（复习巩固）第3讲 比和比例（导图+知识精讲+真题拔高卷）2024年人教版数学小升初暑假衔接培优精讲练过关讲义

2024年人教版数学小升初暑假衔接培优精讲练过关讲义 （导图+知识精讲+真题拔高卷） 第3讲 比和比例 知识点01：比 1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2.比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=4÷5=0.8 ↓ ↓ ↓ ↓ 前项 比号 后项 比值 3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 4.求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100千米:5时=20千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5.比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。 6.按比分配: （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点02：比例 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点03：正比例和反比例 1.判断正比例和反比例的方法: （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。 2.正比例图像:正比例图像是一条直线。 3.用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。 知识点04：比例尺 1.比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2) 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 一．慎重选择（共5小题，满分5分，每小题1分） 1．（1分）（2023•江阳区）如果甲数的等于乙数的，那么甲数：乙数等于（　　） A．3：2 B．2：3 C．6：5 2．（1分）（2023•西乡县）若甲数的等于乙数的，则甲：乙＝（　　） A．3：4 B．4：3 C．3：8 D．1：3 3．（1分）（2023•吴川市）圆的面积公式S＝πr2中，面积S与（　　）成正比例。 A．r2 B．r C．2r 4．（1分）（2023•永嘉县）如果按照图中的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是（　　） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．3：2 5．（1分）（2023•椒江区）如图，在一根粗细均匀的竹竿中点打孔并栓上绳子，然后从中点开始向两端等距离刻上刻度。如果竹竿左、右两边栓上A，B两个物品。已知B物重150g，要使竹竿平衡，A物重（　　） A．50g B．90g C．250g D．30g 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 6．（2分）（2023•澄城县）一个圆柱和一个圆锥，它们的体积比是4：3，高的比是2：5，圆柱与圆锥底面积的比是 　 　。 7．（2分）（2023•澄城县）六（1）班数学测验的总平均分是87分，已知六（1）班男、女生人数比为2：3，男生的平均分为86.25分，那么女生的平均分为 　 　。 8．（2分）（2023•厦门）一份稿件，甲单独打用小时，乙单独打用小时，甲、乙工作效率的比是 　 　。 9．（2分）（2023•西乡县）一项工作，甲单独完成需要9小时，是乙数单独完成所需时间的，甲、乙两人工作效率的最简比是（ 　 　：　 　）。 10．（2分）（2023•江阳区）在比例尺为1：2的图纸上，量得A点到B点的距离为10cm，A点到B点实际距离是 　 　cm。 11．（2分）（2023•海淀区）一个游泳池从18：00开始放水，到18：05时，水位下降3cm，到18：10时，水位下降6cm，到18：15时，水位下降9cm……放水时间与水位下降的数量成 　 　比例；照这样的速度，到18：45时，水位下降 　 　cm。 12．（2分）（2023•许昌）在一幅比例尺为的地图上，量得甲地到乙地的距离是4.2cm，甲地到乙地的实际距离是 　 　km。 13．（2分）（2023•巴南区）在比例尺是1：4000000的地图上，量得成都、巴南两地的距离为8cm，两地的实际距离是 　 　km。 三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分） 14．（1分）（2023•伊犁州）如果A＝8B，那么A与B成反比例．　 　．（判断对错） 15．（1分）（2023•西乡县）笑笑从家到学校，所用时间与平均速度成反比例。 　 　（判断对错） 16．（1分）（2023•富县）成正比例的量，在图象上描的点连接起来是一条曲线 　 　． （判断对错） 17．（1分）（2023•正定县）内角度数比是2：5：2的三角形是等腰三角形，又是钝角三角形。 　 　（判断对错） 18．（1分）（2023•金安区）中国最南边的曾母暗沙距广东省约2000千米，在比例尺为1：200000的地图上，我们可以量得图上距离为2厘米。 　 　（判断对错） 四．计算能手（共1小题，满分6分，每小题6分） 19．（6分）（2023•江阳区）解方程。 8x﹣16＝24 5（x﹣3）＝27.5 五．实际应用（共8小题，满分38分） 20．（4分）（2023•江阳区）第一车间男女工人人数比是5：3，男性工人比女性工人多20人。第二车间工人总数与第一车间相同，第二车间男女工人人数比是3：2，第二车间有女性工人多少人？ 21．（4分）（2023•霞山区）今年的“六一”儿童节，学校为同学们购进1500本科技书和故事书，科技书和故事书的数量比是3：2。购进科技书和故事书各多少本？ 22．（5分）（2023•钱塘区）中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片。由我国自主研发的“和谐号”动车组、“复兴号”高铁动车组和高速磁悬浮列车的速度比是5：7：12，“复兴号”高铁动车组比“和谐号”动车组每小时多行100千米，高速磁悬浮列车每小时行多少千米？ 23．（5分）（2023•西双版纳）红星小学六（1）班正在研讨“一摞白纸大约有多少张？”的问题，实践后发现： （1）每10张白纸的质量是一定的，白纸总质量与总页数成正比例关系。 （2）先数出50张白纸，再称出这50张白纸，正好是220克。 （3）称得这摞白纸总质量是6600克。 请根据六（1）班的研究思路解答“这摞白纸大约有多少张？”的问题。 24．（5分）（2023•日照）端午假期，凡凡计划从日照市灯塔风景区乘坐新能源出租车到东夷小镇游玩。出行前凡凡做的打车预算是15元，他在一幅比例尺是1：100000的地图上，量得两地之间的路程是7厘米，凡凡这次乘坐新能源出租车，单程会超出预算吗？ 日照市新能源出租汽车收费标准 起步价7元（3千米以内），超过3千米的部分每千米收1.5元。 25．（5分）（2023•赤坎区）农历八月十五是我国的传统节日——中秋节。妈妈做了蛋黄月饼和豆沙月饼共70个，蛋黄月饼和豆沙月饼的数量比是4：3，两种月饼各做了多少个？ 26．（5分）（2023•涧西区）花如海，人如潮，“汉服热”带动了洛阳今年的文旅热。洛阳一家汉服服装厂接到一个订单，如果每天加工500套汉服，8天可以完成订单任务，现在需求方让服装厂5天完成订单任务，平均每天需要加工多少套汉服？（请用比例知识解答） 27．（5分）（2023•慈利县）在一幅比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是5.5cm。在另一幅比例尺是1：5000000的地图上，这两个城市之间的距离是多少？ 六．解决问题（共6小题，满分30分） 28．（6分）（2023•赤坎区）星光小学六年级4个班的学生参加了以“我的航天梦”为主题的创意实践作品征集活动。以下是各班提交作品件数的相关信息。 ①六（2）班提交了48件作品。 ②六（1）班提交的作品件数比六（2）班多。 ③六（3）班和六（2）班提交的作品件数比为5：3。 （1）算式“”解决的数学问题是 　 　。 （2）算一算，六（3）班提交了多少件作品？ 29．（6分）（2023•钱塘区）张叔叔从A市驾车到C市，途径B城。 ①张叔叔从A市出发，以80千米/小时的速度，行驶了2.5小时，到达B城。 ②A市到B城到C市的路程比是4：3。 ③当汽车到达B城市油箱里还剩这箱油的60%。 根据以上信息，解决问题。 （1）A市到C市的路程是多少千米？ （2）张叔叔能否用剩下的油开到C市？请说明理由（假设每千米耗油量不变）。 30．（3分）（2023•雨花台区）把一根3米长的钢材锯成同样长的小段，锯成的段数和每小段的长度成 　 　比例；如果每次锯下一段，锯五次可以完成，每段是原来钢材的，每段长米。 31．（5分）（2023•雨花区）今年暑假，小明一家三口准备驾车从郑州到南阳游玩。图像表示的是爸爸驾车所行驶路程和耗油量的情况。 （1）汽车的耗油量与所行驶路程成什么比例关系？为什么？ （2）根据图中估一估，汽车行驶65千米的耗油量大约是 　 　升。如果耗油8升，大约行驶 　 　千米。 （3）如果爸爸驾驶这辆车沿着高德地图规划的路线，从郑州到南阳大约行驶400千米，需要耗油多少升？ 32．（5分）（2023•岚县）根据图中的信息解答下列问题。 （1）车站到学校的路线与游乐园到学校的路线的夹角度数是 　 　。 （2）量一量学校到电影院的图上距离是多少厘米？根据图上比例尺，求出学校到电影院的实际距离是多少？ 33．（5分）（2023•川汇区）甲乙两地之间的公路长170千米．一辆汽车从甲地开往乙地，头两小时行驶了68千米，照这样计算，几小时可以到达乙地？（用比例解） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年人教版数学小升初暑假衔接培优精讲练过关讲义 （导图+知识精讲+真题拔高卷） 第3讲 比和比例 知识点01：比 1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2.比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=4÷5=0.8 ↓ ↓ ↓ ↓ 前项 比号 后项 比值 3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 4.求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100千米:5时=20千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5.比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。 6.按比分配: （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点02：比例 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点03：正比例和反比例 1.判断正比例和反比例的方法: （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。 2.正比例图像:正比例图像是一条直线。 3.用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。 知识点04：比例尺 1.比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2) 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 一．慎重选择（共5小题，满分5分，每小题1分） 1．（1分）（2023•江阳区）如果甲数的等于乙数的，那么甲数：乙数等于（　　） A．3：2 B．2：3 C．6：5 试题思路分析：设甲数是a，乙数是b，如果甲数的等于乙数的，ab，a：b＝3：2。 详细规范解答：解：设甲数是a，乙数是b， ab a：b＝3：2 甲数：乙数等于3：2 故选：A。 考察易错点与重难点：本题考查了比的意义。 2．（1分）（2023•西乡县）若甲数的等于乙数的，则甲：乙＝（　　） A．3：4 B．4：3 C．3：8 D．1：3 试题思路分析：根据甲数的等于乙数的，可得甲数乙数，再根据比例的基本性质解答即可。 详细规范解答：解：甲数乙数 甲：乙：3：8 答：甲：乙＝3：8。 故选：C。 考察易错点与重难点：此题主要考查了比的意义和比例的基本性质的应用。 3．（1分）（2023•吴川市）圆的面积公式S＝πr2中，面积S与（　　）成正比例。 A．r2 B．r C．2r 试题思路分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 详细规范解答：解：因为S÷r2＝π（一定），商一定，所以面积与半径的平方成正比例。 故选：A。 考察易错点与重难点：此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 4．（1分）（2023•永嘉县）如果按照图中的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是（　　） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．3：2 试题思路分析：第一个图形旋转后得到一个圆柱，第二个图形旋转后得到一个圆锥，且旋转后的两个图形等底等高，据此求解即可。 详细规范解答：解：第一个图形旋转后得到一个圆柱，第二个图形旋转后得到一个圆锥，且旋转后的两个图形等底等高，所以两个旋转体的体积之比是3：1。 故选：B。 考察易错点与重难点：解答此题的关键是确定两个图形旋转后得到物体的形状。 5．（1分）（2023•椒江区）如图，在一根粗细均匀的竹竿中点打孔并栓上绳子，然后从中点开始向两端等距离刻上刻度。如果竹竿左、右两边栓上A，B两个物品。已知B物重150g，要使竹竿平衡，A物重（　　） A．50g B．90g C．250g D．30g 试题思路分析：如图，设A物重xg，根据A物的质量×A物到中点的长度＝B物的质量×B物到中点的长度，列比例解答。 详细规范解答：解：设A物重xg。 5x＝150×3 5x＝450 x＝90 答：A物重90克。 故选：B。 考察易错点与重难点：本题解题的关键是根据A物的质量×A物到中点的长度＝B物的质量×B物到中点的长度，列比例解答。 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 6．（2分）（2023•澄城县）一个圆柱和一个圆锥，它们的体积比是4：3，高的比是2：5，圆柱与圆锥底面积的比是 　10：9　。 试题思路分析：首先应知道圆柱和圆锥的体积计算公式，圆柱的体积公式为V＝Sh，圆锥的体积公式为VSh，设圆柱的体积是4，圆锥的体积是3，圆柱的高是2，圆锥的高是5，由此利用圆柱与圆锥的体积公式分别求出它们的底面积，即可解答。 详细规范解答：解：设圆柱的体积是4，圆锥的体积是3，圆柱的高是2，圆锥的高是5。 则圆柱的底面积与圆锥的底面积之比是： （4÷2）：（3×3÷5）＝2：10：9 答：圆柱与圆锥底面积的比是10：9。 故答案为：10：9。 考察易错点与重难点：此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用。 7．（2分）（2023•澄城县）六（1）班数学测验的总平均分是87分，已知六（1）班男、女生人数比为2：3，男生的平均分为86.25分，那么女生的平均分为 　87.5分　。 试题思路分析：男、女生的人数比为2：3，男生人数看作是2，女生人数是3，根据题意，可找出数量间的相等关系：女生的平均分×3+男生的平均分×2＝全班平均分×（2+3），设女生的平均分是x分，列并解方程即可。 详细规范解答：解：设女生平均成绩为x 3x+86.25×2＝87×（2+3） 3x+172.5＝435 3x＝262.5 x＝87.5 答：女生的平均分为87.5分。 故答案为：87.5分。 考察易错点与重难点：找出题目中的等量关系，是解答此题的关键。 8．（2分）（2023•厦门）一份稿件，甲单独打用小时，乙单独打用小时，甲、乙工作效率的比是 　3：4　。 试题思路分析：把稿件的总字数看作整体“1”，利用工作总量÷工作时间＝工作效率，再利用比的意义解答。 详细规范解答：解：（1）：（1） ＝3：4 答：甲、乙工作效率的比是3：4。 故答案为：3：4。 考察易错点与重难点：本题考查了比的意义的应用。 9．（2分）（2023•西乡县）一项工作，甲单独完成需要9小时，是乙数单独完成所需时间的，甲、乙两人工作效率的最简比是（ 　4　：　3　）。 试题思路分析：利用甲的工作时间除以分率求出乙的工作时间，再根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲乙的工作效率，再写出相应的比，根据比的基本性质化成最简整数比。 详细规范解答：解：912（小时） （1÷9）：（1÷12） ＝4：3 答：甲、乙两人工作效率的最简比是4：3。 故答案为：4：3。 考察易错点与重难点：解答此题的关键是求出乙的工作时间和两人的工作效率。 10．（2分）（2023•江阳区）在比例尺为1：2的图纸上，量得A点到B点的距离为10cm，A点到B点实际距离是 　20　cm。 试题思路分析：根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，求出A点到B点实际距离。 详细规范解答：解：1020（cm） 答：A点到B点实际距离是20cm。 故答案为：20。 考察易错点与重难点：此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者的关系式。 11．（2分）（2023•海淀区）一个游泳池从18：00开始放水，到18：05时，水位下降3cm，到18：10时，水位下降6cm，到18：15时，水位下降9cm……放水时间与水位下降的数量成 　正　比例；照这样的速度，到18：45时，水位下降 　27　cm。 试题思路分析：求出放水时间与水位下降的数量的比值，若相等，则放水时间与水位下降的数量成正比例；如果比值不一定，再求出乘积，看是否乘积一定，据此解答即可。 详细规范解答：解：18时5分﹣18时＝5分钟 18时10分﹣18时＝10分钟 18时15分﹣18时＝15分钟 5：3＝10：6＝15：9，是比值一定， 所以放水时间与水位下降的数量成正比例； 比值为5：3 答：放水时间与水位下降的数量成正比例；照这样的速度，水位下降27cm。 故答案为：正，27。 考察易错点与重难点：此题主要考查了正比例、反比例的意义，解答此题的关键是判断出：这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定 12．（2分）（2023•许昌）在一幅比例尺为的地图上，量得甲地到乙地的距离是4.2cm，甲地到乙地的实际距离是 　630　km。 试题思路分析：观察线段比例尺，发现图上1cm代表实际距离150km，用4.2乘150，求出甲地到乙地的实际距离即可。 详细规范解答：解：4.2×150＝630（km） 答：甲地到乙地的实际距离是630km。 故答案为：630。 考察易错点与重难点：本题考查比例尺，解答本题的关键是掌握线段比例尺的概念。 13．（2分）（2023•巴南区）在比例尺是1：4000000的地图上，量得成都、巴南两地的距离为8cm，两地的实际距离是 　320　km。 试题思路分析：根据实际距离＝图上距离÷比例尺求解。 详细规范解答：解：832000000（厘米） 32000000厘米＝320千米 答：两地的实际距离是320千米。 故答案为：320。 考察易错点与重难点：本题考查了已知图上距离和比例尺求实际距离的方法，根据实际距离＝图上距离÷比例尺求解；注意单位之间的换算。 三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分） 14．（1分）（2023•伊犁州）如果A＝8B，那么A与B成反比例．　×　．（判断对错） 试题思路分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 详细规范解答：解：如果A＝8B，当A、B都不为0时，则A：B＝8，是比值一定，那么A与B成正比例； 所以原题说法错误； 故答案为：×． 考察易错点与重难点：此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 15．（1分）（2023•西乡县）笑笑从家到学校，所用时间与平均速度成反比例。 　√　（判断对错） 试题思路分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 详细规范解答：解：平均速度和时间是两种相关联的量，它们从家到学校的距离有下面的关系：速度×时间＝家到学校的距离（一定），已知家到学校的距离一定，也就是平均速度和时间的乘积一定，所以所用时间与平均速度成反比例。所以原题说法正确。 故答案为：√。 考察易错点与重难点：此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再判断即可。 16．（1分）（2023•富县）成正比例的量，在图象上描的点连接起来是一条曲线 　×　． （判断对错） 试题思路分析：成正比例的两种量是对应的比值一定，也就是说一种量变化，另一种量也随着变化，它们的变化方向相同，所以成正比例的量，在图象上描的点连接起来是一条直线． 详细规范解答：解：成正比例的量，在图象上描的点连接起来是一条经过原点的直线，本题说法错误． 故答案为：×． 考察易错点与重难点：此题考查成正比例的量，在图象上的特征：一条经过原点的直线． 17．（1分）（2023•正定县）内角度数比是2：5：2的三角形是等腰三角形，又是钝角三角形。 　√　（判断对错） 试题思路分析：因为三角形的内角度数和是180°，根据一个数乘分数的意义，求出三个角的度数，进而判断即可。 详细规范解答：解：2+5+2＝9 180°40° 180°100° 所以三角形的三个内角是40°，100°，40°，这个三角形是等腰三角形，又是钝角三角形。 原题说法是正确的。 故答案为：√。 考察易错点与重难点：本题考查了按比例分配解答问题的能力。 18．（1分）（2023•金安区）中国最南边的曾母暗沙距广东省约2000千米，在比例尺为1：200000的地图上，我们可以量得图上距离为2厘米。 　×　（判断对错） 试题思路分析：根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据解答即可。 详细规范解答：解：2000千米＝200000000厘米 2000000001000（厘米） 答：图上距离为1000厘米。 所以原题说法错误。 故答案为：×。 考察易错点与重难点：本题考查了比例尺知识，解答此题的关键是掌握比例尺＝图上距离÷实际距离这个公式及其变形。 四．计算能手（共1小题，满分6分，每小题6分） 19．（6分）（2023•江阳区）解方程。 8x﹣16＝24 5（x﹣3）＝27.5 试题思路分析：第一题：先在方程两边同时加16，然后在方程两边同时除以8即可求出解。 第二题：先在方程两边同时除以5，然后在方程两边同时加3即可求出解； 第三题：将比例式化成方程，再解方程即可求出解。 详细规范解答：解：8x﹣16＝24 8x＝24+16 8x＝40 x＝40÷8 x＝5 5（x﹣3）＝27.5 x﹣3＝27.5÷5 x﹣3＝5.5 x＝5.5+3 x＝8.5 x x x x 考察易错点与重难点：此题考查解比例和解方程。掌握比例的基本性质和解方程的方法是解答的关键。 五．实际应用（共8小题，满分38分） 20．（4分）（2023•江阳区）第一车间男女工人人数比是5：3，男性工人比女性工人多20人。第二车间工人总数与第一车间相同，第二车间男女工人人数比是3：2，第二车间有女性工人多少人？ 试题思路分析：男性工人比女性工人多20人，根据“女工人人数比是5：3”可知，男性工人比女性工人（5﹣3）份，先用除法求出1份的人数，再乘（5+3）就是一车间人数。第二车间工人总数与第一车间相同，把第二车间人数看作单位“1”，则女性工人数占，根据分数乘法的意义，用第二车间人数乘就是第二车间女性工人数。 详细规范解答：解：20÷（5﹣3）×（5+3） ＝20÷2×8 ＝32（人） 答：第二车间有女性工人32人。 考察易错点与重难点：关键是根据按比例分配问题求出第一车间的人数，再把第二车间男女工人数的比转化成分数，然后根据分数乘法的意义解答。 21．（4分）（2023•霞山区）今年的“六一”儿童节，学校为同学们购进1500本科技书和故事书，科技书和故事书的数量比是3：2。购进科技书和故事书各多少本？ 试题思路分析：把1500按3：2进行分配，即可解答。 详细规范解答：解：1500 ＝1500 ＝900（本） 1500﹣900＝600（本） 答：购进科技书是900本，故事书600本。 考察易错点与重难点：本题考查的是比的应用，理解和应用比的意义是解答关键。 22．（5分）（2023•钱塘区）中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片。由我国自主研发的“和谐号”动车组、“复兴号”高铁动车组和高速磁悬浮列车的速度比是5：7：12，“复兴号”高铁动车组比“和谐号”动车组每小时多行100千米，高速磁悬浮列车每小时行多少千米？ 试题思路分析：复兴号高铁动车比和谐号动车组每小时多行（7﹣5）＝2（份），多行100千米，用除法求出1份是多少千米，再用乘法求出12份，即高速磁悬浮列车每小时行的千米数。 详细规范解答：解：100÷（7﹣5）×12 ＝100÷2×12 ＝50×12 ＝600 （千米） 答：高速磁悬浮列车每小时行 600千米。 考察易错点与重难点：关键是根据和谐号动车组，复兴号高铁动车组和高速磁悬浮列车的速度比，求出复兴号高铁动车比和谐号动车组每小时多行的份数，进而求出1份的份数，再求出12份的份数。 23．（5分）（2023•西双版纳）红星小学六（1）班正在研讨“一摞白纸大约有多少张？”的问题，实践后发现： （1）每10张白纸的质量是一定的，白纸总质量与总页数成正比例关系。 （2）先数出50张白纸，再称出这50张白纸，正好是220克。 （3）称得这摞白纸总质量是6600克。 请根据六（1）班的研究思路解答“这摞白纸大约有多少张？”的问题。 试题思路分析：根据题意，先数出50张白纸，再称出这50张白纸，正好是220克。可知一张白纸的质量，然后称得这摞白纸总质量是6600克。用总质量除以一张纸的质量，解答即可。 详细规范解答：解：220÷50＝4.4（克） 6600÷4.4＝1500（张） 答：这摞白纸大约有1500张。 考察易错点与重难点：此题考查了辨识成正比例的量与成反比例的量的实际应用，结合题意分析解答即可。 24．（5分）（2023•日照）端午假期，凡凡计划从日照市灯塔风景区乘坐新能源出租车到东夷小镇游玩。出行前凡凡做的打车预算是15元，他在一幅比例尺是1：100000的地图上，量得两地之间的路程是7厘米，凡凡这次乘坐新能源出租车，单程会超出预算吗？ 日照市新能源出租汽车收费标准 起步价7元（3千米以内），超过3千米的部分每千米收1.5元。 试题思路分析：根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求两地之间的实际距离；再用求出的路程减去3千米，求出超出部分的距路程，乘超出部分的单价，即可求出超出部分的费用，再加上3千米以内的费用7元，即可求出要付的钱数，然后再与15元比较判断即可。 详细规范解答：解：7700000（厘米） 700000厘米＝7千米 7﹣3＝4（千米） 1.5×4+7 ＝6+7 ＝13（元） 15元＞13元，所以单程不会超出预算。 答：单程不会超出预算。 考察易错点与重难点：此题考查了图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，利用“分段计费法”解决实际问题，注意计算的准确性。 25．（5分）（2023•赤坎区）农历八月十五是我国的传统节日——中秋节。妈妈做了蛋黄月饼和豆沙月饼共70个，蛋黄月饼和豆沙月饼的数量比是4：3，两种月饼各做了多少个？ 试题思路分析：把70按4：3进行分配，即可解答。 详细规范解答：解：70 ＝70 ＝40（个） 70﹣40＝30（个） 答：蛋黄月饼做了40个，豆沙月饼做了30个。 考察易错点与重难点：本题考查的是按比例分配应用题，掌握按比例分配的方法是解答关键。 26．（5分）（2023•涧西区）花如海，人如潮，“汉服热”带动了洛阳今年的文旅热。洛阳一家汉服服装厂接到一个订单，如果每天加工500套汉服，8天可以完成订单任务，现在需求方让服装厂5天完成订单任务，平均每天需要加工多少套汉服？（请用比例知识解答） 试题思路分析：根据题意知道工作总量一定，也就是工作效率与工作时间的乘积一定，所以工作效率与工作时间成反比例，由此列出方程解答即可。 详细规范解答：解：设平均每天需要加工x套汉服。 5x＝500×8 5x＝4000 x＝800 答：平均每天需要加工800套汉服。 考察易错点与重难点：关键是根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可。 27．（5分）（2023•慈利县）在一幅比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是5.5cm。在另一幅比例尺是1：5000000的地图上，这两个城市之间的距离是多少？ 试题思路分析：先根据实际距离＝图上距离÷比例求出实际距离，再根据图上距离＝实际距离×比例尺求出在另一幅图上的距离。 详细规范解答：解：5.511000000（cm） 11000000＝2.2（cm） 答：这两个城市之间的距离是2.2cm。 考察易错点与重难点：此题是比例尺应用题，要求熟练掌握比例尺＝图上距离：实际距离。 六．解决问题（共6小题，满分30分） 28．（6分）（2023•赤坎区）星光小学六年级4个班的学生参加了以“我的航天梦”为主题的创意实践作品征集活动。以下是各班提交作品件数的相关信息。 ①六（2）班提交了48件作品。 ②六（1）班提交的作品件数比六（2）班多。 ③六（3）班和六（2）班提交的作品件数比为5：3。 （1）算式“”解决的数学问题是 　六（1）班提交的作品件数　。 （2）算一算，六（3）班提交了多少件作品？ 试题思路分析：（1）算式“”解决的数学问题是六（1）班提交的作品件数； （2）设六（3）班提交的作品件数为x件，根据六（3）班和六（2）班提交的作品件数比为5：3，列出比例，即可解答。 详细规范解答：解：（1）算式“”解决的数学问题是六（1）班提交的作品件数； （2）设六（3）班提交的作品件数为x件。 x：48＝5：3 3x＝48×5 3x＝240 x＝80 答：六（3）班提交了80件作品。 故答案为：六（1）班提交的作品件数。 考察易错点与重难点：本题考查的是比的应用，理解和应用比的意义是解答关键。 29．（6分）（2023•钱塘区）张叔叔从A市驾车到C市，途径B城。 ①张叔叔从A市出发，以80千米/小时的速度，行驶了2.5小时，到达B城。 ②A市到B城到C市的路程比是4：3。 ③当汽车到达B城市油箱里还剩这箱油的60%。 根据以上信息，解决问题。 （1）A市到C市的路程是多少千米？ （2）张叔叔能否用剩下的油开到C市？请说明理由（假设每千米耗油量不变）。 试题思路分析：（1）先用路程＝速度×时间求出A市到B城的路程，把A市到C市的路程看作单位“1”，由A市到B城与B城到C市的路程比是4：3，可得A市到B城路程占A市到C市路程的，由对应关系用除法即可得到A市到C市的路程； （2）先求出每千米的耗油量，再乘B城到C市的路程，结果与60%比较即可得出答案。 详细规范解答：解：（1） ＝350（千米） 答：A市到C市的路程是350千米。 （2）80×2.5＝200（千米） （1﹣60%）÷200×（350﹣200） 200×150 ＝30% 30%＜60% 答：张叔叔能用剩下的油开到C市。 考察易错点与重难点：本题主要考查了比的应用，解题的关键找到A市到B城的路程及相对应的分数。 30．（3分）（2023•雨花台区）把一根3米长的钢材锯成同样长的小段，锯成的段数和每小段的长度成 　反　比例；如果每次锯下一段，锯五次可以完成，每段是原来钢材的，每段长米。 试题思路分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例； 根据题意，可知5次锯完实际上是把这根木棒锯成了（5+1）段，求每段占全长的几分之几，平均分的是单位“1”，求的是分率；求每段长的米数，平均分的是具体的数量3米，求的是具体的数量；都用除法计算。 详细规范解答：解：锯成的段数×每小段的长度＝钢材的总长度（一定），所以锯成的段数和每小段的长度成反比例； 5+1＝6（段） 1÷6 3÷6（米） 所以锯五次可以完成，每段是原来钢材的，每段长米。 故答案为：反，，。 考察易错点与重难点：此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断；还要注意弄清求得是具体的数量还是分率，求具体的数量平均分的是具体的数量；求分率平均分的是单位“1”。 31．（5分）（2023•雨花区）今年暑假，小明一家三口准备驾车从郑州到南阳游玩。图像表示的是爸爸驾车所行驶路程和耗油量的情况。 （1）汽车的耗油量与所行驶路程成什么比例关系？为什么？ （2）根据图中估一估，汽车行驶65千米的耗油量大约是 　5.2　升。如果耗油8升，大约行驶 　100　千米。 （3）如果爸爸驾驶这辆车沿着高德地图规划的路线，从郑州到南阳大约行驶400千米，需要耗油多少升？ 试题思路分析：（1）横轴表示路程、纵轴表示汽车的耗油量，可计算出几组相对应的耗油量与所行路程的比值，如果比值一定，则汽车的耗油量与所行路程成正比例关系； （2）因为每一组耗油量与行驶的路程的数值是一一对应的，所以先在图像上找到这样一点，它对应的横轴数据为65千米，再找到这个点所对应的纵轴的数据，位于4.8和5.6中间，大约是5.2升； 再找到这样一个点，它对应的纵轴数据为8升，且横轴对应着数据100，则如果耗油8升，大约行驶100千米； （3）由小问（1）可知：汽车的耗油量与所行驶的路程成正比例关系，则可利用正比例关系解决，设需要耗油x升，可得比例0.8：10＝x：400，解这个比例即可。 详细规范解答：解：（1）0.8：10＝1.6：20＝……＝0.08，比值一定即成正比例关系。 答：汽车的耗油量与所行驶路程成正比例关系，因为汽车的耗油量与所行路程的比值一定。 （2）65×0.08＝5.2（升） 8÷0.08＝100（千米） 答：汽车行驶65千米的耗油量大约是5.2升。如果耗油8升，大约行驶100千米。 （3）400×0.08＝32（升） 答：从郑州到南阳大约行驶400千米，需要耗油32升。 故答案为：5.2，100。 考察易错点与重难点：本题考查了正比例关系的辨识方法以及正比例关系的应用。 32．（5分）（2023•岚县）根据图中的信息解答下列问题。 （1）车站到学校的路线与游乐园到学校的路线的夹角度数是 　125°　。 （2）量一量学校到电影院的图上距离是多少厘米？根据图上比例尺，求出学校到电影院的实际距离是多少？ 试题思路分析：（1）用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数。 （2）量得学校到电影院的图上距离是2厘米，根据图上距离÷实际距离＝比例尺，求出实际距离，据此解答。 详细规范解答：解：（1）量得车站到车站到学校的路线与游乐园到学校的路线的夹角的度数是125°。 （2）250000（厘米） 50000厘米＝500米 答：学校到电影院的图上距离是2厘米，学校到电影院的实际距离是500米。 故答案为：125°。 考察易错点与重难点：本题主要考查了比例尺应用题以及量角器的应用，关键是根据比例尺求实际距离。 33．（5分）（2023•川汇区）甲乙两地之间的公路长170千米．一辆汽车从甲地开往乙地，头两小时行驶了68千米，照这样计算，几小时可以到达乙地？（用比例解） 试题思路分析：根据速度一定，路程与时间成正比例，由此列出比例解决问题． 详细规范解答：解：设x小时可以到达乙地 68：2＝170：x 68x＝170×2 x＝5 答：5小时可以到达乙地． 考察易错点与重难点：解答此题的关键是，根据题意及路程、速度与时间的关系，先判断哪两种量成何比例，由此列出比例解决问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$