观图的画法 (1)直观图的概念 把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图. (2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 8. 空间几何体的直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·山西·阶段练习）在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 4．（21-22高一·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 5．（2024·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·全国·专题练习）已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为（　　）    A． B． C． D． 8．（22-23高一下·湖北武汉·期中）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一下·吉林长春·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面 C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 10．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知等腰三角形，则如图所示的四个图形，可能是的直观图的是（　　）    A．   B．   C．   D．   11．（22-23高一下·河南信阳·期中）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·安徽宿州·期中）现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 . 13．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是 . 14．（23-24高二下·上海·开学考试）如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆锥过轴的截面面积为 ，圆柱的底面半径为 ．    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    16. (15分) （23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 17. (15分) （23-24高二上·上海·课后作业）如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，求蚂蚁爬行的最短路线和最短距离.    18. (17分) （23-24高一下·云南昆明·阶段练习）一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 19. (17分) （22-23高一下·全国·课后作业）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，求DC的长度， 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建·期中）下列说法正确的是（ ） A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 3．（2024高一下·全国·专题练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（　　） A． B．2 C．4 D． 4．（2024·山西·三模）某公司在庆典活动中，设计了一款纪念品如图所示，其底座是顶部有凹槽的圆台，上面放置一个水晶玻璃球，圆台上底圆周的所有点都在凹槽面上四槽面上的所有点都在球面上圆台的上、下底面半径分别为2cm，4cm，母线长为cm，球的顶端到底座下底面的距离为8cm，则水晶球的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·安徽滁州·阶段练习）如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·贵州贵阳·一模）如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·山东泰安·期中）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（　　） A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 10．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．若梯形面积为，则其斜二测画法直观图面积为 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 11．（23-24高一下·辽宁·期中）图1中的扫地机器人的外形是按照如下方法设计的：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形．德国工程师勒洛首先发现这个曲边三角形能够像圆一样当作轮子用，故称其为“勒洛三角形”．将其推广到空间，如图2，以正四面体的四个顶点为球心，以正四面休的校长为半径的四个球的相交部分围成的几何体叫做“勒洛四面休”．则下列结论正确的是（    ） A．若正三角形的边长为，则勒洛三角形面积为 B．若正三角形的边长为，则勒洛三角形的面积比正三角形的面积大 C．若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能容纳的最大球的半径为 D．若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体表面上交线的长度小于 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 13．（23-24高一下·湖南·期中）如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 . 14．（23-24高二下·河南焦作·阶段练习）如图为某水晶工艺品的示意图，该工艺品是将一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的空心圆柱内构成的，大球与圆柱下底面相切.为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干个大小相等的实心小球，且小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品内最多可放入 个小球（取，）. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一下·全国·课后作业）如图，已知扇环的内弧长为，外弧长为，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，求该圆台的高.    16. (15分) （2023高二上·上海·专题练习）（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；    （2）如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.    17. (15分) （22-23高一·全国·随堂练习）过年了，佳怡去探望奶奶，到商店买了一盒点心，售货员为她做了一个如图①的捆扎，并在角上配了一个花结，使得点心匣很漂亮，佳怡非常高兴．售货员说，这种捆扎方式不仅显得漂亮，而且比一般的十字捆扎方式（如图②）用的包装绳短．你同意这种说法吗?请说明理由．   18. (17分) （22-23高一·全国·课后作业）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    19. (17分) （2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·福建·期中）如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“九”在正方体中的对面是（    ） A．县 B．市 C．联 D．考 2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 3．（22-23高一下·河南信阳·期中）若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川·模拟预测）设球的直径为，球面上三个点，，确定的圆的圆心为，，，则面积的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（    ） A． B．2 C． D． 7．（23-24高三上·北京西城·期末）如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（    ） A．47m B．48m C．49m D．50m 8．（22-23高二上·上海普陀·期末）四面体的所有棱长都为1，棱平面，则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·重庆渝中·期中）满足下列条件的四面体存在的是（    ） A．1条棱长为，其余5条棱长均为1 B．1条棱长为1，其余5条棱长均为 C．2条棱长为，其余4条棱长均为1 D．2条棱长为1，其余4条棱长均为 10．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（    ） A．动点M在侧面内轨迹的长度是 B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2 C．直线与所成的角为，则的最小值是 D．存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为 11．（23-24高一下·浙江·期中）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图在一个棱长为4的正方体中，，，……，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面．关于截面之间的位于正方体正中间的这个几何体，下列说法正确的是（    ） A．当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，边长为2 B．当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，表面积是 C．当此几何体为半正多面体时，或 D．当此几何体是半正多面体时，可能由正方形与正六边形围成 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 . 13．（2024·浙江丽水·二模）已知正四面体的棱长为1，若棱长为的正方体能整体放入正四面体中，则实数的最大值为 . 14．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为 若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为 ．    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·上海宝山·阶段练习）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.    16. (15分) （22-23高一·全国·课后作业）如图，绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？ 17. (15分) （2024高三·全国·专题练习）正三棱台中，下底面的边长为a，侧棱与底面成角60°，过AB作截面垂直于，求截面面积. 18. (17分) （21-22高二上·上海杨浦·期中）设四面体中，有条棱长为，其余条棱长为. (1)时，求的取值范围； (2)时，求的取值范围； (3)时，求的取值范围. 19. (17分) （2022高一·浙江温州·竞赛）近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为. (1)求四棱锥的总曲率； (2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1基本立体图形与8.2立体图形的直观图（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 5 【提升训练】 19 【培优训练】 35 知识回顾 1. 空间几何体 (1)空间几何体的定义 空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. (2)多面体、旋转体 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴 2. 棱柱的结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 3. 棱锥的结构特征 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥 S－ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 4. 棱台的结构特征 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 5. 旋转体的结构特征 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为球O 6.简单组合体 (1)定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的. 7. 水平放置的平面图形的直观图的画法 (1)直观图的概念 把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图. (2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 8. 空间几何体的直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·山西·阶段练习）在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 4．（21-22高一·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 5．（2024·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·全国·专题练习）已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为（　　）    A． B． C． D． 8．（22-23高一下·湖北武汉·期中）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一下·吉林长春·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面 C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 10．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知等腰三角形，则如图所示的四个图形，可能是的直观图的是（　　）    A．   B．   C．   D．   11．（22-23高一下·河南信阳·期中）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·安徽宿州·期中）现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 . 13．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是 . 14．（23-24高二下·上海·开学考试）如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆锥过轴的截面面积为 ，圆柱的底面半径为 ．    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    16. (15分) （23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 17. (15分) （23-24高二上·上海·课后作业）如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，求蚂蚁爬行的最短路线和最短距离.    18. (17分) （23-24高一下·云南昆明·阶段练习）一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 19. (17分) （22-23高一下·全国·课后作业）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，求DC的长度， 参考答案： 1．A 【分析】将平面沿翻折，使其与平面共面，结合牛吃草理论以及解三角形知识即可列式求解. 【详解】如图， 显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小． 将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示， 由于，则，则， 得，同理，而， 显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值， 此时． 故选：A． 2．C 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论. 【详解】斜二侧画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 如图所示： 所以的对应点画对了,的对应点画错了. 故选：C. 3．A 【分析】将三棱锥由展开，根据勾股定理进行求解即可. 【详解】设过点作截面与、侧棱分别交于、两点， 将三棱锥由展开，则，虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离， 由勾股定理可得．虫子爬行的最短距离． 故选：A    4．D 【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解. 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图， 直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm． 故选：D. 5．C 【分析】根据圆台的侧面展开图求得，再结合圆台的结构特征分析求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以该圆台的高为. 故选：C. 6．A 【分析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．. 【详解】 直观图正方形的边长为，， 原图形为平行四边形，如图： 其中，高， ， 原图形的周长. 故选：A. 7．B 【分析】由题中直观图可知，该几何体是一个圆柱去掉了其中一部分，因此要求的几何体体积为圆柱的体积减去切掉部分的体积. 【详解】由题图可知，此几何体为从底面半径为1，高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的后剩余的部分， 所以所求几何体的体积. 故选：B. 8．D 【分析】过作交于点，求出，即可判断B，再还原平面图，求出相应的线段长，即可判断ACD. 【详解】对于B：如图过作交于点， 由等腰梯形且，又，， 可得是等腰直角三角形， 即，故B错误； 对于A：还原平面图如下图， 则，故A错误； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即C错误； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：D. 9．BC 【分析】A.利用棱台的结构特征判断；B.利用棱柱的结构特征判断；C.利用圆锥的结构特征判断；D.利用圆锥的结构特征判断. 【详解】A. 棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，如一条侧棱垂直于底面，那么会有两个侧面为直角梯形，故错误； B.棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面，故正确； C.底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形，故正确； D.当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个同底的圆锥，故错误； 故选：BC 10．CD 【分析】分和两种情况说明. 【详解】当时，其直观图是C； 当时，其直观图是D. 故选：CD.    11．ACD 【分析】 根据用一个平面去截旋转体均可以得到圆面，平面截棱柱得到的截面为一个多边形，即可求解. 【详解】 根据旋转体的定义，可知用一个平面去截圆台、圆柱、球均可以得到圆面， 根据棱柱的定义，可知平面截棱柱得到的截面为一个多边形，一定不会产生圆面， 故选：ACD. 12． 【分析】将三棱锥侧面沿着展开，截面周长的最小值即求从A出发沿着侧面回到A的最短距离. 【详解】将三棱锥侧面沿着展开，如图： 则， 由余弦定理可得：,则， 所以截面周长的最小值为. 故答案为：. 13． 【分析】根据斜二测画法的规则复原原图，确定相关线段长，即可求得答案. 【详解】由题意可知，，斜边，，∴， 由斜二测画法的规则可知，在中，，，， ∴的面积是， 故答案为： 14． 1 【分析】求出圆柱的高，即可求解圆锥过轴的截面面积，通过比例关系求出圆柱的底面半径即可． 【详解】圆锥的高，圆锥过轴的截面面积为：；    设圆柱的底面半径，由相似知识可知，解得． 故答案为：；1． 15．作图见解析 【分析】根据斜二测画法的定义和步骤即可求解. 【详解】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系， 再建立如图②所示的坐标系，使. (2)在坐标系中，在轴上截取； 在轴上截取，使. (3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).    16．(1)三棱锥，4个面 (2)为等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，. 【分析】（1）根据棱锥的定义判断该几何体的形状，再判断该几何体的面数， （2）根据各面的相关数据判断其形状特征，结合三角形面积公式求各面面积. 【详解】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥， 这个几何体共有4个面. （2）由已知，，，， 所以， ， 所以为等腰三角形，为等腰直角三角形， 和均为直角三角形. ， ， . 17．最短路线见解析，最短距离为 【分析】将书展开可，根据已知结合勾股定理，即可得出答案. 【详解】将书展开可得如图（蚂蚁在处，饼干在处）最短路线为，    由已知可得，，，则. 又， 由勾股定理可得， 所以，. 18．(1)12cm (2)cm 【分析】（1）易求两圆的半径，利用圆台的轴截面是等腰梯形，再根据勾股定理即可算出圆台的高. （2）将等腰梯形的两腰延长相交得等腰三角形，其腰即为圆锥的母线长，利用相似三角形的知识即可求解. 【详解】（1）圆台的轴截面是等腰梯形，如图所示： 由已知可得上底半径，下底半径， 又腰长， 所以圆台的高为. （2）如图所示，延长交于点S， 设截得此圆台的圆锥母线长为l， 则由，可得， 解得：， 所以截得此圆台的圆锥的母线长为cm. 19． 【分析】根据斜二测画法的规则将图形还原后计算即可. 【详解】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，故原高为， 画出原图形如图所示，过点D作于E， 而横向长度不变，且梯形是直角梯形， 所以. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建·期中）下列说法正确的是（ ） A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 3．（2024高一下·全国·专题练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（　　） A． B．2 C．4 D． 4．（2024·山西·三模）某公司在庆典活动中，设计了一款纪念品如图所示，其底座是顶部有凹槽的圆台，上面放置一个水晶玻璃球，圆台上底圆周的所有点都在凹槽面上四槽面上的所有点都在球面上圆台的上、下底面半径分别为2cm，4cm，母线长为cm，球的顶端到底座下底面的距离为8cm，则水晶球的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·安徽滁州·阶段练习）如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·贵州贵阳·一模）如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·山东泰安·期中）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（　　） A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 10．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．若梯形面积为，则其斜二测画法直观图面积为 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 11．（23-24高一下·辽宁·期中）图1中的扫地机器人的外形是按照如下方法设计的：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形．德国工程师勒洛首先发现这个曲边三角形能够像圆一样当作轮子用，故称其为“勒洛三角形”．将其推广到空间，如图2，以正四面体的四个顶点为球心，以正四面休的校长为半径的四个球的相交部分围成的几何体叫做“勒洛四面休”．则下列结论正确的是（    ） A．若正三角形的边长为，则勒洛三角形面积为 B．若正三角形的边长为，则勒洛三角形的面积比正三角形的面积大 C．若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能容纳的最大球的半径为 D．若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体表面上交线的长度小于 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 13．（23-24高一下·湖南·期中）如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 . 14．（23-24高二下·河南焦作·阶段练习）如图为某水晶工艺品的示意图，该工艺品是将一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的空心圆柱内构成的，大球与圆柱下底面相切.为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干个大小相等的实心小球，且小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品内最多可放入 个小球（取，）. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一下·全国·课后作业）如图，已知扇环的内弧长为，外弧长为，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，求该圆台的高.    16. (15分) （2023高二上·上海·专题练习）（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；    （2）如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.    17. (15分) （22-23高一·全国·随堂练习）过年了，佳怡去探望奶奶，到商店买了一盒点心，售货员为她做了一个如图①的捆扎，并在角上配了一个花结，使得点心匣很漂亮，佳怡非常高兴．售货员说，这种捆扎方式不仅显得漂亮，而且比一般的十字捆扎方式（如图②）用的包装绳短．你同意这种说法吗?请说明理由．   18. (17分) （22-23高一·全国·课后作业）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    19. (17分) （2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 参考答案： 1．A 【分析】根据斜二测画法的性质可得原图形是一个底边长为，高为的直角三角形，即可由面积公式求解. 【详解】因为在直观图中，，则，所以， 所以原图形是一个底边长为，高为的直角三角形， 故原图形的面积为． 故选：A． 2．D 【分析】根据几何体的定义和性质，即可判断选项. 【详解】A. 圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径可能相等，故A错误； B.直四棱柱是底面是四边形，侧棱和底面垂直的棱柱，不一定是长方体，故B错误； C. 将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个组合体，上下是圆锥，中间是圆柱，故C错误； D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确. 故选：D 3．C 【分析】根据斜二测画法，将直观图还原为原图，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，将直观图还原为原图，如图所示， 可得为直角三角形，其中， 所以的面积为． 故选：C. 4．A 【分析】根据圆台的性质可知圆台的高位4cm，球的最高点到圆台上底面的距离为4cm，设球的半径为cm，结合球的性质分析求解. 【详解】由题意可知：圆台的高位cm，球的最高点到圆台上底面的距离为cm， 设球的半径为cm，则，解得cm. 故选：A. 5．A 【分析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可. 【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 6．A 【分析】根据直观图与原图的关系分析求解即可； 【详解】由图可知，所以四边形的面积为； 根据轴不变，轴减半的原则，的坐标为：    四边形周长为 所以四边形周长与面积的数值之比为, 故选：A. 7．D 【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值． 【详解】依题意，半径为，山高为，则母线， 底面圆周长，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角， 如图，是圆锥侧面展开图， 显然， 由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值， 即点为公路的最高点，段为上坡路段，段为下坡路段， 由直角三角形射影定理知，即，解得， 所以公路上坡路段长为． 故选：D 8．A 【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果. 【详解】 过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：A. 9．BCD 【分析】根据题意，由棱台、棱锥、棱柱的定义，依次分析选项，即可得到答案. 【详解】由棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确. 故选：BCD 10．AC 【分析】根据斜二测画法的概念，空间几何体的概念判断各选项． 【详解】如图，，由斜二测画法， 直观图面积为， 任何平面多边形都可能切割成图中类似的直角三角形， 通过这些直角三角形面积的和得出平面图形的面积，即这个规律对平面上任何图形都适用． 所以时，，故A正确； 底面是正多边形的棱锥，顶点在底面上的射影不一定是底面中心，因此它不一定是正棱锥，故B错误； 正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，故C正确； 直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥， 若以斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是两个共底的圆锥组合而成，故D错误． 故选：AC． 11．BC 【分析】对于A，由图可知勒洛三角形的面积为个扇形面积减去个正三角形面积，对于B，根据扇形的面积公式计算判断，对于C，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，由于正四面体的棱长为，其可以在棱长为的正方体中截出，从而可求得结果，对于D，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点，然后利用余弦定理求解. 【详解】A选项：由题意可知：， 以为圆心的扇形面积是，的面积是， 则勒洛三角形的面积为个扇形面积减去个正三角形面积， 即，所以A错误； B选项：设圆半径为，如图，    易得的面积为， 阴影部分面积为，B正确； C选项：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切， 设点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心，    所以，由四面体的性质可知该球球心为正四面体的中心，半径为， 连接，则，，三点共线，此时，为正四面体的外接球的半径， 由于正四面体的棱长为，其可以在棱长为的正方体中截出， 所以正四面体的外接球的半径为棱长的正方体的外接球半径，即正方体体对角线的一半， 所以，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径；C正确； D选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点， 故，又， 由余弦定理得：， 故，且半径为，故交线的长度大于， D错误； 故选：BC 12． 【分析】将侧面沿着旋转至与平面在同一平面上，则的最小值为，解三角形求出即可. 【详解】将侧面沿着旋转至与平面在同一平面上，连接，如图所示： 由长方体结构特征，易得，由， ， 所以， 由， 故答案为：. 13． 【分析】根据斜二测画法，，表示其面积，求出答案. 【详解】设的边上的高为，由斜二测画法原理可得， 所以，又，所以. 故答案为：. 14．15 【分析】过球心作出圆柱轴截面图形，由相切可得，再由实心小球的球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，利用解不等式即可. 【详解】过大球球心与圆柱底面圆心的平面截该工艺品所得的平面图如图， 其中G，F分别是大球与实心小球的球心. 设实心小球的半径为r，由题意，得，整理得. 设该工艺品内最多可放入个小球， 因为这些实心小球的球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，如图， 由为等腰三角形得，且， 得. 又，故该工艺品内最多可放入15个小球. 故答案为：15 15． 【分析】 根据圆台的结构特征结合侧面展开图运算求解. 【详解】根据题意可知，圆台的母线长为3， 设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R， 则，，所以，， 设圆台的高为h，作出圆台的轴截面，如图所示：    则梯形的上底为2，下底为4，腰为3，高为h，所以， 故该圆台的高为. 16．（1）答案见解析（2） 【分析】（1）依题意画出即可； （2）借助勾股定理，分别计算以为轴展开、以为轴展开、以为轴展开所得矩形的对角线的长度，取其中最小即可. 【详解】（1）平面展开图如图所示：    （2）沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法： ①如图（1），以为轴展开，； ②如图（2），以为轴展开，； ③如图（3），以为轴展开，；    综合以上，蚂蚁爬行的最短路线长：. 17．见解析 【分析】计算出图①中的捆扎方式对应的包装绳与长方体的长宽高的不等式关系后故可判断售货员的说法是否正确. 【详解】    设长方体中，， 则图②中的捆扎方式对应的包装绳的长度为. 如图，在平面中，过作，垂足为， 在平面中，过作，垂足为， 由题设中图①中的捆扎方法有，，， 故， 故， 同理，， 而， 所以 ， 所以， 故图①的捆扎用的包装绳短， 故同意售货员这种说法. 18．图见解析， 【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算. 【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，， 所以 .    19．（1）（2）能（3）10 【分析】首先分析题意，利用面积公式求出原图形面积，再用斜二测画法进行求解. 【详解】（1）∵直观图的面积S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2， 即原三角形ABC的面积为a2. （2）由斜二测画法规则知，故为直角三角形. （3）由已知得在直角中，， 故. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·福建·期中）如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“九”在正方体中的对面是（    ） A．县 B．市 C．联 D．考 2．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 3．（22-23高一下·河南信阳·期中）若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川·模拟预测）设球的直径为，球面上三个点，，确定的圆的圆心为，，，则面积的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（    ） A． B．2 C． D． 7．（23-24高三上·北京西城·期末）如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（    ） A．47m B．48m C．49m D．50m 8．（22-23高二上·上海普陀·期末）四面体的所有棱长都为1，棱平面，则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·重庆渝中·期中）满足下列条件的四面体存在的是（    ） A．1条棱长为，其余5条棱长均为1 B．1条棱长为1，其余5条棱长均为 C．2条棱长为，其余4条棱长均为1 D．2条棱长为1，其余4条棱长均为 10．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（    ） A．动点M在侧面内轨迹的长度是 B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2 C．直线与所成的角为，则的最小值是 D．存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为 11．（23-24高一下·浙江·期中）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图在一个棱长为4的正方体中，，，……，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面．关于截面之间的位于正方体正中间的这个几何体，下列说法正确的是（    ） A．当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，边长为2 B．当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，表面积是 C．当此几何体为半正多面体时，或 D．当此几何体是半正多面体时，可能由正方形与正六边形围成 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 . 13．（2024·浙江丽水·二模）已知正四面体的棱长为1，若棱长为的正方体能整体放入正四面体中，则实数的最大值为 . 14．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为 若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为 ．    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·上海宝山·阶段练习）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.    16. (15分) （22-23高一·全国·课后作业）如图，绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？ 17. (15分) （2024高三·全国·专题练习）正三棱台中，下底面的边长为a，侧棱与底面成角60°，过AB作截面垂直于，求截面面积. 18. (17分) （21-22高二上·上海杨浦·期中）设四面体中，有条棱长为，其余条棱长为. (1)时，求的取值范围； (2)时，求的取值范围； (3)时，求的取值范围. 19. (17分) （2022高一·浙江温州·竞赛）近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为. (1)求四棱锥的总曲率； (2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数. 参考答案： 1．B 【分析】把正方体还原求解. 【详解】解：把正方体还原如下图： 则上面是九，下面是市，左面是县，右面是联，前面是考，后面是区， 故选：B 2．C 【分析】根据圆柱的结构特征采用将沿直线BC旋转到某个位置的方法，将线段和转化为一条线段的长度问题，结合求解线段长度即得答案. 【详解】如图，连接EC，将沿直线BC旋转到的位置，    且在AB的延长线上．则， 由于圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，故，， 则，当三点共线时取等号， 当时，最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：C 3．D 【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可. 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，则， 由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，，，如图.    所以四边形AOBC的面积为. 故选：D. 4．D 【分析】根据题意，由三角形面积公式求出的长，结合斜二测画法可得原图中的长. 【详解】画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，则即为原来的图形，如图②所示： 原图形中，于点， 则BD为原图形中边上的高，且， 在直观图③中作于点，则的面积， 在直角三角形中，， 所以， 故原图形中AC边上的高为． 故选：D． 5．B 【分析】画出图形，即可得到，由正弦定理求出，再由勾股定理得到及，最后由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】如图所示：为直角三角形，，则，又， 所以， 在中，由正弦定理可得， 又，所以，所以， 所以是的中点，由，又，， 所以，又， 所以，当且仅当时取等号， 即面积的最大值为. 故选：B 6．C 【分析】根据题意，过点，分别作轴和轴的平行线，即可得到的坐标，再由两点间距离公式，即可得到结果. 【详解】 根据题意，如图，在直观图中，过点，分别作轴和轴的平行线， 与轴和轴分别交于点，，由于的直观图是腰长为1的等腰直角三角形， 则，，则的坐标为，则，， 故原图中，的坐标为，A的坐标为， 故， 故选：C. 7．A 【分析】根据梯形中位线求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意可知六点共面， 设正六边形的中心为，连接， 平面且平面， 依题意可知相交于， 连接交于，连接交于， 根据正六边形的性质可知四边形是菱形，所以相互平分， 则相互平分，根据梯形中位线有， 即， 在梯形中，是的中点，则是的中点， 所以， 同理可得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点睛：研究空间图形的结构，关键点在于利用空间平行、垂直、中点等知识.在本题中，柱子与地面垂直，柱子之间相互平行.柱子之间高度不相同，则构成了梯形，则可考虑利用中位线来对问题进行求解. 8．D 【分析】设A、B、C、D在平面内的射影依次为，分别讨论在两侧、其中一点在上、在同侧时的投影图形， 其中在同侧时，时面积最小、平面时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积. 【详解】四面体的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知,正四面体的侧面上的高为，正四面体的高. ∵棱平面，设A、B、C、D在平面内的射影依次为，则， i.当在两侧时，构成的图形即为四边形，此时，，即，则所求面积即； ii.当在同侧或其中一点在上时，构成的图形即为，在的高上（或在的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中 ①当平面时，； ②当平面时，； ③当时，为CD到面的距离，即. 故，则所求面积即. 综上，四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是. 故选：D 9．BCD 【分析】对于选项A和B，作图，设棱，取其对棱的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围，从而判断四面体是否存在.对于选项C和D，分两种情况讨论，①当长为的两条棱为相对棱时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；②当长为的两条棱有公共顶点时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；从而判断四面体是否存在. 【详解】选项A：设四面体有1条棱长为，5条棱长为1， 如图1，四面体满足，， 取的中点，连接，，则， 由三角形的三边关系知，， 所以，即，故A错误； 选项B：与选项A同理可得，当四面体有1条棱长为，5条棱长为时， 因为，所以B正确； 选项C：设四面体有2条棱长为，4条棱长为1，分两种情况： ①当长为的两条棱为相对棱时， 如图2，不妨设为，， 取的中点，连接，，则， 由三角形的三边关系知，， 所以，解得，不符合题意； ②当长为的两条棱有公共顶点时， 如图3，不妨设， 取的中点，连接，， 则，， 由三角形的三边关系知，， 所以，解得； 综上可知，. 因为，所以C正确； 选项D：与选项C同理可得， 当四面体有2条棱长为，4条棱长为时，， 因为，所以D正确. 故选：BCD. 10．ABC 【分析】根据空间中的线面垂直关系分析可得动点的轨迹为截面，对于A，动点在侧面的轨迹为线段；对于B，三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥，计算四棱锥即可；对于C， 直线与直线所成角即为直线与直线所成角，当时，所成角正切值最小；对于D，当与或重合时，直线与平面所成角最大，并与比较即可. 【详解】如图所示，取中点，连接， 取中点，连接. 在立方体中，因为，为中点，所以， 所以，，，四点共面. 又因为平面， 且平面，所以， 又因为， 且平面,， 所以平面， 又因为平面, 所以. 因为， 且，且均为锐角， 所以， 又因为平面， 且平面， 所以， 又因为平面，且， 所以平面, 又因为平面，所以. 又因为平面，且， 所以平面.又因为， 则平面，所以的轨迹为截面. 对于A，因为平面， 且平面平面， 所以动点在平面内的轨迹长度为的长，且，故A正确； 对于B，三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥. 且. 又因为， 所以， ， 所以四棱锥的体积为，故B正确； 对于C，因为， 所以直线与直线所成角为， 在直角三角形中， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，易知与或重合时，直线与平面所成角最大， 且为或， 因为， 所以， 所以不存在某个位置，使得直线与平面所成角为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题. （1）计算出动点的运动轨迹为截面； （2）四棱锥的体积计算，注意拆分； （3）线线角、线面角要结合勾股定理. 11．BD 【分析】根据不同的半正多面体，取不同的数值，画出几何图形，并根据半正多面体的概念进行计算求解即可. 【详解】由题意得，，， 对于A，当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，，， ，故A错误； 对于B，当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，，所以，表面积为，正确； 对于C，D，当时，如下图所示，此半正多面体是由正方形与正六边形围成，此时几何体也是半正多面体，故C错误，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题考查半正多面体的几何性质.本题关键点是根据取不同的数值，画出对应的几何图形，并根据半正多面体的概念进行计算. 12．/ 【分析】由斜二侧画法可知，原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，如图， 其中上底，高，下底为， ． 故答案为：． 13． 【分析】根据正四面体、正方体的结构特征，可得棱长最大的正方体一底面在正四面体的底面正三角形内，正方体中与这个底面相对的正方形为该正方形所在平面截正四面体所得正三角形的内接正方形，再利用正四面体的结构特征计算即得. 【详解】依题意，由正四面体及正方体的几何特征知，要使放入的正方体最大，则正方体的一个底面在正四面体的一个底面内， 令是正的中心，则底面，而，则， 不妨令放入的正方体的底面在正四面体在内，则正方体中与这个底面相对的 底面正方形所在平面截正四面体所得截面是正三角形， 且这个正方形是正的内接正方形，于是， 显然三棱锥是正四面体，与平面的交点是正的中心， 于是，显然，因此， 解得，所以实数的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：涉及几何体的内接几何体问题，熟悉相关联的两个几何体的结构特征是解决问题的关键. 14． 【分析】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可求平面截得球的截面面积最小值；利设在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可得周长的取值范围． 【详解】过点在平面内作，垂足为，如下图    易知，， 由勾股定理可得，则由题可得， 设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 因为平面，当平面，取最大值，即，所以， 所以平面截得球的截面面积最小值为． 由题可知，点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面射影为， 如图：    则，， 由勾股定理可得，令，则，其中， 所以， 所以， 因此，所以周长的取值范围为． 故答案为：； 【点睛】方法点睛：选择填空题中，遇到求函数的最小值问题，常见的方法有： 1.转化为二次函数的值域问题求解； 2.利用基本（均值）不等式求最值； 3.通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； 4.利用导数分析函数单调性，求函数的最值. 15．答案见解析，的面积为 【分析】根据斜二测画法的规则，即可求得四边形的直观图. 【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图， 如图所示，则的面积为.    16．答案见解析 【分析】根据给定图形结合旋转体的定义即可判断图形的构成，并画出直观图. 【详解】在图(1)中，过A作AO⊥BC于O，如图， 显然，是由公共直角边OA，且另外一条直角边在旋转轴上的两个直角三角形拼接而成， 则绕直线BC旋转一周所得几何体，是与绕直线BC旋转一周的两个同底圆锥构成的组合体， 所以这个空间图形是两个同底的圆锥构成的组合体，其直观图如图， 在图(2)中，过B作BO1⊥AC于O1，如图， 显然，是由去掉而成，它们有公共直角边O1B，且另外一条直角边在旋转轴上， 则绕直线AC旋转一周所得几何体，是绕直线AC旋转一周所得圆锥挖去绕直线AC旋转一周所得圆锥构成的几何体， 所以这个空间图形是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥构成，其直观图如图. 17．答案见解析 【分析】将棱台补成棱锥，则S与两底面中心，O三点共线，联结CD，CD过点O，棱台的高对截面的形状起着决定性作用，对高进行分类讨论即可求解. 【详解】如图，将棱台补成棱锥，则S与两底面中心，O三点共线. 设，AB的中点为D，连接CD，CD过点O，则， ∴. 设截面，过E作于H，， 则易得，， 此棱台的高对截面的形状起着决定性作用，故有以下讨论. （i）当时，，此时截面为等腰三角形，其面积为. （ii）当时，， 此时截面ABE与上底面有交线MN，ED交MN于F， 故截面为等腰梯形，作于K，平面ABC， 由，，，得， （iii）特别地，当截面经过时，，此时截面面积为. 18．(1) (2) (3). 【分析】（1）不妨设可折叠三角形，观察的长度即可； （2）分别讨论两边在一个三角形内和两边为四面体对棱这两种情况，结合等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质求解的范围； （3）时，剩余两边相等且为1，类比（2）讨论剩余两边的情况可得结果. 【详解】（1）设固定，让绕转动， 当接近时，接近于0；当与接近于共面时，a接近于， 故. （2）第一种情况，两边在一个三角形内时： 假设时，E为D在底面射影， 由题意得，假设中点为，连结，假设 则，即， 解得：，则且， 即，故，则， 综上，； 第二种情况，两边不在一个三角形内时： 假设， 发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，在减小但总是存在的，故. 假设，取中点，连接， 则，由两边之和大于第三边可知：，解得：，故. 综上，. （3）第一种情况：长度为1的两边在同一个三角形中： 假设时，记顶点在底面射影为E， 由题意得，假设中点为，连结，假设 则，即，解得，则且， 即，故，则； 第二种情况：长度为1的两边不在同一个三角形中： 假设， 发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，趋向正无穷. 假设，取中点，连接， 则，由两边之和大于第三边知：，解得，故. 综上，. 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用总曲率定义即可得到结果； （2）利用总曲率定义及欧拉定理即可证明其为常数. 【详解】（1）四棱锥有个顶点,个三角形面,个凸四边形面,故其总曲率为 （2）设多面体有个面,给组成多面体的多边形编号,分别为号. 设第 号 多边形有 条边. 则多面体共有条棱. 由题意，多面体共有个顶点. 号多边形的内角之和为,故所有多边形的内角之和为 故多面体的总曲率为 所以满足题目要求的多面体的总曲率为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$