（复习巩固）第4讲 探索规律（导图+知识精讲+真题拔高卷）2024年人教版数学小升初暑假衔接培优精讲练过关讲义

2024年人教版数学小升初暑假衔接培优精讲练过关讲义 （导图+知识精讲+真题拔高卷） 第4讲 探索规律 小升初数学中的找规律问题主要包括数字规律、图形规律、算式规律、数与形结合的规律，周期规律等。我们需要通过观察分析,找到数列中的规律,然后填空解答 知识点01：数字中的规律 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点02：图形中的规律 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点03：算式中的规律 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点04：数形结合中的规律 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点05：周期规律 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点06：找规律问题常见策略 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 一．慎重选择（共5小题，满分5分，每小题1分） 1．（1分）（2023•崂山区）小明玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去，当小明撕了n次后，共有2023张纸片，则n的值是（　　） A．505 B．506 C．674 D．675 2．（1分）（2023•汾阳市）庆六一，同学们用彩色小灯泡布置教室，按“三红、二黄、二绿”的规律连起来，第2024个小灯泡是（　　）色的。 A．红 B．黄 C．绿 3．（1分）（2023•武城县）观察如图，根据左面方格中数字排列的规律，右面方格空白处填（　　） A．3 B．4 C．5 4．（1分）（2023•霞山区）用完全相同的小棒摆六边形（如图），1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒……像这样摆n个六边形需要（　　）根小棒。 A．5n B．5n+1 C．6n D．6n﹣1 5．（1分）（2023•金水区）一些正方体按图方式摆放。如果用n表示第几个图形，用y表示图形露在外面的面的个数，下面式子能表示第几个图形与露在外面的面的个数关系的是（　　） A．y＝9n B．y＝4+5n C．y＝2+2n 二．仔细想，认真填（共8小题，满分16分，每小题2分） 6．（2分）（2023•江阳区）小芳用小棒搭房子（如图所示），她搭3间房子用16根小棒，照这样搭6间房子要用 　 　根小棒，搭“n”间房子要用 　 　根小棒。 7． （2分）（2023•崂山区）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为3125，则第2023次输出的结果为 　 　。 8．（2分）（2023•岚县）如图，用一根长48厘米的绳子在桌上摆成正方形。 （1）仔细观察，填写下表。 正方形总个数 1 2 3 4 5 每个正方形的边长/厘米 12 6 围成图形的顶点个数 4 7 （2）用这根绳子摆出48个正方形时，正方形的边长是 　 　厘米；当每个正方形的边长是1厘米时，一共摆了 　 　个正方形。 （3）当用这根绳子摆出n个正方形时，围成图形的顶点个数是 　 　。 9．（2分）（2023•射洪市）观察图中各个图形的规律，第n个图形有 　 　个正方形。 10．（2分）（2023•正定县）图形按〇□△△〇□△△〇□△△……的规律排列，第90个图形是 　 　，这样前边共排了 　 　个△。 11．（2分）（2023•邵阳县）有一串珠子按2颗白珠，5颗红珠的顺序排列，第48颗珠子是 　 　色。 12．（2分）（2022•宜宾）如图，一个形如六边形的点阵，它的中心是1个点，作为第一层，第二层每边有2个点，第三层每边有3个点，依此类推，如果n层六边形点阵的总点数是331，那么n等于　 　。 13．（2分）（2021•长沙）如图所示，用适当数量的圆片（不少于3个）可以摆成“三角形”或“正方形”。弟弟用一些圆片按这样的方式摆成了一个“三角形”，哥哥在不改变圆片数量的条件下，把它改成了两个不同的“正方形”。已知弟弟使用的圆片少于100个。弟弟使用了 　 　个圆片。 三．计算能手（共1小题，满分6分，每小题6分） 14．（6分）（2020•科左中旗）算一算并找出规律 （1）①1 ② ③ ④ 规律：　 　 （2）按照上面的规律，直接写出下面各题的得数 ① ② ③ ④ （3）用上面的规律计算 四．实际应用（共3小题，满分11分） 15．（4分）（2023•临西县）一张长方形桌子可坐6人，按如图方式将桌子拼在一起。 （1）2张这样的桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子呢？n张桌子呢？ （2）一家饭店有80张这样的长方形桌子，按照如图方式每4张拼成1张大桌子，则80张桌子可拼成20张大桌子，共可坐多少人？ 16．（3分）（2023•武城县）如图所示，用“十字”分割正方形。分割一次，分成了4个正方形，分割两次，分成了7个正方形。 （1）如果连续用“十字”分割4次，分成了 　 　个正方形。 （2）如果连续用“十字”分割n次，会分成 　 　个正方形。 （3）如果分成346个正方形。需要用“十字”分割 　 　次。 17． （4分）（2021•越城区）有一个无限小数，小数部分任意相邻四位数字之和都是26，已知第3位是3，第6位是6，第8位是8，那么第2021位上的数字是几？（写出计算与分析过程） 五．解决问题（共13小题，满分62分） 18．（4分）（2023•孝义市）在如表所示的2021年8月份的月历中，用图中虚线那样的一个长方形方框能否圈出“总和为198”的9个数？如果能，请求出这9个日期分别是几号；如果不能，请说明理由。 19．（5分）（2023•云阳县）探索与发现。 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13……计算12+12+22+32+52+82+132+……这样的算式时有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，于是他以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如图所示的长方形来研究。 序号 ① ② ③ ④ 图形 算式 12+12 12+12+22 12+12+22+32 12+12+22+32+52 （1）观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。 12+12＝1×2 12+12+22＝2×3 12+12+22+32＝　 　×　 　 12+12+22+32+52＝　 　×　 　 （2）若按此规律继续拼长方形，则序号为 　 　的长方形面积是273。 20．（4分）（2023•惠济区）你知道吗？在分数运算中，有一种现象很普遍，如下面两个例子： 因为，→所以 因为，→所以 （1）通过观察我发现：两个分数的 　 　相同，并且分母 　 　，那么 　 　。 （2）请写出一个符合以上规律的等式。 21．（5分）（2023•大同）仔细分析，探究规律． 摆第7个图形需要用　 　根小棒，摆出来的是　 　形． 22．（5分）（2023•青秀区）仔细观察下面的算式和由“※”组成的图案，完成下列问题： 1+3＝4＝22 1+3+5＝9＝31 1+3+5+7＝16＝42 1+3+5+7+9＝25＝52 （1）请计算： 1+3+5+7+9+……+19＝　 　。 （2）请猜想： 1+3+5+7+9+……+n＝　 　.（n为奇数） （3） 若有1+3+5+7+9+……+n＝625，则n＝　 　。（n为奇数） 23．（4分）（2023•城阳区）用火柴棒按照如图的方法摆正方形（每条边只摆1根火柴棒）。 （1）观察如图并填表。 正方形个数 1 2 3 4 ……… n 火柴棒根数 ……… （2） 如果用了25根火柴棒，一共摆了多少个正方形？写出你的思考过程。 24．（5分）（2023•崂山区）用同样大小的两种不同颜色的正方体纸片，按如图方式拼成长方体： 第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有2×（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片； 第③个图形中有2×（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片； 第④个图形中有2×（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片； …… 请你观察如图图形与算式，完成下列问题： （1）观察可得：1+2+3+……+n＝　 　（用含n的代数式表示） （2）根据你的发现计算：121+122+123+……+300 25．（5分）（2023•酉阳县）用同样长的小棒摆正方形（如图）。 请填表： 正方形个数 1 2 3 4 …… 11 小棒根数 4 7 10 …… 361 26．（5分）（2022•南城县）平衡中发现!下面是粗细均匀的木杆，在木杆的最中间位置放置一个平衡装置将木杆的左右两点刻上长度均匀的线，并标上数字，如图。 （1）若在左侧数字5的位置悬挂6个质量均为50克的砝码，那么在平衡点右侧数字6位置需悬挂 　 　个同样质量砝码才能保持木杆平衡。 （2）若右侧数字3处放置400克的物品，那么在左侧数字6处要放置 　 　克的物品才能保持木杆平衡。 （3）我发现：要使木杆平衡，必须满足物品的质量与放置的位置所标的数字成 　 　比例。 27．（5分）（2022•灵武市）观察图，请提出有深度的数学问题或猜想。 …… 28．（5分）（2022•阜平县）如图图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。 （1）找规律画出图形⑤。 （2）根据如图图形把表格补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/cm2 0.25 0.75 1.5 　 　 　 　 周长/cm 2 4 6 　 　 　 　 29．（5分）（2021•青岛）1，，， 根据你发现的规律，试写出 （1）； （2）　 　； （3）计算：。 30．（5分）（2023•浦口区）别有“动”天。 数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通。如果用运动的眼光来观察，可能会有不一样的发现。 如图1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米。求涂色部分面积。 轩轩思考涂色部分是三角形BEC，这个三角形的底和高都不知道，正当他一筹莫展时，点B动起来了，它沿着BA向上运动，当运动到A点时，形成三角形ADE（如图2）。这时三角形ADE和图1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面积相等，形成的大三角形ADC的面积和图1涂色部分的三角形BCE面积相等。大三角形ADC的底是8厘米，高是8厘米，面积是 　 　平方厘米，即涂色部分面积。 通过点的运动，形成新的图形，问题迎刃而解。既然点可以动起来，那么线段呢？ 如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中涂色部分长方形的周长分别是14厘米和8厘米。原来长方形的周长是多少厘米？ 线段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC。发现原来长方形的周长就是两个涂色部分周长的 　 　，从而巧妙解题。 点的运动、线的运动……运动的对象不同，解题思路却异曲同工。 静中有动，动中有静，动静变换之中灵感无限。请尝试解决图4和图5中的问题。 （1）图4中涂色部分是一个正方形，那么长方形ABCD的周长是 　 　厘米。 （2）图5大正方形边长为14厘米，涂色部分正方形的面积是 　 　平方厘米。 图形里的“点、线、面”活泼好“动”，让解题思路别有“动”天，令人茅塞顿开，如入“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之境。 通过上面的学习，令人印象深刻的有 　 　。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年人教版数学小升初暑假衔接培优精讲练过关讲义 （导图+知识精讲+真题拔高卷） 第4讲 探索规律 小升初数学中的找规律问题主要包括数字规律、图形规律、算式规律、数与形结合的规律，周期规律等。我们需要通过观察分析,找到数列中的规律,然后填空解答 知识点01：数字中的规律 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点02：图形中的规律 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点03：算式中的规律 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点04：数形结合中的规律 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点05：周期规律 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点06：找规律问题常见策略 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 一．慎重选择（共5小题，满分5分，每小题1分） 1．（1分）（2023•崂山区）小明玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去，当小明撕了n次后，共有2023张纸片，则n的值是（　　） A．505 B．506 C．674 D．675 试题思路分析：依据题意结合图示可知，小明每撕一次，比上次多增加3张小纸片，因此撕了n次后，手中共有（3n+1）张纸片，由此解答本题。 详细规范解答：解：由分析可知：3n+1＝2023，则n＝674。 故选：C。 考察易错点与重难点：解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 2．（1分）（2023•汾阳市）庆六一，同学们用彩色小灯泡布置教室，按“三红、二黄、二绿”的规律连起来，第2024个小灯泡是（　　）色的。 A．红 B．黄 C．绿 试题思路分析：每（3+2+2）个小灯泡一循环，计算第2024个是第几组循环零几个，即可判断其颜色。 详细规范解答：解：2024÷（3+2+2） ＝2024÷7 ＝289（组）……1（个） 答：第2024个小灯泡是红色的。 故选：A。 考察易错点与重难点：先找到规律，再根据规律求解。 3．（1分）（2023•武城县）观察如图，根据左面方格中数字排列的规律，右面方格空白处填（　　） A．3 B．4 C．5 试题思路分析：从方格中数字排列可知，第一行和第一列都是后两个数相乘是前一个数，第二行和第二列都是后两个数相加是前一个数，第三行和第三列都是后两个数相加是前一个数，据此填写即可。 详细规范解答：解：5﹣2＝3 。 故选：A。 考察易错点与重难点：考查了数表中的规律，表中不同的和或积的情况要一行一行（或一列一列）的找，再相减进行解答。 4．（1分）（2023•霞山区）用完全相同的小棒摆六边形（如图），1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒……像这样摆n个六边形需要（　　）根小棒。 A．5n B．5n+1 C．6n D．6n﹣1 试题思路分析：由图可知，从第2个图形开始，每增加1个正六边形，就会增加5根小棒，根据这个规律求出摆n个六边形需要的小棒根数即可。 详细规范解答：解：6+（n﹣1）×5 ＝6+5n﹣5 ＝（5n+1）（根） 答：摆n个六边形需要（5n+1）根小棒。 故选：B。 考察易错点与重难点：解答本题需准确分析摆成的六边形的个数与需要的小棒根数之间的关系，按规律解答。 5．（1分）（2023•金水区）一些正方体按图方式摆放。如果用n表示第几个图形，用y表示图形露在外面的面的个数，下面式子能表示第几个图形与露在外面的面的个数关系的是（　　） A．y＝9n B．y＝4+5n C．y＝2+2n 试题思路分析：由图可知，第1个图形露出9个面，第2个图形露出14个面，第3个图形露出19个面，第4个图形露出24个面……，4个图形的左右两边都是露出4个面，每增加2个小正方体，就会增加5个面，据此找规律解答。 详细规范解答：解：由分析可知，图形露在外面的面的个数＝5+图形的序数×5，如果用n表示第几个图形，用y表示图形露在外面的面的个数，则y＝4+5n。 故选：B。 考察易错点与重难点：解答本题需准确分析图形的序数与露出的面数之间的关系，分析出每增加2个小正方体，就会增加5个面是关键。 二．仔细想，认真填（共8小题，满分16分，每小题2分） 6．（2分）（2023•江阳区）小芳用小棒搭房子（如图所示），她搭3间房子用16根小棒，照这样搭6间房子要用 　31　根小棒，搭“n”间房子要用 　（n×5+1）　根小棒。 试题思路分析：由图可知，搭1间房子用（5+1）根小棒，搭2间房子用（2×5+1）根小棒，搭3间房子用（3×5+1）根小棒……，搭“n”间房子要用（n×5+1）根小棒，根据这个规律求出搭6间和n间房子要用的小棒根数即可。 详细规范解答：解：由图可知，搭“n”间房子要用（n×5+1）根小棒， 6×5+1 ＝30+1 ＝31（根） 答：搭6间房子要用31根小棒，搭“n”间房子要用（n×5+1）根小棒。 故答案为：31，（n×5+1）。 考察易错点与重难点：解答本题需准确分析搭成的房间数与需要的小棒根数之间的关系，灵活根据找到的规律解答。 7．（2分）（2023•崂山区）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为3125，则第2023次输出的结果为 　1　。 试题思路分析：分别求出第一次输出的结果为625，第二次输出的结果为125，第三次输出的结果为25，第四次输出的结果为5，第五次输出的结果为1，第六次输出的结果为5……，由此得出规律，计算结果即可。 详细规范解答：解：0.2x＝x， 第一次输出的结果：3125＝625， 第二次输出的结果：625＝125， 第三次输出的结果：125＝25， 第四次输出的结果：25＝5， 第五次输出的结果：5＝1， 第六次输出的结果：1+4＝5， 第七次输出的结果：5＝1， 第八次输出的结果：1+4＝5， 第九次输出的结果：5＝1，⋯⋯ 由此得到规律，从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5， 所以第2023次输出结果为1。 故答案为：1。 考察易错点与重难点：本题考查数字的变化规律，总结归纳出从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5是解题的关键。 8．（2分）（2023•岚县）如图，用一根长48厘米的绳子在桌上摆成正方形。 （1）仔细观察，填写下表。 正方形总个数 1 2 3 4 5 每个正方形的边长/厘米 12 6 围成图形的顶点个数 4 7 （2）用这根绳子摆出48个正方形时，正方形的边长是 　0.25　厘米；当每个正方形的边长是1厘米时，一共摆了 　12　个正方形。 （3）当用这根绳子摆出n个正方形时，围成图形的顶点个数是 　（3n+1）　。 试题思路分析：依据题意结合图示可知，n个正方形时，边长为（48÷4n）厘米，顶点为（3n+1）个，依据各个小题的题意分别去解答。 详细规范解答：解：（1） 正方形总个数 1 2 3 4 5 每个正方形的边长/厘米 12 6 4 3 2.4 围成图形的顶点个数 4 7 10 13 16 （2）当n＝48时，48÷（48×4）＝0.25（厘米）， 48÷1÷4＝12（个） 答：用这根绳子摆出48个正方形时，正方形的边长是0.25厘米；当每个正方形的边长是1厘米时，一共摆了12个正方形。 （3）当用这根绳子摆出n个正方形时，围成图形的顶点个数是（3n+1）。 故答案为：（1）4、3、2.4、10、13、16； （2）0.25，12； （3）（3n+1）。 考察易错点与重难点：解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 9．（2分）（2023•射洪市）观察图中各个图形的规律，第n个图形有 　（n+1）　个正方形。 试题思路分析：第1个图形有1+1＝2（个）正方形，第2个图形有2+1＝3（个）正方形，第3个图形有3+1＝4（个）正方形，以此类推第n个图形有（n+1）个正方形。 详细规范解答：解：第n个图形有（n+1）个正方形。 故答案为：（n+1）。 考察易错点与重难点：掌握数与形结合的规律是解题的关键。 10．（2分）（2023•正定县）图形按〇□△△〇□△△〇□△△……的规律排列，第90个图形是 　□　，这样前边共排了 　44　个△。 试题思路分析：观察图形可以发现，每4个图形一循环，即循环周期是4，用90除以4，求出商和余数，根据余数是几，第90个图形就是一个循环周期的第几个图形解答；根据商和余数判断这90个图形中有个△。 详细规范解答：解：90÷4＝22（组）……2（个） 所以第90个图形是□。 90个图形中△的个数是：22×2＝44（个） 答：第90个图形是□，这样前边共排了44个△。 故答案为：□；44。 考察易错点与重难点：根据题干得出这组图形的排列周期规律是解决此类问题的关键。 11．（2分）（2023•邵阳县）有一串珠子按2颗白珠，5颗红珠的顺序排列，第48颗珠子是 　红　色。 试题思路分析：2颗白珠、5颗红珠7颗珠子看成一组，用48除以7求出48里面有几个这样的一组，还余几，再根据余数进行推算。 详细规范解答：解：2+5＝7（颗） 48÷7＝6（组）……6（颗） 余数是6，那么第48颗就是第7组的第6个，是红色的珠子。 答：第48颗珠子是红色。 故答案为：红。 考察易错点与重难点：先找到规律，再根据规律求解。 12．（2分）（2022•宜宾）如图，一个形如六边形的点阵，它的中心是1个点，作为第一层，第二层每边有2个点，第三层每边有3个点，依此类推，如果n层六边形点阵的总点数是331，那么n等于　11　。 试题思路分析：首先审题，然后观察图示，可知规律：第一层1个点；第二层（2﹣1）×6＝6（个）点；第三层（3﹣1）×6＝12（个）点；……；第n层（n﹣1）×6（个）点。然后计算n层六边形点阵的总点数（用n表示），然后建立起n的方程，用验证法求解n即可。 详细规范解答：解：经分析得： n层六边形点阵的总点数是1+6×（1+2+3+…+n﹣1），则 1+6×（1+2+3+…+n﹣1）＝331 1+6331 3（n﹣1）n＝330 （n﹣1）n＝110 而10×11＝110 所以n＝11 故答案为：11。 考察易错点与重难点：本题考查数和形中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。 13．（2分）（2021•长沙）如图所示，用适当数量的圆片（不少于3个）可以摆成“三角形”或“正方形”。弟弟用一些圆片按这样的方式摆成了一个“三角形”，哥哥在不改变圆片数量的条件下，把它改成了两个不同的“正方形”。已知弟弟使用的圆片少于100个。弟弟使用了 　45　个圆片。 试题思路分析：首先观察三角形的变化规律，当三角形的一个边上有n个圆片时，这个三角形会有n（n+1）÷2个圆片；而弟弟用一些圆片按这样的方式摆成了一个“三角形”，哥哥在不改变圆片数量的条件下，把它改成了两个不同的“正方形”，设两个正方形的边长上分别有圆片a个和b个，则两个正方形需要的圆片个数为a×a+b×b，结合题意可知，有n（n+1）÷2＝a×a+b×b＜100。结合这一层等式和不等关系，分类讨论解决问题即可。 详细规范解答：解：经分析得： n（n+1）÷2＝a×a+b×b＜100 当n＝4时，可取a＝1，b＝3，但数量的圆片（不少于3个）可以摆成“三角形”或“正方形”。所以排除。 当n＝9时，可取a＝3，b＝6，满足数量的圆片（不少于3个）可以摆成“三角形”或“正方形”。 此时，圆片的总数量为 n（n+1）÷2 ＝9×10÷2 ＝90÷2 ＝45（个） 故答案为：45。 考察易错点与重难点：本题考查数和形中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。 三．计算能手（共1小题，满分6分，每小题6分） 14．（6分）（2020•科左中旗）算一算并找出规律 （1）①1 ② ③ ④ 规律：　分母是两个连续的自然数的分数单位相减，差等于分母是这两个连续自然数的乘积的分数单位。　 （2）按照上面的规律，直接写出下面各题的得数 ① ② ③ ④ （3）用上面的规律计算 试题思路分析：（1）规律是分母是两个连续的自然数的分数单位相减，差等于分母是这两个连续自然数的乘积的分数单位。据此解答。 （2）按照上面的规律，直接写出下面各题的得数。 （3）运用以上规律的逆运算解答。 详细规范解答：解：（1）①1 ② ③ ④ 规律：分母是两个连续的自然数的分数单位相减，差等于分母是这两个连续自然数的乘积的分数单位。 （2）① ② ③ ④ （3） ＝1 ＝1 故答案为：分母是两个连续的自然数的分数单位相减，差等于分母是这两个连续自然数的乘积的分数单位。 考察易错点与重难点：计算比较总结出规律是解决本题的关键。 四．实际应用（共3小题，满分11分） 15．（4分）（2023•临西县）一张长方形桌子可坐6人，按如图方式将桌子拼在一起。 （1）2张这样的桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子呢？n张桌子呢？ （2）一家饭店有80张这样的长方形桌子，按照如图方式每4张拼成1张大桌子，则80张桌子可拼成20张大桌子，共可坐多少人？ 试题思路分析：（1）1张长方形桌子可坐6人，2张长方形桌子可坐（6+2）人，3张长方形桌子可坐（6+2+2）人，n张长方形桌子可坐[6+2×（n﹣1）]人，由此解答本题； （2）先计算1张大桌子可坐多少人，然后计算20张大桌子，共可坐多少人。 详细规范解答：解：（1）2张这样的桌子拼在一起可坐人数：6+2＝8（人） 3张这样的桌子拼在一起可坐人数：6+2+2＝10（人） n张这样的桌子拼在一起可坐人数：6+2×（n﹣1） ＝6+2n﹣2 ＝（2n+4）人 答：2张这样的桌子拼在一起可坐8人，3张桌子可坐10人，n张桌子可坐（2n+4）人。 （2）1张大桌子可坐人数：2×4+4 ＝8+4 ＝12（人） 12×20＝240（人） 答：共可坐240人。 考察易错点与重难点：解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 16．（3分）（2023•武城县）如图所示，用“十字”分割正方形。分割一次，分成了4个正方形，分割两次，分成了7个正方形。 （1）如果连续用“十字”分割4次，分成了 　13　个正方形。 （2）如果连续用“十字”分割n次，会分成 　（3n+1）　个正方形。 （3）如果分成346个正方形。需要用“十字”分割 　115　次。 试题思路分析：分割1次，分成了4个正方形，分割2次，分成了（4+3）个正方形，分割3次，分成了（4+3+3）个正方形，分割n次，分成了[4+3×（n﹣1）]个正方形，结合题意去解答即可。 详细规范解答：解：（1）分割3次，分成的正方形的个数：4+3×（4﹣1） ＝4+9 ＝13（个） （2）分割n次，分成的正方形个数：4+3×（n﹣1） ＝4+3n﹣3 ＝（3n+1）个 （3）3n+1＝346，则n＝115，所以需要分割115次。 故答案为：（1）13；（2）（3n+1）；（3）115。 考察易错点与重难点：解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 17．（4分）（2021•越城区）有一个无限小数，小数部分任意相邻四位数字之和都是26，已知第3位是3，第6位是6，第8位是8，那么第2021位上的数字是几？（写出计算与分析过程） 试题思路分析：小数部分任意相邻四位数字之和都是26，说明循环周期是4，第6位和第2位一样，第8位和第4位一样，用相邻四位数字之和减去（3+6+8）就是循环周期的第一个数字，据此求出一个循环周期的四位数字，再用2021除以循环周期，求出有几个循环周期零几个即可解答。 详细规范解答：解：26﹣（3+6+8） ＝26﹣17 ＝9 所以循环周期的四个数字是：9638； 2021÷4＝505……1 答：第2021位上的数字是9。 考察易错点与重难点：求出这个小数的循环节，找出循环周期是解题的关键。 五．解决问题（共13小题，满分62分） 18．（4分）（2023•孝义市）在如表所示的2021年8月份的月历中，用图中虚线那样的一个长方形方框能否圈出“总和为198”的9个数？如果能，请求出这9个日期分别是几号；如果不能，请说明理由。 试题思路分析：根据题意，所框9个数的和是2+3+4+9+10+11+16+17+18＝90，90为中间数10的9倍。198÷9＝22，但由图可知，若22为最中间一个数，那么左边无数可框，所以不能圈出总和为198的9个数。由此解答即可。 详细规范解答：解：分析可知，所框9个数的和为中间数的9倍。 198÷9＝22 由图可知，若22为最中间一个数，那么左边无数可框，所以不能圈出总和为198的9个数。 考察易错点与重难点：本题考查了简单的覆盖现象，结合平均数知识解答即可。 19．（5分）（2023•云阳县）探索与发现。 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13……计算12+12+22+32+52+82+132+……这样的算式时有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，于是他以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如图所示的长方形来研究。 序号 ① ② ③ ④ 图形 算式 12+12 12+12+22 12+12+22+32 12+12+22+32+52 （1）观察上面的图形和算式，把下面的算式补充完整。 12+12＝1×2 12+12+22＝2×3 12+12+22+32＝　3　×　5　 12+12+22+32+52＝　5　×　8　 （2）若按此规律继续拼长方形，则序号为 　6　的长方形面积是273。 试题思路分析：观察图形和算式，可以发现长方形的长等于数列末项和前一项的和，长方形的宽等于数列的末项，那么求这个数列中数的平方的和就相当于求长方形的面积，长方形面积＝（末项+前一项）×末项。 详细规范解答：解：（1）观察图形和算式，可以发现长方形的长等于数列末项和前一项的和，长方形的宽等于数列的末项，那么求这个数列中数的平方的和就相当于求长方形的面积，长方形面积＝（末项+前一项）×末项。 12+12＝1×2 12+12+22＝2×3 12+12+22+32＝3×5 12+12+22+32+52＝5×8 （2）根据观察可以发现，第一个图形，是2项的数的平方和，第2个图形，是3项的数的平方和，因为273＝13×21，若按此规律继续拼长方形，则序号为6的长方形面积是273。 故答案为：3，5；5，8；6。 考察易错点与重难点：本题主要考查了数与图形的变化规律，需要较强的观察、分析、归纳能力，结合题意分析解答即可。 20．（4分）（2023•惠济区）你知道吗？在分数运算中，有一种现象很普遍，如下面两个例子： 因为，→所以 因为，→所以 （1）通过观察我发现：两个分数的 　分子　相同，并且分母 　和等于分子　，那么 　两个分数的积等于它们的和　。 （2）请写出一个符合以上规律的等式。 试题思路分析：（1）通过观察所给算式，发现这些算式的规律； （2）根据（1）的规律写算式，合理即可，无固定答案。 详细规范解答：解：（1）通过观察我发现：两个分数的分子相同，并且分母和等于分子，那么两个分数的积等于它们的和。 （2），→所以（答案不唯一） 故答案为：分子，和等于分子，两个分数的积等于它们的和。 考察易错点与重难点：此题在于考查学生总结规律的能力。 21．（5分）（2023•大同）仔细分析，探究规律． 摆第7个图形需要用　15　根小棒，摆出来的是　梯　形． 试题思路分析：观察图形得到1个三角形所需火柴棍的根数＝3，2个三角形所需火柴棍的根数＝3+2，3个三角形所需火柴棍的根数＝3+2×2，…，于是得到n个三角形所需火柴棍的根数＝3+2×（n﹣1），然后把n＝7代入计算即可；当摆出的图形个数是奇数时，这个图形是三角形或梯形；当摆出的图形的个数是偶数个时，这个图形是平行四边形，据此即可解答． 详细规范解答：解：观察图形可知：1个三角形所需火柴棍的根数＝3， 2个三角形所需火柴棍的根数＝3+2， 3个三角形所需火柴棍的根数＝3+2×2， … n个三角形所需火柴棍的根数＝3+2×（n﹣1）＝2n+1． 当n＝7时，2n+1＝2×7+1＝15（根）， 又因为摆出的三角形的个数是7个，所以摆成的图形是梯形． 故答案为：15；梯． 考察易错点与重难点：本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 22．（5分）（2023•青秀区）仔细观察下面的算式和由“※”组成的图案，完成下列问题： 1+3＝4＝22 1+3+5＝9＝31 1+3+5+7＝16＝42 1+3+5+7+9＝25＝52 （1）请计算： 1+3+5+7+9+……+19＝　10²＝100　。 （2）请猜想： 1+3+5+7+9+……+n＝　（）²　.（n为奇数） （3）若有1+3+5+7+9+……+n＝625，则n＝　49　。（n为奇数） 试题思路分析：观察式子的规律都是从1开始的奇数的和，结果都等于奇数的个数的平方。据此解答。 详细规范解答：解：（1）1+3+5+7+9+……+19＝（）2＝100 （2）1+3+5+7+9+……+n＝（）² （3）因为25×25＝625，所以若有1+3+5+7+9+……+n＝625，则25，n＝49。 故答案为：10²，100；（）²；49。 考察易错点与重难点：本题主要考查数与形结合的规律，找到规律是解题的关键。 23．（4分）（2023•城阳区）用火柴棒按照如图的方法摆正方形（每条边只摆1根火柴棒）。 （1）观察如图并填表。 正方形个数 1 2 3 4 ……… n 火柴棒根数 ……… （2）如果用了25根火柴棒，一共摆了多少个正方形？写出你的思考过程。 试题思路分析：（1）根据图中的正方形个数与需的火柴根数可知，从第二个图形开始，每多一个小正方形，就多3根小棒，据此找规律填表； （2）按（1）找出的规律，计算出用25根火柴棒摆成的小正方形个数即可。 详细规范解答：解：（1） 正方形个数 1 2 3 4 ……… n 火柴棒根数 4 7 10 13 ……… 3n+1 （2）设一共摆了n个正方形。 3n+1＝25 3n+1﹣1＝25﹣1 3n＝24 3n÷3＝24÷3 n＝8 答：一共摆了8个正方形。 考察易错点与重难点：解答本题的关键是找准摆成的小正方形的个数与需要的小棒根数之间的关系。 24．（5分）（2023•崂山区）用同样大小的两种不同颜色的正方体纸片，按如图方式拼成长方体： 第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有2×（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片； 第③个图形中有2×（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片； 第④个图形中有2×（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片； …… 请你观察如图图形与算式，完成下列问题： （1）观察可得：1+2+3+……+n＝　n（n+1）÷2　（用含n的代数式表示） （2）根据你的发现计算：121+122+123+……+300 试题思路分析：（1）根据①②③④的规律可知：第n个图形有n（n+1）张纸片，据此计算； （2）根据（1）的结果，用1+2+3+……+300的结果减去1+2+3+……+120的结果即可。 详细规范解答：解：（1）1+2+3+……+n＝n（n+1）÷2 （2）300×（300+1）÷2﹣120×（120+1）÷2 ＝45150﹣7620 ＝37890 故答案为：n（n+1）÷2。 考察易错点与重难点：解答本题需准确分析图形序数与纸片张数之间的关系，灵活找规律解答。 25．（5分）（2023•酉阳县）用同样长的小棒摆正方形（如图）。 请填表： 正方形个数 1 2 3 4 …… 11 小棒根数 4 7 10 …… 361 试题思路分析：由图可知，每增加1个小正方形，就会增加3根小棒；第1个图形有（3+1）根小棒，第2个图形有（2×3+1）根小棒，第3个图形有（3×3+1）根小棒……，据此分别求出摆第11个小正方形需要的小棒根数及361根小棒可以摆多少个小正方形即可。 详细规范解答：解：正方形个数为4时： 4×3+1 ＝12+1 ＝13（根） 正方形个数为11时： 11×3+1 ＝33+1 ＝34（根） 当小棒根数为361时： （361﹣1）÷3 ＝360÷3 ＝120（个） 正方形个数 1 2 3 4 …… 11 120 小棒根数 4 7 10 13 …… 34 361 故答案为：120；13；34。 考察易错点与重难点：解答本题需准确分析摆成的小正方形的个数与需要的小棒根数之间的关系，灵活解答。 26．（5分）（2022•南城县）平衡中发现!下面是粗细均匀的木杆，在木杆的最中间位置放置一个平衡装置将木杆的左右两点刻上长度均匀的线，并标上数字，如图。 （1）若在左侧数字5的位置悬挂6个质量均为50克的砝码，那么在平衡点右侧数字6位置需悬挂 　5　个同样质量砝码才能保持木杆平衡。 （2）若右侧数字3处放置400克的物品，那么在左侧数字6处要放置 　200　克的物品才能保持木杆平衡。 （3）我发现：要使木杆平衡，必须满足物品的质量与放置的位置所标的数字成 　反　比例。 试题思路分析：（1）（2）利用左边刻度×左边所放质量＝右边刻度×右边所放质量即可解答； （3）如果两个相关联的量的比值一定，则这两个量成正比例，如果两个相关联的量的乘积一定，则这两个量成反比例，据此判断即可。 详细规范解答：解：（1）6×50×5÷6÷50 ＝300×5÷6÷50 ＝5（个） 答：在平衡点右侧数字6位置需悬挂5个同样质量砝码才能保持木杆平衡。（2）3×400÷6 ＝1200÷6 ＝200（克） 答：在左侧数字6处要放置200克的物品才能保持木杆平衡。 （3）通过计算可得：要使木杆平衡，必须满足物品的质量与放置的位置所标的数字的乘积一定， 所以要使木杆平衡，必须满足物品的质量与放置的位置所标的数字成反比例。 故答案为：5；200；反。 考察易错点与重难点：本题属于开放题，解题的关键是掌握左边刻度×左边所放质量＝右边刻度×右边所放质量。 27．（5分）（2022•灵武市）观察图，请提出有深度的数学问题或猜想。 …… 试题思路分析：观察图形发现，阴影部分越来越少，且都是原来的一半，据此思考并解答。答案不唯一。 详细规范解答：解：答案不唯一。 1 1 1 …… 猜想：1 考察易错点与重难点：本题主要考查数与形结合的规律，发现阴影部分越来越少，且都是原来的一半是解题的关键。 28．（5分）（2022•阜平县）如图图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。 （1）找规律画出图形⑤。 （2）根据如图图形把表格补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/cm2 0.25 0.75 1.5 　2.5　 　3.75　 周长/cm 2 4 6 　8　 　10　 试题思路分析：（1）根据分析可知，是图形几，这个图形最高的一列就有几个小正方形，所以图形⑤最右边一列有5个小正方形，向左依次递减，据此画出图形即可。 （2）求出图形④和图形⑤分别有几个小正方形，再用数量乘一个小正方形的体积即可；图形④的周长相当于是边长是0.5×4厘米的正方形的周长；图形⑤的周长相当于是边长是0.5×5厘米的正方形的周长；根据正方形周长的公式求出周长即可。 详细规范解答：解：（1）如图： （2）个数的规律：图①的个数：1，面积：1×0.25＝0.25（平方厘米）； 图②的个数：1+2＝3，面积：3×0.25＝0.75（平方厘米）； 图③的个数：1+2+3＝6，面积：6×0.25＝1.5（平方厘米）； 图 n 的个数：1+2+3+…+n，面积：0.25（平方厘米）； 图④的个数：10，解：面积：10×0.25＝2.5（平方厘米）； 图⑤的个数：15，面积：15×0.25＝3.75（平方厘米）； 周长的规律：图①的周长：4×0.5＝2cm； 图②的周长：4×1＝4cm； 图③的周长：4×1.5＝6cm； 图 n 的周长：4×n×0.5＝2ncm 图④的周长：4×2＝8cm； 图⑤的周长：5×2＝10cm； 如表： 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/cm2 0.25 0.75 1.5 2.5 3.75 周长/cm 2 4 6 8 10 故答案为：2.5，3.75，8，10。 考察易错点与重难点：此题是考查数形结合探索规律的问题，根据前几个图形的分析，归纳出规律，是解决此题的关键。 29．（5分）（2021•青岛）1，，， 根据你发现的规律，试写出 （1）； （2）　　； （3）计算：。 试题思路分析：（1）根据题目中的式子，分母化解为两个因数的积，分子正好是这两个因数的差；据此可以写出相应的结果； （2）根据题目中式子的特点，可以写出相应的结果； （3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果。 详细规范解答：解：（1）； （2）； （3） ＝1 ＝1 故答案为：。 考察易错点与重难点：本题考查式的规律，解答本题的关键是明确给出的算式的特点和计算方法。 30．（5分）（2023•浦口区）别有“动”天。 数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通。如果用运动的眼光来观察，可能会有不一样的发现。 如图1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米。求涂色部分面积。 轩轩思考涂色部分是三角形BEC，这个三角形的底和高都不知道，正当他一筹莫展时，点B动起来了，它沿着BA向上运动，当运动到A点时，形成三角形ADE（如图2）。这时三角形ADE和图1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面积相等，形成的大三角形ADC的面积和图1涂色部分的三角形BCE面积相等。大三角形ADC的底是8厘米，高是8厘米，面积是 　32　平方厘米，即涂色部分面积。 通过点的运动，形成新的图形，问题迎刃而解。既然点可以动起来，那么线段呢？ 如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中涂色部分长方形的周长分别是14厘米和8厘米。原来长方形的周长是多少厘米？ 线段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC。发现原来长方形的周长就是两个涂色部分周长的 　和　，从而巧妙解题。 点的运动、线的运动……运动的对象不同，解题思路却异曲同工。 静中有动，动中有静，动静变换之中灵感无限。请尝试解决图4和图5中的问题。 （1）图4中涂色部分是一个正方形，那么长方形ABCD的周长是 　32　厘米。 （2）图5大正方形边长为14厘米，涂色部分正方形的面积是 　16　平方厘米。 图形里的“点、线、面”活泼好“动”，让解题思路别有“动”天，令人茅塞顿开，如入“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之境。 通过上面的学习，令人印象深刻的有 　在解题过程中要学会用运动的眼光来观察　。 试题思路分析：对于第一空，结合题干中的分析，大三角形ADC的面积和图1涂色部分的三角形BCE面积相等，通过大三角形ADC的底和高求出其面积即可； 对于第二空，结合题干中的分析，长方形ABCD的周长＝AG+GB+BF+FC+HC+HD+DE+EA，其中AG＝EN，AE＝GN，CF＝NH，CH＝NF，由此可知长方形ABCD的周长就是两个涂色部分周长的和； （1）观察图片发现，，ED＝EF+FD＝10cm，BH＝BG+GH＝6cm，ED+BH＝EF+FD+BG+GH，而BG＝AE，GH＝EG＝AB，所以ED+BH＝AE+EF+FD+AB＝AD+AB，而（AB+AD）是长方形ABCD周长的一半，据此可以求出长方形ABCD的周长； （2）大正方形的面积由两个梯形和小正方形面积组成，两个梯形的底和高都相等，因此面积相等，大正方形的边长已知，据此可以求出小正方形的面积。 对于最后一空，答案不唯一，言之有理即可。 详细规范解答：解：S△ADC＝8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（cm2） S△BEC＝S△ADC＝32cm2 长方形ABCD的周长＝两个涂色部分周长的和； （1）长方形ABCD的周长＝2×（AB+AD） ＝2×（ED+AH） ＝2×（10+6） ＝2×16 ＝32cm （2）涂色部分面积＝14×14﹣2×90 ＝196﹣180 ＝16（cm2） （答案不唯一）在解题过程中要学会用运动的眼光来观察。 故答案为：32，和；（1）32；（2）16；（答案不唯一）在解题过程中要学会用运动的眼光来观察。 考察易错点与重难点：本题具有很强的灵活性，注意观察题干中的思想方法可以有效的帮助解决后续的问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$