专题01 一元一次方程（思维导图+4重点+7题型13类型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题01 一元一次方程 知识点 1 ： 等式的基本性质 知识点2： 一元一次方程的概念 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程. 这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1. 2.一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）. 3.一元一次方程的判断依据：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式. 4. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 5. 检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 知识点3： 解一元一次方程 【补充】 1. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 2. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 知识点4： 一元一次方程与实际应用 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 题型归纳 【题型1 等式的性质】 利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2. 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）若，你能根据等式的性质比较与的大小吗？ 2．（23-24七年级上·江西南昌·期中）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 3．（23-24七年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如． (1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由． (2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值． ， ． 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有一个爱思考的同学，他平时总喜欢思考问题．有一天他对妈妈说：“我发现2和5是可以一样大的，我这里有一个方程．等式两边同时加2，得①，即．等式两边同时除以，得②．”你认为这个同学的说法正确吗？如果正确，请说明上述①②步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正． 【题型2 解一元一次方程】 5．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）解方程 (1)； (2) 6．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （？），得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． (1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）解方程 (1)． (2)． 8．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若代数式的值比的值小2，求n的值． 【题型3 一元一次方程的错解问题】 9．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）青青在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请你求出原方程正确的解． 10．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知方程，小王正确解得．小李由于粗心，把b看作6，解得．试求的值． 11．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）小马虎在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6，因而求得的解是， (1)试求a的值． (2)请你求出原方程正确的解． 12．（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）明明在做解方程练习时，一本资料中有一个方程“■”中的■没印清晰，明明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当时代数式的值相同．”聪明的你帮明明把这个方程中■代表的数补充出来？ 【题型4 一元一次方程的同解问题】 13．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 14．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于的一元一次方程与的解相同． (1)求的值； (2)已知线段，为线段上一点，且，，分别为线段，的中点，求，的长． 15．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若已知方程与方程的解相同，求的值． 【题型5 特殊方法解一元一次方程】 16．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 17．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读下面材料：解方程：， 解：设，则原方程可变形为，解得： 所以，解得：， 以上这种解一元一次方程的方法叫做换元法，请用上述方法解方程： 【题型6 与解一元一次方程有关的新定义问题】 18．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 19．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）定义：关于x的方程与方程（均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求k的值． 20．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）在有理数范围内定义新运算“*”，其规则为，求方程中x的值． 21．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【题型7 一元一次方程与实际问题】 【类型一 行程问题】 22．（22-23七年级下·海南海口·期中）海南环岛高速公路全长为655千米，两辆车均从三亚开出，慢车沿东线高速公路行驶，每小时行驶90千米；快车沿西线高速公路行驶，每小时行驶110千米，快车先出发30分钟后慢车再出发，问：慢车行驶多少小时后两车相遇？ 23．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）小王和同学计划周末去公园玩，在码头租一艘小艇，逆流而上，划行速度约为千米每小时．到地后沿原路返回，速度增加了，回到码头比去时少花了分钟．求、两地之间的路程． 24．（2024七年级下·全国·专题练习）已知A、B两地相距，乙车的速度比甲车的速度每小时快，甲从A地出发后，乙开始从B地出发，与甲相向而行，经过后相遇，求甲、乙两车的速度． 【类型二 配套问题】 25．（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）某工厂现需为C919客机模型制作一款定制礼盒，工作人员准备按照以下两种裁剪方式制作，已知一个长方形和2个圆形可以组装成一个礼盒，现有210张纸板，其中张纸板用图①的方式裁剪，剩余纸板用图②的方式裁剪． (1)若组装完后，裁出的圆形和长方形正好用完，则一共做了多少个礼盒？ (2)如果按照上面的方式，一共要做550个礼盒，则至少还需要增加多少张纸板？ 26．（23-24七年级下·山西晋城·期中）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有80名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或150个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【类型三 工程问题】 27．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合做，还需几天完成这项工程？ 28．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书． (1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？ (2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别为多少元？ 29．（2024·陕西西安·模拟预测）某地遭遇暴雪袭击，严重影响人们的出行安全，现有甲、乙两支消雪队伍开始清理某路段积雪，积雪共有430吨，甲乙共同清理3 小时后，乙队被调往别处，甲队又用4 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，求甲队每小时清雪多少吨？ (请列方程解决实际问题) 【类型四 销售盈亏问题】 30．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）某商城在周年庆期间举行促销活动，有以下两种优惠方案：购物金额每满元减元；购物金额打七五折． (1)若某人购物的金额为元，则他选择方案实际付的金额是______元，选择方案实际付的金额是______元． (2)若某人购物的金额超过元但不足元．通过计算发现，选择方案比方案便宜元，这人购物的金额是多少元？ 31．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）某平台有一套科技丛书，每套丛书进价为120元，原售价为180元．该平台为拓展销路，准备通过直播间打折销售．如果要确保的利润率，那么直播间应该对原售价打几折出售？ 【类型五 比赛积分问题】 32．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）列方程组解应用题：为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ 33．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）某学校围棋社团组织成员进行比赛，规则如下：每两位选手都要进行比赛，决出胜负（没有平局），胜者得1分，负者得0分．在所有选手中，男选手有12人，女选手有9人．比赛结束后，经统计，女选手的总得分比男选手的总得分多70分． (1)共进行了多少场比赛？ (2)男选手的总得分是多少分？ (3)男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了多少分？ (4)小明提出：在这个围棋比赛中，得分最高的选手一定是女选手，为什么？ 34．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）某次篮球联赛部分球队积分表 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 (1)由表中数据可知，胜一场积______分，平一场积______分，负一场积______分； (2)直接写出______，______，______； (3)设一个队胜场，负场是平场的倍，则平______场（用含的式子表示）； (4)队平了场，该队队长声称他们队的积分是分，你认为可能吗？为什么？ 【类型六 方案选择问题】 35．（23-24七年级下·福建漳州·期中）我校七年级准备组织观看电影《热辣滚烫》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张25元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择．方案一：全体人员可打8折；方案二；若打9折，有5人可以免票． (1)若二班有42名学生，则他选择哪个方案更优惠？ (2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？ 36．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛； (2)七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 37．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）一套仪器由一个A部件和三个部件构成，用钢材可以做40个A部件或240个部件． (1)现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做部件，恰好配成这种仪器多少套？ (2)设某公司租赁这批仪器小时，有两种付费方式． 方式一：当时，每套仪器收取租金50元；当时，超时部分这批仪器整体按每小时300元收费； 方式二：当时，每套仪器收取租金60元，当时，超时部分这批仪器整体按每小时200元收费． 请你替公司谋划一下，当满足什么条件，选方式一节省费用些；当满足什么条件，选方式二节省费用一些． （2）分三种情况进行讨论：当时，时，当时，分别求出结果，得出结论即可． 【类型七 数字问题】 38．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，求这个两位数． 39．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的3倍小3，将十位和个位的数字对调，得到的新两位数比原两位数小27，则原来的两位数是多少？（只列方程） 红红：设原两位数的个位数字是x，则十位数字是， 列出方程为． 请问红红列出的方程对吗？如果不对，请说明理由并列出正确的方程． 【类型八 几何问题】 40．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）王老师在茶园购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用含的代数式表示地面总面积； (2)已知客厅面积比厨房面积多，若铺地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 41．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 42．（23-24七年级下·福建漳州·期中）列方程，解决实际问题： 如图所示，学校准备在图书馆后面的场地边建一个长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙，已知墙长18米，并利用已有总长为52米的铁围栏．若小张的设计方案中，长比宽多4米，问他的设计是否符合实际情况？ 【类型九 和差倍分问题】 43．（23-24七年级上·天津宁河·期中）已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄比红红的年龄的 还多1岁． (1)用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和； (2)若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄． 44．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）为响应政府号召，海口市某中学组织学生下乡做公益活动，把一些助农书籍分给某村村民阅读，如果每户分5本，则剩余20本；如果每户分6本，则还缺20本．这个村有几户村民？ 45．（23-24七年级下·福建泉州·期中）植树节这一天，七年级（2）班的同学计划种植一批树苗，小康每小时可以种植5棵树苗，小英每小时可以种植4棵树苗，小康和小英两位同学同时种植树苗． (1)经过多长时间他俩一共可以种植27棵树苗？ (2)小英对小康说：“你种得太快了，你比我多种植了5棵树苗了．”请问小康此时种植了多少棵树苗？ 【类型十 电费/水费问题】 46．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨 的部分 超过12吨但 不超过18吨的部分 超过18吨 的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？ 47．（23-24七年级上·湖北随州·期末）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费） 收费标准 每度0.5元 每度0.8元 小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【类型十一 比例分配问题】 48．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）甲、乙两根绳共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是3∶2，甲、乙两根绳原来各长多少米？ 49．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量 【类型十二 日历问题】 50．（23-24七年级下·福建漳州·期中）在我们日常生活中的日历上也隐藏着许多的数学规律．如图是2024年3月份的日历，一个虚线方框圈出的（2行2列）个数字之和为： (1)若这个虚线方框圈出的个数字之和为100，则这4个数的左上角那天是3月几日？ (2)请通过计算判断这个虚线方框圈出的个数字之和能否为84． 51．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)将日历中用长方形框框出的四个数之和的最小值记为，最大值记为，求的值． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【类型十三 古代问题】 52．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 53．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦；已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问：有多少匹大马、多少匹小马？（用方程解决问题） 54．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 55．（23-24七年级上·江西宜春·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？ 译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？ 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 2．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）把方程变形为的依据是（    ） A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质 3．（23-24七年级下·河南南阳·期中）下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川眉山·期中）某工厂生产某种零件，原计划每天生产个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天比原计划多生产个零件，结果提前天完成任务，并多生产了个零件．设该工厂的任务是生产个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）若关于的方程的解是整数，则满足条件的整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 7．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）已知方程，用含y的式子表示x为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·河南新乡·期中）下面解方程的过程，你认为正确的是（    ） A．方程，合并，得 B．方程，去括号，得 C．方程，去分母，得 D．方程，系数化为1，得 二、填空题 11．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）若关于的方程的解是，则的值为 ． 12．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若代数式的值与的值互为相反数，则x的值为 ． 13．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义一种新运算：，若，则 ． 15．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则 ． 三、解答题 16．（23-24七年级下·河南周口·期中）用“※”定义了一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：，若，求的值． 17．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （？），得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． (1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 18．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书． (1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？ (2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别为多少元？ 19．（23-24七年级下·上海·期中）已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 20．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为厘米/秒，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成：两部分； (3)连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，之间的关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次方程 知识点 1 ： 等式的基本性质 知识点2： 一元一次方程的概念 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程. 这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1. 2.一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）. 3.一元一次方程的判断依据：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式. 4. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 5. 检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 知识点3： 解一元一次方程 【补充】 1. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 2. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 知识点4： 一元一次方程与实际应用 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 题型归纳 【题型1 等式的性质】 满分技法：利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2. 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）若，你能根据等式的性质比较与的大小吗？ 【答案】 【分析】本题考查等式的性质．利用等式的性质，把等式变形为的形式，再两边同时除以，得，得结论． 【详解】解：两边同时减去，得． 两边同时减去， 得． 两边同时除以， 得 2．（23-24七年级上·江西南昌·期中）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 【答案】(1)等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力： （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行求解． 【详解】（1）∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去 得 ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）小明第二步的结论不正确， ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 3．（23-24七年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如． (1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由． (2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值． ， ． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)， 【分析】（1）本题考查等式的性质，直接将，代入式中计算即可判断； （2）本题考查等式的性质，只需写出一组，代入等式中成立即可． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 把，分别代入原等式左右两边， 左边， 右边， 左边＝右边， 成立； （2）解：当，， 左边， 右边， 左边＝右边， 成立； 故答案为：，（答案不唯一） 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有一个爱思考的同学，他平时总喜欢思考问题．有一天他对妈妈说：“我发现2和5是可以一样大的，我这里有一个方程．等式两边同时加2，得①，即．等式两边同时除以，得②．”你认为这个同学的说法正确吗？如果正确，请说明上述①②步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正． 【答案】不正确；详见解析 【分析】根据等式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：不正确． ①正确，运用了等式的性质1； ②不正确，等式两边不能同时除以，因为可能为0．改正：由，等式两边同时减去，得； 等式两边同时除以3，得． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式基本性质，1、等式两边同时加上(或减去)同一个整式,等式仍然成立。 2、等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立． 【题型2 解一元一次方程】 5．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）解方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2） 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 6．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （？），得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． (1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 【答案】(1)去分母；等式的基本性质； (2)． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）小明的解题过程中，“？”处应填去分母，解此步的依据是等式的基本性质； （2）原方程可变形为． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边同除以，得． 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化． 去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1即可求解． 【详解】（1）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：． （2）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：． 8．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若代数式的值比的值小2，求n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 去分母得：， 去括号得：， 解得． 【题型3 一元一次方程的错解问题】 9．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）青青在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请你求出原方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．先把代入求出m的值，再把m的值代入求解即可． 【详解】把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴． 10．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知方程，小王正确解得．小李由于粗心，把b看作6，解得．试求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了含参数的一元一次方程，解题关键是掌握解一元一次方程的基本步骤．将，，代入可得a的值，再将代入可得b的值． 【详解】解：将代入得， ， 当时，， ， 解得：， 将代入可得， ． 故，． 11．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）小马虎在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6，因而求得的解是， (1)试求a的值． (2)请你求出原方程正确的解． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的扩展以及解一元一次方程． （1）先按照小马虎的解法把代入方程即可解出a的值． （2）根据（1）求出的a的值代入方程，然后去分母，去括号，移项并合并合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 当时，则， 整理得： 解得：， （2）由（1）知，， ∴原方程为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并合并同类项得：． 12．（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）明明在做解方程练习时，一本资料中有一个方程“■”中的■没印清晰，明明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当时代数式的值相同．”聪明的你帮明明把这个方程中■代表的数补充出来？ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，本题主要考查学生的理解能力，题目比较典型，难度不大．根据题意把代入中得到，把代入原方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入中得：， 把代入原方程■得，■， 解得：■． 【题型4 一元一次方程的同解问题】 13．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】2 【分析】 本题主要查了解一元一次方程．先求出方程的解为，再把代入，解出a的值，即可． 【详解】解： 移项合并同类项得：， 解得：， ∵两方程的解相同， ∴， 解得：． 14．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于的一元一次方程与的解相同． (1)求的值； (2)已知线段，为线段上一点，且，，分别为线段，的中点，求，的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元一次方程，线段中点的性质； （1）先解，得出，代入，进而解关于的一元一次方程，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据线段中点的性质，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，， 移项得合并同类项得， 解得：， ∵关于的一元一次方程与的解相同． ∴ 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得：； （2）解：如图所示， 依题意，， ∴ ∵，分别为线段，的中点， ∴， 15．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若已知方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2)m的值为 【分析】（1）由题意知，，计算求解即可； （2）由（1）可知，该一元一次方程为：，解得，，将代入，计算求解即可， 本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的定义，正确的解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：, （2）解：由（1）可知，该一元一次方程为：， 解得: ， ∵方程与方程的解相同， ∴将代入得，， 解得，， ∴m的值为． 【题型5 特殊方法解一元一次方程】 16．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题， （1）根据解一元一次方程的法则解答即可， （2）利用换元的思想解答即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 17．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读下面材料：解方程：， 解：设，则原方程可变形为，解得： 所以，解得：， 以上这种解一元一次方程的方法叫做换元法，请用上述方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握换元法，准确计算． 【详解】解：设，则原方程可变为：， 解得：， ∴， 解得：． 【题型6 与解一元一次方程有关的新定义问题】 18．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 19．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）定义：关于x的方程与方程（均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求k的值． 【答案】(1) (2)，； (3)或1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解“反对方程”的定义是解题关键． （1）根据“反对方程”的定义，即可得出答案； （2）根据“反对方程”的定义，得到，，即可求出的值； （3）先根据“反对方程”的定义，得到方程的“反对方程”，再求出链各个方程的解，再根据解都是整数，得到或，即可求出的值． 【详解】（1）解：方程与方程互为“反对方程”， ， 故答案为：； （2）解：方程与方程互为“反对方程”， ，， ，； （3）解：方程的“反对方程”为， 方程的解为， 方程的解为， 两个方程的解都是整数， 或， 当，解得：， 当，解得：， 综上可知，的值为或1． 20．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）在有理数范围内定义新运算“*”，其规则为，求方程中x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解新算法、将方程化成一元一次方程是解题的关键．根据新定义的运算将原方程写成一元一次方程，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴可化为， 解得． 21．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先推出，进而得到或，进而解方程即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得或； （2） 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ∴或， 解得或． 【题型7 一元一次方程与实际问题】 【类型一 行程问题】 22．（22-23七年级下·海南海口·期中）海南环岛高速公路全长为655千米，两辆车均从三亚开出，慢车沿东线高速公路行驶，每小时行驶90千米；快车沿西线高速公路行驶，每小时行驶110千米，快车先出发30分钟后慢车再出发，问：慢车行驶多少小时后两车相遇？ 【答案】慢车行驶3小时后两车相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设慢车行驶小时后两车相遇，利用路程速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设慢车行驶小时后两车相遇， 根据题意得：， 解得：． 答：慢车行驶3小时后两车相遇． 23．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）小王和同学计划周末去公园玩，在码头租一艘小艇，逆流而上，划行速度约为千米每小时．到地后沿原路返回，速度增加了，回到码头比去时少花了分钟．求、两地之间的路程． 【答案】、两地之间的路程为千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设、两地之间的路程为千米，根据等量关系式：回到码头比去时少花了分钟列出方程，解方程即可． 【详解】解：设、两地之间的路程为千米， 依题意得：， 解得：＝ 答：、两地之间的路程为千米． 24．（2024七年级下·全国·专题练习）已知A、B两地相距，乙车的速度比甲车的速度每小时快，甲从A地出发后，乙开始从B地出发，与甲相向而行，经过后相遇，求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度为，乙车的速度为 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用；设甲车的速度为，则乙车的速度为，根据相遇问题的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设甲车的速度为，则乙车的速度为， 根据题意，得， 解得， 则， 答：甲车的速度为，乙车的速度为． 【类型二 配套问题】 25．（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）某工厂现需为C919客机模型制作一款定制礼盒，工作人员准备按照以下两种裁剪方式制作，已知一个长方形和2个圆形可以组装成一个礼盒，现有210张纸板，其中张纸板用图①的方式裁剪，剩余纸板用图②的方式裁剪． (1)若组装完后，裁出的圆形和长方形正好用完，则一共做了多少个礼盒？ (2)如果按照上面的方式，一共要做550个礼盒，则至少还需要增加多少张纸板？ 【答案】(1)450个 (2)47张 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程是解本题的关键． （1）由长方形的数量是礼盒的数量，再建立方程，再解方程即可； （2）先计算得到还需要裁出200个圆形和100个长方形，再结合图①与图②的裁剪方式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 即， 解得． 共有90张纸板用图①方式裁剪，共裁出900个圆形． 每个礼盒需要2个圆形， 共做了450个礼盒． （2）一共要做550个礼盒，由（1）知还需要制作（个）礼盒， 则还需要裁出200个圆形和100个长方形， 用题图①的方式裁剪所需要的纸板数量为（张）． 使用的纸板数量要最少， 剩余长方形均用题图②的方式裁剪，需要的纸板数量为（张）． 至少还需纸板（张）． 答：至少还需要增加47张纸板． 26．（23-24七年级下·山西晋城·期中）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有80名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或150个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】安排48个工人制盒身，32个工人制盒底． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设人制盒身，则人制盒底，根据一个盒身配两个盒底列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设人制盒身，则人制盒底， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：安排48个工人制盒身，32个工人制盒底． 【类型三 工程问题】 27．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合做，还需几天完成这项工程？ 【答案】3天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 设还需x天完成这项工程，根据甲先做2天，则甲做了，则乙做了，然后再根据两人完成整个工程，列方程计算即可． 【详解】解：设还需x天完成这项工程． 解得 答：还需3天完成这项工程． 28．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书． (1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？ (2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别为多少元？ 【答案】(1)4天 (2)甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书，根据甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为元，，根据甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书， 依题意，得：， 解得：. 答：甲、乙两人合作还需要4天运完图书. （2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为元， 依题意，得：， 解得：， ∴. 答：甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元. 29．（2024·陕西西安·模拟预测）某地遭遇暴雪袭击，严重影响人们的出行安全，现有甲、乙两支消雪队伍开始清理某路段积雪，积雪共有430吨，甲乙共同清理3 小时后，乙队被调往别处，甲队又用4 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，求甲队每小时清雪多少吨？ (请列方程解决实际问题) 【答案】甲队每小时清雪40吨 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲队每小时清雪x吨，根据工作总量工作效率工作时间分别求出甲队和乙队的工作总量，再根据积雪为430吨列出方程求解即可． 【详解】解：设甲队每小时清雪x吨， 由题意得，， 解得， 答：甲队每小时清雪40吨． 【类型四 销售盈亏问题】 30．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）某商城在周年庆期间举行促销活动，有以下两种优惠方案：购物金额每满元减元；购物金额打七五折． (1)若某人购物的金额为元，则他选择方案实际付的金额是______元，选择方案实际付的金额是______元． (2)若某人购物的金额超过元但不足元．通过计算发现，选择方案比方案便宜元，这人购物的金额是多少元？ 【答案】(1)，； (2)这人购物的金额是元或元． 【分析】（）根据两种优惠方案列式计算即可； （）设这人购物的金额是元，根据选择方案比方案便宜元，列方程及解方程即可； 本题主要考查了实际问题与一元一次方程，解题关键是理解题意，找准数量关系并正确列出方程． 【详解】（1）他选择方案花费的金额是（元）， 选择方案花费的金额是（元）， 故答案为：，； （2）设这人购物的金额是元， 由题意，得或， 解得或． 答：这人购物的金额是元或元． 31．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）某平台有一套科技丛书，每套丛书进价为120元，原售价为180元．该平台为拓展销路，准备通过直播间打折销售．如果要确保的利润率，那么直播间应该对原售价打几折出售？ 【答案】直播间应该对原售价打八折出售 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设直播间应该对原售价打x折出售， 根据题意，得， 解得， 答：直播间应该对原售价打八折出售． 【类型五 比赛积分问题】 32．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）列方程组解应用题：为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ 【答案】该班级胜负场数分别是场和场； 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键，设胜了场，负了场，由某班级在15场比赛中获得总积分为41分，再建立方程求解即可． 【详解】解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：该班级胜负场数分别是场和场； 33．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）某学校围棋社团组织成员进行比赛，规则如下：每两位选手都要进行比赛，决出胜负（没有平局），胜者得1分，负者得0分．在所有选手中，男选手有12人，女选手有9人．比赛结束后，经统计，女选手的总得分比男选手的总得分多70分． (1)共进行了多少场比赛？ (2)男选手的总得分是多少分？ (3)男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了多少分？ (4)小明提出：在这个围棋比赛中，得分最高的选手一定是女选手，为什么？ 【答案】(1)共进行了210场比赛 (2)男选手共得了70分 (3)男选手共得了4分 (4)理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）由题意可知，共名选手，每两位选手都要进行比赛，据此即可得到答案； （2）由题意可知，所有选手共得210分，设男选手的总得分是分，列一元一次方程求解即可； （3）先求出在男选手之间的比赛中，男选手得分，再根据男选手总得分男选手之间的比赛得分男选手与女选手的比赛得分列式，即可得出答案； （4）结合（3）结果可知，男选手的最高得分不超过分，假设每名女选手的得分都为15分，根据可知，一定有女选手的得分超过15分，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，共名选手， ， 即共进行了210场比赛； （2）解：由（1）可知，共进行了210场比赛，即所有选手共得210分， 设男选手的总得分是分，则女选手的总得分是分， 由题意得：， 解得：， 答：男选手的总得分是70分； （3）解：男选手有12人， 男选手之间的比赛场数为， 即男选手之间的比赛中，男选手得分分， 由（2）可知，男选手的总得分是70分， （分）， 即男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了4分； （4）解：由（3）可知，男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了4分，即男选手共赢女选手4场， 男选手的最高得分不超过分， 所有选手共得210分，男选手的总得分是70分， 女选手的总得分是140分， 假设每名女选手的得分都为15分， ， 一定有女选手的得分超过15分， 故得分最高的选手一定是女选手． 34．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）某次篮球联赛部分球队积分表 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 (1)由表中数据可知，胜一场积______分，平一场积______分，负一场积______分； (2)直接写出______，______，______； (3)设一个队胜场，负场是平场的倍，则平______场（用含的式子表示）； (4)队平了场，该队队长声称他们队的积分是分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)不可能，理由见解析． 【分析】（）根据表格即可求解； （）根据表格即可求解； （）由胜场，可得平场和负场共场，再根据负场是平场的倍，即可求解； （）不可能．设胜了场，则负了场，由故意可得，解方程得到，不合题意，即可说明； 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由队得到，平一场积分， 由队可得，胜了场，即， ∴负一场积分， ∴由队可得，胜一场积分， 故答案为：，，； （2）解：由（）可知，， 由队可得，， ∴， 故答案为：，，； （3）解：∵胜场， ∴平场和负场共场， ∵负场是平场的倍， ∴平了场， 故答案为：； （4）解：不可能，理由如下： 若平了场，积分是分，则胜场和负场积分为分， 设胜了场，则负了场， 由题意可得，， 解得，不合题意， ∴队平了场，积分是分是不可能的． 【类型六 方案选择问题】 35．（23-24七年级下·福建漳州·期中）我校七年级准备组织观看电影《热辣滚烫》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张25元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择．方案一：全体人员可打8折；方案二；若打9折，有5人可以免票． (1)若二班有42名学生，则他选择哪个方案更优惠？ (2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？ 【答案】(1)若二班有42名学生，则他选择方案一更优惠 (2)一班有45人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用： （1）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小得到答案； （2）设一班有人，根据已知条件得到两种方案费用一样，进而列出方程求出答案； 理解题意，列出正确的等量关系是解答本题的关键． 【详解】（1）解：依题意得： 方案一的花费为：（元）， 方案二的花费为：（元）， ， 若二班有42名学生，则他选择方案一更优惠． （2）设一班有人，根据题意，得： ， 解得：， 答：一班有45人． 36．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛； (2)七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)七年级52人，八年级40人 (2)两个年级一起买91套时最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思维是解题关键． （1）设七年级有x人，根据七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90人，得出七年级，八年级的人数范围，从而确定服装价格；再根据两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，列方程求解即可； （2）分别计算：①两个年级单独买、②两个年级一起买82套、③两个年级一起买91套的总花费，即可判断； 【详解】（1）解：设七年级有x人，则八年级有人， ∵七年级人数超过46但不足90人， （2）∴八年级人数不足46人， ∴七年级每套服装50元，八年级每套服装60元， ∵两个年级分别单独购买服装一共应付5000元， ∴， 解得：， ∴， ∴七年级52人，八年级40人； 解：由题意得：七年级参加合唱比赛的人为（人）， 八年级参加合唱比赛的人为40人，设总花费为y，则： ①两个年级单独买时：（元）， ②两个年级一起买82套时：（元）， ③两个年级一起买91套时：（元）， ∵， ∴两个年级一起买91套时最省钱． 37．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）一套仪器由一个A部件和三个部件构成，用钢材可以做40个A部件或240个部件． (1)现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做部件，恰好配成这种仪器多少套？ (2)设某公司租赁这批仪器小时，有两种付费方式． 方式一：当时，每套仪器收取租金50元；当时，超时部分这批仪器整体按每小时300元收费； 方式二：当时，每套仪器收取租金60元，当时，超时部分这批仪器整体按每小时200元收费． 请你替公司谋划一下，当满足什么条件，选方式一节省费用些；当满足什么条件，选方式二节省费用一些． 【答案】(1)应用钢材做A部件，钢材做B部件恰好配成这种仪器240套 (2)当时，应选择方式一省费用；当时，方式一、方式二一样省费用；当时，应选择方式二省费用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设用钢材制A部件，则钢材制B部件，根据一个A部件和三个B部件刚好配成套，列方程求解即可； （2）分三种情况进行讨论：当时，时，当时，分别求出结果，得出结论即可． 【详解】（1）解：设用钢材制A部件，则钢材制B部件，根据题意得： ， 解得：， ， 答：应用钢材做A部件，钢材做B部件恰好配成这种仪器240套． （2）解：当时，方式一：（元）， 方式二：（元）； ， 当时，方式一：； 方式二：14400（元） 若， ； 当时，方式一：， 方式二：， 若， 解得：， 综上，当时，应选择方式一省费用； 当时，方式一、方式二一样省费用； 当时，应选择方式二省费用． 【类型七 数字问题】 38．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的表示两位数是解题的关键． 设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，这个两位数为，对调后的两位数为，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，这个两位数为，对调后的两位数为， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴这个两位数为． 39．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的3倍小3，将十位和个位的数字对调，得到的新两位数比原两位数小27，则原来的两位数是多少？（只列方程） 红红：设原两位数的个位数字是x，则十位数字是， 列出方程为． 请问红红列出的方程对吗？如果不对，请说明理由并列出正确的方程． 【答案】不对，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意数字乘以相应的数位后求和的差是27，这是解题的关键． 【详解】解：不对，理由：十位数字应乘以10． 正确的方程为． 【类型八 几何问题】 40．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）王老师在茶园购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用含的代数式表示地面总面积； (2)已知客厅面积比厨房面积多，若铺地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)3900元 【分析】（1）根据题中图形表示出地面总面积即可； （2）根据客厅面积比厨房面积多列出方程求出x的值，代入计算即可求出总费用． 此题考查列代数式，一元一次方程的运用，关键是能用x和y表示各部分的面积，求出总面积可求出总费用． 【详解】（1）由已知得：地面总面积为； 答：地面总面积为． （2）由于客厅面积比厨房面积多： ∴， 解得， 当时，地面总面积为， ∵铺地砖的平均费用为100元， ∴铺地砖的总费用为元． 答：总费用为3900元． 41．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由对顶角相等可得，由垂直可得，即可得，再根据角平分线的定义可得，利用角的和差关系即可求解； （）由可得，解方程求出，得到，再利用邻补角的定义即可求解； 本题考查了对顶角的性质，垂直的定义，角平分线的定义，一元一次方程的应用，邻补角的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 42．（23-24七年级下·福建漳州·期中）列方程，解决实际问题： 如图所示，学校准备在图书馆后面的场地边建一个长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙，已知墙长18米，并利用已有总长为52米的铁围栏．若小张的设计方案中，长比宽多4米，问他的设计是否符合实际情况？ 【答案】小张的设计不符合实际情况 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设宽为x米，则长为米，根据题意列出方程求解，再判断即可； 【详解】解：设宽为x米，则长为米，根据题意，得． 解这个方程，得． ∴． ∵， ∴不符合实际情况． 答：小张的设计不符合实际情况． 【类型九 和差倍分问题】 43．（23-24七年级上·天津宁河·期中）已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄比红红的年龄的 还多1岁． (1)用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和； (2)若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄． 【答案】(1)红红的年龄为岁；元元的年龄为岁；这三人的年龄和为岁； (2)明明的年龄是10岁，红红的年龄是16岁，元元的年龄是9岁 【分析】（1）根据题意分别列出红红、元元的年龄，再合并同类项，即可求出这三名同学的年龄的和； （2）根据题意可得关于m的方程，解方程求出m的值，再分别求出各自的年龄即可． 本题考查了列代数式、整式的加减、一元一次方程的应用等，弄清题意是解题的关键． 【详解】（1）∵明明的年龄是m岁，根据题意得， 红红的年龄为岁， 元元的年龄为岁；； 这三人的年龄和为岁； （2）根据题意得 解得 此时，， 答：明明的年龄是10岁，红红的年龄是16岁，元元的年龄是9岁． 44．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）为响应政府号召，海口市某中学组织学生下乡做公益活动，把一些助农书籍分给某村村民阅读，如果每户分5本，则剩余20本；如果每户分6本，则还缺20本．这个村有几户村民？ 【答案】40户 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设这个村有户村民，根据书籍的数量一定，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设这个村有户村民，由题意，得：， 解得：； 答：这个村有40户村民． 45．（23-24七年级下·福建泉州·期中）植树节这一天，七年级（2）班的同学计划种植一批树苗，小康每小时可以种植5棵树苗，小英每小时可以种植4棵树苗，小康和小英两位同学同时种植树苗． (1)经过多长时间他俩一共可以种植27棵树苗？ (2)小英对小康说：“你种得太快了，你比我多种植了5棵树苗了．”请问小康此时种植了多少棵树苗？ 【答案】(1)经过3小时他俩一共可以种植27棵树苗 (2)小康此时种植了25棵树苗 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解决问题的关键． （1）设小时他俩一共可以种植27棵树苗，根据两人的工作总量是种植27棵树苗，列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设小英种植了棵树苗，则小康种植了棵树苗，根据两人的工作时间相同，列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设小时他俩一共可以种植27棵树苗， 由题意得：， 解得：3， 答：经过3小时他俩一共可以种植27棵树苗； （2）设小英种植了棵树苗，则小康种植了棵树苗， 由题意得：， 解得：， 则， 答：小康此时种植了25棵树苗． 【类型十 电费/水费问题】 46．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨 的部分 超过12吨但 不超过18吨的部分 超过18吨 的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？ 【答案】(1)31.5 (2)小明家3月份的用水量是25吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减和乘法混合运算，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题． （1）根据收费标准列式求解即可； （2）首先判断出3月份的用水量超过了18吨，设小明家3月份用水量为吨，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）（元）； （2）解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元） 如果一个月用水18吨，则需水费：（元） 3月份的用水量超过了18吨． 设小明家3月份用水量为吨， 依题意可得： 解得： 答：小明家3月份的用水量是25吨． 47．（23-24七年级上·湖北随州·期末）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费） 收费标准 每度0.5元 每度0.8元 小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】小林家11月份的用电量为305度． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小林家11月份的用电量为x度，则超过210度部分为度，然后根据“小林家11月份交付电费181元”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：由于，所以小林家11月份的用电量超过210度， 设小林家11月份的用电量为x度，则超过210度部分为度， 由题意可得：，解得：． 答：小林家11月份的用电量为305度． 【类型十一 比例分配问题】 48．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）甲、乙两根绳共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是3∶2，甲、乙两根绳原来各长多少米？ 【答案】甲绳原来长为10米，乙绳原来长为12米． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，根据比例关系列出方程是解题关键．设甲绳原来长为x米，则乙绳原来长为米，根据题意可求出甲绳截去后长为米，进而由比例关系可列出方程，求解即可． 【详解】解：设甲绳原来长为x米，则乙绳原来长为米， 甲绳截去后长为米， 所以， 解得：， 所以甲绳原来长为10米，乙绳原来长为米． 49．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为，根据他们共捐了374本，即可求出这三位同学各捐书多少册； 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本． 【类型十二 日历问题】 50．（23-24七年级下·福建漳州·期中）在我们日常生活中的日历上也隐藏着许多的数学规律．如图是2024年3月份的日历，一个虚线方框圈出的（2行2列）个数字之和为： (1)若这个虚线方框圈出的个数字之和为100，则这4个数的左上角那天是3月几日？ (2)请通过计算判断这个虚线方框圈出的个数字之和能否为84． 【答案】(1)这个数的左上角那天是3月21日； (2)不能圈出和为84的个数． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数加法的实际应用，整式加减的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．解题要点是要了解日历上相邻数之间的关系． （1）设这个数的左上角数字是，则右上角数字是，则左下角的数字为，右下角的数字为，再根据题意建立方程求解即可； （2）假设能用方框圈出的个数字之和能否为84，求得表格中的，再分析17所处的位置，据此进行解答即可． 【详解】（1）设这个数的左上角数字是，则右上角数字是，则左下角的数字为，右下角的数字为， 由题意得，， 解得， 这个数的左上角那天是3月21日； （2）如果能用方框圈出和为84的个数， 列方程，， 解得， 因为17处于最后一列， 所以不能圈出和为84的个数． 51．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)将日历中用长方形框框出的四个数之和的最小值记为，最大值记为，求的值． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值； （1）观察图形，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外三个数； （2）由（1），可得出四个数之和为，结合图形，可求出，的值，再将其相加，即可得出结论； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，根据四个数之和为92，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合19在第七列，可得出假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【详解】（1）解：若记左上角的数为，则另外三个数分别为，，． 故答案为：，，； （2）由（1）可知：四个数之和为， ，， ； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下： 假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92， 根据题意得：， 解得：， 在第七列，不符合题意， 假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【类型十三 古代问题】 52．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设塔的顶层有盏灯，根据“从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设塔的顶层有盏灯， 由题意得：， 解得：， 塔的顶层有盏灯． 53．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦；已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问：有多少匹大马、多少匹小马？（用方程解决问题） 【答案】有匹大马、匹小马． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．设小马有匹，大马有匹，根据题意可得等量关系：大马拉瓦数小马拉瓦数，根据等量关系列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：设小马有匹，大马有匹，由题意得： ， 解得：， ， 答：有匹大马、匹小马． 54．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 【答案】牧童人数为人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程． 【详解】解：依题意，设竹有x竿， 解得 则（人） ∴牧童人数为人． 55．（23-24七年级上·江西宜春·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？ 译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？ 【答案】甲经过日与乙相逢 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．将总路程看作1，甲经过x日与乙相逢，则乙出发日，根据每日的路程和等于1，列出方程，即可求解． 【详解】解：设甲经过x日与乙相逢， 依题意得， 解得， 答：甲经过日与乙相逢． 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入中，即可求出a的值． 本题主要考查了一元一次方程的解的定义：能够使方程左右两边成立的未知数的值叫做方程的解．熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】把代入中， 得， 解得， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）把方程变形为的依据是（    ） A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质，等式基本性质1：等式两边同时加上/减去同一个数，等式不变；等式基本性质2：等式两边同时乘以/除以（不为0的数）同一个数，等式不变，结合题意，将方程变形为需要等式两边同时乘以3，从而得到答案，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：将方程的两边同时乘以3，可变形为， 的依据是把方程变形为的依据是等式的基本性质2， 故选：C． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期中）下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，且两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义一一判断即可． 【详解】解：A．分母中含有未知数，不是整式，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C． 不是等式，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； D．是一元一次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级下·四川眉山·期中）某工厂生产某种零件，原计划每天生产个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天比原计划多生产个零件，结果提前天完成任务，并多生产了个零件．设该工厂的任务是生产个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据工作时间工作总量工作效率，结合提前天完成任务，并多生产了个零件，列出方程即可． 【详解】解：设该工厂的任务是生产个零件， 根据题意得：， 故选：C． 5．（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入每个方程，看看方程左右两边是否相等即可，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解此题的关键． 【详解】解：A．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； B．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； C．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以是方程的解，故本选项符合题意； D．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）若关于的方程的解是整数，则满足条件的整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 解方程得到，然后根据解是整数求解即可． 【详解】解：， 解得， 由于解是整数，故的值可以为， 或或或， 故选A． 7．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了解含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的代数意义是解题的关键，忘记考虑绝对值符号内的原代数式为负是本题的易错点． 利用绝对值的代数意义化解已知方程，转化两个一元一次方程，求出方程的解后即可解题． 【详解】 或 解得或． 故选：D． 8．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程，同解方程就是解相同的方程，先求出第一个方程的解是解题的关键． 求出两个方程的解，根据两个方程的解相同，得到关于m的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∴， 解得：， 故选：D． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）已知方程，用含y的式子表示x为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用代数式表示字式，以及等式的基本性质．移项，再把x的系数化为1即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】方程， ， 所以：． 故选：B． 10．（23-24七年级下·河南新乡·期中）下面解方程的过程，你认为正确的是（    ） A．方程，合并，得 B．方程，去括号，得 C．方程，去分母，得 D．方程，系数化为1，得 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法和步骤解一元一次方程是解题的关键． 根据解一元一次方程的方法，逐项进行判定即可求解． 【详解】解：A、方程，合并，得，解得，，原选项表示错误，不符合题意； B、方程，去括号，得，原选项计算错误，不符合题意； C、，去分母，得，原选项计算错误，不符合题意； D、原选项计算正确，符合题意； 故选：D ． 二、填空题 11．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）若关于的方程的解是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程解的定义及解一元一次方程，根据题意，将代入方程求解即可得到答案，熟记一元一次方程解的定义及解一元一次方程的方法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程的解是， ，解得， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若代数式的值与的值互为相反数，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键在于根据题意列出等式，根据相反数的定义： 互为相反数的两数之和为0可列方程，解答即可． 【详解】解：代数式与的值互为相反数 ． ， 解得：， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解题的关键．将所求方程两边同乘，整理可得，进而可求出． 【详解】解：将所求方程两边同乘， 对照 比较发现， ，而， 所以． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了即一元一次方程，解题的关键是根据新定义得到一元一次方程．根据新运算的方法得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及解一元一次方程：一元一次方程的定义含有一个未知数并且未知数的指数为1的整式方程，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得， ∴， 解得：， ∵， 故答案为：1． 三、解答题 16．（23-24七年级下·河南周口·期中）用“※”定义了一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：，若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程及代数式求值，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．先算出，再列出方程进行求解再代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴ ， ． 17．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （？），得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． (1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 【答案】(1)去分母；等式的基本性质； (2)． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）小明的解题过程中，“？”处应填去分母，解此步的依据是等式的基本性质； （2）原方程可变形为． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边同除以，得． 18．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书． (1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？ (2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别为多少元？ 【答案】(1)4天 (2)甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书，根据甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为元，，根据甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书， 依题意，得：， 解得：. 答：甲、乙两人合作还需要4天运完图书. （2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为元， 依题意，得：， 解得：， ∴. 答：甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元. 19．（23-24七年级下·上海·期中）已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 【答案】(1) (2)秒或秒或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和一元一次方程的解法，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题． （1）求出旋转秒时，，，过作，根据平行线的性质求得，，进而得结论； （2）分三种情况讨论，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间． 【详解】（1）解：当旋转时间秒时，由已知得：，，如图1， 过作，则， ，， ， ， 故答案为：； （2）①设射线旋转的时间为秒； 第一次平行时，如图2， 则，， ，， ， 即， 解得：秒； ②第二次平行时，如图3，则，， ，， ， 即， 解得：秒； ③第三次平行时，如图4，则，， ，， ， 即， 解得：秒； 故答案为：15秒或63秒或135． 20．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为厘米/秒，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成：两部分； (3)连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，之间的关系式． 【答案】(1) (2)秒或秒时，直线把长方形的周长分成：两部分 (3)，之间的关系式为或或 【分析】本题考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识； （1）根据即可求出； （2）分两种情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，根据“直线把长方形的周长分成2:3两部分”列出方程，解方程即可求解； （3）分点在边上、点在边上、点在边上、点在边上四种情况分类讨论，列出关系式即可求解． 【详解】（1）解：当点在边上运动时，，， ． （2）当点在边上运动时，， 即， ； 当点在边上运动时，， 即， ； 秒或秒时，直线把长方形的周长分成：两部分． （3）当点在边上时， ， 整理得， ，故不成立； 当点在边上时， 由， 得； 当点在边上时， 由， 得； 当点在边上时， 由， 得； 综上，，之间的关系式为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$