第06讲 一元二次方程根与系数的关系（7考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第06讲 一元二次方程根与系数的关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。 2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。 一、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 1. 一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2. 韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3. 当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 二、一元二次方程根与系数的关系应用 1. 已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数； 2. 求与两个根有关的代数式的值； 3. 不解方程，判定根的符号. 三、用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 【考点一】由根与系数的关系直接求代数式的值 例1．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若一元二次方程的两个根是， 则 的值是（  ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查根与系数的关系的关系：是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：一元二次方程的两个根是， ∴， ∴． 故选：D． 变式1-1．（2023·江苏宿迁·模拟预测）若一元二次方程的两个实数根为和，则的值为 ． 【答案】0 【分析】先由一元二次方程的根与系数的关系得出，，再代入计算可得．本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：根据题意知，， 则 ． 故答案为：0． 变式1-2．（2023·四川成都·模拟预测）已知是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简求值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 变式1-3．（2023·四川成都·模拟预测）已知一元二次方程的两个实数根为、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为、， ， 故答案为：． 【考点二】由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 例2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知不相等的两实数满足，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题关键．根据题意可知，设是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，可得，，再利用根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，不相等的两实数满足， 所以可设是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ，， 原式 ． 故答案为：13 变式2-1．（2023·广西梧州·一模）若m，n为方程的两根，则多项式的值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及方程的解的定义，灵活运用概念求解是解题的关键，利用根与系数的关系及解的概念求解即可； 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴， ∴， ∵m，n为方程的两根， ∴， ∴． 故答案为：30． 变式2-2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解,根与系数的关系．依题意，得，再代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ，即 ． 故答案为：． 变式2-3．（23-24九年级上·山东济宁·期中）设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知根与系数的关系．根据根与系数的关系得到，再根据解的定义得到，再代入原式即可求解． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：0 变式2-4．（22-23八年级下·安徽池州·期末）已知和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2021 C． D．2023 【答案】A 【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，由一元二次方程根的定义可得，即可求解； 【详解】和是方程的两个根， ， ， ，， 故选A． 【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键． 【考点三】由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值 例3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）若是方程的两个根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系：若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．利用一元二次方程解的定义以及根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∵是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：D． 变式3-1．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．利用一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义可得，，，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实根， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 变式3-2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）设m，n是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】首先把m、n代入方程，可得，，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，可得，用整体代入法即可求得． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，，， ， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 【考点四】由方程两根满足的关系求字母的值 例4．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于x的方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 【答案】B 【分析】此题考查根的判别式，根与系数的关系，解题关键在于得到m的方程．根据根与系数的关系，解方程；再由方程有两个相等的实数根得出，解方程；由相同的解得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得或， ∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得或 ∴综上， 故选B． 变式4-1．（2023·广东河源·一模）设、是关于x的方程的两个根，且，则m的值为（　　） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答． 【详解】解： ∵、是关于的方程的两个根， 且， ∴， 即的值是 5 ． 故选： A． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系， 一元二次方程的根与系数的关系为：． 变式4-2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查根的判别式以及根与系数之间的关系．根据题意，得到，，再根据，利用完全平方公式进行转化，求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴， 即：， ∴（舍去）或； 故答案为：3． 变式4-3．（23-24九年级上·江西宜春·期中）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系得到，结合，即可求解． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 解得：，经检验符合题意； 故答案为：． 【考点五】不解方程由根与系数的关系判断式子正负 例5．（23-24九年级上·河南南阳·期中）不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“”的公式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，常数项， ∴， ∴一元二次方程的两个根、的符号是异号； 故选：B． 变式5-1．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于方程的两个根说法正确的是（    ） A．有2个负数根 B．1个根为正数1个根为负数且正数绝对值较大 C．有2个正数根 D．1个根为正数1个根为负数且负数绝对值较大 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴，， ∵ ∴两根异号， ∵， ∴负数的绝对值更大， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 变式5-2．（23-24九年级上·广东广州·期中）关于的一元二次方程两个实数根的倒数和为（） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设方程的两根为，根据韦达定理可得，再根据通分后的结果即可求解． 【详解】解：设方程的两根为， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题，关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，则 【考点六】构造一元二次方程求代数式的值 例6．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如果两不相等实数分别满足则的值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式方程，解题的关键是不要直接求根，而是要利用根与系数的关系，代入求值．利用根与系数的关系求出，，再把变成，然后把前面的关系式代入即可求出代数式的值． 【详解】解：实数分别满足， 实数是方程的两根， 故选：A. 变式6-1．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如果满足，，且 ，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知是方程的两个不相等的实数根，则，，把变形后整体代入即可得到答案． 【详解】∵满足，，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系、求代数式的值等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系的应用是解题的关键． 变式6-2．（2023·河南新乡·三模）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ） A．19 B．18 C．16 D．15 【答案】A 【分析】根据题意，，可以看作一元二次方程的两根，则，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，可以看作一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的定义以及一元二次方程两根之和为，两根之积为． 变式6-3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知满足，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．由题意可知实数、是关于的方程的两个不相等的实数根，由此可得答案． 【详解】解：实数、满足，，且， 实数、是关于的方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 变式6-4．（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．根据，，得出，以及实数m，n满足，，即可将整理为，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，最后根据二次函数的增减性，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， ∵实数m，n满足，，且， ∴m、n可看作关于x的一元二次方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值随x的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为． 故答案为：3． 【考点七】根与系数关系与根的判别式综合 例7．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系；掌握它们是解题的关键． （1）根据方程有实数根，则判别式为非负，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得，代入已知条件中可求得，再把求得的根代入一元二次方程中，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 即方程有实数根时，； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴②-①得：， ∴； 把代入中，得， ∴． 变式7-1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程一个根为2，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)，或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a，得到k的一元二次方程，解方程即得． 【详解】（1）解：∵， 故方程有两个不相等的实数根． （2）设方程的另一根为a， 则， ∴， ∴， ∴，或， 解得，，或． 变式7-2．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若此方程的两根之积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握这两个知识点是解题的关键； （1）由题意得，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得：，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 即当时，方程不两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系知：， ∴， 即当时，方程两根之积为． 变式7-3．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根． (2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在， 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．以及一元二次方程根与系数关系：． （1）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①当时， 方程变形为，方程有实数根； ②当时， ， ∵， ∴， ∴当时，方程有实数根， ∴无论k取任何实数时，方程总有实数根； （2）解：存在， 设方程两根为、， 则，， ∵， ∴ 解得：． 故存在实数k使方程两根的倒数和为2． 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖南张家界·期中）已知是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，若、是一元二次方程的两个根，则，，本题据此解答即可． 【详解】解：， ，，， ，， 故选：C． 2．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（    ） A．1和2 B．和2 C．2和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程计算即可求出的值，再把的值代入方程，求出另一个根即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 原方程可化为， 设方程的另一个根为，则， ． 故选：B． 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中，有两个符号相反的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根与系数的关系．根据有两个符号相反的解，得到两根之积为负数，进行判断即可． 【详解】解：A、,两根之积为0，本选项不符合题意； B、，方程没有实数根，本选项不符合题意； C、，两根之积为，本选项不符合题意； D、，且两根之积为，本选项符合题意； 故选：D． 4．（2023·江西赣州·一模）设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　） A．1， B．1，3 C．， D．，3 【答案】C 【分析】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据根与系数的关系，可得，，整理可得关于p，q的二元一次方程组，解方程组即可； 【详解】解：是关于x的方程的两根， ， 是关于x的方程的两根， ，，即， 将代入整理得， ，解得， 故选：． 5．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记，是解题的关键．根据题意得到，，再将其代入式子的变形式中计算，即可解题． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．15或16 D．16或17 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分两种情况讨论，①当底是4时，②当腰为4时，结合根与系数的关系即可求解，分3为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键． 【详解】当3为底边长时，则， ∴， ∵4，4，3能围成三角形， ∴， 解得：； 当3为腰长时，a、b中有一个为3，假定， ∴ ∴ ∴另一个边长为5， ∵5，3，3能围成三角形， ∴， 解得：； ∴m的值为17或16， 故选：D． 7．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，先根据方程根的定义得出，根据根与系数关系求出，再整体代值计算．解题的关键是掌握一元二次方程（，、、为常数）的根，与系数的关系：，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：B． 8．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）若一元二次方程的两根之和是两根之积的2倍，则m的值为（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【答案】B 【分析】先设一元二次方程的两根为，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，由两根之和是两根之积的2倍，列出关于m的方程，求出m即可． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， 则，， ∵一元二次方程的两根之和是两根之积的2倍， ∴， ∴， 故选：B． 9．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知a，b是方程的两个根，则的值是（    ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系和方程的解的定义，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．根据方程的解的概念和韦达定理得出，，将先后两次代入变形得出原式，再将代入计算可得． 【详解】解：，是方程的两个根， ，即，， 则原式 ， 故选：A 10．（23-24九年级上·广东广州·期末）若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．据此逐个判断即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 故A正确，符合题意，B、C、D不正确，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 11．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知方程的一个根为1，则该方程的两根之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 设方程的另一个根为，则，根据方程的两根之和为，计算求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵， ∴，即， ∴方程的两根之和为 故答案为：． 12．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两根分别为α、β，则 ． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，直接代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为α、β， ∴． 故答案为：2． 13．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系求得，，代入求值即可． 【详解】 解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 14．（2023·宁夏·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，；则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，多项式乘以多项式，代数式求值，根据根与系数的关系得出，，根据多项式乘以多项式得到，然后代入求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，且有，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键．将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， ∵，即， 是的两根， ， 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，求的值和方程的解． 【答案】，方程解为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程；由根与系数的关系得：，即可求得n的值；再用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根互为相反数， ∴两根的和为零，即， ∴， 解得：； 当时，方程为，即， 解得：． 17．（2023·湖北荆州·三模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】 （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2） 由题意得，， ∵， ∴， ∴，解得：． 18．（2023·贵州黔东南·一模）已知关于x的一元二次方程的两根分别为m、n． (1)若，，求p、q的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于一元二次方程的两个根，，则满足，． （1）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程的两根分别为m、n，，， ，， 解得：，； （2）若，，， 则原式为， ， ． 19．（23-24九年级上·广东广州·期中）阅读下面的材料： 老师出了一道家庭作业题，题目是：已知关于x的方程的两根为，且，求正数m的值． 小玉的解法如下： 解：∵，，又∵，∴，解得，． 问题：小玉的解法对吗？如果不对，她错在哪里？应如何改正？ 【答案】小玉的解法不对，没有对m的值进行验证，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的意义； 对m进行验证，当时，求出，可得应舍去；根据m是正数可知也应舍去． 【详解】解：小玉的解法不对，没有对m的值进行验证； 解得， 当时，方程为， ， ∴应舍去； 当时， ∵m是正数， ∴也应舍去， 综上，m的值不存在． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元二次方程根与系数的关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。 2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。 一、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 1. 一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2. 韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3. 当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 二、一元二次方程根与系数的关系应用 1. 已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数； 2. 求与两个根有关的代数式的值； 3. 不解方程，判定根的符号. 三、用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 【考点一】由根与系数的关系直接求代数式的值 例1．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若一元二次方程的两个根是， 则 的值是（  ） A．8 B． C． D．16 变式1-1．（2023·江苏宿迁·模拟预测）若一元二次方程的两个实数根为和，则的值为 ． 变式1-2．（2023·四川成都·模拟预测）已知是方程的两根，则 ． 变式1-3．（2023·四川成都·模拟预测）已知一元二次方程的两个实数根为、，则 ． 【考点二】由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 例2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知不相等的两实数满足，则的值为 ． 变式2-1．（2023·广西梧州·一模）若m，n为方程的两根，则多项式的值为 ． 变式2-2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 变式2-3．（23-24九年级上·山东济宁·期中）设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 变式2-4．（22-23八年级下·安徽池州·期末）已知和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2021 C． D．2023 【考点三】由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值 例3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）若是方程的两个根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 变式3-1．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．21 变式3-2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）设m，n是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【考点四】由方程两根满足的关系求字母的值 例4．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于x的方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 变式4-1．（2023·广东河源·一模）设、是关于x的方程的两个根，且，则m的值为（　　） A．5 B．1 C． D． 变式4-2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，若，则的值为 ． 变式4-3．（23-24九年级上·江西宜春·期中）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【考点五】不解方程由根与系数的关系判断式子正负 例5．（23-24九年级上·河南南阳·期中）不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 变式5-1．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于方程的两个根说法正确的是（    ） A．有2个负数根 B．1个根为正数1个根为负数且正数绝对值较大 C．有2个正数根 D．1个根为正数1个根为负数且负数绝对值较大 变式5-2．（23-24九年级上·广东广州·期中）关于的一元二次方程两个实数根的倒数和为（） A．2 B． C．1 D． 【考点六】构造一元二次方程求代数式的值 例6．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如果两不相等实数分别满足则的值是（　　） A．1 B． C． D． 变式6-1．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如果满足，，且 ，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 变式6-2．（2023·河南新乡·三模）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ） A．19 B．18 C．16 D．15 变式6-3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知满足，满足，且，则 ． 变式6-4．（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是 ． 【考点七】根与系数关系与根的判别式综合 例7．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 变式7-1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程一个根为2，求k的值． 变式7-2．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若此方程的两根之积为，求的值． 变式7-3．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根． (2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖南张家界·期中）已知是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（    ） A．1和2 B．和2 C．2和 D．和 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中，有两个符号相反的解的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江西赣州·一模）设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　） A．1， B．1，3 C．， D．，3 5．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 6．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．15或16 D．16或17 7．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）若一元二次方程的两根之和是两根之积的2倍，则m的值为（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 9．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知a，b是方程的两个根，则的值是（    ） A．14 B． C． D．10 10．（23-24九年级上·广东广州·期末）若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知方程的一个根为1，则该方程的两根之和为 ． 12．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两根分别为α、β，则 ． 13．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 14．（2023·宁夏·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，；则 ． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，且有，，则的值等于 ． 三、解答题 16．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，求的值和方程的解． 17．（2023·湖北荆州·三模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 18．（2023·贵州黔东南·一模）已知关于x的一元二次方程的两根分别为m、n． (1)若，，求p、q的值； (2)若，，求的值． 19．（23-24九年级上·广东广州·期中）阅读下面的材料： 老师出了一道家庭作业题，题目是：已知关于x的方程的两根为，且，求正数m的值． 小玉的解法如下： 解：∵，，又∵，∴，解得，． 问题：小玉的解法对吗？如果不对，她错在哪里？应如何改正？ ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$