9.2 库仑定律-【划重点】2024-2025学年高二物理暑假预习强化之精细讲义（人教版2019必修第三册）

9.2库仑定律 ——划重点之高一暑假预习强化精细讲义 知识点1：探究影响电荷间相互作用力的因素 影响电荷间相互作用力的因素，我们可以采用控制变量法来研究. 1.原理 如边栏图所示，O是一个带正电的物体，把系在绝缘丝线上的带正电小球挂在横杆上，小球质量为m.丝线与竖直方向夹角为θ，物体O和小球之间的作用力大小用F表示，当物体O和小球在同一水平线上时，有F = mgtan θ，θ越大，F就越大. 2.实验步骤 （1）保持小球与物体O的带电荷量不变，改变小球悬点位置，分别为P1、P2、P3等，可以比较小球在不同位置所受带电物体O的作用力的大小.若物体O与小球间距离用d表示，结果是d越大，θ越小;d越小，θ越大. （2）保持物体O与小球间距离不变，改变小球带的电荷量q，可以比较小球带不同电荷量时所受带电物体O的作用力的大小.结果是q越大，θ越大;q越小，θ越小. 3.实验结论 电荷间的相互作用力随电荷间距离的增大而减小，随电荷量的增大而增大. （1）探究影响电荷间相互作用力的因素 为了增强实验效果，最好采取以下措施：物体O的底座要有良好的绝缘性，带电小球表面尽量光滑，空气干燥，否则容易漏电。 （2）该实验只是定性研究电荷间的相互作用. 知识点2：电荷之间的作用力 1.库仑定律 （1）内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上. 电荷之间的相互作用力叫作库仑力或静电力. （2）表达式： 表达式中k=9.0×109 N·m²/C，叫作静电力常量，其物理意义是当两个电荷量为1 C的点电荷在真空中相距1m 时，相互作用力是9.0×109N.库仑力是性质力. （3）适用条件∶真空中静止的点电荷（库仑定律适用于真空环境，干燥空气中也基本适用;适用于静止的点电荷，低速运动的点电荷也基本适用）. （1）有人根据推出，当r→0时，F→∞，从数学角度分析似乎正确，但从物理意义上分析，这种看法是错误的.因为当r→0 时，两带电体已不能看成点电荷，库仑定律及其公式也就不再适用. （2）库仑力是性质力，不是效果力，与重力、弹力、摩擦力一样具有自己的特性，受力分析时一定不能漏掉库仑力，它对物体的平衡或运动起着独立的作用. （3）点电荷：当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间相互作用力的影响可忽略时，可将带电体看作带电的点，即为点电荷. （4）对点电荷的理解：①点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际并不存在.②带电体能否看成点电荷视具体问题而定，不能单凭它的大小和形状下结论.如果带电体的大小比带电体间的距离小得多，则带电体的大小及形状就可以忽略，此时带电体就可以看成点电荷. 注意区分点电荷与元电荷 （1）元电荷是一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值，是最小的电荷量. （2）点电荷只是不考虑带电体的大小和形状及电荷分布状况，仍是带电个体，其带电荷量可以很大，也可以很小，且一定是元电荷的整数倍. 举个栗子：两个带电金属球体，相距比较远时，两球大小可以忽略，可以看成点电荷，也适用库仑定律;两带电球体相距比较近时，此时两带电球体之间的作用距离会随所带电荷量的改变而改变，即电荷的分布会发生改变，两球大小不能忽略，不能被看作点电荷.若带同种电荷时，如图（a）所示，由于排斥而使作用距离变大，此时;若带异种电荷时，如图（b）所示，由于吸引而使作用距离变小，此时。 2.库仑力的叠加 （1）两个点电荷间的作用力不会因第三个点电荷的存在而改变. （2）两个或者两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力等于各点电荷单独对其作用力的矢量和，如图所示. 3.利用库仑定律求库仑力的方法与步骤 （1）确定研究对象，并判断是否可看成点电荷. （2）通过库仑定律计算库仑力的大小，其中电荷量都代入绝对值. （3）最后再根据"同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引"来确定库仑力的方向. （1）电荷均匀分布的带电球体，电荷中心与球心重合，两球中电荷之间的距离等于两球心之间的距离. （2）对于两个半径较大的带电金属球，要考虑其表面电荷的分布状况. 例如两球球心间距离为 3r，不是远远大于 r，不能把两球当成点电荷处理. 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．点电荷就是体积很小的带电体 B．点电荷就是带电荷量很小的点 C．根据F＝k可知，当r→∞时，库仑定律的公式就不适用了 D．静电力常量的数值是由实验得出的 【典例2】两个分别带有电荷量为-Q和+9Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F1，当两小球相互接触后再将它们的距离变为2r，它们间库仑力的大小变为F2，则（　　） A．F1：F2=3：2 B．F1：F2=9：4 C．F1：F2=9：1 D．F1：F2=3：4 【典例3】（多选）如图所示，有三个固定的带电小球a、b和c，它们相互间的距离分别为ab=8cm、ac=6cm、bc=10cm，小球c所受静电力合力的方向平行于a、b的连线斜向下。关于小球a、b的电性及所带电荷量比值的绝对值n，下列说法正确的是（　　） A．小球a、b带同种电荷 B． C． D．小球a、b带异种电荷 【典例4】如图所示，半径均为r的两个金属球，其球心相距为3r，现使两球带上等量的同种电荷，电荷量都为q，设静电力常量为k。则对两球间的静电力F的判断正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点3：库仑的实验 1.实验原理 如图甲所示，在细金属丝下悬挂绝缘杆，杆一端有金属小球，另一端有平衡小球，金属小球旁固定另一金属小球，两金属小球均带有一定电荷，根据同种电荷相互排斥，杆转动，扭动悬丝上端的旋钮，悬丝的扭转力矩和库仑力的力矩平衡，通过扭秤外壳的刻度读出圆心角，可测出两金属小球之间的库仑力.（说明∶力矩等于力乘力臂，高中教材不作要求）. 2. 实验步骤 （1）保持两个带电小球电荷量不变，改变距离，记录悬丝扭转的角度，寻找库仑力与距离的关系. （2）保持两个带电小球距离不变，逐渐递减固定小球的电荷量，记录悬丝扭转的角度，寻找库仑力与电荷量的关系. （1）当时并不知道如何测量电荷量，库仑采用两个相同的金属小球接触后电荷量均分来解决这个问题. （2）库仑扭秤实验用到的思想方法：①微小量放大思想，较小的力通过较长的力臂，产生较大的力矩，从而产生较大的转动，放大了作用效果;②电荷均分原理 知识点4：库仑力与万有引力的比较 万有引力 库仑力 表达式 力的作用效果 只有引力 有引力和斥力（由电性关系判断） 适用条件 质点或质量分布均匀的球体 真空中静止的点电荷 实验 卡文迪许扭秤实验 库仑扭秤实验 相同点 两种力均与r2成反比;力的方向都在两物体的连线上 在微观带电粒子（电子、质子、原子核和离子等）的相互作用中，库仑力远远大于万有引力. 【典例5】如图所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a和b，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支架上，两球心间的距离是球半径的3倍。若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么关于之间的万有引力和库仑力的表达式中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例6】如图所示，带正电的小球a在外力作用下静止在绝缘光滑竖直面上的P点，带正电的小球b用绝缘细线系住，挂在绝缘光滑竖直面上的O点，小球a和b视为质点，b球静止时与a球在同一水平面内，在小球a的电量缓慢减少到零的过程中（　　） A．绳上的张力逐渐增大 B．绳上的张力逐渐减少 C．小球a与小球b之间的库仑力逐渐变小 D．小球a与小球b之间的库仑力逐渐变大 重难点1：静电力叠加原理 对于两个以上的点电荷，其中每一个点电荷所受的总的静电力，等于其他点电荷分别单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和. 由于任何带电体都可视为由很多点电荷组成，从理论上讲，利用库仑定律和静电力叠加原理，可以知道任何带电体间的相互作用力. Q1、Q2为两个正点电荷，带正电的试探电荷q在 Q1、Q2的中垂线上的某点处所受 Q1、Q2作用力的合力F的大小和方向如图所示. 【注意】两个点电荷之间的作用力不因第三个点电荷的存在而有所改变，求两个及两个以上的点电荷对某个点电荷的作用力的合力过程，满足平行四边形定则. 【典例7】如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为外，其余各点处的点电荷电荷量均为，圆心O处固定一点电荷，则所受静电力（　　） A．大小为方向沿方向 B．大小为，方向沿方向 C．大小为，方向沿方向 D．大小为，方向沿方向 重难点2： 非点电荷间的库仑力的处理方法 在中，当r较小时，两个带电体不能被视为点电荷，可根据对称性、割补法、微元法、等效法等，把非点电荷变成点电荷来处理. 例如，如图甲所示，带电圆环（带电荷量为QL）的半径为 R，ab为一段极小的缺口，长度为L，若在圆心处放置一个点电荷，电荷量为 g，那么求点电荷受到的库仑力时，可以先讨论圆环封闭的情况，因为圆环上各点关于中心对称，圆环中心处的点电荷受力为零，那么只要求出与ab缺口对称的 a'b'与点电荷之间的库仑力，问题就迎刃而解了，如图乙所示， 【典例8】如图所示，圆心为O、半径为R的均匀带电圆环位于水平面内，带电量为Q。一个质量为m，带同种电荷带电量也为Q的小球，在圆心O的正上方高为h的处，处于静止状态，若与圆环上任一点的距离为L，则间的距离h为（静电力常量为k，重力加速度为g）（　　） A． B． C． D． 重难点3：库仑定律与力学综合问题 库仑定律与平衡问题联系比较密切，对于这部分内容，需要注意∶（1）明确库仑定律的适用条件;（2）知道完全相同的带电小球接触时电荷量的分配规律;（3）进行受力分析，灵活应用平衡条件. 1. 库仑力作用下的平衡问题 （1）分析带电体在有库仑力作用下的平衡问题时，思路与力学问题相同，具体方法是∶确定研究对象，进行受力分析，列出平衡方程，联立求解. （2）共线的三个点电荷平衡的规律∶①"两同夹异"，若三者均带同种电荷，无论怎么放，外侧点电荷都不能平衡，异种电荷必放中间;若异种电荷B放外侧，它本身不可能平衡. ②"两大夹小"，即放在中间的异种电荷B电荷量最小.若QB＞QC，则FBC＞FCA，A不能平衡.若 QB＞QA，则FBC＞FAC，C不能平衡.③"近小远大"，即中间电荷靠近两侧中电荷量较小的电荷. 2. 库仑力作用下的非平衡问题 与力学问题的处理方法相同，明确研究对象，分析运动过程，再分析包括库仑力在内的所有力，依据牛顿运动定律或者动能定理列方程，并灵活选用整体法和隔离法分析问题. 【典例9】如图所示，光滑绝缘水平面上有A、B、C三点，它们在同一直线上且AB:BC＝1:2，在B处放一电荷量为q的试探电荷，当在A处放一电荷量为+Q的点电荷时，在C处固定一未知电量的点电荷时，试探电荷处于静止状态，则C处所固定的点电荷所带电荷量为（　　） A．+2Q B．+4Q C．-2Q D．-4Q 【典例10】如图所示，光滑绝缘水平面上有甲、乙两个带电小球时，t=0时，甲静止，乙以6 m/s的初速度向甲运动.它们仅在静电力的作用下沿同一直线运动（整个运动过程中没有接触），它们运动的v—t图象分别如图（b）中甲、乙两曲线所示.则由图线可知 A．两小球带电的电性一定相反 B．甲、乙两球的质量之比为2: 1 C．在0〜t2时间内，两球间的静电力增大 D．在0〜t3时间内，甲的动能一直增大，乙的动能一直减小 【典例11】如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为，一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行。小球的质量为m、电荷量为q。小球A的右侧固定放置带等量异种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d。静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则（　　） A．杆对小球B的作用力大小为 B．当时，细线上的拉力为0 C．当时，斜面对小球A的支持力为0 D．当时，斜面对小球A的支持力为0 【典例12】（多选）如图所示，有两个质量相同的小球，电荷量均为，一个固定在足够长的光滑绝缘杆的端，另一个套在杆上，两球均可视为点电荷，为过点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为。开始杆静止，此时两球间的距离为，现让杆以为轴转动，角速度从零开始缓慢增大，直至两球间的距离变为。已知重力加速度为，静电力常量为，下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．当两球间的距离为时，杆转动的角速度为 C．在此过程中，光滑绝缘杆对小球的弹力保持不变 D．在此过程中，小球间的库仑力做负功 【典例13】（多选）如图所示，、是两个带有同种电荷的小球，用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为、，且，若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电荷量不变，则（　　） A．、两球飞行的水平距离相等 B．、两球同时落地 C．球的电荷量比球的大 D．球的质量比球的大 【典例14】（多选）如图所示，两个可视为点电荷的带正电小球A和B，A球系在一根不可伸长的绝缘细线一端，绕过定滑轮，在细绳的另一端施加拉力F，B球固定在绝缘座上，位于定滑轮的正下方。现缓慢拉动细绳，使A球缓慢移动到定滑轮处，此过程中，B球始终静止，忽略定滑轮大小和摩擦，下列判断正确的是（　　） A．B球受到的库仑力先不变后减小 B．拉力F一直增大 C．地面对绝缘座的支持力一直减少 D．A球的电势能先不变后减少 【典例15】（多选）如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为、、。下列说法正确的是（　　） A．若a、c带正电，则b带负电 B．若a、c带负电，则b带正电 C． D． 一、单选题 1．下列说法中正确的是（　　） A．点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷是可以在自然界找到的 B．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体 C．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计 D．根据可知，当时， 2．如图，M、N和P是以为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时处于O点的点电荷所受静电力大小为；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的点电荷所受静电力大小变为，与之比为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，A为点电荷，电荷量为，B为一个固定的金属带电球壳，半径为R，电荷量为，点电荷A在P点时所受库仑力为F1，若将点电荷A移到带电球壳B的球心O点，点电荷A所受库仑力为F2，P点与O点的距离为r，且，则（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，在光滑的绝缘水平面上，有两个质量相等、相距为r、带电荷量分别为和的小球甲、乙，在水平恒力F作用下做匀加速直线运动。静电力常量为k，则水平恒力F的大小为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（　　） A． B． C． D．L 6．如图所示，带电小球A挂在绝缘的细线下端，带电小球B固定在高度可调的绝缘支架上，实验过程中始终保持两个小球在同一水平线上，两小球可视为点电荷。平衡时，两个小球距离为r，细线与竖直方向的夹角为θ，已知小球A的质量为m，带电量为q，静电力常量为k，重力加速度为g，则（　　） A．两小球带异种电荷 B．小球A的带电量一定大于B的带电量 C．小球B的带电量为 D．小球B的带电量为 7．如图所示，质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球，其中A带正电并固定在绝缘竖直弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．弹簧弹力大于三个小球的总重力 B．小球A受三个作用力 C．小球A带的电荷量是小球B带电荷量的2倍 D．剪断弹簧后三个小球一起做自由落体运动 8．在光滑、绝缘的水平面上，沿一直线依次排列三个带电小球A、B、C，均可视为质点，如图所示。若它们恰能处于平衡状态，那么这三个小球所带电荷量及电性的关系可能的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、多选题 9．在绝缘光滑水平桌面上，有两个带电小球A和B。t=0时刻，小球A静止，小球B以一定的初速度向A运动，两小球的v-t图像如图所示，且A、B未相碰。则（　　） A．两小球带异种电荷 B．两小球组成的系统动量守恒 C．两小球组成的系统机械能守恒 D．A球质量大于B球 10．如图所示，把一个带电小球A固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B。现给B一个沿垂直AB方向的速度v0，A、B小球均可视为质点，则下列说法正确的是（　　） A．若A、B带异种电荷，B球可能做圆周运动 B．若A、B带异种电荷，B球可能做加速度、速度均变小的曲线运动 C．若A、B带同种电荷，B球一定做远离A球的变加速曲线运动 D．若A、B带同种电荷，B球的动能一定会减小 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2库仑定律 ——划重点之高一暑假预习强化精细讲义 知识点1：探究影响电荷间相互作用力的因素 影响电荷间相互作用力的因素，我们可以采用控制变量法来研究. 1.原理 如边栏图所示，O是一个带正电的物体，把系在绝缘丝线上的带正电小球挂在横杆上，小球质量为m.丝线与竖直方向夹角为θ，物体O和小球之间的作用力大小用F表示，当物体O和小球在同一水平线上时，有F = mgtan θ，θ越大，F就越大. 2.实验步骤 （1）保持小球与物体O的带电荷量不变，改变小球悬点位置，分别为P1、P2、P3等，可以比较小球在不同位置所受带电物体O的作用力的大小.若物体O与小球间距离用d表示，结果是d越大，θ越小;d越小，θ越大. （2）保持物体O与小球间距离不变，改变小球带的电荷量q，可以比较小球带不同电荷量时所受带电物体O的作用力的大小.结果是q越大，θ越大;q越小，θ越小. 3.实验结论 电荷间的相互作用力随电荷间距离的增大而减小，随电荷量的增大而增大. （1）探究影响电荷间相互作用力的因素 为了增强实验效果，最好采取以下措施：物体O的底座要有良好的绝缘性，带电小球表面尽量光滑，空气干燥，否则容易漏电。 （2）该实验只是定性研究电荷间的相互作用. 知识点2：电荷之间的作用力 1.库仑定律 （1）内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上. 电荷之间的相互作用力叫作库仑力或静电力. （2）表达式： 表达式中k=9.0×109 N·m²/C，叫作静电力常量，其物理意义是当两个电荷量为1 C的点电荷在真空中相距1m 时，相互作用力是9.0×109N.库仑力是性质力. （3）适用条件∶真空中静止的点电荷（库仑定律适用于真空环境，干燥空气中也基本适用;适用于静止的点电荷，低速运动的点电荷也基本适用）. （1）有人根据推出，当r→0时，F→∞，从数学角度分析似乎正确，但从物理意义上分析，这种看法是错误的.因为当r→0 时，两带电体已不能看成点电荷，库仑定律及其公式也就不再适用. （2）库仑力是性质力，不是效果力，与重力、弹力、摩擦力一样具有自己的特性，受力分析时一定不能漏掉库仑力，它对物体的平衡或运动起着独立的作用. （3）点电荷：当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间相互作用力的影响可忽略时，可将带电体看作带电的点，即为点电荷. （4）对点电荷的理解：①点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际并不存在.②带电体能否看成点电荷视具体问题而定，不能单凭它的大小和形状下结论.如果带电体的大小比带电体间的距离小得多，则带电体的大小及形状就可以忽略，此时带电体就可以看成点电荷. 注意区分点电荷与元电荷 （1）元电荷是一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值，是最小的电荷量. （2）点电荷只是不考虑带电体的大小和形状及电荷分布状况，仍是带电个体，其带电荷量可以很大，也可以很小，且一定是元电荷的整数倍. 举个栗子：两个带电金属球体，相距比较远时，两球大小可以忽略，可以看成点电荷，也适用库仑定律;两带电球体相距比较近时，此时两带电球体之间的作用距离会随所带电荷量的改变而改变，即电荷的分布会发生改变，两球大小不能忽略，不能被看作点电荷.若带同种电荷时，如图（a）所示，由于排斥而使作用距离变大，此时;若带异种电荷时，如图（b）所示，由于吸引而使作用距离变小，此时。 2.库仑力的叠加 （1）两个点电荷间的作用力不会因第三个点电荷的存在而改变. （2）两个或者两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力等于各点电荷单独对其作用力的矢量和，如图所示. 3.利用库仑定律求库仑力的方法与步骤 （1）确定研究对象，并判断是否可看成点电荷. （2）通过库仑定律计算库仑力的大小，其中电荷量都代入绝对值. （3）最后再根据"同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引"来确定库仑力的方向. （1）电荷均匀分布的带电球体，电荷中心与球心重合，两球中电荷之间的距离等于两球心之间的距离. （2）对于两个半径较大的带电金属球，要考虑其表面电荷的分布状况. 例如两球球心间距离为 3r，不是远远大于 r，不能把两球当成点电荷处理. 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．点电荷就是体积很小的带电体 B．点电荷就是带电荷量很小的点 C．根据F＝k可知，当r→∞时，库仑定律的公式就不适用了 D．静电力常量的数值是由实验得出的 【答案】D 【详解】AB．不论带电体体积的大小如何，只要带电体的体积、形状、电荷分布情况对所研究问题的影响可以忽略，该带电体就可以看成点电荷，故AB错误； C．当两点电荷距离趋近无穷大时，带电体的体积、形状、电荷分布情况仍可忽略，仍可看成点电荷，库仑定律仍然适用，故C错误； D．静电力常量的数值是由库仑通过扭秤实验得出的，故D正确。 故选D。 【典例2】两个分别带有电荷量为-Q和+9Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F1，当两小球相互接触后再将它们的距离变为2r，它们间库仑力的大小变为F2，则（　　） A．F1：F2=3：2 B．F1：F2=9：4 C．F1：F2=9：1 D．F1：F2=3：4 【答案】B 【详解】接触前两个金属小球之间的库仑力大小为 两带电金属小球接触时，它们的电荷量先中和后平分，所以两球分开后带电荷量均为+4Q，距离又变为原来的2倍，则它们之间的库仑力为 联立得 故选B。 【典例3】如图所示，有三个固定的带电小球a、b和c，它们相互间的距离分别为ab=8cm、ac=6cm、bc=10cm，小球c所受静电力合力的方向平行于a、b的连线斜向下。关于小球a、b的电性及所带电荷量比值的绝对值n，下列说法正确的是（　　） A．小球a、b带同种电荷 B． C． D．小球a、b带异种电荷 【答案】BD 【详解】AD．由题意知 ∠c=53°，∠a=90° 由于小球c所受静电力合力的方向知小球a、b带异种电荷，故A错误，D正确； BC．小球a、b对小球c的作用力如图所示 根据库仑定律得 ， 解得 故B正确，C错误。 故选BD。 【典例4】如图所示，半径均为r的两个金属球，其球心相距为3r，现使两球带上等量的同种电荷，电荷量都为q，设静电力常量为k。则对两球间的静电力F的判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】带同种电荷的两金属球，由于同种电荷相互排斥，所带电量集中在两球的外侧，两带电金属球等效的点电荷间距离大于3r，故由库仑定律可知，库仑力一定小于距离是3r时的库仑力，即 故选D。 知识点3：库仑的实验 1.实验原理 如图甲所示，在细金属丝下悬挂绝缘杆，杆一端有金属小球，另一端有平衡小球，金属小球旁固定另一金属小球，两金属小球均带有一定电荷，根据同种电荷相互排斥，杆转动，扭动悬丝上端的旋钮，悬丝的扭转力矩和库仑力的力矩平衡，通过扭秤外壳的刻度读出圆心角，可测出两金属小球之间的库仑力.（说明∶力矩等于力乘力臂，高中教材不作要求）. 2. 实验步骤 （1）保持两个带电小球电荷量不变，改变距离，记录悬丝扭转的角度，寻找库仑力与距离的关系. （2）保持两个带电小球距离不变，逐渐递减固定小球的电荷量，记录悬丝扭转的角度，寻找库仑力与电荷量的关系. （1）当时并不知道如何测量电荷量，库仑采用两个相同的金属小球接触后电荷量均分来解决这个问题. （2）库仑扭秤实验用到的思想方法：①微小量放大思想，较小的力通过较长的力臂，产生较大的力矩，从而产生较大的转动，放大了作用效果;②电荷均分原理 知识点4：库仑力与万有引力的比较 万有引力 库仑力 表达式 力的作用效果 只有引力 有引力和斥力（由电性关系判断） 适用条件 质点或质量分布均匀的球体 真空中静止的点电荷 实验 卡文迪许扭秤实验 库仑扭秤实验 相同点 两种力均与r2成反比;力的方向都在两物体的连线上 在微观带电粒子（电子、质子、原子核和离子等）的相互作用中，库仑力远远大于万有引力. 【典例5】如图所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a和b，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支架上，两球心间的距离是球半径的3倍。若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么关于之间的万有引力和库仑力的表达式中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由于a、b所带异种电荷相互吸引，使它们各自的电荷分布不均匀，即相互靠近的一侧电荷分布比较密集。又l=3r，不满足l>>r的要求，故不能将带电球壳看成点电荷，所以不能应用库仑定律计算a、b间的库仑力，故 万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然本题中不满足l>>r，但由于其壳层的厚度和质量分布均匀，故两球壳可看作质量集中于球心的质点，所以可以应用万有引力定律计算a、b间的万有引力，故 故选C。 【典例6】如图所示，带正电的小球a在外力作用下静止在绝缘光滑竖直面上的P点，带正电的小球b用绝缘细线系住，挂在绝缘光滑竖直面上的O点，小球a和b视为质点，b球静止时与a球在同一水平面内，在小球a的电量缓慢减少到零的过程中（　　） A．绳上的张力逐渐增大 B．绳上的张力逐渐减少 C．小球a与小球b之间的库仑力逐渐变小 D．小球a与小球b之间的库仑力逐渐变大 【答案】C 【详解】对小球b受力分析，如图所示 根据库仑定律及力的三角形与几何三角形相似可得 当小球a的电量缓慢减少到零的过程中，L不变，OP不变，mg不变，所以两球间的距离l减小，绳上的张力T不变，两球间的库仑力F不断减小。 故选C。 重难点1：静电力叠加原理 对于两个以上的点电荷，其中每一个点电荷所受的总的静电力，等于其他点电荷分别单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和. 由于任何带电体都可视为由很多点电荷组成，从理论上讲，利用库仑定律和静电力叠加原理，可以知道任何带电体间的相互作用力. Q1、Q2为两个正点电荷，带正电的试探电荷q在 Q1、Q2的中垂线上的某点处所受 Q1、Q2作用力的合力F的大小和方向如图所示. 【注意】两个点电荷之间的作用力不因第三个点电荷的存在而有所改变，求两个及两个以上的点电荷对某个点电荷的作用力的合力过程，满足平行四边形定则. 【典例7】如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为外，其余各点处的点电荷电荷量均为，圆心O处固定一点电荷，则所受静电力（　　） A．大小为方向沿方向 B．大小为，方向沿方向 C．大小为，方向沿方向 D．大小为，方向沿方向 【答案】C 【详解】将A处点电荷拆分为与，则由对称性可知，A、B、C、D、E五处对O处点电荷Q的合静电力为0，故O处Q所受静电力等于A处等效的对它的作用力，由库仑定律可知，静电力的大小为 由异种电荷相吸引可知，静电力方向沿方向。 故选C。 重难点2： 非点电荷间的库仑力的处理方法 在中，当r较小时，两个带电体不能被视为点电荷，可根据对称性、割补法、微元法、等效法等，把非点电荷变成点电荷来处理. 例如，如图甲所示，带电圆环（带电荷量为QL）的半径为 R，ab为一段极小的缺口，长度为L，若在圆心处放置一个点电荷，电荷量为 g，那么求点电荷受到的库仑力时，可以先讨论圆环封闭的情况，因为圆环上各点关于中心对称，圆环中心处的点电荷受力为零，那么只要求出与ab缺口对称的 a'b'与点电荷之间的库仑力，问题就迎刃而解了，如图乙所示， 【典例8】如图所示，圆心为O、半径为R的均匀带电圆环位于水平面内，带电量为Q。一个质量为m，带同种电荷带电量也为Q的小球，在圆心O的正上方高为h的处，处于静止状态，若与圆环上任一点的距离为L，则间的距离h为（静电力常量为k，重力加速度为g）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在带电圆环上取一小段长度，则该小段长度圆环带电量为 该小段带电圆环对带电小球的库仑力为 该库仑力的竖直分力为 其合力为 解得 故选A。 重难点3：库仑定律与力学综合问题 库仑定律与平衡问题联系比较密切，对于这部分内容，需要注意∶（1）明确库仑定律的适用条件;（2）知道完全相同的带电小球接触时电荷量的分配规律;（3）进行受力分析，灵活应用平衡条件. 1. 库仑力作用下的平衡问题 （1）分析带电体在有库仑力作用下的平衡问题时，思路与力学问题相同，具体方法是∶确定研究对象，进行受力分析，列出平衡方程，联立求解. （2）共线的三个点电荷平衡的规律∶①"两同夹异"，若三者均带同种电荷，无论怎么放，外侧点电荷都不能平衡，异种电荷必放中间;若异种电荷B放外侧，它本身不可能平衡. ②"两大夹小"，即放在中间的异种电荷B电荷量最小.若QB＞QC，则FBC＞FCA，A不能平衡.若 QB＞QA，则FBC＞FAC，C不能平衡.③"近小远大"，即中间电荷靠近两侧中电荷量较小的电荷. 2. 库仑力作用下的非平衡问题 与力学问题的处理方法相同，明确研究对象，分析运动过程，再分析包括库仑力在内的所有力，依据牛顿运动定律或者动能定理列方程，并灵活选用整体法和隔离法分析问题. 【典例9】如图所示，光滑绝缘水平面上有A、B、C三点，它们在同一直线上且AB:BC＝1:2，在B处放一电荷量为q的试探电荷，当在A处放一电荷量为+Q的点电荷时，在C处固定一未知电量的点电荷时，试探电荷处于静止状态，则C处所固定的点电荷所带电荷量为（　　） A．+2Q B．+4Q C．-2Q D．-4Q 【答案】B 【详解】设AB间距离为r，对试探电荷进行受力分析，由库仑定律和共点力平衡有 解得 必须带正电，B正确，ACD错误。 故选B。 【典例10】如图所示，光滑绝缘水平面上有甲、乙两个带电小球时，t=0时，甲静止，乙以6 m/s的初速度向甲运动.它们仅在静电力的作用下沿同一直线运动（整个运动过程中没有接触），它们运动的v—t图象分别如图（b）中甲、乙两曲线所示.则由图线可知 A．两小球带电的电性一定相反 B．甲、乙两球的质量之比为2: 1 C．在0〜t2时间内，两球间的静电力增大 D．在0〜t3时间内，甲的动能一直增大，乙的动能一直减小 【答案】B 【详解】A．由图可知乙球减速的同时，甲球正向加速，说明两球相互排斥，带有同种电荷，A项不符合题意； B．两球作用过程动量守恒，则： 解得： B项符合题意； C．在0〜t2时间内，两球间距离先减小后增大，静电力先增大后减小，C项不符合题意； D．在0〜t3时间内，甲的动能一直增大，乙的动能先减小，t2时刻后逐渐增大，D项不符合题意. 【典例11】如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为，一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行。小球的质量为m、电荷量为q。小球A的右侧固定放置带等量异种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d。静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则（　　） A．杆对小球B的作用力大小为 B．当时，细线上的拉力为0 C．当时，斜面对小球A的支持力为0 D．当时，斜面对小球A的支持力为0 【答案】D 【详解】A．小球B受到带电小球A对其的库仑力，方向水平向左，故杆对B的作用力大小应为B的重力与所受库仑力的合力，故A错误； B．对小球A受力分析，将小球A受力沿斜面方向和垂直斜面方向进行分解，小球A受到水平向右的库仑力和竖直向下的重力，在沿细线方向上的合力不可能为0，故细线上的拉力不可能为0，故B错误； CD．两带电小球可视为点电荷，根据库仑定律，两小球间的库仑力大小为 对小球A的受力在垂直斜面的方向上进行分解，若斜面对小球A的支持力为零，则 即 故C错误，D正确。 故选D。 【典例12】（多选）如图所示，有两个质量相同的小球，电荷量均为，一个固定在足够长的光滑绝缘杆的端，另一个套在杆上，两球均可视为点电荷，为过点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为。开始杆静止，此时两球间的距离为，现让杆以为轴转动，角速度从零开始缓慢增大，直至两球间的距离变为。已知重力加速度为，静电力常量为，下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．当两球间的距离为时，杆转动的角速度为 C．在此过程中，光滑绝缘杆对小球的弹力保持不变 D．在此过程中，小球间的库仑力做负功 【答案】AB 【详解】A．当杆静止时。套在杆上的小球受力平衡，根据力的平衡条件可得 解得 故A正确； B．当两球间的距离为2r时，设杆对小球的支持力为FN，水平方向上有 竖直方向上有 解得 故B正确； C．在两球间的距离增大为2r的过程中，根据竖直方向平衡方程可知，光滑绝缘杆对小球的弹力不断增大，故C错误； D．在此过程中，小球间的库仑斥力做正功，故D错误。 故选AB。 【典例13】（多选）如图所示，、是两个带有同种电荷的小球，用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为、，且，若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电荷量不变，则（　　） A．、两球飞行的水平距离相等 B．、两球同时落地 C．球的电荷量比球的大 D．球的质量比球的大 【答案】BD 【详解】D．对a、b球受力分析，如图所示 根据共点力平衡条件有 magtanα=F1，mbgtanβ= F2 根据牛顿第三定律有 F1 = F2 根据题意有 则有 ma>mb D正确； C．不管两个小球电量大小关系如何，它们间的静电力是相互作用力，总是等大、反向、共线，故无法知道带电量大小的关系，C错误； AB．剪断绳子后，a、b两球竖直方向做自由落体运动，故同时落地，水平方向受库仑斥力作用做加速运动，由于 ma>mb 故水平方向a的加速度小于b的加速度，故b的水平位移大于a的水平位移，A错误，B正确。 故选BD。 【典例14】（多选）如图所示，两个可视为点电荷的带正电小球A和B，A球系在一根不可伸长的绝缘细线一端，绕过定滑轮，在细绳的另一端施加拉力F，B球固定在绝缘座上，位于定滑轮的正下方。现缓慢拉动细绳，使A球缓慢移动到定滑轮处，此过程中，B球始终静止，忽略定滑轮大小和摩擦，下列判断正确的是（　　） A．B球受到的库仑力先不变后减小 B．拉力F一直增大 C．地面对绝缘座的支持力一直减少 D．A球的电势能先不变后减少 【答案】AD 【详解】A．设球所受库仑力大小为FC，A、B两球间距离为r，B球距定滑轮为h，A球与定滑轮间距离为l，对开始位置处的A球受力分析，将F和FC合成如图所示 由相似三角形可得 所以A球缓慢移动过程中，r先不变，等A球运动到滑轮正下方后，r再变大；整个过程中l一直减小。r先不变再变大，B球受到的库仑力大小先不变再减小，故A正确； B．A球未到滑轮正下方时，由相似三角形可得 ＝ A球在缓慢移动过程中，l减小，则F减小，故B错误； C．A球未到滑轮正下方时，库仑力大小不变，方向趋近竖直，则B球受到库仑力的竖直分量变大，地面对绝缘座的支持力先变大；A球到达滑轮正下方后，B球受到库仑力大小减小、方向竖直向下，地面对绝缘座的支持力减小，故C错误； D．r先不变再变大，两者间的库仑斥力对A球先不做功后做正功，则A球的电势能先不变后减少，故D正确。 故选AD。 【典例15】（多选）如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为、、。下列说法正确的是（　　） A．若a、c带正电，则b带负电 B．若a、c带负电，则b带正电 C． D． 【答案】ABC 【详解】AB．由于处于静止状态，若a带正电荷，b处于静止状态时，c一定也带正电荷，而由于a处于静止状态，b一定带负电荷；同理若a带负电荷，b处于静止状态时，c一定也带负电荷，而由于a处于静止状态，b一定带正电荷，AB正确； CD．由于b处于静止状态，根据库仑定律和平衡条件可知 解得 由于a处于静止状态，根据库仑定律和平衡条件可知 解得 因此 C正确，D错误。 故选ABC。 一、单选题 1．下列说法中正确的是（　　） A．点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷是可以在自然界找到的 B．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体 C．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计 D．根据可知，当时， 【答案】C 【详解】A．点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷不存在的，A错误； BC．带电体能否被看成是一个点电荷主要是看该带电体的形状、大小以及电荷分布在所研究的问题中能否被忽略，与体积大小、电荷量多少没有直接关系，B错误，C正确； D．当时，带电体不能被看成点电荷，故库仑定律不再适用，D错误。 故选C。 2．如图，M、N和P是以为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时处于O点的点电荷所受静电力大小为；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的点电荷所受静电力大小变为，与之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】假设M、O两处点电荷带正电、N处点电荷带负电，依题意，M、N处两点电荷对O点的点电荷的静电力大小均为，则当N点处的点电荷移至P点时，O处点电荷所受静电力如图所示 由几何关系可知，合力大小为 则有 故选B。 3．如图所示，A为点电荷，电荷量为，B为一个固定的金属带电球壳，半径为R，电荷量为，点电荷A在P点时所受库仑力为F1，若将点电荷A移到带电球壳B的球心O点，点电荷A所受库仑力为F2，P点与O点的距离为r，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．由于P点与O点的距离r没有远大于金属带电球壳的半径R，导致金属带电球壳的电荷分布不均匀，靠近P点一侧电荷分布较多，所以有 故AB错误； CD．将点电荷A移到带电球壳B的球心时，根据对称性，球壳上各部分对该点电荷的库仑力的矢量和为零，故C错误、D正确。 故选D。 4．如图所示，在光滑的绝缘水平面上，有两个质量相等、相距为r、带电荷量分别为和的小球甲、乙，在水平恒力F作用下做匀加速直线运动。静电力常量为k，则水平恒力F的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选甲，乙整体为研究对象，加速度 选乙为研究对象，列牛顿第二定律方程有 联立得 故选C。 5．如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（　　） A． B． C． D．L 【答案】C 【详解】对小球A进行受力分析如图 可得与相似，故有 又由库仑定律 ， 所以代入可得 小球A与三个完全相同的不带电的金属小球依次充分接触后的带电量 所以再次平衡后A、B间距离 C正确。 故选C。 6．如图所示，带电小球A挂在绝缘的细线下端，带电小球B固定在高度可调的绝缘支架上，实验过程中始终保持两个小球在同一水平线上，两小球可视为点电荷。平衡时，两个小球距离为r，细线与竖直方向的夹角为θ，已知小球A的质量为m，带电量为q，静电力常量为k，重力加速度为g，则（　　） A．两小球带异种电荷 B．小球A的带电量一定大于B的带电量 C．小球B的带电量为 D．小球B的带电量为 【答案】D 【详解】A．由图可知，A、B两小球相互排斥，两小球带同种电荷，故A错误； BCD．根据库伦定律，A、B两小球间的库仑力为 小球A受到重力、拉力和库仑力，受力如图所示 根据平衡条件有 联立解得 由已知条件无法确定两小球带电量大小关系，故BC错误，D正确。 故选D。 7．如图所示，质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球，其中A带正电并固定在绝缘竖直弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．弹簧弹力大于三个小球的总重力 B．小球A受三个作用力 C．小球A带的电荷量是小球B带电荷量的2倍 D．剪断弹簧后三个小球一起做自由落体运动 【答案】C 【详解】A．把三个小球看成整体，可得弹簧弹力等于三个小球的总重力，故A错误； B．分析A的受力有重力、两个库仑力和弹簧弹力，共四个力，故B错误； C．根据受力平衡可得B、C小球带等量的负电，设小球A、B的电荷量绝对值分别为、，A、B之间的库仑力 B、C之间的库仑力 ，， 分析B受力如图所示，可得 代入得 故C正确； D．剪断弹簧后A受重力和B、C小球对A的库仑力，A下落的加速度大于重力加速度，剪断瞬间小球B、C受力不变，加速度为零，故D错误。 故选C。 【点睛】本题以弹簧和带电小球为背景，考查受力分析及力的突变问题，考查考生的科学思维。 8．在光滑、绝缘的水平面上，沿一直线依次排列三个带电小球A、B、C，均可视为质点，如图所示。若它们恰能处于平衡状态，那么这三个小球所带电荷量及电性的关系可能的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】要使三个小球均处于平衡状态，先以A对对象，要使A平衡，B和C所带电性应相反（B、C对A的作用力方向必须相反）；同理，要使C平衡，A和B所带电性应相反；综上，电荷电性需满足“两同夹异”的规律：三点共线，两同夹异，两大夹小，近小远大。 故选C。 二、多选题 9．在绝缘光滑水平桌面上，有两个带电小球A和B。t=0时刻，小球A静止，小球B以一定的初速度向A运动，两小球的v-t图像如图所示，且A、B未相碰。则（　　） A．两小球带异种电荷 B．两小球组成的系统动量守恒 C．两小球组成的系统机械能守恒 D．A球质量大于B球 【答案】BD 【详解】A．由图像可知B球先做减速运动，A球做加速运动，两球间表现为斥力，可知两球带同种电荷，故A错误； B．把两小球看成一个系统，合外力为零，所以系统动量守恒，故B正确； C．两球运动过程中，动能和电势能之和守恒，电场力做的合功不为零，所以两球的机械能不守恒，故C错误； D．v-t图像的斜率表示加速度，同一时刻，B的加速度大于A的加速度，根据受力分析可知A、B受到的合外力为A、B间的库仑力，大小相等，根据 F=ma 可知加速度与质量成反比，所以A球质量大于B球，故D正确。 故选BD。 10．如图所示，把一个带电小球A固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B。现给B一个沿垂直AB方向的速度v0，A、B小球均可视为质点，则下列说法正确的是（　　） A．若A、B带异种电荷，B球可能做圆周运动 B．若A、B带异种电荷，B球可能做加速度、速度均变小的曲线运动 C．若A、B带同种电荷，B球一定做远离A球的变加速曲线运动 D．若A、B带同种电荷，B球的动能一定会减小 【答案】ABC 【详解】A．若两个小球带的电荷为异种电荷，则B受到A的引力，方向指向A，又v0垂直AB。根据 解得 可知，当v0=v时，B球做匀速圆周运动，A正确； B．当v0>v时，B球将做离心运动，B球逐渐远离A球，库仑力做负功，即B球做加速度、速度都变小的曲线运动，B正确； C．当v0<v时，B球将靠近A球运动，库仑力做正功，即B球做做加速度、速度逐渐增大的曲线运动，C正确； D．若两个小球带的电荷为同种电荷，则B因受A的库仑斥力而远离A球，库仑力做正功，B球做加速度变小，速度增大，即动能增大的曲线运动，D错误。 故选ABC。 学科网（北京）股份有限公司 $$